ቤት » የተመጣጠነ ምግብ » ቀላል ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት አልጎሪዝም። ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት መሰረታዊ ዘዴዎች

ቀላል ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት አልጎሪዝም። ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት መሰረታዊ ዘዴዎች

የቪድዮ ኮርስ "A አግኝ" የተዋሃደ የስቴት ፈተናን በሂሳብ ከ60-65 ነጥብ በተሳካ ሁኔታ ለማለፍ አስፈላጊ የሆኑትን ሁሉንም ርዕሶች ያካትታል። ሙሉ በሙሉ ሁሉንም ተግባራት 1-13 የፕሮፋይል የተዋሃደ የስቴት ፈተና በሂሳብ። መሰረታዊ የተዋሃደ የስቴት ፈተናን በሂሳብ ለማለፍም ተስማሚ። የተዋሃደ የስቴት ፈተናን ከ90-100 ነጥብ ለማለፍ ከፈለጉ ክፍል 1ን በ30 ደቂቃ ውስጥ እና ያለስህተት መፍታት ያስፈልግዎታል!

ከ10-11ኛ ክፍል ለተዋሃደው የስቴት ፈተና የመሰናዶ ትምህርት እንዲሁም ለመምህራን። በሒሳብ (የመጀመሪያዎቹ 12 ችግሮች) እና ችግር 13 (ትሪጎኖሜትሪ) የተዋሃደ የስቴት ፈተና ክፍል 1ን ለመፍታት የሚያስፈልግዎ ነገር ሁሉ። እና ይህ በተዋሃደ የስቴት ፈተና ላይ ከ 70 ነጥብ በላይ ነው, እና አንድም ባለ 100-ነጥብ ተማሪም ሆነ የሰብአዊነት ተማሪ ያለነሱ ማድረግ አይችሉም.

ሁሉም አስፈላጊ ንድፈ ሐሳብ. የተዋሃደ የስቴት ፈተና ፈጣን መፍትሄዎች፣ ወጥመዶች እና ሚስጥሮች። ከ FIPI ተግባር ባንክ ሁሉም ወቅታዊ የክፍል 1 ተግባራት ተተነተነዋል። ኮርሱ የተዋሃደ የስቴት ፈተና 2018 መስፈርቶችን ሙሉ በሙሉ ያሟላል።

ኮርሱ እያንዳንዳቸው 2.5 ሰአታት 5 ትላልቅ ርዕሶችን ይዟል። እያንዳንዱ ርዕስ ከባዶ፣ ቀላል እና ግልጽ ነው።

በመቶዎች የሚቆጠሩ የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ተግባራት። የቃል ችግሮች እና የመሆን ፅንሰ-ሀሳብ። ችግሮችን ለመፍታት ስልተ ቀመሮችን ለማስታወስ ቀላል እና ቀላል። ጂኦሜትሪ ቲዎሪ ፣ የማጣቀሻ ቁሳቁስ ፣ ሁሉንም የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ተግባራት ትንተና። ስቴሪዮሜትሪ ተንኮለኛ መፍትሄዎች ፣ ጠቃሚ የማጭበርበሪያ ወረቀቶች ፣ የቦታ ምናብ እድገት። ትሪጎኖሜትሪ ከባዶ ወደ ችግር 13. ከመጨናነቅ ይልቅ መረዳት። ስለ ውስብስብ ጽንሰ-ሐሳቦች ግልጽ ማብራሪያዎች. አልጀብራ ስሮች፣ ሃይሎች እና ሎጋሪዝም፣ ተግባር እና ተዋጽኦዎች። የተዋሃደ የስቴት ፈተና ክፍል 2 ውስብስብ ችግሮችን ለመፍታት መሠረት።

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ቀላል ርዕስ አይደሉም። በጣም የተለያዩ ናቸው።) ለምሳሌ እነዚህ፡-

ኃጢአት 2 x + cos3x = ctg5x

ኃጢአት (5x+π /4) = አልጋ (2x-π /3)

six + cos2x + tg3x = ctg4x

እና የመሳሰሉት...

ግን እነዚህ (እና ሁሉም) ትሪግኖሜትሪክ ጭራቆች ሁለት የተለመዱ እና አስገዳጅ ባህሪያት አሏቸው። በመጀመሪያ - አያምኑም - በሂሳብ ስሌት ውስጥ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት አሉ.) ሁለተኛ: ሁሉም የ x መግለጫዎች ይገኛሉ. በእነዚህ ተመሳሳይ ተግባራት ውስጥ.እና እዚያ ብቻ! X የሆነ ቦታ ከታየ ውጭ ፣ለምሳሌ፡- sin2x + 3x = 3፣ይህ ቀድሞውኑ የተደባለቀ ዓይነት እኩል ይሆናል. እንደነዚህ ያሉት እኩልታዎች የግለሰብ አቀራረብ ያስፈልጋቸዋል. እዚህ አንመለከታቸውም።

በዚህ ትምህርት ውስጥም ክፉ እኩልታዎችን አንፈታም.) እዚህ ጋር እንገናኛለን በጣም ቀላሉ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች.ለምን፧ አዎ ምክንያቱም መፍትሄው ማንኛውምትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ሁለት ደረጃዎችን ያቀፈ ነው። በመጀመሪያው ደረጃ, የክፉው እኩልነት በተለያዩ ለውጦች አማካኝነት ወደ ቀላል ይቀንሳል. በሁለተኛው ላይ, ይህ ቀላሉ እኩልታ ተፈትቷል. አለበለዚያ, ምንም መንገድ.

ስለዚህ, በሁለተኛው ደረጃ ላይ ችግሮች ካጋጠሙዎት, የመጀመሪያው ደረጃ ብዙም ትርጉም የለውም.)

