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Cómo encontrar los valores de una expresión numérica. Expresiones numéricas y algebraicas

YO. Las expresiones en las que se pueden usar números, signos de operaciones aritméticas y corchetes junto con letras se llaman expresiones algebraicas.

Ejemplos de expresiones algebraicas:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0.3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Dado que una letra en una expresión algebraica se puede reemplazar por algunos números diferentes, la letra se denomina variable y la expresión algebraica en sí se denomina expresión con una variable.

II. Si en una expresión algebraica las letras (variables) se reemplazan por sus valores y se realizan las acciones especificadas, el número resultante se denomina valor de la expresión algebraica.

Ejemplos. Encuentra el valor de una expresión:

1) a + 2b -c para a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| en x = -8; y=-5; z = 6.

Decisión.

1) a + 2b -c para a = -2; b = 10; c = -3,5. En lugar de variables, sustituimos sus valores. Obtenemos:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| en x = -8; y=-5; z = 6. Sustituimos los valores indicados. Recuerda que el módulo de un número negativo es igual a su número opuesto, y el módulo de un número positivo es igual a este mismo número. Obtenemos:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

tercero Los valores de una letra (variable) para los que tiene sentido la expresión algebraica se denominan valores válidos de la letra (variable).

Ejemplos. ¿A qué valores de la variable la expresión no tiene sentido?

Decisión.¡Sabemos que es imposible dividir por cero, por lo tanto, cada una de estas expresiones no tendrá sentido con el valor de la letra (variable) que convierte el denominador de la fracción en cero!

En el ejemplo 1), este valor es a = 0. De hecho, si en lugar de a sustituimos 0, entonces el número 6 deberá dividirse por 0, pero esto no se puede hacer. Respuesta: la expresión 1) no tiene sentido cuando a = 0.

En el ejemplo 2) el denominador x - 4 = 0 en x = 4, por lo tanto, este valor x = 4 y no se puede tomar. Respuesta: la expresión 2) no tiene sentido para x = 4.

En el ejemplo 3) el denominador es x + 2 = 0 para x = -2. Respuesta: la expresión 3) no tiene sentido en x = -2.

En el ejemplo 4) el denominador es 5 -|x| = 0 para |x| = 5. Y como |5| = 5 y |-5| \u003d 5, entonces no puedes tomar x \u003d 5 y x \u003d -5. Respuesta: la expresión 4) no tiene sentido para x = -5 y para x = 5.
IV. Dos expresiones se llaman idénticamente iguales si, para cualquier valor admisible de las variables, los valores correspondientes de estas expresiones son iguales.

Ejemplo: 5 (a - b) y 5a - 5b son idénticos, ya que la igualdad 5 (a - b) = 5a - 5b será cierta para cualquier valor de a y b. La igualdad 5 (a - b) = 5a - 5b es una identidad.

Identidad es una igualdad que es válida para todos los valores admisibles de las variables incluidas en ella. Ejemplos de identidades que ya conoce son, por ejemplo, las propiedades de suma y multiplicación, la propiedad de distribución.

La sustitución de una expresión por otra, idénticamente igual a ella, se denomina transformación idéntica o simplemente transformación de una expresión. Las transformaciones idénticas de expresiones con variables se realizan en función de las propiedades de las operaciones con números.

Ejemplos.

un) convierta la expresión a idénticamente igual usando la propiedad distributiva de la multiplicación:

1) 10 (1,2x + 2,3y); 2) 1,5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Decisión. Recuerda la propiedad distributiva (ley) de la multiplicación:

(a+b) c=a c+b c(ley distributiva de la multiplicación con respecto a la suma: para multiplicar la suma de dos números por un tercer número, puedes multiplicar cada término por este número y sumar los resultados).
(a-b) c=a c-b c(ley distributiva de la multiplicación con respecto a la resta: para multiplicar la diferencia de dos números por un tercer número, se puede multiplicar por este número reducido y restado por separado y restar el segundo del primer resultado).

1) 10 (1.2x + 2.3y) \u003d 10 1.2x + 10 2.3y \u003d 12x + 23y.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) transforme la expresión en idénticamente igual usando las propiedades conmutativas y asociativas (leyes) de la suma:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Decisión. Aplicamos las leyes (propiedades) de la suma:

a+b=b+a(desplazamiento: la suma no cambia por el reordenamiento de los términos).
(a+b)+c=a+(b+c)(asociativo: para sumar un tercer número a la suma de dos términos, puedes sumar la suma del segundo y el tercero al primer número).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

en) transforma la expresión en idénticamente igual usando las propiedades conmutativas y asociativas (leyes) de la multiplicación:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 años · (-uno); 9) 3a · (-3) · 2 s.

