የ nth ዲግሪ ሥሮች እና ባህሪያቸው። ሥር እና ንብረቶቹ

የመግቢያ ደረጃ

ሥር እና ንብረቶቹ። ከምሳሌዎች ጋር ዝርዝር ንድፈ ሐሳብ (2019)

ይህ “ሥር” ምን ዓይነት ፅንሰ ሐሳብ እንደሆነ እና “በምን እንደሚበላ” ለማወቅ እንሞክር። ይህንን ለማድረግ በክፍል ውስጥ አስቀድመው ያጋጠሟቸውን ምሳሌዎችን እንይ (በደንብ, ወይም ይህን ሊያጋጥሙዎት ነው).

ለምሳሌ፣ እኩልነት አለን። ለዚህ እኩልታ መፍትሄው ምንድን ነው? ምን ቁጥሮች በካሬ እና ሊገኝ ይችላል? የማባዛት ሰንጠረዥን በማስታወስ በቀላሉ መልሱን መስጠት ይችላሉ: እና (ከሁሉም በኋላ, ሁለት አሉታዊ ቁጥሮች ሲባዙ, አወንታዊ ቁጥር ተገኝቷል)! ለማቃለል የሂሳብ ሊቃውንት የካሬ ሥርን ልዩ ጽንሰ-ሐሳብ አስተዋውቀዋል እና ልዩ ምልክት ሰጡት።

የአርቲሜቲክ ስኩዌር ሥርን እንገልፃለን.

ለምን ቁጥሩ አሉታዊ ያልሆነ መሆን አለበት? ለምሳሌ ከምን ጋር እኩል ነው? ደህና, ደህና, አንዱን ለመምረጥ እንሞክር. ምናልባት ሶስት? እንፈትሽ: አይደለም. ምናልባት,? በድጋሚ, እንፈትሻለን:. ደህና, አይመጥንም? ይህ የሚጠበቅ ነው - ምክንያቱም ምንም ቁጥሮች የሉም, አራት ማዕዘን ሲደረግ, አሉታዊ ቁጥር ይሰጣሉ!
ማስታወስ ያለብዎት ይህ ነው፡- በስሩ ምልክት ስር ያለው ቁጥር ወይም አገላለጽ አሉታዊ ያልሆነ መሆን አለበት!

ሆኖም ፣ በጣም ትኩረት የሚስቡት ምናልባት ቀደም ሲል ትርጉሙ እንደሚናገረው “የቁጥር ሥረ-ቁጥር ይህ ተብሎ ይጠራል” ይላል። አሉታዊ ያልሆነካሬው ከ " ጋር እኩል የሆነ ቁጥር። አንዳንዶቻችሁ ገና መጀመሪያ ላይ አንድ ምሳሌ ተመልክተናል ትላላችሁ, የተመረጡ ቁጥሮች አራት ማዕዘን ሊደረጉ እና ሊያገኙ ይችላሉ, መልሱ ነበር እና, እዚህ ግን ስለ አንድ ዓይነት "አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር" እያወራን ነው! ይህ አስተያየት በጣም ተገቢ ነው። እዚህ የኳድራቲክ እኩልታዎች ጽንሰ-ሀሳቦችን እና የቁጥር ስሌት ካሬ ሥር መካከል መለየት ብቻ ያስፈልግዎታል። ለምሳሌ፣ ከመግለጫው ጋር እኩል አይደለም።

ይከተላል, ማለትም, ወይም. (ርዕሱን አንብብ "")

እና ያንን ይከተላል.

እርግጥ ነው, ይህ በጣም ግራ የሚያጋባ ነው, ነገር ግን ምልክቶቹ እኩልታውን የመፍታት ውጤት መሆናቸውን ማስታወስ ያስፈልጋል, ምክንያቱም እኩልታውን በሚፈታበት ጊዜ ሁሉንም X መፃፍ አለብን, ይህም በዋናው እኩልነት ሲተካ, ትክክለኛ ውጤት. ሁለቱም እና ወደ ኳድራቲክ እኩልታዎቻችን ይስማማሉ።

ቢሆንም, ከሆነ የካሬውን ሥር ብቻ ይውሰዱከአንድ ነገር, ከዚያም ሁልጊዜ አንድ አሉታዊ ያልሆነ ውጤት እናገኛለን.

አሁን ይህንን እኩልነት ለመፍታት ይሞክሩ. ሁሉም ነገር አሁን በጣም ቀላል እና ለስላሳ አይደለም, አይደል? ቁጥሮቹን ለማለፍ ይሞክሩ ፣ ምናልባት የሆነ ነገር ይሠራል? ከመጀመሪያው እንጀምር - ከባዶ: - አይገጥምም, እንቀጥል - ከሶስት ያነሰ, እንዲሁም ወደ ጎን ጠርገው, ምን ቢሆን. እንፈትሽ፡ - እንዲሁም ተስማሚ አይደለም፣ ምክንያቱም... ከሦስት በላይ ነው። ከአሉታዊ ቁጥሮች ጋር ተመሳሳይ ታሪክ ነው. ታዲያ አሁን ምን እናድርግ? ፍለጋው በእርግጥ ምንም አልሰጠንም? በጭራሽ፣ አሁን መልሱ የተወሰነ ቁጥር እንደሚሆን በእርግጠኝነት እናውቃለን፣ እና፣ እንዲሁም መካከል እና። እንዲሁም፣ መፍትሔዎቹ ኢንቲጀሮች ሊሆኑ እንደማይችሉ ግልጽ ነው። ከዚህም በላይ ምክንያታዊ አይደሉም. ታዲያ ቀጥሎስ? ተግባሩን ግራፍ እናድርግ እና መፍትሄዎችን በእሱ ላይ ምልክት እናደርጋለን.

ስርዓቱን ለማጭበርበር እና ካልኩሌተር በመጠቀም መልሱን ለማግኘት እንሞክር! ከሥሩ እናውጣ! ኦህ-ኦህ፣ እንደዚያ ሆኖ ተገኘ። ይህ ቁጥር አያልቅም። በፈተናው ላይ ካልኩሌተር ስለማይኖር ይህን እንዴት ታስታውሳለህ!? ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ነው, እሱን ማስታወስ አያስፈልግዎትም, ግምታዊውን ዋጋ ማስታወስ (ወይም በፍጥነት መገመት መቻል) ያስፈልግዎታል. እና መልሶች እራሳቸው. እንደነዚህ ያሉት ቁጥሮች ምክንያታዊ ያልሆኑ ተብለው ይጠራሉ ፣ የቁጥሮችን አጻጻፍ ለማቃለል ነበር የካሬ ሥር ጽንሰ-ሀሳብ አስተዋወቀ።

ይህንን ለማጠናከር ሌላ ምሳሌ እንመልከት። እስቲ የሚከተለውን ችግር እንይ፡ በኪሜ ጎን በኩል በሰያፍ ባለ ካሬ ሜዳ መሻገር አለብህ፣ ስንት ኪሎ ሜትር መሄድ አለብህ?

እዚህ ላይ በጣም ግልፅ የሆነው ነገር ትሪያንግልን ለየብቻ ማጤን እና የፓይታጎሪያን ቲዎረምን መጠቀም ነው። ስለዚህም . ስለዚህ እዚህ የሚፈለገው ርቀት ምን ያህል ነው? በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ርቀቱ አሉታዊ ሊሆን አይችልም, ያንን እናገኛለን. የሁለቱም ሥር በግምት እኩል ነው, ነገር ግን ቀደም ብለን እንደጠቀስነው, - ቀድሞውኑ የተሟላ መልስ ነው.

ችግሮችን ሳያስከትሉ ምሳሌዎችን ከሥሩ ጋር ለመፍታት, እነሱን ማየት እና ማወቅ ያስፈልግዎታል. ይህንን ለማድረግ ቢያንስ የቁጥሮችን ካሬዎች ከ እስከ ማወቅ እና እንዲሁም እነሱን ማወቅ መቻል አለብዎት። ለምሳሌ, ከካሬው ጋር እኩል የሆነውን እና እንዲሁም በተቃራኒው, ከካሬው ጋር እኩል የሆነውን ማወቅ ያስፈልግዎታል.

የካሬ ሥር ምን እንደሆነ ያዙት? ከዚያም አንዳንድ ምሳሌዎችን ይፍቱ.

