علامت تقاطع و اتحاد مجموعه ها. درس "تقاطع و اتحاد مجموعه ها"

• اتحادیهیا مجموع n مجموعه A 1 , A 2 , …, A n مجموعه ای متشکل از عناصر موجود در حداقل یکی از این n مجموعه است: A = A 1 U A 2 U... U A n که در آن علامت U عملکرد ترکیب مجموعه ها را نشان می دهد.

به طور رسمی، عملیات اتحاد مجموعه ها به صورت زیر تعریف می شود:

A = (x / x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2 ∨ … ∨ x ∈ A n )

که در آن ∨ یک علامت منطقی است که نشان دهنده حرف ربط OR است. این ورودی به صورت زیر خوانده می شود: مجموعه A تمام مقادیر x است که به مجموعه A 1 یا مجموعه A 2 یا مجموعه A 3 و غیره تا مجموعه A p تعلق دارد.

برای انجام عملیات اتحاد مجموعه ها یک ماشین حساب وجود دارد .

مثلا، بگذارید مجموعه ها داده شوند: A 1 = (a, b, c); A2 = (4)؛ A 3 = (b, 54). با اعمال عملیات اتحاد بر روی آنها، مجموعه جدیدی A = A 1 U A 2 U A 3 = (a,b,c,4,54) بدست می آوریم. توجه داشته باشید که b ∈ A 1 و b ∈ A 3، اما عنصر b تنها یک بار در مجموعه A ظاهر می شود (یادآوری: همه عناصر مجموعه باید متفاوت باشند).

در ()، اتحاد مجموعه ها با سایه زنی جامد از مناطق مربوط به این مجموعه ها نشان داده می شود:

• روی انجیر 5 ناحیه سایه دار مجموعه Q U P،
• روی انجیر 6 ناحیه مجموعه (P U Q) U R را با تفریخ نشان می دهد.
• روی انجیر 7 سه مجموعه P، Q و R را نشان می دهد. هچینگ مجموعه Q U R را مشخص می کند.

عملیات set union دارای ویژگی های زیر است:

الف) اتحاد جایگزین است:

A U B = B U A ;

A U B U C = A U C U B = B U A U C و غیره.

ب) اتحادیه به صورت انجمنی:

(A U B) U C = A U (B U C) = A U B U C.

(به دلیل تداعی، هنگام نوشتن چندین مجموعه که با علامت اتحاد، براکت ها به هم متصل می شوندممکن است استفاده نشود)؛

که در) اگر B ⊆ A یا B ⊂ A، آنگاه A U B = A.

روی انجیر هشت نمودار ون برای موردی داده می شود که B⊂ A باشد.

هچینگ مساحت مجموعه A را مشخص می کند که

به طور همزمان برای مجموعه A U B اعمال می شود.

• از ویژگی "in" چنین می شود که:

1. A U A = A ;
2. A U A = ∅ ;
3. A U I = I.

تمرینات

1. عناصر مجموعه A U B را پیدا کنید اگر

A = (a، b، c)؛ B = (ب، ج، د).

2. عناصر مجموعه ها را پیدا کنید: ابتدا A، سپس - A 1، پس از آن - A 2 (اعداد را به ترتیب صعودی مرتب کنید)، اگر A = (x / x ∈ I ∧ (x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2)؛ A 1 ⊂ I مجموعه مضرب سه است، A 2 ⊂ I مجموعه استاعداد مضرب چهار)؛ I = (1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8).

3. با توجه به سه مجموعه A، B، C. مشخص است که a ∈ A. تمام عبارات درست را نشان دهید:

الف) a ⊂ B؛ f) (a) ∈ B;

ب) a ∈ A U B ; g) (a) ⊆ A U B ;

ج) a ⊂ B U C ; h) (a) ∈ B U C ;

د) a ∈ A U B U C; i) (الف) ⊆ A U B U C

ه) (الف) ⊆ الف

پاسخ ها: ب)، د)، ه)، ز)، من) - درست است.

4. در شکل. 9 نمودار ون را برای سه مجموعه نشان می دهد. عناصر مجموعه های A U B و سپس - A U C را پیدا کنید.

5. عناصر مجموعه M را فهرست کنید (شکل 9):

M = (x / x ∉ A ∧ x ∈ I).