የአንደኛ ደረጃ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ምን ይመስላሉ?

sinx = ሀ

cosx = አ

tgx = አ

ctgx = አ

እዚህ ሀ ለማንኛውም ቁጥር ይቆማል. ማንኛውም።

በነገራችን ላይ፣ በአንድ ተግባር ውስጥ ንፁህ X ላይኖር ይችላል፣ ነገር ግን አንዳንድ አይነት አገላለጾች፣ እንደ፡-

cos (3x+π /3) = 1/2

እና የመሳሰሉት። ይህ ህይወትን ያወሳስበዋል፣ ነገር ግን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታን የመፍታት ዘዴን አይጎዳም።

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን እንዴት መፍታት ይቻላል?

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች በሁለት መንገዶች ሊፈቱ ይችላሉ. የመጀመሪያው መንገድ: አመክንዮ እና ትሪግኖሜትሪክ ክብ በመጠቀም. ይህንን መንገድ እዚህ እንመለከታለን. ሁለተኛው መንገድ - ማህደረ ትውስታን እና ቀመሮችን በመጠቀም - በሚቀጥለው ትምህርት ውስጥ ይብራራል.

የመጀመሪያው መንገድ ግልጽ፣ አስተማማኝ እና ለመርሳት አስቸጋሪ ነው። ሎጂክ ከማስታወስ የበለጠ ጠንካራ ነው!)

ትሪግኖሜትሪክ ክበብ በመጠቀም እኩልታዎችን መፍታት።

የአንደኛ ደረጃ አመክንዮ እና ትሪግኖሜትሪክ ክብ የመጠቀም ችሎታን እናጨምራለን ። እንዴት እንደሆነ አታውቅም? ሆኖም ግን ... በትሪግኖሜትሪ ውስጥ አስቸጋሪ ጊዜ ይኖርዎታል ...) ግን ምንም አይደለም. ትምህርቶቹን ተመልከት "Trigonometric circle...... ምንድን ነው?" እና "በትሪግኖሜትሪክ ክበብ ላይ ማዕዘኖችን መለካት." እዚያ ሁሉም ነገር ቀላል ነው. ከመማሪያ መጽሐፍት በተለየ...)

ኦህ ታውቃለህ!? እና "ተግባራዊ ስራን ከትሪግኖሜትሪክ ክበብ" ጋር እንኳን ተማርኩ!? እንኳን ደስ አላችሁ። ይህ ርዕስ ለእርስዎ ቅርብ እና ለመረዳት የሚያስቸግር ይሆናል።) በተለይ የሚያስደስተው የትሪግኖሜትሪክ ክበብ የትኛውን እኩልነት እንደሚፈቱ ግድ የለውም። ሳይን, ኮሳይን, ታንጀንት, ኮታንጀንት - ሁሉም ነገር ለእሱ ተመሳሳይ ነው. አንድ የመፍትሄ መርህ ብቻ ነው.

ስለዚህ ማንኛውንም ኤሌሜንታሪ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ እንወስዳለን። ቢያንስ ይህ፡-

cosx = 0.5

X ማግኘት አለብን። በሰው ቋንቋ መናገር ያስፈልግዎታል ኮሳይኑ 0.5 የሆነውን አንግል (x) ያግኙ።

ከዚህ ቀደም ክበቡን እንዴት እንጠቀም ነበር? በላዩ ላይ አንግል አነሳን. በዲግሪዎች ወይም ራዲያን. እና ወዲያውኑ አየሁ የዚህ አንግል ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት. አሁን ተቃራኒውን እናድርግ። በክበቡ ላይ አንድ ኮሳይን ከ 0.5 ጋር እኩል እና ወዲያውኑ እንሳል እናያለን ጥግ. የቀረው መልሱን መፃፍ ብቻ ነው።) አዎ፣ አዎ!

ክበብ ይሳሉ እና ኮሳይን ከ 0.5 ጋር እኩል ምልክት ያድርጉ። በኮሳይን ዘንግ ላይ, በእርግጥ. እንደዚህ፡-

አሁን ይህ ኮሳይን የሚሰጠንን አንግል እንሳበው። መዳፊትዎን በሥዕሉ ላይ አንዣብቡ (ወይም በጡባዊዎ ላይ ያለውን ሥዕል ይንኩ) እና ታያለህይህ በጣም ጥግ X.

የየትኛው አንግል ኮሳይን 0.5 ነው?

x = π /3

cos 60°=ኮስ( π /3) = 0,5

አንዳንድ ሰዎች በጥርጣሬ ይንጫጫሉ ፣ አዎ ... ልክ ፣ ሁሉም ነገር ቀድሞውኑ ግልፅ በሚሆንበት ጊዜ ክበብ መሥራት ጠቃሚ ነበር… በእርግጥ ፣ መሳቅ ይችላሉ…) እውነታው ግን ይህ የተሳሳተ መልስ ነው። ወይም ይልቁንስ በቂ ያልሆነ። የክበብ ጠያቂዎች 0.5 ኮሳይን የሚሰጡ ሌሎች አጠቃላይ ማዕዘኖች እንዳሉ ይገነዘባሉ።

የሚንቀሳቀሰውን ጎን OA ካዞሩ ሙሉ መዞር, ነጥብ A ወደ መጀመሪያው ቦታው ይመለሳል. ከ 0.5 ጋር እኩል በሆነ ተመሳሳይ ኮሳይን. እነዚያ። አንግል ይለወጣልበ 360 ° ወይም 2π ራዲያን, እና ኮሳይን - አይ.አዲሱ አንግል 60° + 360° = 420° ለኛ እኩልታም መፍትሄ ይሆናል።

እንደዚህ ያሉ የተሟላ አብዮቶች ቁጥር የሌለው ቁጥር ሊደረግ ይችላል... እና እነዚህ ሁሉ አዳዲስ ማዕዘኖች ለትሪግኖሜትሪክ እኩልታችን መፍትሄዎች ይሆናሉ። እና ሁሉም በምላሹ በሆነ መንገድ መፃፍ አለባቸው። ሁሉም።አለበለዚያ ውሳኔው አይቆጠርም, አዎ ...)

