Notazione di intersezione e unione di insiemi. Lezione "intersezione e unione di insiemi"
- Associazione o la somma di n insiemi A 1 , A 2 , …, A n è un insieme costituito da elementi compresi in almeno uno di questi n insiemi: A = A 1 U A 2 U… U A n dove il segno U denota l'operazione di combinare insiemi.
Formalmente, l'operazione di unione degli insiemi è definita come segue:
UN = (x / x ∈ UN 1 ∨ x ∈ UN 2 ∨ … ∨ x ∈ UN n ),
dove ∨ è un segno logico che denota la congiunzione OR. Questa voce si legge come segue: l'insieme A è tutti quei valori di x che appartengono all'insieme A 1, o all'insieme A 2, o all'insieme A 3, e così via fino all'insieme A p.
Per eseguire l'operazione di unione di insiemi c'è una calcolatrice .
Per esempio, siano dati gli insiemi: A 1 = (a, b, c); LA2 = (4); A 3 = (b, 54). Applicando loro l'operazione di unione, otteniamo un nuovo insieme A = A 1 U A 2 U A 3 = (a,b,c,4,54). Si noti che b ∈ A 1 e b ∈ A 3 , ma l'elemento b compare nell'insieme A solo una volta (ricorda: tutti gli elementi dell'insieme devono essere diversi).
Su (), l'unione di insiemi è indicata dall'ombreggiatura solida delle aree corrispondenti a questi insiemi:
- Sulla fig. 5 zone d'ombra del set Q U P ,
- Sulla fig. 6 mostra la regione dell'insieme (P U Q) U R con tratteggio.
- Sulla fig. 7 mostra tre insiemi P, Q e R. Il tratteggio segna l'insieme Q U R.
L'operazione di unione degli insiemi ha le seguenti proprietà:
a) l'unione è commutativa:
A U B = B U A ;
A U B U C = A U C U B = B U A U C ecc.;
b) in modo sindacale:
(A U B) U C = A U (B U C) = A U B U C.
(A causa dell'associatività, quando si scrivono più insiemi collegati da un segno di unione, parentesinon può essere utilizzato);
in) se B ⊆ A o B ⊂ A, allora A U B = A.
Sulla fig. otto il diagramma di Venn è dato per il caso in cui B ⊂ A.
Il tratteggio segna l'area dell'insieme A, che
si applica contemporaneamente all'insieme A U B .
- Dalla proprietà "in" segue che:
- A U A = A ;
- A U A = ∅ ;
- A U io = io.
Esercizi
1. Trova gli elementi dell'insieme A U B se
A = (a, b, c); B = (b, c, d).
2. Trova gli elementi degli insiemi: prima A, poi - A 1 , poi - A 2 (ordina i numeri in ordine crescente), se A = (x / x ∈ I ∧ (x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2); A 1 ⊂ I è l'insieme dei multipli di tre, A 2 ⊂ I è l'insiemenumeri multipli di quattro); I = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
3. Dati tre insiemi A, B, C. È noto che a ∈ A. Indica tutte le affermazioni vere:
a) a ⊂ B; f) (a) ∈ B;
b) a ∈ A U B ; g) (a)⊆ A U B ;
c) a ⊂ B U C ; h) (a) ∈ BUC;
d) a ∈ A U B U C; i) (a)⊆ A U B U C
e) (a) ⊆ A
Risposte: b), d), e), g), i) - vero.
4. Nella fig. 9 mostra un diagramma di Venn per tre serie. Trova gli elementi degli insiemi A U B , quindi - A U C.
5. Elenca gli elementi dell'insieme M (Fig. 9):
M = (x / x ∉ UN ∧ x ∈ I).
6. Elenca gli elementi dell'insieme N (Fig. 9):
N = (x / x ∈ UN U B , x > 4).
7. Elenca gli elementi dell'insieme K se
K = (x / x ∈ A U B U C , x è un numero pari ) (Fig. 9).
8. Elenca gli elementi dell'insieme T (Fig. 9):
T = (x / x ∉ A U C, x ∈ I ).
9. Trova il numero cardinale dell'insieme A U B ,
se A = (a, b, c); B = (6, 7, 8, 9).
Risposta: | AB| = 7
10. Trova i numeri cardinali degli insiemi
A U B, A U C, B U C secondo il diagramma di Venn (Fig. 10).
11. Trova il numero cardinale dell'insieme A U B se
A = (1, 2, 3, 4); B = (2, 3, 4, 5).
Risposta: | AB| = 5
12. Trova il numero cardinale dell'insieme A U B se A = (∅); B = (a, b, c).
Risposta: | AB| = 4
13. Trova il numero cardinale dell'insieme B(P) U B(Q), dove
P = ( a, b, c ); Q = (b, c, d).
Risposta: |B(P) U B(Q)| = |B(P U Q)| = |B(a, b, c, d)| = 2 4 = 16
14. Trova il numero cardinale dell'insieme B(K) U B(M), dove
K = ( x / x è un numero naturale pari, x ≤ 8);
M = ( x / x è un numero naturale dispari, x< 6}.
15. Quanti sottoinsiemi propri ha l'insieme, A = A 1 U A 2 U… U A n ,
se A 1 , A 2 ,…, A n —singleton che sono disuguali a coppie?
Un'operazione sugli insiemi è una regola, in conseguenza della quale si ottiene inequivocabilmente un nuovo insieme da determinati insiemi.
