Олонлогуудын огтлолцол ба нэгдэл тэмдэглэгээ. "Ойлголцол ба олонлогуудын нэгдэл" хичээл
- Холбооэсвэл n олонлогийн нийлбэр A 1 , A 2 , …, A n нь эдгээр n олонлогийн ядаж нэгд багтсан элементүүдээс бүрдэх олонлог юм: A = A 1 U A 2 U… U A n энд U тэмдэг нь олонлогуудыг нэгтгэх үйлдлийг илэрхийлдэг.
Албан ёсоор багцуудын нэгдлийн ажиллагааг дараах байдлаар тодорхойлно.
A = (x / x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2 ∨ … ∨ x ∈ A n ),
Энд ∨ нь OR холбоосыг илэрхийлэх логик тэмдэг юм. Энэ оруулгыг дараах байдлаар уншина: А олонлог нь A 1 олонлогт, эсвэл А 2 олонлогт, эсвэл А 3 олонлогт хамаарах x-ийн бүх утгууд бөгөөд A p олонлог хүртэл үргэлжлэх болно.
Багцуудын үйл ажиллагааны нэгдлийг гүйцэтгэх тооны машин байна .
Жишээлбэл, олонлогуудыг өгье: A 1 = (a, b, c); A2 = (4); A 3 = (b, 54). Тэдэнд нэгдэх үйлдлийг ашигласнаар бид шинэ олонлогийг олж авна A = A 1 U A 2 U A 3 = (a,b,c,4,54). b ∈ A 1 ба b ∈ A 3 гэдгийг анхаарна уу, гэхдээ b элемент нь А олонлогт зөвхөн нэг удаа харагдана (санах: олонлогийн бүх элементүүд өөр байх ёстой).
() дээр олонлогуудын нэгдлийг эдгээр олонлогт тохирох талбайн хатуу сүүдэрээр тэмдэглэнэ.
- Зураг дээр. Q U P багцын 5 сүүдэртэй хэсэг,
- Зураг дээр. 6-д ангаахайтай багцын бүсийг (P U Q) U R харуулж байна.
- Зураг дээр. 7 нь P, Q, R гэсэн гурван багцыг харуулж байна. Ангаахай нь Q U R багцыг тэмдэглэдэг.
Суулгацын нэгдэл нь дараах шинж чанартай:
a) нэгдэл нь солигддог:
A U B = B U A;
A U B U C = A U C U B = B U A U C гэх мэт;
б) эвлэлдэн нэгдэх:
(A U B) U C = A U (B U C) = A U B U C.
(Холбооны улмаас хэд хэдэн багц бичихдээ нэгдлийн тэмдгээр хаалтанд орноашиглахгүй байж болно);
онд) хэрэв B ⊆ A эсвэл B ⊂ A бол A U B = A болно.
Зураг дээр. найм В ⊂ А тохиолдолд Венн диаграммыг өгсөн болно.
Ангаахай нь А багцын талбайг тэмдэглэдэг
A U B багцад нэгэн зэрэг хамаарна.
- "In" шинж чанараас дараахь зүйлийг мэдэж болно.
- A U A = A;
- A U A = ∅ ;
- A U I = I.
Дасгал
1. Хэрэв A U B олонлогийн элементүүдийг ол
A = (a, b, c); B = (b, c, d).
2. Олонлогуудын элементүүдийг ол: эхлээд A, дараа нь - A 1 , дараа нь - A 2 (тоонуудыг өсөх дарааллаар эрэмбэлнэ), хэрэв A = (x / x ∈ I ∧ (x ∈ A 1 ∨ x ∈ A) бол 2); A 1 ⊂ I нь гурвын үржвэрийн олонлог, A 2 ⊂ I нь олонлог юм.дөрвийн үржвэр тоо); I = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
3. A, B, C гурван багц өгөгдсөн. a ∈ A гэдгийг мэддэг. Бүх үнэн мэдэгдлийг заана уу:
a) a ⊂ B; f) (a) ∈ B;
b) a ∈ A U B ; g) (a)⊆ A U B ;
в) a ⊂ B U C ; h) (a) ∈ B U C ;
d) a ∈ A U B U C; i) (a)⊆ A U B U C
д) (а) ⊆ А
Хариултууд: b), d), e), g), i) - үнэн.
4. Зураг дээр. 9-д гурван багцад зориулсан Венн диаграмыг харуулав. A U B олонлогуудын элементүүдийг ол, дараа нь - A U C.
5. M олонлогийн элементүүдийг жагсаа (Зураг 9):
M = (x / x ∉ A ∧ x ∈ I).
6. N олонлогийн элементүүдийг жагсаа (Зураг 9):
N = (x / x ∈ A U B , x > 4).