ምሳሌዎች።

ደህና, እንዴት ተሳካ? አሁን እነዚህን ምሳሌዎች እንመልከት፡-

መልሶች፡-

የኩብ ሥር

ደህና, የካሬ ሥርን ጽንሰ-ሐሳብ ያዘጋጀን ይመስላል, አሁን የኩብ ሥር ምን እንደሆነ እና ልዩነታቸው ምን እንደሆነ ለማወቅ እንሞክር.

የቁጥር ኩብ ሥር ኩብ እኩል የሆነ ቁጥር ነው። እዚህ ሁሉም ነገር በጣም ቀላል እንደሆነ አስተውለሃል? በኪዩብ ስር ምልክት እና በሚወጣው ቁጥር በሁለቱም ሊሆኑ በሚችሉ እሴቶች ላይ ምንም ገደቦች የሉም። ያም ማለት የኩብ ሥር ከየትኛውም ቁጥር ሊወጣ ይችላል.

የኩብ ሥር ምን እንደሆነ እና እንዴት ማውጣት እንደሚቻል ተረድተዋል? ከዚያ ይቀጥሉ እና ምሳሌዎችን ይፍቱ.

ምሳሌዎች።

መልሶች፡-

ሥር - ኦ ዲግሪ

ደህና ፣ የካሬ እና የኩብ ሥሮች ጽንሰ-ሀሳቦችን ተረድተናል። አሁን የተገኘውን እውቀት ከጽንሰ-ሃሳቡ ጋር እናጠቃልል 1 ኛ ሥር.

1 ኛ ሥርየቁጥር ቁጥር ኃይሉ እኩል የሆነ ቁጥር ነው፣ ማለትም.

ተመጣጣኝ.

ከሆነ - እንኳን፣ ያ፡

• ከአሉታዊ ጋር, አገላለጹ ትርጉም አይሰጥም (የአሉታዊ ቁጥሮች እንኳን - ኛ ሥሮች ሊወገድ አይችልም!);
• ለአሉታዊ ያልሆነ() አገላለጽ አንድ አሉታዊ ያልሆነ ሥር አለው።

እንግዳ ከሆነ፣ አገላለጹ ለየትኛውም የተለየ ሥር አለው።

አትደንግጡ፣ ከካሬ እና ከኩብ ሥሮች ጋር ተመሳሳይ መርሆዎች እዚህ ይተገበራሉ። ማለትም፣ የካሬ ሥሮችን ስንመለከት የተጠቀምንባቸው መርሆች ለሁሉም የዲግሪ ሥረ-ሥሮች ተዘርግተዋል።

እና ለክዩቢክ ሥሩ ያገለገሉት ንብረቶች እንግዳ በሆነ ደረጃ ሥር ላይ ይሠራሉ።

ደህና ፣ የበለጠ ግልፅ ሆኗል? ምሳሌዎችን እንመልከት፡-

እዚህ ሁሉም ነገር የበለጠ ወይም ያነሰ ግልጽ ነው: በመጀመሪያ እንመለከታለን - አዎ, ዲግሪው እኩል ነው, ከሥሩ ስር ያለው ቁጥር አዎንታዊ ነው, ይህም ማለት የእኛ ተግባር አራተኛው ኃይል የሚሰጠን ቁጥር መፈለግ ነው. ደህና ፣ ማንኛውም ግምቶች? ምናልባት,? በትክክል!

ስለዚህ, ዲግሪው እኩል ነው - እንግዳ, ከሥሩ ስር ያለው ቁጥር አሉታዊ ነው. የእኛ ተግባር ወደ ኃይል ሲነሳ የሚያወጣውን ቁጥር መፈለግ ነው። ሥሩን ወዲያውኑ ማስተዋል በጣም ከባድ ነው። ሆኖም፣ ወዲያውኑ ፍለጋዎን ማጥበብ ይችላሉ፣ አይደል? በመጀመሪያ ደረጃ, የሚፈለገው ቁጥር በእርግጠኝነት አሉታዊ ነው, እና ሁለተኛ, አንድ ሰው ያልተለመደ መሆኑን ያስተውላል, እና ስለዚህ የሚፈለገው ቁጥር ያልተለመደ ነው. ሥሩን ለማግኘት ይሞክሩ. እርግጥ ነው, በደህና ማሰናበት ይችላሉ. ምናልባት,?

አዎ፣ ስንፈልገው የነበረው ይህ ነው! ስሌቱን ለማቃለል የዲግሪዎች ባህሪያትን እንደተጠቀምን ልብ ይበሉ:.

የሥሩ መሠረታዊ ባህርያት

ግልጽ ነው? ካልሆነ, ምሳሌዎችን ከተመለከቱ በኋላ, ሁሉም ነገር በቦታው ላይ መውደቅ አለበት.

ሥሮችን ማባዛት

ሥሩን እንዴት ማባዛት ይቻላል? በጣም ቀላሉ እና በጣም መሠረታዊው ንብረት ይህንን ጥያቄ ለመመለስ ይረዳል-

በቀላል ነገር እንጀምር፡-

የውጤቱ ቁጥሮች ሥሮች በትክክል አልተወጡም? ምንም ችግር የለም - አንዳንድ ምሳሌዎች እዚህ አሉ

ሁለት ባይኖሩስ, ግን ብዙ ማባዣዎች ቢኖሩስ? ያው! ሥሮችን ለማራባት ቀመር ከማንኛውም ምክንያቶች ጋር ይሰራል-

ምን እናድርግበት? ደህና ፣ በእርግጥ ሦስቱን ከሥሩ ስር ይደብቁ ፣ ሦስቱ የካሬ ሥር መሆናቸውን አስታውሱ!

ይህ ለምን ያስፈልገናል? አዎ፣ ምሳሌዎችን በምንፈታበት ጊዜ አቅማችንን ለማስፋት ብቻ፡-

ይህን የስርወ ንብረት እንዴት ይወዳሉ? ሕይወትን በጣም ቀላል ያደርገዋል? ለእኔ፣ ልክ ነው! ያንን ብቻ ማስታወስ አለብህ አዎንታዊ ቁጥሮችን በአንድ የዲግሪ ምልክት ስር ብቻ ማስገባት እንችላለን.

ይህ ሌላ የት ሊጠቅም እንደሚችል እንይ። ለምሳሌ፣ ችግሩ ሁለት ቁጥሮችን ማወዳደር ይጠይቃል።

ከዚህም በላይ፡-

ወዲያውኑ መናገር አይችሉም. ደህና፣ በስር ምልክት ስር ቁጥርን ለማስገባት የተበታተነውን ንብረት እንጠቀም? ከዚያ ይቀጥሉ፡

ደህና, በስር ምልክት ስር ያለው ቁጥር ትልቅ መሆኑን ማወቅ, ሥሩ ራሱ ትልቅ ነው! እነዚያ። ከሆነ . ከዚህ በመነሳት በጽኑ መደምደም እንችላለን። እና ሌላ ማንም አያሳምነንም!

ከዚህ በፊት, በስሩ ምልክት ስር ብዜት አስገባን, ግን እንዴት ማስወገድ እንደሚቻል? ወደ ምክንያቶች መለካት እና ያወጡትን ማውጣት ብቻ ያስፈልግዎታል!

የተለየ መንገድ መውሰድ እና ወደ ሌሎች ምክንያቶች መስፋፋት ተችሏል፡-

መጥፎ አይደለም, ትክክል? ከእነዚህ ዘዴዎች ውስጥ ማንኛቸውም ትክክል ናቸው, እንደፈለጉ ይወስኑ.

ለምሳሌ አንድ አገላለጽ እዚህ አለ፡-

በዚህ ምሳሌ, ዲግሪው እኩል ነው, ግን እንግዳ ከሆነስ? እንደገና፣ የጠቋሚዎችን ባህሪያት ይተግብሩ እና ሁሉንም ነገር ይወስኑ፡

ሁሉም ነገር በዚህ ግልጽ ይመስላል, ግን የቁጥሩን ሥር ወደ ኃይል እንዴት ማውጣት እንደሚቻል? እዚህ, ለምሳሌ, ይህ ነው:

በጣም ቀላል ፣ ትክክል? ዲግሪው ከሁለት በላይ ከሆነስ? የዲግሪዎችን ባህሪያት በመጠቀም ተመሳሳይ አመክንዮ እንከተላለን-

ደህና ፣ ሁሉም ነገር ግልፅ ነው? ከዚያ አንድ ምሳሌ ይኸውና፡-

እነዚህ ወጥመዶች ናቸው, ስለ እነርሱ ሁልጊዜ ማስታወስ ጠቃሚ ነው. ይህ በእውነቱ በንብረት ምሳሌዎች ውስጥ ተንፀባርቋል-

ለአጋጣሚ: ለእኩል እና:

ግልጽ ነው? በምሳሌዎች አጠናክር፦

አዎን፣ ሥሩ ለእኩል ኃይል እንደሆነ እናያለን፣ ከሥሩ ስር ያለው አሉታዊ ቁጥር ደግሞ ለእኩል ኃይል ነው። ደህና ፣ ተመሳሳይ ነው የሚሰራው? እነሆ፡-

ያ ነው! አሁን አንዳንድ ምሳሌዎች እነሆ፡-

ገባኝ? ከዚያ ይቀጥሉ እና ምሳሌዎችን ይፍቱ.

