የሶስት ማዕዘን አስገራሚ ነጥቦች - ረቂቅ. የተማሪ ፕሮጀክት "የሦስት ማዕዘን አስደናቂ ነጥቦች"
የመጀመሪያዎቹ ሁለት ጽንሰ-ሐሳቦች ለእርስዎ በደንብ ይታወቃሉ, ሌሎቹ ሁለቱን እናረጋግጣለን.
ቲዎሪ 1
የሶስት ማዕዘኑ ሶስት ቢሴክተሮችበአንድ ነጥብ ላይ መቆራረጥ, ማለትም የተቀረጸው ክበብ መሃል.
ማረጋገጫ
የማዕዘን ቢሴክተር ከማዕዘኑ ጎኖቹ እኩል ርቀት ያለው የነጥቦች ቦታ ነው በሚለው እውነታ ላይ የተመሠረተ።
ቲዎሪ 2
የሶስት ጎንዮሽ ብስክሌቶች ወደ ትሪያንግል ጎኖች በአንድ ቦታ ላይ ይገናኛሉ, ይህም የዙሪያው መሃል ነው.
ማረጋገጫ
የአንድ ክፍል ቀጥ ያለ የቢስሴክተር ክፍል ከዚህ ክፍል ጫፎች እኩል ርቀት ያለው የነጥቦች ቦታ ነው በሚለው እውነታ ላይ የተመሠረተ።
ቲዎሪ 3
ሶስት ከፍታዎች ወይም ሶስት ቀጥ ያሉ, የሶስት ማዕዘን ከፍታዎች የሚተኛበት, በአንድ ነጥብ ላይ ይገናኛል. ይህ ነጥብ ይባላል ኦርቶሴንተርትሪያንግል.
ማረጋገጫ
በሶስት ጎንዮሽ 'ABC' በኩል ቀጥታ መስመሮችን ከተቃራኒ ጎኖች ጋር ትይዩ እናደርጋለን።
በመስቀለኛ መንገድ፣ ትሪያንግል `A_1 B_1 C_1` ተፈጠረ።
በግንባታ፣ `ABA_1C` ትይዩ ነው፣ ስለዚህ `BA_1 = AC`። በተመሳሳይ፣ `C_1B = AC`፣ ስለዚህ `C_1B = AC`፣ ነጥብ `B` የ`C_1A_1` ክፍል መሃል እንደሆነ ተረጋግጧል።
ልክ በተመሳሳይ መልኩ `C` የ`B_1A_1` እና `A` የ`B_1C_1` መሃል እንደሆነ ያሳያል።
`BN` የሶስት ማዕዘን `ABC` ቁመት ይሁን፣ ከዚያ ለክፍል `A_1 C_1` ቀጥታ መስመር `BN` ቋሚ ባለ ሁለት ክፍል ነው። ከዚህ በመቀጠል የሶስት ማዕዘኑ ከፍታ ላይ ያሉት ሶስት ቀጥ ያሉ መስመሮች `A_1B_1C_1` የሶስት ጎንዮሽ ቀጥ ያሉ ባለ ሁለት ማዕዘኖች ናቸው። እና እንደዚህ አይነት ቋሚዎች በአንድ ነጥብ ይገናኛሉ (ቲዎረም 2).
ትሪያንግል አጣዳፊ ከሆነ, እያንዳንዱ ከፍታዎች ቬርቴክስን የሚያገናኝ ክፍል እና በተቃራኒው በኩል የተወሰነ ነጥብ ነው. በዚህ አጋጣሚ ነጥቦቹ `B` እና `N` በተለያዩ የግማሽ አውሮፕላኖች ውስጥ በ`AM` በተፈጠሩት ይዋሻሉ፣ ይህ ማለት የ`BN` ክፍል የ`AM`ን መስመር ያቋርጣል፣ የማቋረጫ ነጥቡ `BN` ላይ ነው። ማለትም በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ ይተኛል.
በቀኝ ሶስት ማዕዘን ውስጥ የከፍታዎቹ መገናኛ ነጥብ የቀኝ ማዕዘን ጫፍ ነው.