ሒሳብ ይህን በቀላሉ እና በሚያምር ሁኔታ ማድረግ ይችላል። በአንድ አጭር መልስ ጻፍ ማለቂያ የሌለው ስብስብውሳኔዎች. ለእኩልታችን ምን እንደሚመስል እነሆ፡-

x = π /3 + 2π n፣ n ∈ ዜድ

እኔ እፈታዋለሁ። አሁንም ጻፍ ትርጉም ያለውአንዳንድ ሚስጥራዊ ፊደላትን ከመሳል የበለጠ አስደሳች ነው ፣ አይደል?)

π /3 - ይህ እኛ ተመሳሳይ ጥግ ነው አየሁበክበብ ላይ እና ተወስኗልእንደ ኮሳይን ሰንጠረዥ.

2π በራዲያን ውስጥ አንድ ሙሉ አብዮት ነው።

n - ይህ የተሟሉ ሰዎች ቁጥር ነው, ማለትም. ሙሉራፒኤም እንደሆነ ግልጽ ነው። n ከ 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... እና የመሳሰሉት ጋር እኩል ሊሆን ይችላል. አጭር መግቢያው እንደሚያመለክተው፡-

n ∈ ዘ

n የ() ነው ∈ ኢንቲጀሮች ስብስብ ( ዜድ ). በነገራችን ላይ ከደብዳቤው ይልቅ n ፊደሎች በደንብ ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ k, m, t ወዘተ.

ይህ ምልክት ማለት ማንኛውንም ኢንቲጀር መውሰድ ይችላሉ። n . ቢያንስ -3፣ ቢያንስ 0፣ ቢያንስ +55። የፈለጉትን. ይህንን ቁጥር ወደ መልሱ ከቀየሩት የተወሰነ ማዕዘን ያገኛሉ፣ ይህም በእርግጠኝነት ለጠንካራ እኩልታችን መፍትሄ ይሆናል።)

ወይም፣ በሌላ አነጋገር፣ x = π /3 - ይህ ማለቂያ የሌለው ስብስብ ብቸኛው ሥር ነው። ሌሎቹን ሥሮች ለማግኘት ማንኛውንም ቁጥር ሙሉ አብዮቶች ወደ π/3 ማከል በቂ ነው። n ) በራዲያን ውስጥ። እነዚያ። 2πn ራዲያን.

ሁሉም? አይ። ሆን ብዬ ደስታን አራዝማለሁ። የበለጠ ለማስታወስ።) ለእኩልታችን ከተሰጡት መልሶች በከፊል ብቻ ነው የተቀበልነው። የመፍትሄውን የመጀመሪያ ክፍል እንደሚከተለው እጽፋለሁ-

x 1 = π /3 + 2π n፣ n ∈ ዜድ

x 1 - አንድ ሥር ብቻ ሳይሆን ሙሉ ተከታታይ ሥሮች, በአጭር ቅርጽ የተጻፉ ናቸው.

ግን ደግሞ 0.5 ኮሳይን የሚሰጡ ማዕዘኖችም አሉ!

መልሱን ወደ ጻፍንበት ፎቶአችን እንመለስ። እነሆ፡-

መዳፊትዎን በምስሉ ላይ አንዣብቡ እና እናያለንሌላ አንግል በተጨማሪም ኮሳይን 0.5 ይሰጣል.ከምን ጋር እኩል ነው ብለው ያስባሉ? ትሪያንግሎቹ አንድ ናቸው... አዎ! ከማዕዘን ጋር እኩል ነው X , በአሉታዊ አቅጣጫ ብቻ ዘግይቷል. ይህ ጥግ ነው። -X. ግን አስቀድመን x አስልተናል. π/3 ወይም 60° ስለዚህ፣ በደህና መፃፍ እንችላለን፡-

x 2 = - π /3

ደህና ፣ በእርግጥ ፣ በሙሉ አብዮቶች የተገኙትን ሁሉንም ማዕዘኖች እንጨምራለን-

x 2 = - π /3 + 2π n፣ n ∈ ዜድ

ያ ብቻ ነው።) በትሪግኖሜትሪክ ክበብ ላይ እኛ አየሁ(በእርግጥ ማን ያውቃል)) ሁሉምኮሳይን 0.5 የሚሰጡ ማዕዘኖች. እና እነዚህን ማዕዘኖች በአጭር የሂሳብ ቅርጽ ጻፍናቸው. መልሱ ሁለት ማለቂያ የሌላቸው ተከታታይ ስሮች አስገኝቷል፡

x 1 = π /3 + 2π n፣ n ∈ ዜድ

x 2 = - π /3 + 2π n፣ n ∈ ዜድ

ትክክለኛው መልስ ይህ ነው።

ተስፋ፣ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት አጠቃላይ መርህክብ መጠቀም ግልጽ ነው. በክበብ ላይ ከተሰጠው ቀመር ኮሳይን (ሳይን, ታንጀንት, ኮታንጀንት) ምልክት እናደርጋለን, ከእሱ ጋር የሚዛመዱትን ማዕዘኖች ይሳሉ እና መልሱን እንጽፋለን.እርግጥ ነው, እኛ ምን ዓይነት ማዕዘኖች እንደሆንን ማወቅ አለብን አየሁበክበቡ ላይ. አንዳንድ ጊዜ በጣም ግልጽ አይደለም. ደህና፣ እዚህ አመክንዮ ያስፈልጋል አልኩኝ።)

