Persilangan dan penyatuan tatatanda set. Pelajaran "persilangan dan penyatuan set"
- Persatuan atau hasil tambah n set A 1 , A 2 , …, A n ialah set yang terdiri daripada unsur-unsur yang termasuk dalam sekurang-kurangnya satu daripada n set ini: A = A 1 U A 2 U… U A n di mana tanda U menandakan operasi gabungan set.
Secara formal, operasi kesatuan set ditakrifkan seperti berikut:
A = (x / x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2 ∨ … ∨ x ∈ A n ),
di mana ∨ ialah tanda logik yang menunjukkan kata sendi ATAU. Entri ini dibaca seperti berikut: set A ialah semua nilai x yang dimiliki oleh set A 1, atau set A 2, atau set A 3, dan seterusnya sehingga set A p.
Untuk melaksanakan penyatuan operasi set ada kalkulator .
sebagai contoh, biarkan set diberikan: A 1 = (a, b, c); A2 = (4); A 3 = (b, 54). Menggunakan operasi kesatuan kepada mereka, kita memperoleh set baru A = A 1 U A 2 U A 3 = (a,b,c,4,54). Ambil perhatian bahawa b ∈ A 1 dan b ∈ A 3 , tetapi unsur b muncul dalam set A sekali sahaja (ingat: semua elemen set mestilah berbeza).
Pada (), gabungan set dilambangkan dengan teduhan pepejal bagi kawasan yang sepadan dengan set ini:
- Pada rajah. 5 kawasan berlorek set Q U P ,
- Pada rajah. 6 menunjukkan kawasan set (P U Q) U R dengan penetasan.
- Pada rajah. 7 menunjukkan tiga set P, Q dan R. Penetasan menandakan set Q U R.
Operasi kesatuan yang ditetapkan mempunyai sifat berikut:
a) kesatuan adalah komutatif:
A U B = B U A ;
A U B U C = A U C U B = B U A U C dll.;
b) kesatuan secara berpersatuan:
(A U B) U C = A U (B U C) = A U B U C.
(Disebabkan persekutuan, apabila menulis beberapa set yang disambungkan dengan tanda kesatuan, kurungantidak boleh digunakan);
dalam) jika B ⊆ A atau B ⊂ A, maka A U B = A.
Pada rajah. lapan rajah Venn diberikan untuk kes apabila B ⊂ A.
Penetasan menandakan kawasan set A, yang
serentak digunakan pada set A U B .
- Daripada harta "dalam" ia mengikuti bahawa:
- A U A = A ;
- A U A = ∅ ;
- A U I = I.
Senaman
1. Cari unsur bagi set A U B jika
A = (a, b, c); B = (b, c, d).
2. Cari unsur-unsur set: pertama A, kemudian - A 1 , selepas itu - A 2 (susun nombor dalam tertib menaik), jika A = (x / x ∈ I ∧ (x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2); A 1 ⊂ I ialah set gandaan tiga, A 2 ⊂ I ialah setnombor gandaan empat); I = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
3. Diberi tiga set A, B, C. Diketahui bahawa a ∈ A. Nyatakan semua pernyataan yang benar:
a) a ⊂ B; f) (a) ∈ B;
b) a ∈ A U B ; g) (a)⊆ A U B ;
c) a ⊂ B U C ; h) (a) ∈ B U C ;
d) a ∈ A U B U C; i) (a)⊆ A U B U C
e) (a) ⊆ A
Jawapan: b), d), e), g), i) - benar.
4. Dalam rajah. 9 menunjukkan gambar rajah Venn bagi tiga set. Cari unsur bagi set A U B , kemudian - A U C.
5. Senaraikan unsur bagi set M (Rajah 9):
M = (x / x ∉ A ∧ x ∈ I).
6. Senaraikan unsur bagi set N (Rajah 9):
N = (x / x ∈ A U B , x > 4).
7. Senaraikan unsur set K jika
K = (x / x ∈ A U B U C , x ialah nombor genap ) (Rajah 9).
8. Senaraikan unsur bagi set T (Rajah 9):
T = (x / x ∉ A U C, x ∈ I ).
9. Cari nombor kardinal bagi set A U B ,
jika A = (a, b, c); B = (6, 7, 8, 9).
Jawapan: | A U B| = 7
10. Cari nombor kardinal set
A U B, A U C, B U C mengikut rajah Venn (Rajah 10).
11. Cari nombor kardinal bagi set A U B jika
A = (1, 2, 3, 4); B = (2, 3, 4, 5).
Jawapan: | A U B| = 5
12. Cari nombor kardinal bagi set A U B jika A = (∅); B = (a, b, c).
Jawapan: | A U B| = 4
13. Cari nombor kardinal bagi set B(P) U B(Q), di mana
P = ( a, b, c ); Q = (b, c, d).
Jawapan: |B(P) U B(Q)| = |B(P U Q)| = |B(a, b, c, d)| = 2 4 = 16
14. Cari nombor kardinal bagi set B(K) U B(M), di mana
K = ( x / x ialah nombor asli genap, x ≤ 8);
M = ( x / x ialah nombor asli ganjil, x< 6}.
15. Berapakah bilangan subset wajar yang ada pada set itu, A = A 1 U A 2 U… U A n ,
jika A 1 , A 2 ,…, A n —bujang yang berpasangan tidak sama?
Operasi pada set adalah peraturan, akibatnya beberapa set baru diperoleh dengan jelas daripada set yang diberikan.
Nyatakan operasi sewenang-wenangnya dengan *. Set yang diperolehi daripada set yang diberikan A dan B ditulis dalam borang A*B. Set yang terhasil dan operasi itu sendiri dipanggil satu istilah.