ቲዎሪ 4
የሶስት ማዕዘን ሶስት መካከለኛ በአንድ ነጥብ ተቆራረጡ እና በ'2:1' ጥምርታ ውስጥ ባለው መገናኛ ነጥብ ተከፋፍለዋል፣ ከጫፍ ቆጠራ. ይህ ነጥብ የሶስት ማዕዘኑ የስበት (ወይም የጅምላ ማእከል) መሃል ይባላል።
የዚህ ጽንሰ-ሐሳብ የተለያዩ ማረጋገጫዎች አሉ. በቴሌስ ቲዎሬም ላይ የተመሰረተ አንዱን እናቅርብ።
ማረጋገጫ
`E`፣ `D` እና `F` የጎኖች `AB`፣ `BC` እና `AC` የሶስት ማዕዘን `ABC` መካከለኛ ነጥቦች ይሁኑ።
ሚዲያን `AD`ን በ`E` እና`F` ነጥቦች እንሳበው ትይዩቀጥታ መስመሮች `EK` እና `FL` አሉት። በታሌስ ቲዎሬም `BK = KD` `(/_ABC`፣ E K ‖ A D) EK \|AD) እና `DL = LC` `(/_ACB`፣ A D ‖ F L) AD\| ኤፍ.ኤል.) ግን `BD = DC = a//2`፣ ስለዚህ `BK = KD = DL = LC = a//4`። በዚሁ ንድፈ ሃሳብ `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| MD \| FL)፣ ስለዚህ `BM = 2MF`።
ይህ ማለት ሚዲያን 'BF' ከ'M' መገናኛ ነጥብ ከመካከለኛው 'AD' ጋር በ'2:1' ጥምርታ ከጫፍ ቆጠራ ተከፍሏል።
በ`M` ላይ ያለው መካከለኛ `AD` በተመሳሳዩ ሬሾ መከፋፈሉን እናረጋግጥ። ምክንያቱ ተመሳሳይ ነው።
ሚዲያን `BF` እና `CE`ን ከተመለከትን ፣መሃከለኛ `BF` በ`2፡1` ጥምርታ በተከፋፈለበት ቦታ ላይ እንደሚገናኙም ማሳየት እንችላለን፣ ማለትም በተመሳሳይ ነጥብ `M`። እና በዚህ ነጥብ አማካዩ 'CE' እንዲሁ በ'2:1' ጥምርታ ይከፈላል፣ ከጫፍ ቆጠራ።
ሊስኪንስኪ አውራጃ, የማዘጋጃ ቤት የትምህርት ተቋም አኖሽኪንካያ ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት.
የሂሳብ መምህር Smorchkova E.B.
የፕሮጀክት ግብበጂኦሜትሪ ላይ የተለያዩ ጽሑፎችን መጠቀምን ይማሩ ፣ “የሶስት ማዕዘኑ አስደናቂ ነጥቦች” በሚለው ርዕስ ላይ የበለጠ ዝርዝር ጥናት ለማግኘት የማጣቀሻ ቁሳቁሶችን ፣ ስለ ርዕሰ ጉዳዩ የበለጠ የተሟላ ግንዛቤ ይስጡ ፣ በንግግሮች እና በትምህርቶች ውስጥ ለማሳየት በዚህ ርዕስ ላይ የዝግጅት አቀራረብን ያዘጋጁ ።
ጂኦሜትሪ የሚጀምረው በትሪያንግል. ቀድሞውኑ ሁለት ተኩል ነው።አዲስ ሚሊኒየም ፣ ትሪያንግል እንደ ጂኦሜትሪ ምልክት ነው።; ግን ምልክት ብቻ ሳይሆን ትሪያንግል የጂኦሜትሪ አቶም ነው።እና ዛሬም የትምህርት ቤት ጂኦሜትሪ አስደሳች እየሆነ መጥቷል እናትርጉም ያለው ፣ ጂኦሜትሪ ትክክለኛ የሚሆነው ከመጀመሪያው ብቻ ነው።የሶስት ማዕዘን ገጽታ. የቀድሞ ጽንሰ-ሐሳቦች - ነጥብ, ቀጥ ያለአህ፣ አንግል - ግልጽ ያልሆነ ረቂቅ ነገር ይመስላል፣ ግን በርቷል።ከእነሱ ጋር የተያያዙ የንድፈ ሃሳቦች እና ችግሮች ስብስብ በቀላሉ አሰልቺ ነው.