ምሳሌዎች።

መልሶች

መልሶች ከተቀበሉ በአእምሮ ሰላም መቀጠል ይችላሉ። ካልሆነ፡ እነዚህን ምሳሌዎች እንረዳ፡-

ሌሎች ሁለት የስርወ ባህርያትን እንመልከት፡-

እነዚህ ንብረቶች በምሳሌዎች መተንተን አለባቸው. ደህና፣ ይህን እናድርግ?

ገባኝ? ደህንነቱን እናስጠበቀው.

ምሳሌዎች።

መልሶች

ሥሮች እና ንብረቶቻቸው። መካከለኛ ደረጃ

አርቲሜቲክ ካሬ ሥር

እኩልታው ሁለት መፍትሄዎች አሉት: እና. እነዚህ ካሬቸው እኩል የሆነ ቁጥሮች ናቸው።

እኩልነቱን አስቡበት። በግራፊክ እንፍታው። የተግባሩን ግራፍ እና በደረጃው ላይ አንድ መስመር እንሳል. የእነዚህ መስመሮች መገናኛ ነጥቦች መፍትሄዎች ይሆናሉ. ይህ እኩልታ እንዲሁ ሁለት መፍትሄዎች እንዳሉት እናያለን - አንድ አዎንታዊ ፣ ሌላኛው አሉታዊ።

ነገር ግን በዚህ ጉዳይ ላይ መፍትሄዎች ኢንቲጀር አይደሉም. ከዚህም በላይ ምክንያታዊ አይደሉም. እነዚህን ምክንያታዊ ያልሆኑ ውሳኔዎችን ለመጻፍ, ልዩ የካሬ ሥር ምልክትን እናስተዋውቃለን.

አርቲሜቲክ ካሬ ሥርካሬው እኩል የሆነ አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው። አገላለጹ ባልተገለፀበት ጊዜ, ምክንያቱም ካሬው ከአሉታዊ ቁጥር ጋር እኩል የሆነ ቁጥር የለም።

ካሬ ሥር; .

ለምሳሌ . እና ያንን ወይም ይከተላል.

አንድ ጊዜ እንደገና ትኩረት ልስጥህ፣ ይህ በጣም አስፈላጊ ነው፡- የካሬ ስር ሁል ጊዜ አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው፡- !

የኩብ ሥርየቁጥር ቁጥሩ ኪዩብ እኩል የሆነ ቁጥር ነው። የኩብ ሥር ለሁሉም ሰው ይገለጻል. ከየትኛውም ቁጥር ሊወጣ ይችላል፡. እንደምታየው, አሉታዊ እሴቶችንም ሊወስድ ይችላል.

የቁጥሩ ሥር ኃይሉ እኩል የሆነ ቁጥር ነው, ማለትም.

እንኳን ከሆነ፡-

• ከሆነ ፣ ከዚያ የ a ሥሩ አልተገለጸም።
• ከሆነ, ከዚያም አሉታዊ ያልሆነ የእኩልታው ሥር የ th ዲግሪ አርቲሜቲክ ሥር ይባላል እና ይገለጻል.

ያልተለመደ ከሆነ ፣ ከዚያ እኩልታው ለየትኛውም ልዩ ሥር አለው።

ከሥሩ ምልክት በላይ በግራ በኩል ዲግሪውን እንደምንጽፍ አስተውለሃል? ግን ለካሬው ሥር አይደለም! ዲግሪ የሌለው ሥር ካየህ ካሬ (ዲግሪ) ነው ማለት ነው።

ምሳሌዎች።

የሥሩ መሠረታዊ ባህርያት

ሥሮች እና ንብረቶቻቸው። ስለ ዋና ዋና ነገሮች በአጭሩ

ካሬ ሥር (የሒሳብ ካሬ ሥር)ከአሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ይህ ይባላል ካሬው የሆነበት አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር

የሥሩ ባህርያት:

ዲግሪ ከምክንያታዊ አመላካች ጋር፣

የኃይል ተግባር IV

§ 78. ሥር n- የአሉታዊ ቁጥር ኃይል-ሀ

ቲዎሪ 1.

በሌላ አነጋገር, እኩልታ

X 2ክ = - አ (ሀ > 0)

እውነተኛ ሥር የለውም.

ተማሪዎች ይህንን ቲዎሪ በራሳቸው እንዲያረጋግጡ እንጋብዛለን።

ቲዎሪ 2. አለ፣ እና በተጨማሪ፣ የአንድ ጎዶሎ ደረጃ አሉታዊ ቁጥር ስር አንድ ብቻ ነው።

በሌላ አነጋገር, እኩልታ

X 2k+ 1 = - አ (ሀ > 0)

ነጠላ ሥር አለው. ይህ ሥር አሉታዊ ነው.

ማረጋገጫ።በመጀመሪያ ደረጃ ፣የማይታወቅ ዲግሪ 2 ሥር መሆኑን እናሳያለን። ክ ሀ አዎንታዊ ሊሆን አይችልም. ይህ ሥር ከሆነ (እኛ በ ለ ) አዎንታዊ ነበር, ከዚያም በእኩልነት ለ 2k+ 1 = - አ የግራ ጎኑ አዎንታዊ እና የቀኝ ጎኑ አሉታዊ ይሆናል.

አሁን የዲግሪ 2 አሉታዊ ስርወ እናሳያለን። ክ + 1 ከአሉታዊ ቁጥር - ሀ አለ።

ቁጥር ሀ አዎንታዊ ነው፣ እና ስለዚህ የዲግሪ 2 አወንታዊ ሥር አለው። ክ + 1 (ቲዎሬም 1፣ § 76)። በ እንጠቁመው ለ .

ለ 2k+ 1 = ሀ .

ከዚህ በመነሳት ነው።

(-ለ ) 2k+ 1 = -ለ 2k+ 1 = -ሀ .

ግን ይህ ማለት ደግሞ አሉታዊ ቁጥር - ለ የዲግሪ 2 ሥር ነው። ክ + 1 ከአሉታዊ ቁጥር - ሀ .

የቀረው ቢበዛ አንድ መጥፎ የዲግሪ 2 ስር መኖሩን ማሳየት ነው። ክ + 1 ከቁጥር - ሀ .

ይህንን ለማረጋገጥ, ተቃራኒውን እንውሰድ, ማለትም, በርካታ እንዲህ ያሉ ሥሮች አሉ. ፍቀድ - ለ እና - ጋር - ሁለት እንደዚህ ያሉ ሥሮች. ከዚያም

(-ለ ) 2k+ 1 = -ሀ , (-ሐ ) 2k+ 1 = -ሀ . (1)

ግን ቁጥሩ 2 ስለሆነ ክ + 1 እንግዳ ነው፣ ከዚያ (- ለ ) 2k+ 1 = -ለ 2k+ 1 ; (-ሐ ) 2k+ 1 = -ሐ 2k+ 1. ስለዚህም ከ (1) ይከተላል

ለ 2k+ 1 = ሀ , ሐ 2k+ 1 = ሀ .

እና ይሄ, በተራው, አዎንታዊ ቁጥር ማለት ነው ሀ የዲግሪ 2 ሁለት የተለያዩ አወንታዊ ሥሮች አሉት ክ + 1: ለ እና ጋር ; ነገር ግን ይህ ቲዎረም 2፣ § 76ን ይቃረናል።

ጽንሰ-ሐሳቡ ሙሉ በሙሉ የተረጋገጠ ነው. ቲዎሬሞችን 1 እና 2 በማጣመር ወደሚከተለው መደምደሚያ ደርሰናል።

ምንም እንኳን የአሉታዊ ቁጥር ሥሮች የሉም።

የአሉታዊ ቁጥር አንድ ያልተለመደ ሥር አለ። ይህ ሥር አሉታዊ ነው.

