Notacja przecięcia i sumy zbiorów. Lekcja „przecięcie i połączenie zbiorów”
- Stowarzyszenie lub suma n zbiorów A 1 , A 2 , …, A n to zbiór składający się z elementów wchodzących w skład co najmniej jednego z tych n zbiorów: A = A 1 U A 2 U… U A n gdzie znak U oznacza operację łączenia zbiorów.
Formalnie działanie unii zbiorów definiuje się następująco:
A = (x / x A 1 ∨ x ∈ A 2 ∨ … ∨ x ∈ A n ),
gdzie ∨ jest logicznym znakiem oznaczającym spójnik OR. Ten wpis brzmi następująco: zbiór A to wszystkie te wartości x, które należą do zbioru A 1, albo A 2, albo A 3 i tak dalej aż do zbioru A p.
Aby wykonać operację łączenia zbiorów jest kalkulator .
na przykład, dajmy zbiory: A 1 = (a, b, c); A2 = (4); A3 = (b, 54). Stosując do nich operację sumowania, otrzymujemy nowy zbiór A = A 1 U A 2 U A 3 = (a,b,c,4,54). Zauważ, że b A 1 i b ∈ A 3 , ale element b pojawia się w zbiorze A tylko raz (przypomnijmy: wszystkie elementy zbioru muszą być różne).
W przypadku (), połączenie zbiorów jest oznaczone pełnym cieniowaniem obszarów odpowiadających tym zbiorom:
- Na ryc. 5 zacienionych obszarów zestawu Q U P ,
- Na ryc. 6 przedstawia obszar zbioru (P U Q) UR z kreskowaniem.
- Na ryc. 7 przedstawia trzy zestawy P, Q i R. Kreskowanie oznacza zestaw Q U R.
Operacja set union ma następujące właściwości:
a) związek jest przemienny:
AUB = BU A;
A U B U C = A U C U B = B U A U C itp.;
b) związek asocjacyjny:
(A U B) U C = A U (BU C) = A U B U C.
(Ze względu na skojarzenia, podczas pisania kilku zestawów połączonych znakiem związku, nawiasynie może być używany) ;
w) jeśli B ⊆ A lub B ⊂ A, to A U B = A.
Na ryc. osiem diagram Venna podano dla przypadku, gdy B A.
Kreskowanie oznacza obszar zbioru A, który
dotyczy jednocześnie zestawu A U B .
- Z właściwości „in” wynika, że:
- AU = A ;
- AU = ∅ ;
- A U Ja = Ja.
Ćwiczenia
1. Znajdź elementy zbioru A U B jeśli
A = (a, b, c); B = (b, c, d).
2. Znajdź elementy zbiorów: najpierw A, potem - A 1 , potem - A 2 (uporządkuj liczby w kolejności rosnącej), jeśli A = (x / x ∈ I ∧ (x ∈ A 1 ∨ x ∈ A) 2) A 1 ⊂ I jest zbiorem wielokrotności trzech, A 2 ⊂ I jest zbioremliczby będące wielokrotnościami czterech); I = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
3. Mając trzy zbiory A, B, C. Wiadomo, że a A. Wskaż wszystkie zdania prawdziwe:
a) a B; f) (a) B;
b) a AUB ; g) (a)⊆ AUB;
c) a B U C ; h) (a) BU C ;
d) a A U B U C; i) (a)⊆ A U B U C
e) (a) ⊆ A
Odpowiedzi: b), d), e), g), i) - prawda.
4. Na ryc. 9 przedstawia diagram Venna dla trzech zestawów. Znajdź elementy zbiorów A U B , a następnie - A U C.
5. Wymień elementy zestawu M (rys. 9):
M = (x / x A ∧ x ∈ I).
6. Wymień elementy zestawu N (rys. 9):
N = (x / x AUB, x > 4).
7. Wymień elementy zbioru K if
K = (x / x ∈ A U B U C , x jest liczbą parzystą ) (rys. 9).
8. Wymień elementy zestawu T (rys. 9):
T = (x / x AUC, x ∈ I ).
9. Znajdź liczbę kardynalną zbioru A U B ,
jeśli A = (a, b, c); B = (6, 7, 8, 9).
Odpowiedź: | AUB| = 7
10. Znajdź liczby kardynalne zbiorów
A U B, A U C, B U C zgodnie z diagramem Venna (ryc. 10).
11. Znajdź liczbę kardynalną zbioru A U B, jeśli
A = (1, 2, 3, 4); B = (2, 3, 4, 5).
Odpowiedź: | AUB| = 5
12. Znajdź liczbę kardynalną zbioru A U B, jeśli A = (∅); B = (a, b, c).
Odpowiedź: | AUB| = 4
13. Znajdź liczbę kardynalną zbioru B(P) U B(Q), gdzie
P = (a, b, c); Q = (b, c, d).