ቀድሞውኑ ከዕድገቱ የመጀመሪያ ደረጃዎች, ሰው, እና በተለይም ዘመናዊ ሰው, ሁሉንም ዓይነት የጂኦሜትሪክ እቃዎች - ምስሎች እና አካላት ይጋፈጣሉ. አንድ ሰው በወጣትነት ዕድሜው ገና በጨቅላነቱ ካልሆነ ዕድሜው የጂኦሜትሪ ፍላጎት ሲያድርበት አልፎ ተርፎም ራሱን የቻለ የጂኦሜትሪክ ግኝቶችን ሲያደርግ ሁኔታዎች አሉ። ስለዚህ ትንሹ ብሌዝ ፓስካል “ሳንቲሞች” - ክበቦች ፣ “የተጣበቁ ባርኔጣዎች” - ትሪያንግሎች ፣ “ጠረጴዛዎች” - አራት ማዕዘኖች ፣ “ዱላዎች” - ክፍሎችን የሚያካትት “የጂኦሜትሪ ጨዋታ” ጋር መጣ። የሒሳብ ጠለቅ ያለ እውቀት የነበረው አባቱ መጀመሪያ ላይ ትንንሽ ብሌዝ ጥሩ ጤንነት ስላልነበረው ልጁን ከሚያስተምራቸው የትምህርት ዓይነቶች ውስጥ ሒሳብን በቆራጥነት አገለለ። ሆኖም የልጁን ስሜት ካወቀ በኋላ ስለ ሚስጥራዊው ጂኦሜትሪ የሆነ ነገር ነገረው እና ብሌዝ በዚህ ጊዜ የሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች ወደ ሁለት ቀኝ ማዕዘኖች ሲጨመሩ የተነካው አባት የ12 አመት ልጁን ሰጠው። ልጄ በቤት ቤተ-መጽሐፍት ውስጥ የተከማቹ የሂሳብ መጻሕፍትን ማግኘት.
ትሪያንግል የማይጠፋ ነው - አዲሶቹ ንብረቶቹ ያለማቋረጥ እየተገኙ ነው። ስለ ሁሉም የታወቁ ንብረቶቹ ለመነጋገር በድምጽ መጠን ከታላቁ ኢንሳይክሎፔዲያ መጠን ጋር ተመጣጣኝ መጠን ያስፈልግዎታል። ስለ አንዳንዶቹ, ወይም ይልቁንም, ስለ አንዳንዶቹ አስደናቂ ነጥቦች ፣ከሶስት ማዕዘኑ ጋር የተዛመደ, ልንነግርዎ እንፈልጋለን.
በመጀመሪያ “የሦስት ማዕዘኑ አስደናቂ ነጥቦች” የሚለውን አገላለጽ ትርጉም እናብራራ። በዚህ ትሪያንግል ውስጥ የተቀረጸው የክበብ መሃል - የአንድ ትሪያንግል ውስጣዊ ማዕዘኖች bisectors በአንድ ነጥብ ላይ እንደሚገናኙ ሁላችንም እናውቃለን። በተመሳሳይ መልኩ, ሚዲያን, የሶስት ማዕዘን ከፍታዎች እና ወደ ጎኖቹ የሁለትዮሽ ቋሚዎች በአንድ ቦታ ይገናኛሉ.