ሥሮች 4 √-81; 100 √-25 የለም; 5 √- 32 = -2; 3 √-125 = -5።

መልመጃዎች

552. (ኦራል) ከእነዚህ አገላለጾች ውስጥ የትኛው ትርጉም የለውም፡-

√-9 ; 3 √-8 ; √-0,25 ; 4 √-81 ; 7 √- 2 ?

553. የሚከተሉትን ተግባራት ፍቺ ጎራዎችን ይፈልጉ።

ሀ) በ = √x -1; ሰ) በ = 8 √(X + 2)(X - 7) ;

ለ) በ = 5 √x -1 መ) በ = 6 √X 2 + X + 1 ;

ቪ) በ = 12 √3X 2 +5X -2 ሠ) በ = 3 √3-x + 4 √5X -5 .

553. ሀ) X > 1; ለ) የሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ; ቪ) X < - 2 እና X > 1 / 3 ;

ሰ) X < -2 እና X > 7; ሠ) የሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ; ሠ) X > 1.

እንኳን ደስ ያለዎት፡ ዛሬ ስረ-መሰረቱን እንመለከታለን - በ 8 ኛ ክፍል ውስጥ በጣም አእምሮን ከሚነፍስ ርዕሰ ጉዳዮች ውስጥ አንዱ :)

ብዙ ሰዎች ስለ ሥሩ ግራ ይጋባሉ ፣ ምክንያቱም ውስብስብ ስለሆኑ አይደለም (ስለ እሱ በጣም የተወሳሰበ ነገር - ሁለት ትርጓሜዎች እና ተጨማሪ ንብረቶች) ፣ ግን በአብዛኛዎቹ የትምህርት ቤት የመማሪያ መጽሐፍት ሥረ-ሥሮች የሚገለጹት የመጽሐፎቹ ደራሲዎች ብቻ በመሆናቸው ነው ። ይህንን ጽሑፍ እራሳቸው ሊረዱት ይችላሉ. እና ከዚያ በኋላ በጥሩ ውስኪ ጠርሙስ ብቻ።

ስለዚህ ፣ አሁን ትክክለኛውን እና በጣም ብቁ የሆነውን የስር ፍቺ እሰጣለሁ - እርስዎ በእውነቱ ማስታወስ ያለብዎት ብቸኛው። እና ከዚያ እኔ እገልጻለሁ-ይህ ሁሉ ለምን እንደሚያስፈልግ እና በተግባር እንዴት እንደሚተገበር.

በመጀመሪያ ግን ብዙ የመማሪያ መጽሃፍ አዘጋጅ በሆነ ምክንያት “የሚረሱትን” አንድ አስፈላጊ ነጥብ አስታውስ፡-

ስሮች እኩል ዲግሪ (የእኛ ተወዳጅ $\sqrt(a)$፣እንዲሁም ሁሉም አይነት $\sqrt(a)$ እና እንዲያውም $\sqrt(a)$) እና ጎዶሎ ዲግሪ (ሁሉም አይነት $\sqrt) ሊሆኑ ይችላሉ። (a)$፣$\ sqrt(a)$፣ ወዘተ)። እና የአንድ ጎዶሎ ዲግሪ ሥር ፍቺ ከአንድ እኩል የተለየ ነው።

ምናልባት 95% የሚሆኑት ከሥሮች ጋር የተያያዙ ስህተቶች እና አለመግባባቶች በዚህ "በተወሰነ መልኩ" ውስጥ ተደብቀዋል. ስለዚህ ቃላቱን ለአንዴና ለመጨረሻ ጊዜ እናጥራ።

ፍቺ ሥር እንኳን nከቁጥር $a$ ማንኛውም ነው። አሉታዊ ያልሆነየ$b$ ቁጥሩ $((b)^(n))=a$ ነው። እና የተመሳሳዩ ቁጥር $a$ ያልተለመደ ሥር በአጠቃላይ ማንኛውም ቁጥር $b$ ነው ለእዚያም እኩልነት የሚይዘው፡ $((b)^(n))=a$።

በማንኛውም ሁኔታ ሥሩ በሚከተለው መንገድ ይገለጻል-

\(ሀ)\]

በእንደዚህ ዓይነት ማስታወሻ ውስጥ ያለው ቁጥር $n$ ሩት አርቢ ይባላል, እና $a$ ቁጥሩ ራዲካል አገላለጽ ይባላል. በተለይም በ$n=2$ የኛን “ተወዳጅ” ካሬ ስር እናገኛለን (በነገራችን ላይ ይህ የዲግሪ ደረጃ ሥር ነው) እና በ$n=3$ ደግሞ ኩብ ስር (ያልተለመደ ዲግሪ) እናገኛለን። እንዲሁም ብዙውን ጊዜ በችግሮች እና እኩልታዎች ውስጥ ይገኛሉ.

ምሳሌዎች። የካሬ ሥሮች ክላሲክ ምሳሌዎች

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በነገራችን ላይ $\sqrt(0)=0$ እና $\sqrt(1)=1$። ከ$((0)^(2))=0$ እና $((1)^(2))=1$ ጀምሮ ይህ በጣም ምክንያታዊ ነው።

የኩብ ሥሮች እንዲሁ የተለመዱ ናቸው - እነሱን መፍራት አያስፈልግም-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & \sqrt(27)=3; \\ & \ sqrt (-64) = -4; \\ & \sqrt(343)=7. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ደህና፣ ሁለት “ልዩ ምሳሌዎች”፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በተመጣጣኝ እና ያልተለመደ ዲግሪ መካከል ያለው ልዩነት ምን እንደሆነ ካልተረዳህ ትርጉሙን እንደገና አንብብ። ይህ በጣም አስፈላጊ ነው!

እስከዚያው ድረስ፣ አንድ ደስ የማይል የስርወ-ገጽታ ባህሪን እንመለከታለን፣ በዚህም ምክንያት ለእኩል እና ያልተለመዱ ገላጮች የተለየ ፍቺ ማስተዋወቅ ያስፈልገናል።

ሥሩ ለምን ያስፈልጋል?

ትርጉሙን ካነበቡ በኋላ፣ ብዙ ተማሪዎች “ይህን ሲያደርጉ የሂሳብ ሊቃውንት ምን ሲያጨሱ ነበር?” ብለው ይጠይቃሉ። እና በእውነቱ: ለምን እነዚህ ሁሉ ሥሮች በአጠቃላይ ያስፈልጋሉ?

ለዚህ ጥያቄ መልስ ለመስጠት ለአፍታ ወደ አንደኛ ደረጃ ትምህርት ቤት እንመለስ። ያስታውሱ፡ በእነዚያ ሩቅ ጊዜያት ዛፎቹ አረንጓዴ ሲሆኑ እና ዱባዎቹ የበለጠ ጣፋጭ ሲሆኑ ዋናው ጭንቀታችን ቁጥሮችን በትክክል ማባዛት ነበር። ደህና, እንደ "አምስት በአምስት - ሃያ አምስት", ያ ብቻ ነው. ነገር ግን ቁጥሮችን በጥንድ ሳይሆን በሶስት እጥፍ፣ በአራት እጥፍ እና በአጠቃላይ ሙሉ ስብስቦች ማባዛት ይችላሉ።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

ይሁን እንጂ ነጥቡ ይህ አይደለም. ብልሃቱ ሌላ ነው፡ የሒሳብ ሊቃውንት ሰነፍ ናቸው፡ ስለዚህም የአስር አምስት መባዛትን እንደዚህ ለመጻፍ ተቸግረው ነበር።

ለዚህም ነው ዲግሪ ይዘው የመጡት። ለምንድነው የነገሮችን ብዛት ከረዥም ገመድ ይልቅ እንደ ሱፐር ስክሪፕት አትጽፈውም? እንደዚህ ያለ ነገር፡-

በጣም ምቹ ነው! ሁሉም ስሌቶች በከፍተኛ ሁኔታ ይቀንሳሉ, እና 5,183 ለመጻፍ ብዙ የብራና እና የማስታወሻ ደብተሮችን ማባከን የለብዎትም. ይህ መዝገብ የቁጥር ሃይል ተብሎ ይጠራ ነበር;

ለዲግሪዎች “ግኝት” ተብሎ ከተዘጋጀው ታላቅ የመጠጥ ግብዣ በኋላ፣ አንዳንድ ግትር የሆኑ የሒሳብ ሊቃውንት በድንገት “የቁጥርን ደረጃ ብናውቅ ቁጥሩ ራሱ ባይታወቅስ?” ሲሉ ጠየቁ። አሁን, በእርግጥ, የተወሰነ ቁጥር $ b$, እንበል, ለ 5 ኛ ኃይል 243 እንደሚሰጥ ካወቅን, $ b$ ራሱ ምን ያህል እኩል እንደሆነ እንዴት መገመት እንችላለን?