7. Хэрэв K олонлогийн элементүүдийг жагсаа
K = (x / x ∈ A U B U C, x нь тэгш тоо) (Зураг 9).
8. T олонлогийн элементүүдийг жагсаа (Зураг 9):
T = (x / x ∉ A U C, x ∈ I ).
9. A U B олонлогийн үндсэн дугаарыг ол.
хэрэв A = (a, b, c); B = (6, 7, 8, 9).
Хариулт: | A U B| = 7
10. Багцуудын үндсэн тоог ол
Венн диаграмын дагуу A U B, A U C, B U C (Зураг 10).
11. Хэрэв A U B олонлогийн үндсэн дугаарыг ол
A = (1, 2, 3, 4); B = (2, 3, 4, 5).
Хариулт: | A U B| = 5
12. А = (∅) бол A U B олонлогийн үндсэн дугаарыг ол; B = (a, b, c).
Хариулт: | A U B| = 4
13. B(P) U B(Q) олонлогийн үндсэн дугаарыг ол, энд
P = ( a, b, c ); Q = (b, c, d).
Хариулт: |B(P) U B(Q)| = |B(P U Q)| = |B(a, b, c, d)| = 2 4 = 16
14. B(K) U B(M) олонлогийн үндсэн дугаарыг ол, энд
K = ( x / x тэгш натурал тоо, x ≤ 8);
M = ( x / x нь сондгой натурал тоо, x< 6}.
15. Олонлог хэдэн зөв дэд олонлогтой вэ, A = A 1 U A 2 U… U A n ,
хэрэв A 1 , A 2 ,…, A n -хосоороо тэгш бус синглтонууд?
Олонлог дээрх үйлдэл нь дүрэм бөгөөд үүний үр дүнд өгөгдсөн олонлогоос тодорхой шинэ олонлогийг олж авдаг.
Дурын үйлдлийг *-ээр тэмдэглэ. Өгөгдсөн багцуудаас олж авсан багц А ба Бхэлбэрээр бичсэн A*B.Үүссэн олонлог болон үйлдлийг өөрөө нэг нэр томъёо гэж нэрлэдэг.
Сэтгэгдэл.Үндсэн тоон үйлдлүүдийн хувьд хоёр нэр томъёог ашигладаг: нэг нь үйлдлийг өөрөө үйлдэл гэж тодорхойлдог, нөгөө нь үйлдлийг хийсний дараа олж авсан тоо юм. Жишээлбэл, + гэж тэмдэглэсэн үйлдлийг нэмэх, нэмэхийн үр дүнд олж авсан тоог тооны нийлбэр гэж нэрлэдэг. Үүний нэгэн адил үржүүлэх үйлдлийн тэмдэг, үр дүн ба б -тоонуудын бүтээгдэхүүн а ба б.Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ энэ ялгааг анхаарч үздэггүй бөгөөд тэд "Тоонуудын нийлбэрийг анхаарч үзээрэй" гэж хэлдэг бөгөөд энэ нь тодорхой үр дүн биш, харин үйл ажиллагаа гэсэн үг юм.
хөндлөн огтлолцох ажиллагаа.А ба В олонлогуудын огтлолцол AglV, тус бүр нь хоёр багцад хамаарах бүх объектуудаас бүрддэг ГЭХДЭЭболон ATнэгэн зэрэг.
Өөрөөр хэлбэл, ASV -бүх r ийм олонлог байна тэрАболон hew:
эвлэлийн үйл ажиллагаа.А ба В багцуудын нэгдэлтэмдэглэсэн олонлог гэж нэрлэдэг А "ба Б,Бүх объектуудаас бүрдэх бөгөөд тус бүр нь дор хаяж нэг багцад хамаарах болно ГЭХДЭЭэсвэл AT.
Нэгдлийн үйлдлийг заримдаа + тэмдгээр тэмдэглэдэг бөгөөд үүнийг олонлогийн нэмэлт гэж нэрлэдэг.
Ялгаатай үйлдлүүд.А ба В багцуудын ялгаатэмдэглэсэн олонлог гэж нэрлэдэг AB, бүх объектуудаас бүрдэх, тус бүр нь оршдог ГЭХДЭЭ,гэхдээ худлаа хэлэхгүй AT.
Илэрхийлэл apvунших "ГЭХДЭЭ-тай огтлолцсон байна AT», AkjB- "Мөн хамт B", AB - "Агүйгээр AT".
Жишээ 7.1.1.Байцгаая ГЭХДЭЭ = {1, 3,4, 5, 8,9}, AT = {2,4, 6, 8}.
Дараа нь AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), AcB=( 4,8}, AB= (1.3, 5, 9), YL = (2.6)."
Эдгээр үйлдлүүд дээр үндэслэн өөр хоёр чухал үйлдлийг тодорхойлж болно.