ከተዘረዘሩት የሶስትዮሽ መስመሮች መገናኛ ላይ የተገኙት ነጥቦች, በእርግጥ, አስደናቂ ናቸው (ከሁሉም በኋላ, ሶስት መስመሮች, እንደ አንድ ደንብ, በሦስት የተለያዩ ነጥቦች ይገናኛሉ). የሌሎች ዓይነቶች አስደናቂ ነጥቦች እንዲሁ ይቻላል ፣ ለምሳሌ ፣ ለሁሉም የሶስት ማዕዘኑ የተወሰኑ ተግባራት ወደ ጽንፍ የሚደርሱባቸው ነጥቦች። በሌላ በኩል, "የሦስት ማዕዘን አስደናቂ ነጥቦች" ጽንሰ-ሐሳብ ከመደበኛ-ሒሳብ ይልቅ በስነ-ጽሑፍ-ስሜታዊ ደረጃ መተርጎም አለበት. ሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች "አስደሳች" መሆናቸውን "ያረጋገጠ" አንድ የታወቀ ሶፊዝም አለ. (“ሳቢ ያልሆኑ” ቁጥሮች እንዳሉ በማሰብ ከመካከላቸው ትንሹን እንውሰድ። ያለጥርጥር፣ ይህ ቁጥር “አስደሳች” ነው፡ ከ“ከማይፈልጉ” መካከል ትንሹ ስለሆነ ብቻ ትኩረት የሚስብ ነው።) ተመሳሳይ ምክንያት፣ “ማስረጃ” ሁሉም የሶስት ማዕዘኑ ነጥቦች “አስደናቂ” እንደሆኑ ፣ በእኛ ሁኔታ ሊገነቡ ይችላሉ። እስቲ አንዳንድ ምሳሌዎችን እንመልከት።
የክበብ ማዕከል
ከሦስት ማዕዘኑ ጫፎች እኩል የሆነ ነጥብ እንዳለ እናረጋግጥ፣ ወይም በሌላ አነጋገር፣ ክብ አለፈበሶስት ማዕዘኑ ሶስት ጫፎች በኩል.ከነጥቦች እኩል ርቀት ያለው የነጥቦች ቦታ ሀእና ውስጥ፣ወደ ክፍሉ ቀጥ ያለ ነው ኤቢ፣በመካከለኛው ነጥቡ በኩል ማለፍ (የቋሚው ቢሴክተር ወደ ክፍሉ AB)ነጥቡን ተመልከት ስለወደ ክፍሎቹ የፔንዲኩላር ብስክሌቶች በሚቆራረጡበት ABእና ፀሐይ.ነጥብ ስለከ A እና B, እንዲሁም ከነጥቦች እኩል የሆነ ውስጥእና ጋር።ስለዚህ ከነጥቦቹ እኩል ነው ሀእና ጋር፣ማለትም ወደ ክፍሉ በቋሚው የቢስሴክተር ላይም ይተኛል ኤሲ(ምስል 50).
መሃል ስለዙሩ በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ የሚተኛው ሶስት ማዕዘኑ አጣዳፊ ከሆነ ብቻ ነው። ትሪያንግል ቀኝ-አንግል ከሆነ ነጥቡ ስለከ hypotenuse መሃል ጋር ይዛመዳል ፣
እና በማዕዘን ላይ ያለው አንግል ከሆነ ጋርደብዛዛ ከዚያ ቀጥ ABነጥቦችን O እና C ይለያል።
በ Δ ውስጥ ከሆነ ኢቢሲጫፍ አንግል ጋርሹል ከዚያም ጎን ABከ 2 ጋር እኩል በሆነ አንግል ከ O ነጥብ ይታያል
በሂሳብ ውስጥ ብዙውን ጊዜ የሚከሰተው ሙሉ ለሙሉ በተለያየ መንገድ የተገለጹ ዕቃዎች ወደ ተመሳሳይነት ሲቀየሩ ነው። ይህንን በምሳሌ እናሳይ።
A 1፣ B 1 እና C 1 የጎኖቹ መካከለኛ ነጥቦች ይሁኑ ቪኤስ፣ ኤስ.ኤእና ABክበቦች ወደ Δ AB 1 C 1 መከበራቸውን ማረጋገጥ ይቻላል። , Δ ሀ 1 B.C. 1 እና Δ ሀ 1 ለ 1 ሲ , በአንድ ነጥብ ላይ መቆራረጥ, እና ይህ ነጥብ የዙሪያው Δ መሃል ነው ኢቢሲ(ምስል 51). ስለዚህ፣ ሙሉ ለሙሉ የተለያዩ የሚመስሉ ሁለት ነጥቦች አሉን፡ የቢሴክተር ቋሚዎች መገናኛ ነጥብ ወደ ጎኖቹ Δ ኢቢሲእና የተከበቡ ክበቦች መገናኛ ነጥብ Δ AB 1 ጋር 1 , Δ AiBCi እና Δ AiBiC . ግን በሆነ ምክንያት እነዚህ ሁለት ነጥቦች ይጣጣማሉ!