ለምሳሌ፣ ሌላ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ እንይ፡-

እባክዎን ግምት ውስጥ ያስገቡ ቁጥር 0.5 በቀመር ውስጥ ብቸኛው ሊሆን የሚችል ቁጥር አይደለም!) ከሥሮች እና ክፍልፋዮች ይልቅ ለመጻፍ ለእኔ የበለጠ ምቹ ነው።

በአጠቃላይ መርህ መሰረት እንሰራለን. አንድ ክበብ እንሰራለን, ምልክት (በሳይን ዘንግ ላይ, በእርግጥ!) 0.5. ከዚህ ሳይን ጋር የሚዛመዱትን ሁሉንም ማዕዘኖች በአንድ ጊዜ እናስባለን. ይህንን ምስል አግኝተናል-

መጀመሪያ አንግልን እንይ X በመጀመሪያው ሩብ ዓመት ውስጥ. የሳይንስ ሰንጠረዥን እናስታውሳለን እና የዚህን አንግል ዋጋ እንወስናለን. ቀላል ጉዳይ ነው፡-

x = π /6

ስለ ሙሉ ተራዎች እናስታውሳለን እና በንጹህ ህሊና ፣ የመጀመሪያዎቹን ተከታታይ መልሶች እንጽፋለን-

x 1 = π /6 + 2π n፣ n ∈ ዚ

ግማሹ ስራው ተከናውኗል. አሁን ግን መወሰን አለብን ሁለተኛ ጥግ...ኮሳይን ከመጠቀም የበለጠ ተንኮለኛ ነው፣ አዎ... አመክንዮ ግን ያድነናል! ሁለተኛውን አንግል እንዴት እንደሚወስኑ በ x በኩል? ቀላል ነው! በሥዕሉ ላይ ያሉት ሦስት ማዕዘኖች ተመሳሳይ ናቸው, እና ቀይ ማዕዘን X ከማዕዘን ጋር እኩል ነው X . ከአንግል π ብቻ በአሉታዊ አቅጣጫ ይቆጠራል. ለዚያም ነው ቀይ ቀለም ያለው.) እና ለመልሱ አንድ ማዕዘን ያስፈልገናል, በትክክል የሚለካው, ከአዎንታዊው ከፊል ዘንግ ኦክስ, ማለትም. ከ 0 ዲግሪ ማዕዘን.

ጠቋሚውን በስዕሉ ላይ አንዣብበን እና ሁሉንም ነገር እናያለን. ስዕሉን ላለማወሳሰብ የመጀመሪያውን ጥግ አስወግጄዋለሁ. የምንፈልገው (በአረንጓዴ የተሳለ) አንግል ከሚከተሉት ጋር እኩል ይሆናል፡

π - x

X ይህንን እናውቃለን π /6 . ስለዚህ, ሁለተኛው ማዕዘን ይሆናል:

π - π /6 = 5π /6

ሙሉ አብዮቶችን ስለማከል እንደገና እናስታውሳለን እና የሁለተኛውን ተከታታይ መልሶች ጻፍ፡-

x 2 = 5π /6 + 2π n፣ n ∈ ዜድ

ያ ነው. የተሟላ መልስ ሁለት ተከታታይ ሥሮችን ያቀፈ ነው-

x 1 = π /6 + 2π n፣ n ∈ ዚ

x 2 = 5π /6 + 2π n፣ n ∈ ዜድ

የታንጀንት እና የኮታንጀንት እኩልታዎች ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ተመሳሳይ አጠቃላይ መርህ በመጠቀም በቀላሉ ሊፈቱ ይችላሉ። በትሪግኖሜትሪክ ክበብ ላይ ታንጀንት እና ኮታንጀንት እንዴት መሳል እንደሚችሉ ካወቁ።

ከላይ ባሉት ምሳሌዎች የሲን እና ኮሳይን የሠንጠረዥ ዋጋ ተጠቀምኩ: 0.5. እነዚያ። ተማሪው ከሚያውቃቸው ትርጉሞች አንዱ ተገድዷል።አሁን አቅማችንን እናስፋፋ ሁሉም ሌሎች እሴቶች.ይወስኑ እና ይወስኑ!)

ስለዚህ፣ ይህንን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ መፍታት አለብን እንበል፡-

በአጭር ሰንጠረዦች ውስጥ እንደዚህ ያለ የኮሳይን ዋጋ የለም. ይህንን አስከፊ እውነታ በቅዝቃዛነት ችላ እንላለን። ክበብ ይሳሉ, በኮሳይን ዘንግ ላይ 2/3 ምልክት ያድርጉ እና ተዛማጅ ማዕዘኖችን ይሳሉ. ይህንን ምስል እናገኛለን.

በመጀመሪያ በመጀመሪያ ሩብ ውስጥ ያለውን አንግል እንመልከት። ምነው x ምን እኩል እንደሆነ ብናውቅ መልሱን ወዲያው እንጽፍልን ነበር! አናውቅም... ውድቀት!? ተረጋጋ! ሂሳብ የራሱን ሰዎች ችግር ውስጥ አይጥልም! ለዚህ ጉዳይ አርክ ኮሳይን አመጣች። አላውቅም፧ በከንቱ። ይወቁ፣ ከሚያስቡት በላይ በጣም ቀላል ነው። በዚህ አገናኝ ላይ ስለ “ተገላቢጦሽ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት” አንድም ተንኮለኛ ፊደል የለም… ይህ በዚህ ርዕስ ውስጥ እጅግ የላቀ ነው።

በእውቀት ላይ ከሆንክ ለራስህ ብቻ በል፡- “X ኮሳይኑ ከ2/3 ጋር እኩል የሆነ አንግል ነው። እና ወዲያውኑ ፣ በአርክ ኮሳይን ትርጉም ብቻ ፣ መጻፍ እንችላለን-

