Notacija preseka i unije skupova. Lekcija "presjek i unija skupova"
- Udruženje ili zbir n skupova A 1 , A 2 , …, A n je skup koji se sastoji od elemenata uključenih u najmanje jedan od ovih n skupova: A = A 1 U A 2 U… U A n gdje znak U označava operaciju kombinovanja skupova.
Formalno, operacija unije skupova je definirana na sljedeći način:
A = (x / x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2 ∨ … ∨ x ∈ A n ),
gdje je ∨ logički znak koji označava konjunkciju ILI. Ovaj unos se čita na sledeći način: skup A su sve one vrednosti x koje pripadaju skupu A 1, ili skupu A 2, ili skupu A 3, i tako dalje do skupa A p.
Za izvođenje operacije unija skupova postoji kalkulator .
na primjer, neka su dati skupovi: A 1 = (a, b, c); A2 = (4); A 3 = (b, 54). Primjenjujući na njih operaciju unije, dobijamo novi skup A = A 1 U A 2 U A 3 = (a,b,c,4,54). Imajte na umu da b ∈ A 1 i b ∈ A 3 , ali element b se pojavljuje u skupu A samo jednom (podsjetimo: svi elementi skupa moraju biti različiti).
Na (), unija skupova je označena čvrstim senčenjem područja koja odgovaraju ovim skupovima:
- Na sl. 5 zasjenjeno područje skupa Q U P ,
- Na sl. 6 prikazuje područje skupa (P U Q) U R sa šrafiranjem.
- Na sl. 7 prikazuje tri skupa P, Q i R. Šrafiranjem označava skup Q U R.
Operacija ujedinjenja skupa ima sljedeća svojstva:
a) unija je komutativna:
A U B = B U A ;
A U B U C = A U C U B = B U A U C itd.;
b) sindikat asocijativno:
(A U B) U C = A U (B U C) = A U B U C.
(Zbog asocijativnosti, prilikom pisanja nekoliko skupova povezanih znakom sindikata, zagradamane može se koristiti);
u) ako je B ⊆ A ili B ⊂ A, tada je A U B = A.
Na sl. osam Vennov dijagram je dat za slučaj kada je B ⊂ A.
Šrafiranjem je označena površina skupa A, koja
istovremeno važi i za skup A U B .
- Iz svojstva "in" proizlazi da:
- A U A = A ;
- A U A = ∅ ;
- A U I = I.
Vježbe
1. Naći elemente skupa A U B ako
A = (a, b, c); B = (b, c, d).
2. Pronađite elemente skupova: prvo A, zatim - A 1 , nakon toga - A 2 (poređajte brojeve u rastućem redoslijedu), ako je A = (x / x ∈ I ∧ (x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2); A 1 ⊂ I je skup višekratnika od tri, A 2 ⊂ I je skupbrojevi koji su višestruki od četiri); I = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
3. Zadana su tri skupa A, B, C. Poznato je da je a ∈ A. Navedite sve tačne tvrdnje:
a) a ⊂ B; f) (a) ∈ B;
b) a ∈ A U B ; g) (a)⊆ A U B ;
c) a ⊂ B U C ; h) (a) ∈ B U C ;
d) a ∈ A U B U C; i) (a)⊆ A U B U C
e) (a) ⊆ A
Odgovori: b), d), e), g), i) - tačno.
4. Na sl. 9 prikazuje Vennov dijagram za tri seta. Pronađite elemente skupova A U B, zatim - A U C.
5. Navedite elemente skupa M (slika 9):
M = (x / x ∉ A ∧ x ∈ I).
6. Navedite elemente skupa N (slika 9):
N = (x / x ∈ A U B , x > 4).
7. Navedite elemente skupa K if
K = (x / x ∈ A U B U C , x je paran broj) (slika 9).
8. Navedite elemente skupa T (slika 9):
T = (x / x ∉ A U C, x ∈ I ).
9. Pronađite kardinalni broj skupa A U B ,
ako je A = (a, b, c); B = (6, 7, 8, 9).
Odgovor: | A U B| = 7
10. Pronađite kardinalne brojeve skupova
A U B, A U C, B U C prema Venovom dijagramu (slika 10).
11. Pronađite kardinalni broj skupa A U B ako
A = (1, 2, 3, 4); B = (2, 3, 4, 5).
Odgovor: | A U B| = 5
12. Naći kardinalni broj skupa A U B ako je A = (∅); B = (a, b, c).
Odgovor: | A U B| = 4
13. Naći kardinalni broj skupa B(P) U B(Q), gdje je
P = (a, b, c); Q = (b, c, d).
Odgovor: |B(P) U B(Q)| = |B(P U Q)| = |B(a, b, c, d)| = 2 4 = 16
14. Naći kardinalni broj skupa B(K) U B(M), gdje je
K = ( x / x je paran prirodan broj, x ≤ 8);
M = ( x / x je neparan prirodan broj, x< 6}.
15. Koliko pravilnih podskupova ima skup, A = A 1 U A 2 U… U A n ,
ako A 1 , A 2 ,…, A n —singletons koji su po parovima nejednaki?
Operacija nad skupovima je pravilo, kao rezultat kojeg se iz datih skupova nedvosmisleno dobija neki novi skup.