Decisión. Apliquemos las leyes (propiedades) de la multiplicación:

a b = b a(desplazamiento: la permutación de factores no cambia el producto).
(a b) c=a (b c)(combinativo: para multiplicar el producto de dos números por un tercer número, puedes multiplicar el primer número por el producto del segundo y el tercero).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2 años · (-1) = 7 años.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Si una expresión algebraica se da como una fracción reducible, entonces, usando la regla de reducción de fracciones, se puede simplificar, es decir, reemplazar idénticamente igual a él por una expresión más simple.

Ejemplos. Simplifica usando la reducción de fracciones.

Decisión. Reducir una fracción significa dividir su numerador y denominador por el mismo número (expresión) distinto de cero. fracción 10) se reducirá en 3b; fracción 11) reducir por un y fracción 12) reducir por 7n. Obtenemos:

Las expresiones algebraicas se utilizan para formular fórmulas.

Una fórmula es una expresión algebraica escrita como una igualdad que expresa la relación entre dos o más variables. Ejemplo: la fórmula de la ruta que conoces s=vt(s es la distancia recorrida, v es la velocidad, t es el tiempo). Recuerda qué otras fórmulas conoces.

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Como regla general, los niños comienzan a estudiar álgebra ya en los grados de primaria. Después de dominar los principios básicos del trabajo con números, resuelven problemas con una o más variables desconocidas. Encontrar el significado de una expresión de este tipo puede ser bastante difícil, pero si lo simplificas con los conocimientos de la escuela primaria, todo saldrá fácil y rápidamente.

¿Cuál es el valor de la expresión

Una expresión numérica es una notación algebraica que consta de números, corchetes y signos en el caso de que tenga sentido.

En otras palabras, si es posible encontrar el significado de una expresión, entonces el registro no carece de significado, y viceversa.

Los ejemplos de las siguientes entradas son construcciones numéricas válidas:

3*8-2;
15/3+6;
0,3*8-4/2;
3/1+15/5;

Un solo número también será una expresión numérica, como el número 18 del ejemplo anterior.
Ejemplos de construcciones numéricas incorrectas que no tienen sentido:

*7-25);
16/0-;
(*-5;

Los ejemplos numéricos incorrectos son solo un conjunto de símbolos matemáticos y no tienen ningún sentido.

Cómo encontrar el valor de una expresión

Dado que hay signos aritméticos en tales ejemplos, podemos concluir que permiten cálculos aritméticos. Para calcular los signos o, en otras palabras, encontrar el valor de la expresión, es necesario realizar las manipulaciones aritméticas adecuadas.

Como ejemplo, considere la siguiente construcción: (120-30)/3=30. El número 30 será el valor de la expresión numérica (120-30)/3.

Instrucción:

El concepto de igualdad numérica

La igualdad numérica es la situación en la que las dos partes del ejemplo están separadas por el signo "=". Es decir, una parte es completamente igual (idéntica) a la otra, aunque se muestre en forma de otras combinaciones de símbolos y números.
Por ejemplo, cualquier construcción del tipo 2+2=4 puede llamarse igualdad numérica, porque aunque se intercambien las partes, el significado no cambiará: 4=2+2. Lo mismo ocurre con estructuras más complejas, incluidos corchetes, divisiones, multiplicaciones, fracciones, etc.

Cómo encontrar el valor de una expresión correctamente

Para encontrar correctamente el valor de una expresión, es necesario realizar cálculos de acuerdo con un cierto orden de acciones. Este orden se enseña en las lecciones de matemáticas y luego en las clases de álgebra en la escuela primaria. También se conoce como pasos de operaciones aritméticas.

Pasos de las operaciones aritméticas:

El primer paso es sumar y restar números.
La segunda etapa es la división y la multiplicación.
La tercera etapa: los números se elevan al cuadrado o al cubo.

Al observar las siguientes reglas, siempre puede determinar correctamente el significado de una expresión:

Siga los pasos del tercer paso al primero si no hay paréntesis en el ejemplo. Es decir, primero eleva al cuadrado o al cubo, luego divide o multiplica, y solo después suma y resta.
Para construcciones entre paréntesis, realice primero los pasos entre paréntesis y luego proceda en el orden anterior. Si hay varios corchetes, utilice también el procedimiento del primer párrafo.
En los ejemplos de fracciones, primero averigua el resultado en el numerador, luego en el denominador, luego divide el primero por el segundo.