ስለ ተጨማሪ አብዮቶች እናስታውሳለን እና የመጀመሪያዎቹን የትሪግኖሜትሪክ እኩልታ ስሮች በእርጋታ እንጽፋለን፡

x 1 = አርክኮስ 2/3 + 2π n፣ n ∈ ዚ

ለሁለተኛው አንግል ሁለተኛው ተከታታይ ሥሮች በራስ-ሰር ይጻፋሉ። ሁሉም ነገር አንድ ነው፣ X ብቻ (arccos 2/3) ከሚቀነስ ጋር ይሆናል፡-

x 2 = - አርክኮስ 2/3 + 2π n፣ n ∈ ዚ

እና ያ ነው! ትክክለኛው መልስ ይህ ነው። ከሠንጠረዥ ዋጋዎች የበለጠ ቀላል። ምንም ነገር ማስታወስ አያስፈልግም.) በነገራችን ላይ, በጣም በትኩረት የሚከታተሉ ሰዎች ይህ ስዕል በአርክ ኮሳይን በኩል መፍትሄ እንደሚያሳይ ያስተውላሉ. በመሠረቱ, ለቀመር cosx = 0.5 ከሥዕሉ የተለየ አይደለም.

ልክ ነው! አጠቃላይ መርህ ብቻ ነው! ሆን ብዬ ሁለት ተመሳሳይ ምስሎችን ሣልኩ። ክበቡ አንግል ያሳየናል X እንደ አጋጣሚ ሆኖ። የጠረጴዛ ኮሳይን ይሁን አይሁን ለሁሉም ሰው የማይታወቅ ነው። ይህ ምን አይነት አንግል ነው፣ π/3፣ ወይም ምን አይነት አርክ ኮሳይን ነው - እኛ የምንወስነው ይህ ነው።

ከሳይን ጋር ተመሳሳይ ዘፈን። ለምሳሌ፡-

እንደገና አንድ ክበብ ይሳሉ, ሳይን ከ 1/3 ጋር እኩል የሆነ ምልክት ያድርጉ, ማዕዘኖቹን ይሳሉ. የምናገኘው ምስል ይህ ነው፡-

እና እንደገና ምስሉ ከሞላ ጎደል ልክ እንደ እኩልታው ተመሳሳይ ነው። six = 0.5.እንደገና ከመጀመሪያው ሩብ ውስጥ ከማዕዘን እንጀምራለን. የእሱ ሳይን 1/3 ከሆነ X ምን ያህል እኩል ነው? ምንም ጥያቄ የለም!

አሁን የመጀመሪያው እሽግ ሥሮች ዝግጁ ናቸው-

x 1 = አርክሲን 1/3 + 2π n፣ n ∈ ዜድ

ከሁለተኛው አንግል ጋር እንገናኝ. በምሳሌው 0.5 የሰንጠረዥ እሴት ጋር እኩል ነበር፡-

π - x

እዚህም እንዲሁ ተመሳሳይ ይሆናል! x ብቻ የተለየ ነው፣ አርክሲን 1/3። ታዲያ ምን!? ሁለተኛውን የስር እሽግ በጥንቃቄ መጻፍ ይችላሉ-

x 2 = π - አርክሲን 1/3 + 2π n፣ n ∈ ዚ

ይህ ፍጹም ትክክለኛ መልስ ነው። ምንም እንኳን በጣም የተለመደ ባይመስልም. ግን ግልጽ ነው, ተስፋ አደርጋለሁ.)

ክብ በመጠቀም ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች የሚፈቱት በዚህ መንገድ ነው። ይህ መንገድ ግልጽ እና ሊረዳ የሚችል ነው. እሱ ነው በትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ከሥሮች ምርጫ ጋር በተወሰነ የጊዜ ልዩነት ፣ በትሪግኖሜትሪክ እኩልነት - በአጠቃላይ ሁል ጊዜ በክበብ ውስጥ ይፈታሉ ። በአጭሩ, ከመደበኛ ደረጃዎች ትንሽ አስቸጋሪ በሆኑ ማናቸውም ስራዎች.

እውቀትን በተግባር እንጠቀም?)

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ይፍቱ፡

በመጀመሪያ ፣ ቀላል ፣ ከዚህ ትምህርት በቀጥታ።

አሁን የበለጠ የተወሳሰበ ነው።

ፍንጭ: እዚህ ስለ ክበብ ማሰብ አለብዎት. በግል።)

እና አሁን እነሱ በውጫዊ መልኩ ቀላል ናቸው ... ልዩ ጉዳዮች ተብለውም ይጠራሉ.

six = 0

six = 1

ኮስክስ = 0

ኮስክስ = -1

ፍንጭ: እዚህ ሁለት ተከታታይ መልሶች ባሉበት እና አንድ ባለበት ክበብ ውስጥ ማወቅ ያስፈልግዎታል ... እና ከሁለት ተከታታይ መልሶች ይልቅ አንድ እንዴት እንደሚፃፍ። አዎ፣ ከማይወሰን ቁጥር አንድም ሥር እንዳይጠፋ!)

ደህና ፣ በጣም ቀላል):

six = 0,3

ኮስክስ = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

ፍንጭ: እዚህ አርክሲን እና አርኮሲን ምን እንደሆኑ ማወቅ አለብዎት? አርክታንጀንት ፣ አርኮታንጀንት ምንድን ነው? በጣም ቀላሉ ትርጓሜዎች. ግን ምንም የሰንጠረዥ እሴቶችን ማስታወስ አያስፈልግዎትም!)

በእርግጥ መልሱ የተመሰቃቀለ ነው፡-

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ ዚ
x 2= π - arcsin0.3 + 2

ሁሉም ነገር አይሰራም? ይከሰታል። ትምህርቱን እንደገና ያንብቡ። ብቻ በአስተሳሰብ(እንዲህ ያለ ጊዜ ያለፈበት ቃል አለ...) እና ማገናኛዎቹን ይከተሉ። ዋናዎቹ አገናኞች ስለ ክበብ ናቸው. ያለ እሱ ፣ ትሪጎኖሜትሪ መንገዱን በአይነ ስውር መንገድ እንደማቋረጥ ነው። አንዳንድ ጊዜ ይሰራል.)