Označite proizvoljnu operaciju sa *. Skup dobijen iz datih skupova A i B napisano u formi A*B. Rezultirajući skup i sama operacija nazivaju se jednim pojmom.
Komentar. Za osnovne numeričke operacije koriste se dva pojma: jedan označava samu operaciju kao radnju, drugi je broj koji se dobije nakon izvršenja radnje. Na primjer, operacija označena sa + naziva se zbrajanjem, a broj dobiven kao rezultat zbrajanja naziva se zbroj brojeva. Slično, predznak operacije množenja i rezultat i b - proizvod brojeva a i b. Međutim, rjeđe se ova razlika ne uzima u obzir i kažu „Razmotrite zbir brojeva“, što znači ne određeni rezultat, već samu operaciju.
operacija prelaza.Presjek skupova A i B AglV, koji se sastoji od svih objekata, od kojih svaki pripada oba skupa ALI i AT istovremeno.
Drugim riječima, ASV - je skup svih r takvih da je heA i sjeckati:
rad sindikata.Unija skupova A i B se naziva skup označen A" i B, koji se sastoji od svih objekata, od kojih svaki pripada barem jednom skupu ALI ili AT.
Operacija ujedinjenja se ponekad označava znakom + i naziva se zbrajanjem skupa.
Operacije razlike.Razlika skupova A i B se naziva skup označen AB, koji se sastoji od svih objekata, od kojih svaki leži u ALI, ali ne laže AT.
Izraz apvčitaj „ALI u raskrsnici sa AT», AkjB- "I u vezi sa B", AB - "A bez AT".
Primjer 7.1.1. Neka bude ALI = {1, 3,4, 5, 8,9}, AT = {2,4, 6, 8}.
Onda AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), AcB=( 4,8}, AB= (1,3, 5, 9), YL = (2,6)."
Na osnovu ovih operacija mogu se definirati još dvije važne operacije.
operacija sabiranja. Neka bude AqS. Onda razlika SA pozvao dopunjujući skup od A do S i označeno A s .
Neka bilo koji skup koji se razmatra bude podskup nekog skupa U. Dopuna takvom fiksnom (u kontekstu rješavanja određenog problema) skupu U označiti jednostavno ALI. Oznake se također koriste SA, sa AA".
Primjer 7.1.2. Komplement skupa (1, 3,4, 5, 8, 9) skupu svih decimalnih cifara je (0, 2, 6, 7).
Komplement skupa Q skupu R ima mnogo 1.
Komplement skupa kvadrata skupu pravougaonika je skup svih pravougaonika sa nejednakim susjednim stranicama.
Vidimo da operacije ujedinjenja, preseka i sabiranja skupova odgovaraju logičkim operacijama disjunkcije, konjunkcije i negacije.
Operacija simetrične razlike.Simetrična razlika skupova A i B se naziva skup označen A®B, koji se sastoji od svih objekata, od kojih svaki pripada tačno jednom od skupova A i B:
Lako je vidjeti da je simetrična razlika unija dva skupa AB i VA. Isti skup se može dobiti prvo kombinovanjem skupova ALI i AT, a zatim uklonite zajedničke elemente iz skupa.
Primjer 7.1.3. Neka su dati realni brojevi i tada za odgovarajuće numeričke intervale imamo:
Imajte na umu da od segmenta [a; b] sadrži broj c> i interval (c; d) tačka sa ne sadrži broj sa leži u razlici [a; b] bez [sa; cf. Ali razlika, na primjer, (2; 5), ne sadrži broj 3, jer leži u segmentu. Imamo (2;5)=(2;3).
Neka su dati disjunktni skupovi ALI i AT. Pošto je n znak operacije presjeka, notacija A(bB netačno. Takođe je pogrešno reći da skupovi nemaju presek. Raskrsnica je uvijek tu, definirana je za sve skupove. Činjenica da se skupovi ne seku znači da je njihov presek prazan (tj. izvođenjem navedene operacije dobijamo prazan skup). Ako se skupovi sijeku, onda njihov presjek nije prazan. zaključujemo:
Hajde da generalizujemo operacije unija presecanja na slučaj kada postoji više od dva skupa.
Pustite sistem To setovi. Presek skupova datog sistema je skup svih elemenata, od kojih svaki leži u svim skupovima njihovih TO.
Unija skupova datog sistema je skup svih elemenata, od kojih svaki leži u najmanje jednom od njih. TO.
Neka skupovi sistema To numerisani su elementima neke porodice indeksa /. Zatim bilo koji skup To može se odrediti ALI,-, gdje iel. Ako je zbirka konačna, tada se skup prvih prirodnih brojeva (1,2,...,u) koristi kao /. Općenito, / može biti beskonačan.
Zatim, u opštem slučaju, unija skupova ALI za sve iel označiti (J ALI( , i raskrsnica -f]A i .
Neka set To onda konačno K= U ovom slučaju
pisati AyjA 2 v...KjA„ i AG4 2 (^---G4p-
Primjer 7.1.4. Razmotrimo intervale brojevne prave A| \u003d [-oo; 2], L 2 \u003d H °; 3], L 3 =)