እኛ ግን ቃል የተገባልንን ማስረጃ እንፈጽም። የዙሪያው መሃከል Δ መሆኑን ማረጋገጥ በቂ ነው ኢቢሲስለ Δ በተከበቡ ክበቦች ላይ ይተኛል AB 1 ጋር 1 , Δ ሀ iBCi እና Δ ሀ 1 ለ 1 ሲ . ማዕዘኖች ኦብ 1 ሀእና ስርዓተ ክወና 1 ሀቀጥታ መስመሮች, ስለዚህ ነጥቦቹ ውስጥ 1 እና ጋር 1 ዲያሜትር ባለው ክበብ ላይ ተኛ ኦአ፣ይህም ማለት ነጥብ O ስለ Δ በተከበበ ክበብ ላይ ይተኛል AB 1 ሲ 1 . ለ Δ AiBCi እና Δ ሀ 1 ውስጥ 1 ጋርማስረጃው ተመሳሳይ ነው።
የተረጋገጠው መግለጫ በጣም አስደሳች ጽንሰ-ሀሳብ ልዩ ጉዳይ ነው- በጎን በኩል ከሆነAB፣ BCእናኤስ.ኤትሪያንግልኢቢሲየዘፈቀደ ነጥቦች ተወስደዋልጋር 1 , ኤ 1 እናውስጥ 1 , ከዚያም ተገልጿልክብ ΔAB 1 ጋር 1 , ΔA 1 ፀሐይ 1 እና Δሀ 1 ውስጥ 1 ጋር በአንድ ውስጥ መቆራረጥነጥብ።
የተከበበውን ክበብ መሃል በተመለከተ አንድ የመጨረሻ አስተያየት እናድርግ። ቀጥታ ሀ 1 ውስጥ 1 እና ABትይዩ ናቸው, ስለዚህ ስርዓተ ክወና 1 ቀጥ ያለ ሀ 1 ውስጥ 1 እንደዚሁም ኦብ 1 ቀጥ ያለ ሀ 1 ሲ 1 እና ኦ.ኤ 1 ቀጥ ያለ ውስጥ 1 ጋር 1 , ማለትም ስለ- የሶስት ማዕዘን ከፍታዎች መገናኛ ነጥብ ሀ 1 ለ 1 ጋር 1 ... ቆይ ቆይ! የሶስት ማዕዘን ከፍታዎች በአንድ ነጥብ ላይ እንደሚገናኙ እስካሁን አላረጋገጥንም። ይህንን ለማረጋገጥ የሚያስችል መንገድ የለም? ወደዚህ ውይይት በኋላ እንመለስበታለን።
የኢንዲክ ክበብ ማእከል
የማዕዘን ቢሴክተሮች Δ መሆኑን እናረጋግጥ ኢቢሲበአንድ ነጥብ ላይ መቆራረጥ. የማዕዘን ቢሴክተሮች መገናኛ ነጥብ ኦን ተመልከት A እና B.ማንኛውም ማዕዘን bisector ነጥቦች ሀ ከቀጥታ መስመሮች እኩል ABእና ኤሲ፣እና የማዕዘን bisector ማንኛውም ነጥብ ለ ከቀጥታ መስመሮች እኩል ABእና ፀሐይ,ስለዚህ ነጥብ O ከመስመሮች እኩል ነው ኤሲእና ፀሐይ,ማለትም የማዕዘን ሐ ባለ ሁለት ክፍል ላይ ይተኛል. ነጥብ O ከቀጥታ መስመሮች ጋር እኩል ነው AB፣ BCእና ኤስኤ፣ይህ ማለት መሃል ያለው ክበብ አለ ማለት ነው ስለበእነዚህ መስመሮች ላይ የተጣበቀ, እና የታንዛዛ ነጥቦች በጎን በኩል በራሳቸው ላይ ይተኛሉ, እና በማራዘሚያዎቻቸው ላይ አይደሉም. እንደ እውነቱ ከሆነ, በማእዘኖቹ ላይ ያሉት ማዕዘኖች A እና BΔ አ.ኦ.ቢስለታም ፣ ስለዚህ የነጥብ O ወደ ቀጥታ መስመር ትንበያ ABበክፍሉ ውስጥ ተኝቷል ABለፓርቲዎች ፀሐይእና ኤስ.ኤማስረጃው ተመሳሳይ ነው።