ይህን ጣቢያ ከወደዱት...

በነገራችን ላይ ለአንተ ይበልጥ አስደሳች የሆኑ ሁለት ጣቢያዎች አሉኝ።)

ምሳሌዎችን የመፍታት ልምምድ ማድረግ እና ደረጃዎን ማወቅ ይችላሉ. በፈጣን ማረጋገጫ መሞከር። እንማር - በፍላጎት!)

ከተግባሮች እና ተዋጽኦዎች ጋር መተዋወቅ ይችላሉ።

የእርስዎን ግላዊነት መጠበቅ ለእኛ አስፈላጊ ነው። በዚህ ምክንያት፣ የእርስዎን መረጃ እንዴት እንደምንጠቀም እና እንደምናከማች የሚገልጽ የግላዊነት ፖሊሲ አዘጋጅተናል። እባኮትን የግላዊነት ተግባሮቻችንን ይከልሱ እና ማንኛውም አይነት ጥያቄ ካለዎት ያሳውቁን።

የግል መረጃ መሰብሰብ እና መጠቀም

የግል መረጃ አንድን የተወሰነ ሰው ለመለየት ወይም ለመገናኘት የሚያገለግል ውሂብን ያመለክታል።

እኛን በሚያገኙበት በማንኛውም ጊዜ የግል መረጃዎን እንዲያቀርቡ ሊጠየቁ ይችላሉ።

ከዚህ በታች ልንሰበስበው የምንችላቸው የግል መረጃ ዓይነቶች እና እንደዚህ ያለውን መረጃ እንዴት መጠቀም እንደምንችል አንዳንድ ምሳሌዎች አሉ።

ምን ዓይነት የግል መረጃ እንሰበስባለን

በጣቢያው ላይ ማመልከቻ በሚያስገቡበት ጊዜ, የእርስዎን ስም, ስልክ ቁጥር, የኢሜል አድራሻ, ወዘተ ጨምሮ የተለያዩ መረጃዎችን ልንሰበስብ እንችላለን.

የእርስዎን የግል መረጃ እንዴት እንደምንጠቀም፡-

የምንሰበስበው የግል መረጃ በልዩ ቅናሾች፣ ማስተዋወቂያዎች እና ሌሎች ዝግጅቶች እና መጪ ክስተቶች እንድናገኝዎት ያስችሎታል።
ከጊዜ ወደ ጊዜ፣ አስፈላጊ ማስታወቂያዎችን እና ግንኙነቶችን ለመላክ የእርስዎን የግል መረጃ ልንጠቀም እንችላለን።
የምንሰጣቸውን አገልግሎቶች ለማሻሻል እና አገልግሎታችንን በተመለከተ ምክሮችን ለመስጠት የግል መረጃን ለውስጣዊ ዓላማዎች ለምሳሌ ኦዲት ማድረግ፣ የመረጃ ትንተና እና የተለያዩ ጥናቶችን ልንጠቀም እንችላለን።
በሽልማት እጣ፣ ውድድር ወይም ተመሳሳይ ማስተዋወቂያ ላይ ከተሳተፉ፣ ያቀረቡትን መረጃ መሰል ፕሮግራሞችን ለማስተዳደር ልንጠቀምበት እንችላለን።

ለሶስተኛ ወገኖች መረጃን ይፋ ማድረግ

ከእርስዎ የተቀበለውን መረጃ ለሶስተኛ ወገኖች አንገልጽም.

ልዩ ሁኔታዎች፡-

አስፈላጊ ከሆነ - በህግ, በፍትህ ሂደት, በህግ ሂደቶች እና / ወይም በሩሲያ ፌዴሬሽን ግዛት ውስጥ ባሉ የመንግስት ባለስልጣናት የህዝብ ጥያቄዎች ወይም ጥያቄዎች ላይ - የግል መረጃዎን ይፋ ለማድረግ. እንዲህ ዓይነቱን ይፋ ማድረግ ለደህንነት፣ ለህግ አስከባሪ ወይም ለሌሎች የህዝብ ጠቀሜታ ዓላማዎች አስፈላጊ ወይም ተገቢ መሆኑን ከወሰንን ስለእርስዎ መረጃ ልንሰጥ እንችላለን።
መልሶ ማደራጀት፣ ውህደት ወይም ሽያጭ በሚፈጠርበት ጊዜ የምንሰበስበውን ግላዊ መረጃ ለሚመለከተው ተተኪ ሶስተኛ አካል ልናስተላልፈው እንችላለን።

የግል መረጃ ጥበቃ

የእርስዎን ግላዊ መረጃ ከመጥፋት፣ ስርቆት እና አላግባብ መጠቀም፣ እንዲሁም ያልተፈቀደ መዳረሻ፣ ይፋ ከማድረግ፣ ከመቀየር እና ከመበላሸት ለመጠበቅ አስተዳደራዊ፣ ቴክኒካል እና አካላዊ ጨምሮ ጥንቃቄዎችን እናደርጋለን።

በኩባንያ ደረጃ የእርስዎን ግላዊነት በማክበር ላይ

የግል መረጃዎ ደህንነቱ የተጠበቀ መሆኑን ለማረጋገጥ የግላዊነት እና የደህንነት ደረጃዎችን ለሰራተኞቻችን እናስተላልፋለን እና የግላዊነት አሠራሮችን በጥብቅ እናስፈጽማለን።

የተቀናጀ የእውቀት አተገባበር ትምህርት።

የትምህርት ዓላማዎች.