ይህ ችግር በመጀመሪያ በጨረፍታ ከሚታየው የበለጠ ዓለም አቀፋዊ ሆነ። ምክንያቱም ለአብዛኛዎቹ “ዝግጁ-የተሠሩ” ኃይሎች እንደዚህ ያሉ “የመጀመሪያ” ቁጥሮች እንደሌሉ ተገለጠ። ለራስዎ ፍረዱ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((b)^(3))=27\ ቀኝ ቀስት b=3\cdot 3\cdot 3\ Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\ቀኝ ቀስት b=4\cdot 4\cdot 4\rightarrow b=4. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

$((b)^(3))=50$ ቢሆንስ? በራሱ ሦስት ጊዜ ሲባዛ 50 የሚሰጠን የተወሰነ ቁጥር መፈለግ አለብን። ግን ይህ ቁጥር ምንድን ነው? ከ 3 3 = 27 ጀምሮ በግልጽ ከ 3 ይበልጣል< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. ይህም ነው። ይህ ቁጥር በሶስት እና በአራት መካከል ነው, ነገር ግን ምን ጋር እንደሚተካከል አይረዱም.

ለዚህም ነው የሒሳብ ሊቃውንት $n$th ሥሮችን ይዘው የመጡት። ለዚህ ነው አክራሪ ምልክት $\sqrt(*)$ አስተዋወቀ። የ $ b$ን ቁጥር ለመሰየም, በተጠቀሰው ዲግሪ ቀደም ብሎ የታወቀ ዋጋ ይሰጠናል

\[\sqrt[n](a)=b\ቀኝ ቀስት ((b)^(n))=a\]

እኔ አልከራከርም: ብዙውን ጊዜ እነዚህ ሥሮች በቀላሉ ይሰላሉ - ከላይ ብዙ ምሳሌዎችን አይተናል. ግን አሁንም ፣በአብዛኛዎቹ ጉዳዮች ፣ የዘፈቀደ ቁጥር ካሰቡ እና ከዚያ የዘፈቀደ ዲግሪን ከሱ ለማውጣት ከሞከሩ ፣ ለአሰቃቂ ጥፋት ውስጥ ይሆናሉ።

ምን አለ! በጣም ቀላል እና በጣም የታወቀው $\sqrt(2)$ እንኳን በተለመደው መልኩ - እንደ ኢንቲጀር ወይም ክፍልፋይ ሊወከል አይችልም። እና ይህን ቁጥር ወደ ካልኩሌተር ካስገቡት ይህን ያያሉ፡-

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

እንደሚመለከቱት ፣ ከአስርዮሽ ነጥብ በኋላ ለማንኛውም አመክንዮ የማይታዘዙ ማለቂያ የለሽ የቁጥሮች ቅደም ተከተል አለ። ከሌሎች ቁጥሮች ጋር በፍጥነት ለማነጻጸር በእርግጥ ይህን ቁጥር ማዞር ይችላሉ። ለምሳሌ፡-

\[\sqrt(2)=1.4142...\ግምት 1.4 \lt 1.5\]

ወይም ሌላ ምሳሌ ይኸውና፡-

\[\sqrt(3)=1.73205...\ግምት 1.7 \gt 1.5\]

ነገር ግን እነዚህ ሁሉ ዙሮች, በመጀመሪያ, በጣም ሻካራ ናቸው; እና በሁለተኛ ደረጃ ፣ እርስዎም በግምታዊ እሴቶች መስራት መቻል አለብዎት ፣ አለበለዚያ ብዙ ግልጽ ያልሆኑ ስህተቶችን መያዝ ይችላሉ (በነገራችን ላይ የንፅፅር እና የማጠጋጋት ችሎታ በመገለጫው የተዋሃደ የግዛት ፈተና ላይ መሞከር ያስፈልጋል)።

ስለዚህ ፣ በከባድ የሂሳብ ትምህርቶች ውስጥ ያለ ሥሮች ማድረግ አይችሉም - እነሱ የሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች $ \mathbb(R)$ ስብስብ ተመሳሳይ እኩል ተወካዮች ናቸው ፣ ልክ እንደ ክፍልፋዮች እና ኢንቲጀሮች ለረጅም ጊዜ ለእኛ የተለመዱት።

ሥርን እንደ ክፍልፋይ $\frac(p)(q)$ መወከል አለመቻል ማለት ይህ ሥር ምክንያታዊ ቁጥር አይደለም ማለት ነው። እንደነዚህ ያሉት ቁጥሮች ምክንያታዊ ያልሆኑ ተብለው ይጠራሉ, እና ለእዚህ በተለየ መልኩ የተነደፉ ራዲካል ወይም ሌሎች ግንባታዎች (ሎጋሪዝም, ሃይሎች, ገደቦች, ወዘተ) ካልሆነ በስተቀር በትክክል ሊወከሉ አይችሉም. ግን ሌላ ጊዜ ስለዚህ ጉዳይ።

ከሁሉም ስሌቶች በኋላ, ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች አሁንም በመልሱ ውስጥ የሚቆዩባቸውን በርካታ ምሳሌዎችን እንመልከት.

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\approx -1.2599... \\ \መጨረሻ(align)\]

በተፈጥሮ ፣ ከሥሩ ገጽታ ከአስርዮሽ ነጥብ በኋላ ምን ቁጥሮች እንደሚመጡ መገመት አይቻልም። ሆኖም፣ ካልኩሌተር ላይ መቁጠር ትችላለህ፣ ነገር ግን በጣም የላቀ የቀን ማስያ እንኳ ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር የመጀመሪያዎቹን ጥቂት አሃዞች ብቻ ይሰጠናል። ስለዚህ መልሱን በ$\sqrt(5)$ እና $\sqrt(-2)$ መልክ መፃፍ የበለጠ ትክክል ነው።

የተፈለሰፉትም ለዚህ ነው። መልሶችን በአመቺነት ለመመዝገብ።

ለምን ሁለት ትርጓሜዎች ያስፈልጋሉ?

በትኩረት የሚከታተለው አንባቢ ምናልባት በምሳሌዎቹ ውስጥ የተሰጡት ሁሉም የካሬ ሥሮች ከአዎንታዊ ቁጥሮች የተወሰዱ መሆናቸውን አስቀድሞ አስተውሏል። ደህና, ቢያንስ ከባዶ. ነገር ግን የኩብ ሥሮች በእርጋታ ከማንኛውም ቁጥር ሊወሰዱ ይችላሉ - አወንታዊም ሆነ አሉታዊ።

ይህ ለምን እየሆነ ነው? የተግባርን ግራፍ ይመልከቱ $y=((x)^(2))$:

የኳድራቲክ ተግባር ግራፍ ሁለት ሥሮችን ይሰጣል-አዎንታዊ እና አሉታዊ

ይህንን ግራፍ በመጠቀም $\sqrt(4)$ ለማስላት እንሞክር። ይህንን ለማድረግ በግራፉ ላይ $y=4$ አግድም መስመር ተዘርግቷል (በቀይ ምልክት ተደርጎበታል) እሱም ከፓራቦላ ​​ጋር በሁለት ነጥብ ይገናኛል፡ $((x)_(1))=2$ እና $((x) (2)) = -2$. ይህ በጣም ምክንያታዊ ነው, ጀምሮ

ከመጀመሪያው ቁጥር ጋር ሁሉም ነገር ግልጽ ነው - አዎንታዊ ነው, ስለዚህ ሥሩ ነው:

ግን በሁለተኛው ነጥብ ምን ይደረግ? እንደ, አራት በአንድ ጊዜ ሁለት ሥሮች አሉት? ለነገሩ፣ ቁጥሩን -2 ካደረግነው፣ 4ንም እናገኛለን። ለምን $\sqrt(4)=-2$ አንፃፍም? እና ለምን አስተማሪዎች እርስዎን ሊበሉዎት እንደሚፈልጉ እንደዚህ ያሉ ልጥፎችን ይመለከታሉ?