Encontrar el significado de una expresión no es difícil si domina los conocimientos elementales de los cursos elementales de álgebra y matemáticas. Guiado por la información anterior, puede resolver cualquier problema, incluso de mayor complejidad.

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Formulación de tareas: Encuentra el valor de la expresión (acciones con fracciones).

La tarea es parte del USE en matemáticas en el nivel básico para el grado 11 en el número 1 (Acciones con fracciones).

Veamos cómo se resuelven estos problemas con ejemplos.

Ejemplo de la tarea 1:

Encuentra el valor de la expresión 5/4 + 7/6: 2/3.

Calculemos el valor de la expresión. Para ello, definimos el orden de las operaciones: primero la multiplicación y la división, luego la suma y la resta. Y realizaremos las acciones necesarias en el orden correcto:

Respuesta: 3

Ejemplo de la tarea 2:

Encuentra el valor de la expresión (3.9 - 2.4) ∙ 8.2

Respuesta: 12.3

Ejemplo de la tarea 3:

Encuentra el valor de la expresión 27 ∙ (1/3 - 4/9 - 5/27).

Calculemos el valor de la expresión. Para ello, definimos el orden de las operaciones: primero la multiplicación y la división, luego la suma y la resta. En este caso, las acciones entre paréntesis se ejecutan antes que las acciones fuera de los paréntesis. Y realizaremos las acciones necesarias en el orden correcto:

Respuesta: -8

Ejemplo de la tarea 4:

Encuentra el valor de la expresión 2.7 / (1.4 + 0.1)

Respuesta: 1.8

Ejemplo de la tarea 5:

Encuentra el valor de la expresión 1 / (1/9 - 1/12).

Respuesta: 36

Ejemplo de la tarea 6:

Encuentra el valor de la expresión (0.24 ∙ 10^6) / (0.6 ∙ 10^4).

Respuesta: 40

Ejemplo de la tarea 7:

Encuentra el valor de la expresión (1.23 ∙ 45.7) / (12.3 ∙ 0.457).

Respuesta: 10

Ejemplo de la tarea 8:

Encuentre el valor de la expresión (728 ^ 2 - 26 ^ 2): 754.

Una entrada que consta de números, signos y corchetes, y también tiene sentido, se llama expresión numérica.

Por ejemplo, las siguientes entradas:

(100-32)/17,
2*4+7,
4*0.7 -3/5,
1/3 +5/7

será numérico. Debe entenderse que un número también será una expresión numérica. En nuestro ejemplo, este número es 13.

Por ejemplo, las siguientes entradas

100 - *9,
/32)343

no serán expresiones numéricas, porque no tienen sentido y son solo una colección de números y signos.

El valor de una expresión numérica.

Dado que los signos de las operaciones aritméticas se incluyen como signos en las expresiones numéricas, podemos calcular el valor de una expresión numérica. Para hacer esto, siga estos pasos.

Por ejemplo,

(100-32)/17 = 4, es decir, para la expresión (100-32)/17, el valor de esta expresión numérica será el número 4.

2*4+7=15, el número 15 será el valor de la expresión numérica 2*4+7.

A menudo, por razones de brevedad, las entradas no escriben el valor completo de una expresión numérica, sino que simplemente escriben "el valor de la expresión", omitiendo la palabra "numérico".

Igualdad numérica

Si dos expresiones numéricas se escriben con un signo igual, entonces estas expresiones forman una igualdad numérica. Por ejemplo, la expresión 2*4+7=15 es una igualdad numérica.

Como se señaló anteriormente, los corchetes se pueden usar en expresiones numéricas. Como ya sabes, los corchetes afectan el orden de las acciones.

En general, todas las acciones se dividen en varias etapas.

Acciones del primer paso: suma y resta.
Acciones de la segunda etapa: multiplicación y división.
Acciones del tercer paso: elevar al cuadrado y elevar al cubo.

Reglas para calcular los valores de las expresiones numéricas.

Al calcular los valores de las expresiones numéricas, se deben seguir las siguientes reglas.