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት የተለያዩ ዘዴዎችን ይገምግሙ።
እኩልታዎችን በመፍታት የተማሪዎችን የፈጠራ ችሎታዎች ማዳበር።
ተማሪዎች ራሳቸውን እንዲገዙ፣ እርስ በርስ እንዲቆጣጠሩ እና የትምህርት እንቅስቃሴዎቻቸውን በራስ እንዲተነትኑ ማበረታታት።

መሳሪያዎች: ስክሪን, ፕሮጀክተር, የማጣቀሻ ቁሳቁስ.

የትምህርት ሂደት

የመግቢያ ውይይት።

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዋናው ዘዴ እነሱን ወደ ቀላሉ ቅርፅ መቀነስ ነው. በዚህ ሁኔታ, የተለመዱ ዘዴዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ, ለምሳሌ, ፋክታላይዜሽን, እንዲሁም ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ብቻ ጥቅም ላይ የሚውሉ ዘዴዎች. በጣም ብዙ እነዚህ ቴክኒኮች አሉ ፣ ለምሳሌ ፣ የተለያዩ ትሪግኖሜትሪክ መተኪያዎች ፣ የማዕዘን ለውጦች ፣ የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ለውጦች። የማንኛውም ትሪግኖሜትሪክ ትራንስፎርሜሽን አድሎአዊ አተገባበር ብዙውን ጊዜ እኩልታውን አያቃልለውም፣ ነገር ግን በአሰቃቂ ሁኔታ ያወሳስበዋል። እኩልዮሹን ለመፍታት አጠቃላይ እቅድ ለማዘጋጀት ፣ እኩልታውን ወደ ቀላሉ የሚቀንስበትን መንገድ ለመዘርዘር በመጀመሪያ ማዕዘኖቹን መተንተን አለብዎት - በቀመር ውስጥ የተካተቱት የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ክርክሮች።

ዛሬ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ስለ ዘዴዎች እንነጋገራለን. ትክክለኛው የተመረጠ ዘዴ ብዙውን ጊዜ መፍትሄውን በእጅጉ ሊያቃልል ይችላል, ስለዚህ ሁሉም የተማርናቸው ዘዴዎች ሁልጊዜ በትኩረት ዞናችን ውስጥ በጣም በተገቢው መንገድ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት.

II. (ፕሮጀክተርን በመጠቀም፣ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴዎችን እንደግማለን።)

1. ትሪግኖሜትሪክ እኩልታን ወደ አልጀብራ የመቀነስ ዘዴ።

ሁሉንም ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት በአንድ ፣ በተመሳሳይ ክርክር መግለጽ አስፈላጊ ነው። ይህ በመሠረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ማንነት እና ውጤቱን በመጠቀም ሊከናወን ይችላል። ከአንድ ትሪግኖሜትሪክ ተግባር ጋር እኩልታ እናገኛለን። እንደ አዲስ ያልታወቀ ወስደን፣ የአልጀብራ እኩልታ እናገኛለን። ሥሩን እናገኛለን እና ወደ አሮጌው ያልታወቀ ተመለስን ፣ ቀላሉን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች በመፍታት።

2. የማምረት ዘዴ.

ማዕዘኖችን ለመለወጥ፣ የመቀነስ፣ የመደመር እና የክርክር ልዩነት ቀመሮች ብዙ ጊዜ ጠቃሚ ናቸው፣ እንዲሁም የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ድምርን (ልዩነትን) ወደ ምርት ለመቀየር እና በተገላቢጦሽ ቀመሮች ናቸው።

ኃጢአት x + ኃጢአት 3x = ኃጢአት 2x + sin4x

3. ተጨማሪ አንግል የማስተዋወቅ ዘዴ.

4. ሁለንተናዊ ምትክ የመጠቀም ዘዴ.

የF(sinx፣cosx፣tanx) = 0 እኩልታዎች ሁለንተናዊ ትሪግኖሜትሪክ ምትክ በመጠቀም ወደ አልጀብራ ይቀነሳሉ።

ከግማሽ አንግል ታንጀንት አንፃር ሳይን ፣ ኮሳይን እና ታንጀንት መግለጽ። ይህ ዘዴ ወደ ከፍተኛ ቅደም ተከተል እኩልነት ሊያመራ ይችላል. መፍትሄው አስቸጋሪ ነው.

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን የመፍታት ጽንሰ-ሀሳብ።

የትሪግኖሜትሪክ እኩልታ ለመፍታት ወደ አንድ ወይም ከዚያ በላይ መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ይለውጡት። የትሪግኖሜትሪክ እኩልታ መፍታት በመጨረሻ አራቱን መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ለመፍታት ይወርዳል።

መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታት።

አራት ዓይነት መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች አሉ፡-
ኃጢአት x = a; cos x = a
ታን x = a; ctg x = ሀ
መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታት በክፍል ክበብ ላይ የተለያዩ x ቦታዎችን መመልከትን እንዲሁም የመቀየሪያ ሠንጠረዥን (ወይም ካልኩሌተር) መጠቀምን ያካትታል።
ምሳሌ 1. sin x = 0.866. የመቀየሪያ ሰንጠረዥ (ወይም ካልኩሌተር) በመጠቀም መልሱን ያገኛሉ፡ x = π/3። የክፍሉ ክበብ ሌላ መልስ ይሰጣል፡ 2π/3። ያስታውሱ: ሁሉም ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ወቅታዊ ናቸው ፣ ማለትም እሴቶቻቸው ይደግማሉ። ለምሳሌ የኃጢአት x እና cos x ወቅታዊነት 2πn ሲሆን የ tg x እና ctg x ወቅታዊነት πn ነው። ስለዚህ መልሱ እንደሚከተለው ተጽፏል።
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
ምሳሌ 2. cos x = -1/2. የመቀየሪያ ሰንጠረዥ (ወይም ካልኩሌተር) በመጠቀም መልሱን ያገኛሉ፡ x = 2π/3። የክፍሉ ክበብ ሌላ መልስ ይሰጣል፡-2π/3።
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
ምሳሌ 3. tg (x - π/4) = 0.
መልስ፡- x = π/4 + πn።
ምሳሌ 4. ctg 2x = 1.732.
መልስ፡ x = π/12 + πn.