Denota un'operazione arbitraria con *. L'insieme ottenuto dagli insiemi dati A e B scritto nella forma A*B. L'insieme risultante e l'operazione stessa sono chiamati un termine.
Commento. Per le operazioni numeriche di base vengono utilizzati due termini: uno indica l'operazione stessa come un'azione, l'altro è il numero ottenuto dopo che l'azione è stata eseguita. Ad esempio, l'operazione indicata con + è chiamata addizione e il numero ottenuto come risultato dell'addizione è chiamato somma di numeri. Allo stesso modo, il segno dell'operazione di moltiplicazione e il risultato e B - prodotto di numeri a e b. Tuttavia, meno spesso questa differenza non viene presa in considerazione e dicono "Considera la somma dei numeri", intendendo non un risultato specifico, ma l'operazione stessa.
operazione di attraversamento.L'intersezione degli insiemi A e B AglV, costituito da tutti gli oggetti, ognuno dei quali appartiene a entrambi gli insiemi MA e A contemporaneamente.
In altre parole, ASV -è l'insieme di tutti r tali che heA e hew:
operazione sindacale.Unione degli insiemi A e Bè chiamato l'insieme indicato A "e B, costituito da tutti gli oggetti, ognuno dei quali appartiene ad almeno un insieme MA o A.
L'operazione di unione è talvolta indicata da un segno + ed è chiamata addizione di insiemi.
Operazioni di differenza.La differenza degli insiemi A e Bè chiamato l'insieme indicato AB, costituito da tutti gli oggetti, ognuno dei quali si trova in MA, ma non mentendo A.
Espressione av leggere "MA in incrocio con A», AkjB- "E in congiunzione con B", AB - "A privo di A".
Esempio 7.1.1. Lascia stare MA = {1, 3,4, 5, 8,9}, A = {2,4, 6, 8}.
Quindi AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), AcB=( 4,8}, AB= (1.3, 5, 9), YL = (2.6)."
Sulla base di queste operazioni si possono definire altre due operazioni importanti.
operazione di addizione. Lascia stare AqS. Poi la differenza SA chiamata completando l'insieme da A a S e indicato Come .
Sia qualsiasi insieme in esame un sottoinsieme di un insieme u. Complemento a un tale insieme fisso (nel contesto della risoluzione di un problema particolare). u denotare semplicemente MA. Vengono utilizzate anche le denominazioni SA, insieme a AA".
Esempio 7.1.2. Il complemento dell'insieme (1, 3,4, 5, 8, 9) all'insieme di tutte le cifre decimali è (0, 2, 6, 7).
Complemento dell'insieme Q all'insieme R ce ne sono molti 1.
Il complemento di un insieme di quadrati a un insieme di rettangoli è l'insieme di tutti i rettangoli con lati adiacenti disuguali.
Vediamo che le operazioni di unione, intersezione e addizione di insiemi corrispondono alle operazioni logiche di disgiunzione, congiunzione e negazione.
Operazione di differenza simmetrica.Differenza simmetrica degli insiemi A e Bè chiamato l'insieme indicato A®B, costituito da tutti gli oggetti, ognuno dei quali appartiene esattamente a uno degli insiemi A e B:
È facile vedere che la differenza simmetrica è l'unione di due insiemi AB e VA. Lo stesso insieme può essere ottenuto combinando prima gli insiemi MA e A, e quindi rimuovere gli elementi comuni dal set.
Esempio 7.1.3. Siano dati i numeri reali e Allora per i corrispondenti intervalli numerici abbiamo:
Si noti che dal momento che il segmento [un; b] contiene un numero c> e l'intervallo (CD) punto insieme a non contiene il numero insieme a sta nella differenza [un; b] senza [con; cfr. Ma la differenza, ad esempio, (2; 5), non contiene il numero 3, poiché si trova nel segmento. Abbiamo (2;5)=(2;3).
Siano dati insiemi disgiunti MA e A. Poiché n è il segno dell'operazione di intersezione, la notazione A(bB errato. È anche errato dire che gli insiemi non hanno intersezione. L'intersezione è sempre lì, è definita per tutti gli insiemi. Il fatto che gli insiemi non si intersechino significa che la loro intersezione è vuota (ovvero, eseguendo l'operazione specificata, otteniamo un insieme vuoto). Se gli insiemi si intersecano, la loro intersezione non è vuota. Concludiamo:
Generalizziamo le operazioni di unione di intersezione al caso in cui vi siano più di due insiemi.
Lascia che il sistema A imposta. L'intersezione degli insiemi di un dato sistema è l'insieme di tutti gli elementi, ognuno dei quali giace in tutti i loro insiemi A.
L'unione di insiemi di un dato sistema è l'insieme di tutti gli elementi, ognuno dei quali giace in almeno un insieme di essi. A.
Passiamo agli insiemi del sistema A sono numerati da elementi di qualche famiglia di indici /. Quindi qualsiasi set di A può essere designato MA,-, dove iel. Se la raccolta è finita, l'insieme dei primi numeri naturali (1,2,...,u) viene utilizzato come /. In generale, / può essere infinito.
Poi, nel caso generale, l'unione di insiemi MA per tutti iel denotare (J MA( , e l'intersezione -f]A io .
Lascia che il set A definitivo, quindi K= In questo caso
scrivere AyjA 2 v...KjA„ e AG4 2 (^---G4p-
Esempio 7.1.4. Considera gli intervalli della retta dei numeri A| \u003d [-oo; 2], L 2 \u003d H °; 3], L 3 =)