нэмэлт үйл ажиллагаа.Байцгаая AqS. Дараа нь ялгаа SAдуудсан А-аас S багцыг нөхөж байнаболон тэмдэглэсэн А s .
Харгалзан үзэж буй аливаа олонлогийг зарим олонлогийн дэд олонлог байг У.Ийм тогтмол (тодорхой асуудлыг шийдвэрлэх хүрээнд) багцад нэмэлт Уэнгийнээр илэрхийлнэ ГЭХДЭЭ. Тэмдэглэгээг бас ашигладаг SA,хамт А, А".
Жишээ 7.1.2.Олонлогийн (1, 3,4, 5, 8, 9) бүх аравтын бутархайн олонлогийн нэмэлт нь (0, 2, 6, 7) байна.
Q олонлогийг олонлогт нөхөх Ролон 1 байна.
Тэгш өнцөгтийн олонлогийг дөрвөлжингийн нэмэлт нь тэгш бус зэргэлдээ талуудтай бүх тэгш өнцөгтүүдийн багц юм.
Олонлогуудын нэгдэл, огтлолцол, нэмэх үйлдлүүд нь дизюнкц, коньюнкц, үгүйсгэх логик үйлдлүүдтэй тохирч байгааг бид харж байна.
Симметрийн ялгааны үйл ажиллагаа.А ба В олонлогуудын тэгш хэмийн зөрүүтэмдэглэсэн олонлог гэж нэрлэдэг A®B, бүх объектуудаас бүрдэх бөгөөд тус бүр нь багцын аль нэгэнд хамаарах болно А ба Б:
Тэгш хэмийн ялгаа нь хоёр олонлогийн нэгдэл гэдгийг харахад хялбар байдаг ABболон VA.Эхлээд багцуудыг нэгтгэснээр ижил багцыг авч болно ГЭХДЭЭболон AT,дараа нь багцаас нийтлэг элементүүдийг устгана.
Жишээ 7.1.3. Бодит тоог өгье Дараа нь харгалзах тоон интервалын хувьд бид:
сегмент оноос хойш гэдгийг анхаарна уу [a; b]тоо агуулсан в>болон интервал (в; г)цэг хамттоо агуулаагүй байна хамтялгаад оршдог [a; b]ямар ч [хамт; харьц.Гэхдээ ялгаа нь жишээлбэл, (2; 5) сегментэд оршдог тул 3-ын тоог агуулаагүй болно. Бидэнд (2;5)=(2;3) байна.
Тэнд салангид багц өгөгдсөн байг ГЭХДЭЭболон AT. n нь огтлолцлын үйлдлийн тэмдэг тул тэмдэглэгээ А(бБбуруу. Мөн олонлогийг огтлолцолгүй гэж хэлэх нь буруу. Уулзвар үргэлж байдаг, энэ нь ямар ч олонлогт тодорхойлогддог. Багцууд огтлолцохгүй байгаа нь тэдгээрийн огтлолцол хоосон байна гэсэн үг (өөрөөр хэлбэл заасан үйлдлийг гүйцэтгэсний дараа бид хоосон багцыг авна). Хэрэв олонлогууд огтлолцсон бол тэдгээрийн огтлолцол хоосон биш болно. Бид дүгнэж байна:
Хоёроос дээш олонлог байгаа тохиолдолд уулзварын нэгдлийн үйлдлүүдийг ерөнхийд нь авч үзье.
Системийг зөвшөөр руубагц. Өгөгдсөн системийн олонлогуудын огтлолцол нь бүх элементүүдийн олонлог бөгөөд тус бүр нь тэдгээрийн бүх багцад оршдог. TO.
Өгөгдсөн системийн олонлогуудын нэгдэл нь тус бүр нь дор хаяж нэг багцад оршдог бүх элементүүдийн багц юм. TO.
Системийн багцуудыг үзье рууиндексийн зарим бүлгийн элементүүдээр дугаарлагдсан байна /. Дараа нь ямар ч багц руутомилж болно ГЭХДЭЭ,-,хаана iel.Хэрэв цуглуулга нь төгсгөлтэй бол эхний натурал тоонуудын олонлогийг (1,2,...,u) / хэлбэрээр ашиглана. Ерөнхийдөө / хязгааргүй байж болно.
Дараа нь ерөнхий тохиолдолд олонлогуудын нэгдэл ГЭХДЭЭбүгдэд нь ielтэмдэглэх (Ж ГЭХДЭЭ( , болон уулзвар -f]A i .
Багцыг нь тавь рууэцсийн, тэгвэл K=Энэ тохиолдолд
бичих AyjA 2 v...KjA„болон AG4 2 (^---G4p-
Жишээ 7.1.4. А| тооны шугамын интервалуудыг авч үзье \u003d [-oo; 2], L 2 \u003d H °; 3], L 3 =)