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት የሚያገለግሉ ለውጦች።

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመለወጥ፣ አልጀብራዊ ትራንስፎርሜሽን (ማባዛት፣ ተመሳሳይ ቃላትን መቀነስ፣ ወዘተ) እና ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶች ጥቅም ላይ ይውላሉ።
ምሳሌ 5፡ ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶችን በመጠቀም፣ እኩልዮቱ sin x + sin 2x + sin 3x = 0 ወደ ቀመር 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 ይቀየራል። መፍታት ያስፈልጋል: cos x = 0; ኃጢአት (3x/2) = 0; cos (x/2) = 0.
የታወቁ የተግባር እሴቶችን በመጠቀም ማዕዘኖችን ማግኘት.
- ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን እንዴት እንደሚፈታ ከመማርዎ በፊት የታወቁ የተግባር እሴቶችን በመጠቀም ማዕዘኖችን እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ መማር ያስፈልግዎታል። ይህ የመቀየሪያ ሰንጠረዥ ወይም ካልኩሌተር በመጠቀም ሊከናወን ይችላል።
- ምሳሌ፡ cos x = 0.732. ካልኩሌተሩ መልሱ x = 42.95 ዲግሪ ይሰጣል። የክፍሉ ክበብ ተጨማሪ ማዕዘኖችን ይሰጣል ፣ የእሱ ኮሳይን ደግሞ 0.732 ነው።
መፍትሄውን በንጥል ክበብ ላይ ያስቀምጡት.
- በክፍል ክበብ ላይ ለትሪግኖሜትሪክ እኩልታ መፍትሄዎችን ማቀድ ይችላሉ። በክፍል ክበብ ላይ ለትራይጎኖሜትሪክ እኩልታ መፍትሄዎች የመደበኛ ፖሊጎን ጫፎች ናቸው።
- ምሳሌ፡ በክፍል ክበብ ላይ ያሉት መፍትሄዎች x = π/3 + πn/2 የካሬውን ጫፎች ያመለክታሉ።
- ምሳሌ፡ በንጥል ክበብ ላይ ያሉት መፍትሄዎች x = π/4 + πn/3 የመደበኛ ሄክሳጎን ጫፎች ያመለክታሉ።
ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዘዴዎች.
- የተሰጠው ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ አንድ ትሪግኖሜትሪክ ተግባር ብቻ ከያዘ፣ ያንን እኩልታ እንደ መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ ይፍቱት። የተሰጠው እኩልታ ሁለት ወይም ከዚያ በላይ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን የሚያካትት ከሆነ ፣ እንደዚህ ዓይነቱን እኩልታ ለመፍታት 2 ዘዴዎች አሉ (በመቀየር እድሉ ላይ በመመስረት)።
  - ዘዴ 1.
- ይህን እኩልታ ወደ ቅጹ እኩልነት ይቀይሩት፡ f(x)*g(x)*h(x) = 0፣ f(x)፣ g(x)፣ h(x) መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ሲሆኑ።
- ምሳሌ 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- መፍትሄ። ባለ ሁለት ማዕዘን ቀመር sin 2x = 2*sin x*cos x በመጠቀም ኃጢአት 2x ተካ።
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. አሁን ሁለቱን መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ይፍቱ፡ cos x = 0 እና (sin x + 1) = 0።
- ምሳሌ 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- መፍትሄ፡- ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶችን በመጠቀም ይህንን እኩልታ ወደ ቅጹ እኩልነት ይቀይሩት፡ cos 2x(2cos x + 1) = 0. አሁን ሁለቱን መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ይፍቱ፡ cos 2x = 0 እና (2cos x + 1) = 0።
- ምሳሌ 8. ኃጢአት x - ኃጢአት 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- መፍትሄ፡- ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶችን በመጠቀም ይህንን እኩልታ ወደ ቅጹ እኩልነት ይቀይሩት፡-cos 2x*(2sin x + 1) = 0. አሁን ሁለቱን መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ይፍቱ፡ cos 2x = 0 እና (2sin x + 1) = 0 .
  - ዘዴ 2.
- የተሰጠውን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ አንድ ትሪግኖሜትሪክ ተግባር ብቻ ወደያዘ ቀመር ይለውጡት። ከዚያም ይህን ትሪግኖሜትሪክ ተግባር ባልታወቀ ሰው ይተኩት ለምሳሌ t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, ወዘተ.)
- ምሳሌ 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0)< x < 2π).
- መፍትሄ። በዚህ እኩልታ (cos^2 x) በ (1 - sin^2 x) (በማንነቱ መሰረት) ይተኩ። የተለወጠው እኩልታ፡-
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. ኃጢአት x በቲ ተካ። አሁን ቀመርው የሚከተለው ይመስላል፡- 5t^2 - 4t - 9 = 0. ይህ ባለአራት እኩልታ ሲሆን ይህም ሁለት ስርወች ያሉት t1 = -1 እና t2 = 9/5 ነው። ሁለተኛው ሥር t2 የተግባር ክልልን አያሟላም (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- ምሳሌ 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- መፍትሄ። tg xን በቲ ተካ። የመጀመሪያውን እኩልታ እንደሚከተለው ይፃፉ፡ (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. አሁን t ን አግኝ እና ከዚያ x ለ t = ታን x ፈልግ።

እይታዎች