ችግሩ ምንም ተጨማሪ ሁኔታዎችን ካላስገደዱ ኳድ ሁለት ካሬ ሥሮች ይኖረዋል - አወንታዊ እና አሉታዊ። እና ማንኛውም አዎንታዊ ቁጥር ደግሞ ሁለቱ ይኖራቸዋል. ግን አሉታዊ ቁጥሮች በጭራሽ ሥሮች አይኖራቸውም - ይህ ከተመሳሳይ ግራፍ ሊታይ ይችላል ፣ ምክንያቱም ፓራቦላ በጭራሽ ከዘንግ በታች አይወድቅም። y፣ ማለትም እ.ኤ.አ. አሉታዊ እሴቶችን አይቀበልም.

ተመሳሳይ ችግር ለሁሉም ሥሮች ተመሳሳይ ችግር ይከሰታል-

1. በትክክል ለመናገር፣ እያንዳንዱ አወንታዊ ቁጥር $n$ እንኳ ያላቸው ሁለት ሥሮች ይኖራቸዋል።
2. ከአሉታዊ ቁጥሮች፣ $n$ ያለው ሥሩ ጨርሶ አይወጣም።

ለዛም ነው የ$n$ እኩል ስር ያለው ትርጉም በተለይ መልሱ አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር መሆን እንዳለበት ይደነግጋል። አሻሚነትን የምናስወግደው በዚህ መንገድ ነው።

ግን ለ$n$ ምንም አይነት ችግር የለም። ይህንን ለማየት የ$y=((x)^(3))$ የተግባርን ግራፍ እንይ።

አንድ ኩብ ፓራቦላ ማንኛውንም ዋጋ ሊወስድ ይችላል, ስለዚህ የኩብ ሥሩ ከማንኛውም ቁጥር ሊወሰድ ይችላል

ከዚህ ግራፍ ሁለት መደምደሚያዎች ሊወሰዱ ይችላሉ-

1. የኩቢክ ፓራቦላ ቅርንጫፎች ከመደበኛው በተለየ መልኩ ወደ መጨረሻው ወደ ሁለቱም አቅጣጫዎች - ወደላይ እና ወደ ታች ይሄዳሉ. ስለዚህ, የቱንም ያህል ቁመት አግድም መስመር ብንሳል, ይህ መስመር በእርግጠኝነት ከግራፋችን ጋር ይገናኛል. በዚህም ምክንያት የኩብ ሥር ሁልጊዜ ከማንኛውም ቁጥር ሊወጣ ይችላል;
2. በተጨማሪም, እንዲህ ዓይነቱ መስቀለኛ መንገድ ሁልጊዜ ልዩ ይሆናል, ስለዚህ የትኛው ቁጥር እንደ "ትክክለኛ" ሥር እንደሆነ እና የትኛውን ችላ እንደሚለው ማሰብ አያስፈልግዎትም. ለዚያም ነው ለተለየ ዲግሪ ሥርን መወሰን ከተመጣጣኝ ዲግሪ ይልቅ ቀላል የሆነው (አሉታዊ ያልሆነ ምንም መስፈርት የለም)።

በጣም ያሳዝናል እነዚህ ቀላል ነገሮች በአብዛኛዎቹ የመማሪያ መጽሀፍት ውስጥ አለመብራራታቸው። ይልቁንም አእምሯችን በሁሉም ዓይነት የሂሳብ ስሮች እና ንብረቶቻቸው ወደ ላይ ማደግ ይጀምራል።

አዎ, አልከራከርም: እንዲሁም የሂሳብ ሥር ምን እንደሆነ ማወቅ ያስፈልግዎታል. እና ስለዚህ ጉዳይ በተለየ ትምህርት ውስጥ በዝርዝር እናገራለሁ. ዛሬ ስለእሱም እንነጋገራለን ፣ ምክንያቱም ያለ እሱ ስለ $ n$ - ብዜትነት ሁሉም ሀሳቦች ያልተሟሉ ይሆናሉ።

በመጀመሪያ ግን ከላይ የሰጠሁትን ትርጉም በግልፅ መረዳት አለቦት። ያለበለዚያ ፣ በቃላት ብዛት ምክንያት ፣ እንዲህ ዓይነቱ ውዝግብ በጭንቅላቱ ውስጥ ይጀምራል ፣ በመጨረሻም ምንም ነገር አይረዱም።

የሚያስፈልግህ ብቸኛው ነገር በእኩል እና ያልተለመዱ አመልካቾች መካከል ያለውን ልዩነት መረዳት ነው. ስለዚህ ፣ ስለ ሥሮች ማወቅ የሚፈልጉትን ሁሉ እንደገና እንሰበስብ-

1. የእኩል ዲግሪ ሥር የሚገኘው ከአሉታዊ ካልሆኑ ቁጥሮች ብቻ ነው እና ራሱ ሁል ጊዜም አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው። ለአሉታዊ ቁጥሮች እንዲህ ዓይነቱ ሥር አልተገለጸም.
2. ነገር ግን የአንድ ጎዶሎ ዲግሪ ሥር ከየትኛውም ቁጥር አለ እና እራሱ ማንኛውም ቁጥር ሊሆን ይችላል፡ ለአዎንታዊ ቁጥሮች አዎንታዊ ነው, እና ለአሉታዊ ቁጥሮች, ካፕ እንደሚጠቁመው, አሉታዊ ነው.

አስቸጋሪ ነው? አይ, አስቸጋሪ አይደለም. ግልጽ ነው? አዎ, ሙሉ በሙሉ ግልጽ ነው! ስለዚህ አሁን በስሌቶቹ ትንሽ እንለማመዳለን.

መሰረታዊ ባህሪያት እና ገደቦች

ስሮች ብዙ እንግዳ ባህሪያት እና ገደቦች አሏቸው - ይህ በተለየ ትምህርት ውስጥ ይብራራል. ስለዚህ, አሁን በጣም አስፈላጊ የሆነውን "ማታለል" ብቻ እንመለከታለን, ይህም እኩል ኢንዴክስ ላላቸው ሥሮች ብቻ ነው የሚመለከተው. ይህንን ንብረት እንደ ቀመር እንጽፈው፡-

\[\sqrt (((x)^(2n)))=\ግራ| x\ቀኝ|\]

በሌላ አገላለጽ ቁጥርን ወደ እኩል ኃይል ከፍ ካደረግን እና ከዚያ የዚያን ኃይል ሥሩን ብንነቅል ሞጁሉን እንጂ ዋናውን ቁጥር አናገኝም። ይህ በቀላሉ ሊረጋገጥ የሚችል ቀላል ቲዎሪ ነው (አሉታዊ ያልሆኑ $ x$ን ለየብቻ እና ከዚያም አሉታዊ የሆኑትን ለየብቻ ማጤን በቂ ነው)። አስተማሪዎች ያለማቋረጥ ይነጋገራሉ, በእያንዳንዱ የትምህርት ቤት የመማሪያ መጽሐፍ ውስጥ ተሰጥቷል. ነገር ግን ምክንያታዊ ያልሆኑ እኩልታዎችን ለመፍታት እንደመጣ (ማለትም፣ አክራሪ ምልክት የያዙ እኩልታዎች)፣ ተማሪዎች በአንድ ድምፅ ይህንን ቀመር ይረሳሉ።

ጉዳዩን በዝርዝር ለመረዳት ለአንድ ደቂቃ ያህል ሁሉንም ቀመሮች እንርሳ እና ሁለት ቁጥሮችን በቀጥታ ወደ ፊት ለማስላት እንሞክር-

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\ግራ(-3 \ቀኝ)))^(4)))=?\]

እነዚህ በጣም ቀላል ምሳሌዎች ናቸው. ብዙ ሰዎች የመጀመሪያውን ምሳሌ ይፈታሉ, ነገር ግን ብዙ ሰዎች በሁለተኛው ላይ ይጣበቃሉ. ያለችግር ማንኛውንም እንደዚህ ያለ ቆሻሻ ለመፍታት ሁል ጊዜ ሂደቱን ያስቡበት-

1. በመጀመሪያ, ቁጥሩ ወደ አራተኛው ኃይል ይነሳል. ደህና, ቀላል ዓይነት ነው. በማባዛት ሰንጠረዥ ውስጥ እንኳን ሊገኝ የሚችል አዲስ ቁጥር ያገኛሉ;
2. እና አሁን ከዚህ አዲስ ቁጥር አራተኛውን ሥር ማውጣት አስፈላጊ ነው. እነዚያ። ሥሮች እና ኃይሎች “መቀነስ” አይከሰቱም - እነዚህ ተከታታይ እርምጃዎች ናቸው።