ፍቀድ ሀ 1 ፣ ውስጥ 1 እና ጋር 1 - ከጎኖቹ ጋር የሶስት ማዕዘኑ የተቀረጸው ክበብ የግንኙነት ነጥቦች ቪኤስ, ኤስ.ኤእና AB(ምስል 52). ከዚያም AB 1 = AC 1 , B.C. 1 = ቢ.ኤ. 1 እና ኤስ.ኤ 1 = ኤስ.ቪ 1 . በተጨማሪም, አንግል ለ 1 ሀ 1 ሲ 1 በ isosceles Δ መሠረት ላይ ከሚገኙት ማዕዘኖች ጋር እኩል ነው AB 1 ጋር 1 (በታንጀንት እና በኮርድ መካከል ባለው አንግል ላይ ባለው ቲዎሪ) ወዘተ ለ 1 ሲ 1 ሀ 1 እና አንግል ሀ 1 ለ 1 ሲ 1 ማስረጃው ተመሳሳይ ነው።
በማንኛውም isosceles triangle ስር ያሉት ማዕዘኖች አጣዳፊ ናቸው፣ ስለዚህ Δ A 1 B 1 C 1 ለማንኛውም Δ ABC አጣዳፊ ነው።
ከሆነ x = AB 1 , y = B.C. 1 እና ዝ = ሲ.ኤ. 1 , ያ x+y = c፣y + ዝ = ሀ እና ዝ + x = ለ , የት አ፣ለ እና ጋር- የጎን ርዝመቶች Δ ኢቢሲየመጀመሪያዎቹን ሁለት እኩልታዎች በመጨመር ሶስተኛውን ከነሱ በመቀነስ እናገኛለን y= (a+c-c)/2. እንደዚሁም x=(b+c-a)/2እና ዝ =(a+b-c)/2.ለአራት ማዕዘን እንዲህ ዓይነቱ ምክንያት ወደሚፈለገው ውጤት እንደማይመራ ልብ ሊባል የሚገባው ነው, ምክንያቱም ተጓዳኝ የእኩልታዎች ስርዓት.
ወይም ምንም መፍትሄዎች የሉትም ፣ ወይም ቁጥራቸው ማለቂያ የሌለው ነው። በእርግጥ, ከሆነ x+y=ay + ዝ = ለ , ዝ + ቲ = ሐ እና ቲ + x = መ , ያ y=a-ኤክስ፣ዝ = ለ -y = ለ - a+xእና ቲ = ሐ - ለ + ሀ -ኤክስ፣እና ከእኩልነት ቲ + x = መ የሚለውን ይከተላል ሀ + ሐ = ለ + መ . ስለዚህ ከሆነ a+c ከ b+ ጋር እኩል አይደለም። መ , ከዚያ ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች የሉትም, እና ከሆነ ሀ + ሐ = ለ + መ , ያ Xበዘፈቀደ ሊመረጥ ይችላል, እና yዝ , ቲ በኩል ይገለጻሉ። X.