6. عناصر مجموعه N را فهرست کنید (شکل 9):

N = (x / x ∈ A U B، x > 4).

7. عناصر مجموعه K if را فهرست کنید

K = (x / x ∈ A U B U C، x یک عدد زوج است) (شکل 9).

8. عناصر مجموعه T را فهرست کنید (شکل 9):

T = (x / x ∉ A U C، x ∈ I).

9. عدد اصلی مجموعه A U B را پیدا کنید،

اگر A = (a، b، c)؛ B = (6، 7، 8، 9).

پاسخ: | A U B| = 7

10. اعداد اصلی مجموعه ها را بیابید

A U B، A U C، B U C مطابق نمودار ون (شکل 10).

11. عدد اصلی مجموعه A U B را پیدا کنید اگر

A = (1، 2، 3، 4)؛ B = (2، 3، 4، 5).

پاسخ: | A U B| = 5

12. اگر A = (∅) عدد اصلی مجموعه A U B را بیابید. B = (a، b، c).

پاسخ: | A U B| = 4

13. عدد اصلی مجموعه B(P) U B(Q) را پیدا کنید، جایی که

P = (a، b، c)؛ Q = (ب، ج، د).

پاسخ : |B(P) U B(Q)| = |B(P U Q)| = |B(a، b، c، d)| = 2 4 = 16

14. عدد اصلی مجموعه B(K) U B(M) را پیدا کنید، جایی که

K = (x / x یک عدد طبیعی زوج است، x ≤ 8).

M = ( x / x یک عدد طبیعی فرد است، x< 6}.

15. مجموعه چند زیر مجموعه مناسب دارد، A = A 1 U A 2 U… U A n ,

اگر A 1، A 2،…، A n -تک قلوهایی که جفت نابرابر هستند؟

عملیات روی مجموعه ها یک قاعده است که در نتیجه آن مقداری مجموعه جدید بدون ابهام از مجموعه های داده شده به دست می آید.

یک عملیات دلخواه را با * نشان دهید. مجموعه ای که از مجموعه های داده شده به دست می آید الف و بدر فرم نوشته شده است A*B.مجموعه حاصل و خود عملیات را یک ترم می گویند.

اظهار نظر.برای عملیات عددی پایه، از دو عبارت استفاده می شود: یکی خود عملیات را به عنوان یک عمل نشان می دهد، دیگری عددی است که پس از انجام عمل به دست می آید. به عنوان مثال عملی که با + مشخص می شود جمع و عددی که در نتیجه جمع به دست می آید را مجموع اعداد می گویند. به طور مشابه، علامت عملیات ضرب، و نتیجه و ب -حاصل ضرب اعداد الف و ببا این حال، کمتر این تفاوت در نظر گرفته نمی شود و می گویند "مجموع اعداد را در نظر بگیرید"، به این معنی که نتیجه خاصی نیست، بلکه خود عملیات است.

عملیات عبورمحل تلاقی مجموعه های A و B AglV، شامل تمام اشیاء است که هر کدام به هر دو مجموعه تعلق دارند ولیو ATهمزمان.

به عبارت دیگر، ASV -مجموعه همه r به گونه ای است که heAو هو:

عملیات اتحادیهاتحاد مجموعه های A و Bمجموعه نشان داده شده نامیده می شود A "و B،متشکل از تمام اشیاء، که هر کدام به حداقل یک مجموعه تعلق دارند ولییا AT.

عمل اتحاد گاهی اوقات با علامت + نشان داده می شود و به آن مجموعه جمع می گویند.

عملیات تفاوتتفاوت مجموعه های A و Bمجموعه نشان داده شده نامیده می شود AB، متشکل از تمام اشیاء است که هر کدام در آن قرار دارند ولی،اما دروغ نمی گوید AT.

اصطلاح apvخواندن "ولیدر تقاطع با AT», AkjB- «و در پیوند با B، AB - "Aبدون AT".

مثال 7.1.1.بگذار باشد ولی = {1, 3,4, 5, 8,9}, AT = {2,4, 6, 8}.

سپس AkjB= (1،2، 3،4، 5، 6، 8، 9)، AcB=( 4,8}, AB= (1.3، 5، 9)، YL = (2.6)."

بر اساس این عملیات می توان دو عملیات مهم دیگر را تعریف کرد.