የመጀመሪያውን አገላለጽ እንይ፡ $\sqrt(((3)^(4)))$. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው በመጀመሪያ ከሥሩ ስር ያለውን አገላለጽ ማስላት ያስፈልግዎታል-

\[(((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

ከዚያ የቁጥር 81 አራተኛውን ስር እናወጣለን-

አሁን በሁለተኛው አገላለጽ ተመሳሳይ ነገር እናድርግ. በመጀመሪያ ፣ ቁጥሩን -3 ወደ አራተኛው ኃይል እናነሳለን ፣ ይህም በራሱ 4 ጊዜ ማባዛት ይጠይቃል።

\[((\ግራ(-3 \ቀኝ)))^(4))=\ግራ(-3 \ቀኝ)\cdot \ግራ(-3 \ቀኝ)\cdot \ግራ(-3 \ቀኝ)\cdot \\ ግራ(-3 \ቀኝ)=81\]

በምርቱ ውስጥ ያለው አጠቃላይ የመቀነስ ብዛት 4 ስለሆነ አወንታዊ ቁጥር አግኝተናል እና ሁሉም እርስ በእርስ ይሰረዛሉ (ከሁሉም በኋላ ፣ ሲቀነስ ፕላስ ይሰጣል)። ከዚያ ሥሩን እንደገና እናወጣለን-

በመርህ ደረጃ ይህ መስመር ሊጻፍ አይችልም ነበር፣ ምክንያቱም መልሱ ተመሳሳይ እንደሚሆን ምንም ሀሳብ ስላልሆነ። እነዚያ። የዚያው እኩል ኃይል ሥር ትንሳሾቹን “ያቃጥላል” እና በዚህ መልኩ ውጤቱ ከመደበኛ ሞጁል የማይለይ ነው-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & \sqrt(((3)^(4)))=\ግራ| 3 \ቀኝ|=3; \\ & \sqrt(((\ግራ(-3 \ቀኝ)))^(4)))=\ግራ| -3 \ቀኝ|=3። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

እነዚህ ስሌቶች ከአንድ ዲግሪ ሥር ከሚለው ፍቺ ጋር በጥሩ ሁኔታ ይስማማሉ፡ ውጤቱ ሁልጊዜ አሉታዊ ያልሆነ ነው፣ እና አክራሪ ምልክቱም ሁልጊዜ አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ይይዛል። አለበለዚያ ሥሩ አልተገለጸም.

በሂደቱ ላይ ማስታወሻ

1. ማስታወሻ $\sqrt(((a)^(2)))$ ማለት በመጀመሪያ ቁጥሩን $a$ እናካረርና በመቀጠል የተገኘውን እሴት ካሬ ሥሩ እንይዛለን። ስለዚህ ከ$((a)^(2))\ge 0$ በማንኛውም ሁኔታ ከስር ምልክት ስር ሁል ጊዜ አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር እንዳለ እርግጠኛ መሆን እንችላለን።
2. ግን $((\ ግራ(\sqrt(a) \ቀኝ)))^(2))$ የሚለው ፅንሰ-ሀሳብ፣ በተቃራኒው፣ በመጀመሪያ የአንድን ቁጥር $a$ ስር እናስገባለን እና ውጤቱን ብቻ እናሳያለን። ስለዚህ, $ a$ ቁጥር በምንም መልኩ አሉታዊ ሊሆን አይችልም - ይህ በትርጉሙ ውስጥ የተካተተ የግዴታ መስፈርት ነው.

ስለዚህ በምንም ሁኔታ ማንም ሰው ሳያስበው ሥሩንና ዲግሪውን መቀነስ የለበትም፣ በዚህም የዋናውን አገላለጽ “ቀላል ያደርገዋል”። ምክንያቱም ሥሩ አሉታዊ ቁጥር ካለው እና ገላጭነቱ እኩል ከሆነ, ብዙ ችግሮች እናገኛለን.

ይሁን እንጂ እነዚህ ሁሉ ችግሮች ለጠቋሚዎች እንኳን ብቻ ጠቃሚ ናቸው.

የመቀነስ ምልክቱን ከስር ምልክት ስር በማስወገድ ላይ

በተፈጥሮ ፣ ያልተለመደ ገላጭ ያላቸው ሥሮች እንዲሁ የራሳቸው ባህሪ አላቸው ፣ ይህም በመርህ ደረጃ ከአንዱ ጋር እንኳን የለም። ይኸውም፡-

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

በአጭር አነጋገር፣ ደመወዙን ከአስደናቂ ዲግሪ ሥሮች ምልክት ስር ማስወገድ ይችላሉ። ይህ ሁሉንም ድክመቶች "እንዲጥሉ" የሚያስችልዎ በጣም ጠቃሚ ንብረት ነው.

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \ግራ(-\sqrt(32) \ቀኝ)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ይህ ቀላል ንብረት ብዙ ስሌቶችን በእጅጉ ያቃልላል. አሁን መጨነቅ አያስፈልገዎትም: አሉታዊ አገላለጽ ከሥሩ ስር ተደብቆ ቢሆንስ, ነገር ግን በሥሩ ላይ ያለው ዲግሪ እኩል ሆኖ ቢገኝስ? ከሥሮቹ ውጭ ያሉትን ሁሉንም ጥቃቅን ነገሮች "ማውጣቱ" ብቻ በቂ ነው, ከዚያ በኋላ እርስ በርስ ሊባዙ, ሊከፋፈሉ እና በአጠቃላይ ብዙ አጠራጣሪ ነገሮችን ሊያደርጉ ይችላሉ, ይህም በ "ክላሲካል" ሥሮች ውስጥ ወደ እኛ እንደሚመራን ዋስትና ተሰጥቶናል. ስህተት.

እና እዚህ ሌላ ትርጓሜ ወደ ትእይንቱ ይመጣል - ተመሳሳይ ትርጓሜ በአብዛኛዎቹ ትምህርት ቤቶች ምክንያታዊ ያልሆኑ አባባሎችን ማጥናት ይጀምራሉ። እና ያለዚህ ምክኒያታችን ያልተሟላ ይሆናል. እንገናኝ!

አርቲሜቲክ ሥር

ከስር ምልክቱ ስር አዎንታዊ ቁጥሮች ብቻ ሊኖሩ እንደሚችሉ ወይም በጣም በከፋ ሁኔታ ዜሮ ሊሆኑ እንደሚችሉ እናስብ። ስለ እኩል / ያልተለመዱ አመልካቾች እንርሳ, ከላይ የተገለጹትን ሁሉንም ትርጓሜዎች እንርሳ - እኛ የምንሰራው አሉታዊ ባልሆኑ ቁጥሮች ብቻ ነው. እንግዲህ ምን አለ?

እና ከዚያ በኋላ የሂሳብ ሥር እናገኛለን - በከፊል ከ “መደበኛ” ትርጉሞቻችን ጋር ይደራረባል ፣ ግን አሁንም ከእነሱ ይለያል።

ፍቺ የ$n$th ዲግሪ አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር $a$ አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር $b$ እንደ $((b)^(n))=a$ ነው።

እንደምናየው, ከአሁን በኋላ እኩልነት ፍላጎት የለንም. በምትኩ, አዲስ እገዳ ታየ: አክራሪ አገላለጽ አሁን ሁልጊዜ አሉታዊ አይደለም, እና ሥሩ ራሱ ደግሞ አሉታዊ አይደለም.

የሒሳብ ሥሩ ከወትሮው እንዴት እንደሚለይ በተሻለ ለመረዳት፣ እኛ የምናውቃቸውን የካሬውን እና የኩቢክ ፓራቦላ ግራፎችን ይመልከቱ።

አርቲሜቲክ ስር መፈለጊያ ቦታ - አሉታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች

እንደሚመለከቱት ፣ ከአሁን በኋላ እኛ የምንፈልገው በእነዚያ የግራፍ ቁርጥራጮች ላይ ብቻ ነው በአንደኛው መጋጠሚያ ሩብ ውስጥ የሚገኙት - መጋጠሚያዎች $ x$ እና $y$ አዎንታዊ (ወይም ቢያንስ ዜሮ) ናቸው። ከሥሩ ስር አሉታዊ ቁጥር የማስቀመጥ መብት እንዳለን ወይም እንደሌለን ለመረዳት ከአሁን በኋላ ጠቋሚውን ማየት አያስፈልግዎትም። ምክንያቱም አሉታዊ ቁጥሮች በመርህ ደረጃ አይቆጠሩም.