1. Si la expresión no tiene corchetes, entonces es necesario realizar acciones a partir de los pasos más altos: el tercer paso, el segundo paso y el primer paso. Si hay varias acciones de la misma etapa, se realizan en el orden en que están escritas, es decir, de izquierda a derecha.
2. Si hay corchetes en la expresión, entonces las acciones entre corchetes se realizan primero, y solo entonces se realizan todas las acciones de acero en el orden habitual. Al realizar acciones entre paréntesis, si hay varias, debe usar el orden descrito en el párrafo 1.
3. Si la expresión es una fracción, primero se calculan los valores en el numerador y el denominador, y luego el numerador se divide por el denominador.
4. Si la expresión contiene corchetes anidados, las acciones deben realizarse desde los corchetes interiores.

expresión numérica es cualquier registro de números, signos aritméticos y paréntesis. Una expresión numérica también puede constar de un solo número. Recuerde que las operaciones aritméticas básicas son "suma", "resta", "multiplicación" y "división". Estas acciones corresponden a los signos "+", "-", "∙", ":".

Por supuesto, para que podamos obtener una expresión numérica, la notación de números y signos aritméticos debe ser significativa. Entonces, por ejemplo, tal entrada 5: + ∙ no puede llamarse una expresión numérica, ya que este es un conjunto aleatorio de caracteres que no tiene sentido. Por el contrario, 5 + 8 ∙ 9 ya es una expresión numérica real.

El valor de una expresión numérica.

Digamos de inmediato que si realizamos las acciones indicadas en una expresión numérica, como resultado obtendremos un número. Este número se llama el valor de una expresión numérica.

Tratemos de calcular lo que obtenemos como resultado de realizar las acciones de nuestro ejemplo. De acuerdo con el orden de realizar operaciones aritméticas, primero realizamos la operación de multiplicación. Multiplica 8 por 9. Obtenemos 72. Ahora sumamos 72 y 5. Obtenemos 77.
Entonces, 77 - significado expresión numérica 5 + 8 ∙ 9.

Igualdad numérica.

Puedes escribirlo de esta manera: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Aquí primero usamos el signo "=" ("Igual"). Tal notación, en la que dos expresiones numéricas están separadas por el signo "=", se llama igualdad numérica. Además, si los valores de las partes izquierda y derecha de la igualdad son iguales, entonces la igualdad se llama fiel. 5 + 8 ∙ 9 = 77 es la igualdad correcta.
Si escribimos 5 + 8 ∙ 9 = 100, entonces esto ya será falsa igualdad, ya que los valores de los lados izquierdo y derecho de esta igualdad ya no coinciden.

Cabe señalar que en una expresión numérica, también podemos usar paréntesis. Los paréntesis afectan el orden en que se realizan las acciones. Entonces, por ejemplo, modificamos nuestro ejemplo agregando corchetes: (5 + 8) ∙ 9. Ahora primero debemos sumar 5 y 8. Obtenemos 13. Y luego multiplicamos 13 por 9. Obtenemos 117. Por lo tanto, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – significado expresión numérica (5 + 8) ∙ 9.

Para leer correctamente una expresión, debe determinar qué acción se realiza en último lugar para calcular el valor de una expresión numérica determinada. Entonces, si la última acción es una resta, entonces la expresión se llama "diferencia". En consecuencia, si la última acción es la suma - "suma", división - "privado", multiplicación - "producto", exponenciación - "grado".

Por ejemplo, la expresión numérica (1 + 5) (10-3) se lee así: “el producto de la suma de los números 1 y 5 y la diferencia entre los números 10 y 3”.

Ejemplos de expresiones numéricas.

Aquí hay un ejemplo de una expresión numérica más compleja:

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

En esta expresión numérica se utilizan números primos, fracciones ordinarias y decimales. También se utilizan los símbolos de suma, resta, multiplicación y división. La barra de fracción también reemplaza el signo de división. Con una aparente complejidad, encontrar el valor de esta expresión numérica es bastante simple. Lo principal es poder realizar operaciones con fracciones, así como hacer cálculos con cuidado y precisión, observando el orden de las acciones.

Entre paréntesis tenemos la expresión $\frac(1)(4)+3.75$ . Convirtamos la fracción decimal 3.75 a una ordinaria.

$3,75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Asi que, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Además, en el numerador de la fracción \[\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\] tenemos la expresión 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47. Para simplificar esta expresión, aplicamos la ley conmutativa de la suma, que dice: "La suma no cambia por un cambio en los lugares de los términos". Es decir, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

En el denominador de la fracción, la expresión $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Obtenemos $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$

¿Cuándo las expresiones numéricas no tienen sentido?

Consideremos un ejemplo más. En el denominador de una fracción $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ el valor de la expresión $3\centerdot 3-9$ es 0. Y, como sabemos, la división por cero es imposible. Por lo tanto, la fracción $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ no tiene valor. Se dice que las expresiones numéricas que no tienen significado "no tienen significado".

Si usamos letras además de números en una expresión numérica, entonces obtendremos

Puntos de vista