عملیات اضافهبگذار باشد AqS. سپس تفاوت SAتماس گرفت تکمیل مجموعه A تا Sو نشان داد مانند .

بگذارید هر مجموعه ای که در نظر گرفته می شود زیرمجموعه ای از مجموعه ای باشد U.مکمل چنین مجموعه ای ثابت (در زمینه حل یک مشکل خاص). Uبه سادگی نشان می دهد ولی. از نام گذاری ها نیز استفاده می شود SA،با الف، الف".

مثال 7.1.2.مکمل مجموعه (1، 3،4، 5، 8، 9) به مجموعه تمام ارقام اعشاری (0، 2، 6، 7) است.

مکمل مجموعه Q به مجموعه آرتعداد زیادی وجود دارد 1.

مکمل مجموعه ای از مربع ها به مجموعه ای از مستطیل ها، مجموعه ای از تمام مستطیل ها با اضلاع مجاور نابرابر است.

می بینیم که عملیات اتحاد، تلاقی و جمع مجموعه ها با عملیات منطقی تفکیک، پیوند و نفی مطابقت دارد.

عملیات تفاضل متقارناختلاف متقارن مجموعه های A و Bمجموعه نشان داده شده نامیده می شود A®B، متشکل از تمام اشیاء است که هر کدام دقیقاً به یکی از مجموعه ها تعلق دارند الف و ب:

به راحتی می توان فهمید که تفاوت متقارن اتحاد دو مجموعه است ABو VA.همین مجموعه را می توان ابتدا با ترکیب مجموعه ها به دست آورد ولیو AT،و سپس عناصر مشترک را از مجموعه حذف کنید.

مثال 7.1.3. بگذارید اعداد واقعی داده شوند و سپس برای بازه های عددی مربوطه داریم:

توجه داشته باشید که از بخش [آ؛ ب]شامل یک عدد ج>و فاصله (ج؛ د)نقطه باشامل شماره نیست بادر تفاوت نهفته است [آ؛ ب]بدون [با; رجوع کنید بهاما تفاوت، برای مثال، (2؛ 5)، شامل عدد 3 نیست، زیرا در بخش قرار دارد. (2;5)=(2;3) داریم.

اجازه دهید مجموعه های ناهمگون داده شود ولیو AT.از آنجایی که n علامت عملیات تقاطع است، نماد A(bBغلط. این نیز نادرست است که بگوییم مجموعه ها هیچ تلاقی ندارند. تقاطع همیشه وجود دارد، برای هر مجموعه ای تعریف شده است. عدم تلاقی مجموعه ها به معنای خالی بودن تقاطع آنهاست (یعنی با انجام عملیات مشخص شده یک مجموعه خالی بدست می آوریم). اگر مجموعه ها همدیگر را قطع کنند، پس تقاطع آنها خالی نیست. نتیجه می گیریم:

اجازه دهید عملیات اتحاد تقاطع را به حالتی تعمیم دهیم که بیش از دو مجموعه وجود دارد.

اجازه دهید سیستم بهمجموعه ها محل تلاقی مجموعه های یک سیستم معین مجموعه ای از همه عناصر است که هر کدام در همه مجموعه های آنها قرار دارند. به.

اتحاد مجموعه های یک سیستم معین مجموعه ای از همه عناصر است که هر کدام حداقل در یک مجموعه از آنها قرار دارد. به.

اجازه دهید مجموعه های سیستم بهبا عناصر برخی از خانواده شاخص ها شماره گذاری می شوند. سپس هر مجموعه ای از بهرا می توان تعیین کرد ولی،-،جایی که ielاگر مجموعه متناهی باشد، مجموعه اعداد طبیعی اول (1،2،...،u) به صورت / استفاده می شود. به طور کلی، / می تواند بی نهایت باشد.

سپس در حالت کلی، اتحاد مجموعه ها ولیبرای همه ielنشان دادن (J ولی(، و تقاطع -f]A i.

بگذارید مجموعه بهنهایی، پس K=در این مورد

نوشتن AyjA 2 v...KjA„و AG4 2 (^---G4p-

مثال 7.1.4. فواصل خط عددی A| را در نظر بگیرید \u003d [-oo; 2]، L 2 \u003d H °; 3]، L 3 =)