Zápis průniku a sjednocení množin. Lekce "průnik a spojení množin"
- Sdružení nebo součet n množin A 1 , A 2 , …, A n je množina sestávající z prvků obsažených alespoň v jedné z těchto n množin: A = A 1 U A 2 U… U A n kde znaménko U označuje operaci slučování množin.
Formálně je operace sjednocení množin definována takto:
A = (x / x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2 ∨ … ∨ x ∈ A n ),
kde ∨ je logické znaménko označující spojku OR. Tento záznam se čte následovně: množina A jsou všechny ty hodnoty x, které patří do množiny A 1 nebo množiny A 2 nebo množiny A 3 atd. až do množiny A p.
K provedení operace sjednocení množin je tam kalkulačka .
Například, nechť jsou dány množiny: A 1 = (a, b, c); A2 = (4); A3 = (b, 54). Aplikací sjednocovací operace na ně získáme novou množinu A = A 1 U A 2 U A 3 = (a,b,c,4,54). Všimněte si, že b ∈ A 1 a b ∈ A 3 , ale prvek b se v množině A vyskytuje pouze jednou (připomeňme: všechny prvky množiny musí být různé).
Na () je spojení množin označeno plným stínováním oblastí odpovídajících těmto množinám:
- Na Obr. 5 stínovaných oblastí sady Q U P ,
- Na Obr. 6 ukazuje oblast množiny (P U Q) U R se šrafováním.
- Na Obr. 7 ukazuje tři sady P, Q a R. Šrafování označuje sadu Q U R.
Operace set union má následující vlastnosti:
a) svazek je komutativní:
A U B = B U A;
A U B U C = A U C U B = B U A U C atd.;
b) asociativně sjednotit:
(A U B) U C = A U (B U C) = A U B U C.
(Kvůli asociativitě při psaní několika množin spojených sjednocovacím znakem použijte závorkynelze použít);
v) pokud B ⊆ A nebo B ⊂ A, pak A U B = A.
Na Obr. osm Vennův diagram je uveden pro případ, kdy B ⊂ A.
Šrafování označuje oblast sady A, která
současně platí pro množinu A U B .
- Z vlastnosti "in" vyplývá, že:
- A U A = A;
- A U A = ∅;
- A U I = I.
Cvičení
1. Najděte prvky množiny A U B jestliže
A = (a, b, c); B = (b, c, d).
2. Najděte prvky množin: nejprve A, pak - A 1 , poté - A 2 (čísla seřaďte vzestupně), jestliže A = (x / x ∈ I ∧ (x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2); A 1 ⊂ I je množina násobků tří, A 2 ⊂ I je množinačísla, která jsou násobky čtyř); I = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
3. Jsou dány tři množiny A, B, C. Je známo, že a ∈ A. Označte všechna pravdivá tvrzení:
a) a⊂ B; f) (a) ∈ B;
b) a ∈ A U B; g) (a)⊆ AUB;
c) a⊂ B U C; h) (a) ∈ B U C;
d) a ∈ A U B U C; i) (a)⊆ A U B U C
e) (a) ⊆ A
Odpovědi: b), d), e), g), i) - pravda.
4. Na Obr. 9 ukazuje Vennův diagram pro tři sady. Najděte prvky množin A U B , poté - A U C.
5. Vyjmenujte prvky množiny M (obr. 9):
M = (x / x ∉ A ∧ x ∈ I).
6. Vyjmenujte prvky množiny N (obr. 9):
N = (x / x ∈ A U B, x > 4).
7. Vyjmenujte prvky množiny K if
K = (x / x ∈ A U B U C , x je sudé číslo ) (obr. 9).
8. Vyjmenujte prvky množiny T (obr. 9):
T = (x / x ∉ A U C, x ∈ I).
9. Najděte kardinální číslo množiny A U B ,
jestliže A = (a, b, c); B = (6, 7, 8, 9).
Odpověď: | A U B| = 7
10. Najděte kardinální čísla množin
A U B, A U C, B U C podle Vennova diagramu (obr. 10).
11. Najděte kardinální číslo množiny A U B if
A = (1, 2, 3, 4); B = (2, 3, 4, 5).
Odpověď: | A U B| = 5
12. Najděte kardinální číslo množiny A U B, pokud A = (∅); B = (a, b, c).
Odpověď: | A U B| = 4
13. Najděte kardinální číslo množiny B(P) U B(Q), kde
P = (a, b, c); Q = (b, c, d).
Odpověď: |B(P) U B(Q)| = |B(P U Q)| = |B(a, b, c, d)| = 2 4 = 16
14. Najděte kardinální číslo množiny B(K) U B(M), kde
K = ( x / x je sudé přirozené číslo, x ≤ 8);
M = ( x / x je liché přirozené číslo, x< 6}.
15. Kolik vlastních podmnožin má množina, A = A 1 U A 2 U… U A n ,
pokud A 1 , A 2 ,…, A n —singletony, které jsou párově nerovné?