Komen. Untuk operasi berangka asas, dua istilah digunakan: satu menandakan operasi itu sendiri sebagai tindakan, satu lagi ialah nombor yang diperoleh selepas tindakan itu dilakukan. Sebagai contoh, operasi yang dilambangkan dengan + dipanggil penambahan, dan nombor yang diperoleh sebagai hasil penambahan dipanggil jumlah nombor. Begitu juga, tanda operasi pendaraban, dan hasilnya dan b - hasil darab nombor a dan b. Walau bagaimanapun, kurang kerap perbezaan ini tidak diambil kira dan mereka mengatakan "Pertimbangkan jumlah nombor", yang bermaksud bukan hasil khusus, tetapi operasi itu sendiri.
operasi lintasan.Persilangan set A dan B AglV, yang terdiri daripada semua objek, setiap satunya adalah milik kedua-dua set TAPI dan AT serentak.
Dalam kata lain, ASV - ialah set semua r sedemikian dia dan dia w:
operasi kesatuan.Kesatuan set A dan B dipanggil set yang dilambangkan A "dan B, terdiri daripada semua objek, setiap satunya dimiliki oleh sekurang-kurangnya satu set TAPI atau AT.
Operasi kesatuan kadangkala dilambangkan dengan tanda + dan dipanggil penambahan set.
Operasi perbezaan.Perbezaan set A dan B dipanggil set yang dilambangkan AB, terdiri daripada semua objek, setiap satunya terletak di TETAPI, tetapi tidak berbohong AT.
Ungkapan apv membaca "TAPI di persimpangan dengan AT», AkjB- “Dan bersempena dengan B", AB - "A tanpa AT".
Contoh 7.1.1. Biarkan TAPI = {1, 3,4, 5, 8,9}, AT = {2,4, 6, 8}.
Kemudian AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), AcB=( 4,8}, AB= (1.3, 5, 9), YL = (2.6)."
Berdasarkan operasi ini, dua lagi operasi penting boleh ditakrifkan.
operasi tambah. Biarkan AqS. Kemudian perbezaannya SA dipanggil melengkapkan set A hingga S dan dilambangkan A s .
Biarkan mana-mana set yang sedang dipertimbangkan menjadi subset daripada beberapa set U. Melengkapkan set tetap (dalam konteks menyelesaikan masalah tertentu). U menandakan secara ringkas TAPI. Penamaan juga digunakan SA, dengan A, A".
Contoh 7.1.2. Pelengkap set (1, 3,4, 5, 8, 9) kepada set semua digit perpuluhan ialah (0, 2, 6, 7).
Pelengkap set Q kepada set R terdapat banyak 1.
Pelengkap set segi empat sama kepada set segi empat tepat ialah set semua segi empat tepat dengan sisi bersebelahan yang tidak sama.
Kami melihat bahawa operasi kesatuan, persilangan dan penambahan set sepadan dengan operasi logik pencacah, konjungsi dan penolakan.
Operasi perbezaan simetri.Perbezaan simetri set A dan B dipanggil set yang dilambangkan A®B, yang terdiri daripada semua objek, setiap satunya adalah milik tepat satu set A dan B:
Adalah mudah untuk melihat bahawa perbezaan simetri adalah gabungan dua set AB dan VA. Set yang sama boleh diperoleh dengan menggabungkan set terlebih dahulu TAPI dan AT, dan kemudian keluarkan elemen biasa daripada set.
Contoh 7.1.3. Biarkan nombor nyata diberikan dan Kemudian untuk selang berangka yang sepadan kita ada:
Perhatikan bahawa sejak segmen [a; b] mengandungi nombor c> dan selang (c; d) titik dengan tidak mengandungi nombor dengan terletak pada perbezaan [a; b] tanpa [dengan; rujuk. Tetapi perbezaannya, sebagai contoh, (2; 5), tidak mengandungi nombor 3, kerana ia terletak pada segmen. Kami ada (2;5)=(2;3).
Biar ada yang diberi set bercabang TAPI dan AT. Oleh kerana n ialah tanda operasi persilangan, notasi A(bB tak betul. Ia juga tidak betul untuk mengatakan bahawa set tidak mempunyai persilangan. Persimpangan sentiasa ada, ia ditakrifkan untuk mana-mana set. Fakta bahawa set tidak bersilang bermakna persimpangan mereka kosong (iaitu, dengan melakukan operasi yang ditentukan, kita mendapat set kosong). Jika set bersilang, maka persimpangan mereka tidak kosong. Kami membuat kesimpulan:
Mari kita umumkan operasi kesatuan persilangan kepada kes apabila terdapat lebih daripada dua set.
Biarkan sistem Kepada set. Persilangan set sistem tertentu ialah set semua elemen, setiap satunya terletak pada semua set mereka. KEPADA.
Kesatuan set sistem tertentu ialah set semua elemen, setiap satu terletak pada sekurang-kurangnya satu set daripadanya. KEPADA.
Biarkan set sistem Kepada dinomborkan oleh unsur beberapa keluarga indeks /. Kemudian mana-mana set Kepada boleh ditunjuk TAPI,-, di mana iel. Jika koleksi adalah terhingga, maka set nombor asli pertama (1,2,...,u) digunakan sebagai /. Secara umum, / boleh menjadi tidak terhingga.
Kemudian, dalam kes umum, kesatuan set TAPI untuk semua iel menandakan (J TAPI( , dan persimpangan -f]A i .
Biarkan set Kepada muktamad, kemudian K= Dalam kes ini
menulis AyjA 2 v...KjA„ dan AG4 2 (^---G4p-
Contoh 7.1.4. Pertimbangkan selang garis nombor A| \u003d [-oo; 2], L 2 \u003d H °; 3], L 3 =)