ለሶስት ማዕዘን እኩልታዎች ስርዓት ወደ መፍትሄው ልዩነት እንደገና እንመለስ. እሱን በመጠቀም፣ የሚከተለውን መግለጫ ማረጋገጥ እንችላለን፡- ማዕከሎች A፣ B እና C ያላቸው ክበቦች በነጥብ ሀ 1 ላይ በውጪ እንዲነኩ ያድርጉ። ውስጥ 1 እና ጋር 1 (ምስል 53). ከዚያም የተከበበው ክበብ Δ ሀ 1 ለ 1 ሲ 1 በ Δ ውስጥ የተፃፈ ኢቢሲበእርግጥ, ከሆነ x, yእና ዝ - የክበቦች ራዲየስ; ሀ , ለ እና ጋር- የጎን ርዝመቶች Δ ኢቢሲ፣ያ x+y = c፣y + ዝ = ሀ , y + x = ለ .
የማዕከሉን ሦስት ባህሪያት እናረጋግጥ ስለየተቀረጸ ክበብ Δ ኢቢሲ .
1. የማዕዘን ቢሴክተር ከቀጠለ ጋርዙሪያውን Δ ያቋርጣል ኢቢሲነጥብ ላይ ኤም፣ያ MA=MV=MO(ምስል 54).
ለምሳሌ በ Δ ውስጥ እናረጋግጥ አሞበቋሚ A እና O ላይ ያሉት ማዕዘኖች እኩል ናቸው።<ኦኤም = < OAB + < BAM እና < አኦኤም =< OAC +<А CO , < OAB=<ОАС እና< አንተ=አንተ<ВСМ = < አኮ . ስለዚህም እ.ኤ.አ. AM=MOእንደዚሁም VM=MO
2. ከሆነ AB- የ isosceles Δ መሠረት ኢቢሲ፣ከዚያም ክብ ታንጀንት ወደ ጎኖቹ<ኤሲቢ ነጥቦች ላይ A እና B፣ነጥብ O በኩል ያልፋል (ምስል 55).
ኦ" የ(ትንሹ) ቅስት መካከለኛ ነጥብ ይሁን ABበጥያቄ ውስጥ ያለው ክበብ. በታንጀንት እና በኮርድ መካከል ባለው አንግል ንብረት<CAO "= <О"ВА= <О"АВ, ማለትም ነጥብ O" በቢሴክተሩ ላይ ይተኛል < ሀ . በተመሳሳይም, በቢስክሌቱ ላይ እንደሚተኛ ማሳየት ይቻላል < ለ , ማለትም ኦ" = ኦ.
3. በነጥብ O ውስጥ የሚያልፍ መስመር ከጎኑ ጋር ትይዩ ከሆነ ኤቢ፣ጎኖቹን ያቋርጣል ፀሐይእና ኤስ.ኤነጥቦች ላይ ሀ 1 እና ውስጥ 1 , ያ ሀ 1 ለ 1 = ሀ 1 ለ + AB 1 .
ያንን Δ እናረጋግጥ AB 1 ኦ isosceles. እንደውም < ለ 1 ኦ.ኤ. = < OAB = < ለ 1 አ.ኦ. (ምስል 56). ለዚህ ነው AB 1 = ለ 1 0. እንደዚሁም ሀ 1 ለ = ሀ 1 ኦ , ማለት ነው። ሀ 1 ለ 1 = ሀ 1 ኦ+ኦ.ቢ. 1 = ሀ 1 ለ + AB 1 .
Δ አስገባ ኢቢሲየቬርቴክስ ማዕዘኖች ኤ፣ ቢ እና ሲከ α ፣ β ፣ γ ጋር እኩል ናቸው። . በጎን በኩል ያለውን አንግል እናሰላው ABከ O. የሚታይ ማዕዘኖች ጀምሮ Δ JSC ቢበጫፍ A እና B እኩል ናቸው α/2 እና β/2፣ ከዚያ
< አ.ኦ.ቢ = 180°- (α+β)/2=180°- (180°-γ)/2=90° +γ/2። ይህ
ቀመሩ ብዙ ችግሮችን ለመፍታት ጠቃሚ ሊሆን ይችላል.
የጎኖቹ መካከለኛ ነጥቦች Δ ኢቢሲ;ይሁን ኤች
1
እና H - ኦርቶሴሰሮቻቸው (ምስል 65). ነጥብ H 1 ከመሃል ጋር ይጣጣማል ስለክብ Δ ኢቢሲያንን Δ እናረጋግጥ 