Operace na množinách je pravidlem, v jehož důsledku se z daných množin jednoznačně získá nějaká nová množina.
Libovolnou operaci označte *. Množina získaná z daných množin A a B napsaný ve formuláři A*B. Výsledná množina a samotná operace se nazývají jeden člen.
Komentář. Pro základní numerické operace se používají dva pojmy: jeden označuje samotnou operaci jako akci, druhý - číslo získané po provedení akce. Například operace označená + se nazývá sčítání a číslo získané sčítáním se nazývá součet čísel. Podobně znaménko operace násobení a výsledek a b - součin čísel a a b. Méně často se však tento rozdíl nebere v úvahu a říkají „Zvažte součet čísel“, což neznamená konkrétní výsledek, ale samotnou operaci.
přejezdový provoz.Průnik množin A a B AglV, skládající se ze všech objektů, z nichž každý patří do obou souborů ALE a V zároveň.
Jinými slovy, ASV - je množina všech r taková, že heA a tít:
odborový provoz.Sjednocení množin A a B se nazývá množina označená A" a B, skládající se ze všech objektů, z nichž každý patří alespoň do jedné sady ALE nebo V.
Operace sjednocení je někdy označena znaménkem + a nazývá se sčítání množin.
Rozdílové operace.Rozdíl množin A a B se nazývá množina označená AB, skládající se ze všech objektů, z nichž každý leží v ALE, ale ne lhát V.
Výraz apvčíst "ALE v průsečíku s V», AkjB- „A ve spojení s B", AB - "A bez V".
Příklad 7.1.1. Nechat ALE = {1, 3,4, 5, 8,9}, V = {2,4, 6, 8}.
Pak AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), AcB=( 4,8}, AB= (1,3, 5, 9), YL = (2,6)."
Na základě těchto operací lze definovat další dvě důležité operace.
operace sčítání. Nechat AqS. Pak ten rozdíl SA volala doplnění množiny A až S a označeny Tak jako .
Nechť je jakákoli uvažovaná množina podmnožinou nějaké množiny U. Doplnění takto pevné (v kontextu řešení konkrétního problému) sady U označovat jednoduše ALE. Používají se také označení SA, S A, A".
Příklad 7.1.2. Doplněk množiny (1, 3,4, 5, 8, 9) k množině všech desetinných číslic je (0, 2, 6, 7).
Doplnění množiny Q k množině R je jich hodně 1.
Doplněk množiny čtverců k množině obdélníků je množina všech obdélníků s nestejnými sousedními stranami.
Vidíme, že operace sjednocení, průniku a sčítání množin odpovídají logickým operacím disjunkce, konjunkce a negace.
Operace symetrického rozdílu.Symetrický rozdíl množin A a B se nazývá množina označená A®B, skládající se ze všech objektů, z nichž každý patří právě do jedné z množin A a B:
Je snadné vidět, že symetrický rozdíl je spojením dvou množin AB a VA. Stejnou sadu lze získat nejprve kombinací sad ALE a V, a poté ze sady odeberte společné prvky.
Příklad 7.1.3. Nechť jsou uvedena reálná čísla a pak pro odpovídající číselné intervaly máme:
Všimněte si, že od segmentu [A; b] obsahuje číslo c> a interval (c; d) směřovat S neobsahuje číslo S spočívá v odlišnosti [A; b] bez [s; srov. Ale například rozdíl (2; 5) neobsahuje číslo 3, protože leží v segmentu. Máme (2;5)=(2;3).
Nechť jsou dány disjunktní množiny ALE a V. Protože n je znakem operace průniku, zápisu A(bB nesprávný. Je také nesprávné říkat, že množiny nemají žádný průsečík. Průsečík existuje vždy, je definován pro libovolné množiny. To, že se množiny neprotínají, znamená, že jejich průnik je prázdný (tedy po provedení zadané operace dostaneme prázdnou množinu). Pokud se množiny protínají, pak jejich průnik není prázdný. uzavíráme:
Zobecněme operace sjednocení průniků na případ, kdy existuje více než dvě množiny.
Nechte systém Na sady. Průsečíkem množin daného systému je množina všech prvků, z nichž každý leží ve všech svých množinách NA.
Sjednocením množin daného systému je množina všech prvků, z nichž každý leží alespoň v jedné z nich. NA.
Nechte množiny soustavy Na jsou číslovány prvky nějaké rodiny indexů /. Pak libovolnou sadu Na lze určit ALE,-, kde iel. Je-li kolekce konečná, použije se množina prvních přirozených čísel (1,2,...,u) jako /. Obecně platí, že / může být nekonečné.
Pak v obecném případě sjednocení množin ALE pro všechny iel označovat (J ALE( , a křižovatka -f]A i .
Nechte sadu Na konečná tedy K= V tomto případě
napsat AyjA 2 v...KjA„ a AG4 2 (^---G4p-
Příklad 7.1.4. Uvažujme intervaly číselné osy A| \u003d [-oo; 2], L 2 \u003d H°; 3], L 3 =)