እንዲህ ብለህ ልትጠይቅ ትችላለህ፡- “ደህና፣ ለምን እንዲህ ያለ ያልተነካ ፍቺ ያስፈልገናል?” ወይም፡ "ከላይ በተሰጠው መደበኛ ትርጉም ለምን ማግኘት አልቻልንም?"

ደህና፣ አንድ ንብረት ብቻ እሰጣለሁ በዚህ ምክንያት አዲሱ ፍቺ ተገቢ ይሆናል። ለምሳሌ፣ የትርጓሜ ህግ፡-

\[\sqrt[n](a)=\sqrt((((a)^(k))))\]

እባክዎን ያስተውሉ-አክራሪ አገላለጹን ወደ ማንኛውም ኃይል ማሳደግ እና በተመሳሳይ ጊዜ የስር አርቢውን በተመሳሳይ ኃይል ማባዛት እንችላለን - ውጤቱም ተመሳሳይ ቁጥር ይሆናል! ምሳሌዎች እነኚሁና፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ታዲያ ምን ትልቅ ነገር አለ? ለምን ቀደም ብለን ይህን ማድረግ አልቻልንም? ለምን እንደሆነ እነሆ። እስቲ አንድ ቀላል አገላለጽ እናስብ፡-$\sqrt(-2)$ - ይህ ቁጥር በእኛ ክላሲካል አረዳድ በጣም የተለመደ ነው ነገርግን ከሂሳብ ሥረ-ሥር አንጻር ሲታይ በፍጹም ተቀባይነት የለውም። ለመለወጥ እንሞክር፡-

$\ጀማሪ (አሰላለፍ) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\ግራ(-2 \ቀኝ)))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\\መጨረሻ(align)$

እንደሚመለከቱት, በመጀመሪያው ጉዳይ ላይ ተቀናሹን ከአክራሪው ስር አውጥተናል (አራቢው ያልተለመደ ስለሆነ ሙሉ መብት አለን) እና በሁለተኛው ጉዳይ ላይ ከላይ ያለውን ቀመር ተጠቅመንበታል. እነዚያ። ከሂሳብ እይታ አንጻር ሁሉም ነገር የሚከናወነው እንደ ደንቦቹ ነው.

WTF?! ተመሳሳይ ቁጥር እንዴት አዎንታዊ እና አሉታዊ ሊሆን ይችላል? በጭራሽ። ለአዎንታዊ ቁጥሮች እና ዜሮ በጣም ጥሩ የሚሰራው የቃላት አገባብ ቀመር በአሉታዊ ቁጥሮች ውስጥ ሙሉ መናፍቅ መፍጠር ይጀምራል።

እንዲህ ዓይነቱን አሻሚነት ለማስወገድ ነበር የሂሳብ ስሮች የተፈለሰፉት። ሁሉንም ንብረቶቻቸውን በዝርዝር የምንመለከትበት የተለየ ትልቅ ትምህርት ለእነሱ ተሰጥቷል ። ስለዚህ አሁን በእነሱ ላይ አናተኩርም - ትምህርቱ ቀድሞውኑ በጣም ረጅም ሆኗል ።

አልጀብራ ሥር፡ የበለጠ ለማወቅ ለሚፈልጉ

ይህን ርዕስ በተለየ አንቀጽ ውስጥ ማስቀመጥ ወይም አለማስቀመጥ ለረጅም ጊዜ አሰብኩ. በመጨረሻ እዚህ ልተወው ወሰንኩ። ይህ ቁሳቁስ ሥሮቹን በተሻለ ሁኔታ ለመረዳት ለሚፈልጉ የታሰበ ነው - ከአሁን በኋላ በአማካይ “ትምህርት ቤት” ደረጃ ላይ አይደለም ፣ ግን ወደ ኦሎምፒያድ ደረጃ ቅርብ በሆነ።

ስለዚህ፡ የቁጥር $n$th ስር ከሚለው “ክላሲካል” ፍቺ እና ተያያዥነት ያለው ክፍፍል ወደ እኩል እና እንግዳ ገላጭ በተጨማሪ፣ በእኩልነት እና በሌሎች ረቂቅ ነገሮች ላይ ያልተመሠረተ የበለጠ “አዋቂ” ትርጉም አለ። ይህ አልጀብራ ሥር ይባላል።

ፍቺ የማንኛውም $a$ አልጀብራ $n$ ኛ ሥር የሁሉም ቁጥሮች ስብስብ ነው $b$ እንደ $((b)^(n))=a$። ለእንደዚህ አይነት ሥሮች ምንም የተረጋገጠ ስያሜ የለም ፣ ስለዚህ እኛ ሰረዝን ከላይ እናስቀምጣለን-

\[\overline (\sqrt[n](a))=\ግራ\( b\ግራ| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \ቀኝ \ቀኝ\) \]

በትምህርቱ መጀመሪያ ላይ ከተሰጠው መደበኛ ትርጉም መሠረታዊው ልዩነት የአልጀብራ ሥር የተወሰነ ቁጥር ሳይሆን ስብስብ ነው። እና ከእውነተኛ ቁጥሮች ጋር ስለምንሰራ, ይህ ስብስብ በሶስት ዓይነቶች ብቻ ነው የሚመጣው.

1. ባዶ ስብስብ። ከአሉታዊ ቁጥር እኩል የሆነ የአልጀብራ ሥር ማግኘት ሲፈልጉ ይከሰታል።
2. አንድ ነጠላ ንጥረ ነገር የያዘ ስብስብ። ሁሉም ያልተለመዱ ኃይሎች እና የዜሮ ኃይሎች ሥሮች በዚህ ምድብ ውስጥ ይወድቃሉ;
3. በመጨረሻም ስብስቡ ሁለት ቁጥሮችን ሊያካትት ይችላል - ተመሳሳይ $((x)__(1))$ እና $((x)__(2))=-((x)_(1))$ ላይ ያየን ግራፍ ኳድራቲክ ተግባር. በዚህ መሠረት, እንዲህ ዓይነቱ ዝግጅት የሚቻለው የዲግሪውን ሥር ከአዎንታዊ ቁጥር ሲወጣ ብቻ ነው.

የመጨረሻው ጉዳይ የበለጠ ትኩረት ሊሰጠው ይገባል. ልዩነቱን ለመረዳት ጥቂት ምሳሌዎችን እናንሳ።

ለምሳሌ። መግለጫዎቹን ገምግሙ፡-

\[\ overline (\sqrt (4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16))።\]

መፍትሄ። የመጀመሪያው አገላለጽ ቀላል ነው-

\[\ኦቨርላይን(\sqrt(4))=\ግራ\(2;-2 \ቀኝ\)\]

የስብስቡ አካል የሆኑት ሁለት ቁጥሮች ናቸው። ምክንያቱም እያንዳንዳቸው ስኩዌር አራት ይሰጣሉ.

\[\ኦቨርላይን(\sqrt(-27))=\ግራ\(-3 \ቀኝ\)\]

እዚህ አንድ ቁጥር ብቻ የያዘ ስብስብ እናያለን. የስር አርቢው እንግዳ ስለሆነ ይህ በጣም ምክንያታዊ ነው።

በመጨረሻ፣ የመጨረሻው አገላለጽ፡-

\[\overline (\sqrt(-16))=\varnothing \]

ባዶ ስብስብ አግኝተናል። ምክንያቱም ወደ አራተኛው (ማለትም, እንኳን!) ኃይል ሲነሳ, አሉታዊውን ቁጥር -16 የሚሰጠን አንድ እውነተኛ ቁጥር የለም.

የመጨረሻ ማስታወሻ. እባክዎን ያስተውሉ፡ በእውነተኛ ቁጥሮች የምንሰራውን በየቦታው ያስተዋልኩት በአጋጣሚ አይደለም። ውስብስብ ቁጥሮችም ስላሉ - እዚያ $\sqrt(-16)$ እና ሌሎች ብዙ እንግዳ ነገሮችን ማስላት በጣም ይቻላል።

ሆኖም፣ በዘመናዊ የትምህርት ቤት የሒሳብ ኮርሶች ውስጥ ውስብስብ ቁጥሮች በጭራሽ አይታዩም። ባለሥልጣኖቻችን ርዕሱን “ለመረዳት በጣም ከባድ” አድርገው ስለሚቆጥሩት ከአብዛኛዎቹ የመማሪያ መጽሐፍት ተወግደዋል።