Odpowiedź: |B(P) U B(Q)| = |B(P U Q)| = |B(a, b, c, d)| = 2 4 = 16
14. Znajdź liczbę kardynalną zbioru B(K) U B(M), gdzie
K = ( x / x jest parzystą liczbą naturalną, x ≤ 8);
M = ( x / x jest nieparzystą liczbą naturalną, x< 6}.
15. Ile podzbiorów właściwych ma zbiór, A = A 1 U A 2 U… U A n ,
jeśli A 1 , A 2 ,…, A n —singletony, które są nierówne parami?
Operacja na zbiorach to reguła, w wyniku której z danych zbiorów uzyskuje się jednoznacznie jakiś nowy zbiór.
Oznacz dowolną operację przez *. Zbiór otrzymany z podanych zbiorów A i B napisane w formie A*B. Wynikowy zbiór i sama operacja nazywa się jednym terminem.
Komentarz. W przypadku podstawowych operacji numerycznych stosuje się dwa pojęcia: jeden oznacza samą operację jako akcję, drugi - liczbę uzyskaną po wykonaniu akcji. Na przykład operacja oznaczona przez + nazywana jest dodawaniem, a liczba uzyskana w wyniku dodawania nazywana jest sumą liczb. Podobnie znak operacji mnożenia i wynik oraz b - iloczyn liczb a i b. Jednak rzadziej ta różnica nie jest brana pod uwagę i mówią „Rozważ sumę liczb”, co oznacza nie konkretny wynik, ale samą operację.
operacja skrzyżowania.Przecięcie zbiorów A i B AglV, składający się ze wszystkich obiektów, z których każdy należy do obu zbiorów ALE oraz W jednocześnie.
Innymi słowy, ASV - jest zbiorem wszystkich r takim, że heA oraz rąbać:
działalność związkowa.Związek zbiorów A i B nazywa się zbiorem oznaczonym A ”i B, składający się ze wszystkich obiektów, z których każdy należy do co najmniej jednego zestawu ALE lub W.
Operacja łączenia jest czasami oznaczana znakiem + i nazywana jest dodawaniem zestawu.
Operacje różnicowe.Różnica zbiorów A i B nazywa się zbiorem oznaczonym AB, składający się ze wszystkich obiektów, z których każdy leży w ALE, ale nie kłamię W.
Wyrażenie apv czytać "ALE w przecięciu z W», AkjB- „I w połączeniu z B”, AB - „A bez W".
Przykład 7.1.1. Zostawiać ALE = {1, 3,4, 5, 8,9}, W = {2,4, 6, 8}.
Następnie AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), AcB=( 4,8}, AB= (1,3, 5, 9), YL = (2,6)."
Na podstawie tych operacji można zdefiniować jeszcze dwie ważne operacje.
operacja dodawania. Zostawiać AqS. Wtedy różnica SA nazywa uzupełniający zestaw A do S i oznaczone Jak .
Niech dowolny rozważany zbiór będzie podzbiorem pewnego zbioru U. Uzupełnienie do tak ustalonego (w kontekście rozwiązania konkretnego problemu) zbioru U oznaczać po prostu ALE. Stosowane są również oznaczenia SA, z A, A".
Przykład 7.1.2. Uzupełnieniem zbioru (1, 3,4, 5, 8, 9) do zbioru wszystkich cyfr dziesiętnych jest (0, 2, 6, 7).
Uzupełnienie zbioru Q do zbioru R jest ich wiele 1.
Dopełnieniem zestawu kwadratów do zestawu prostokątów jest zestaw wszystkich prostokątów o nierównych bokach.
Widzimy, że operacje sumy, przecięcia i dodawania zbiorów odpowiadają logicznym operacjom alternatywy, koniunkcji i negacji.
Operacja różnicy symetrycznej.Symetryczna różnica zbiorów A i B nazywa się zbiorem oznaczonym A®B, składający się ze wszystkich obiektów, z których każdy należy do dokładnie jednego ze zbiorów A i B:
Łatwo zauważyć, że różnica symetryczna to połączenie dwóch zbiorów AB oraz VA. Ten sam zestaw można uzyskać łącząc najpierw zestawy ALE oraz W, a następnie usuń wspólne elementy z zestawu.
Przykład 7.1.3. Niech zostaną podane liczby rzeczywiste a następnie dla odpowiednich przedziałów liczbowych mamy:
Zauważ, że od segmentu [a; b] zawiera numer c> i interwał (płyta CD) punkt z nie zawiera liczby z leży w różnicy [a; b] bez [z; por. Ale różnica, na przykład (2; 5), nie zawiera liczby 3, ponieważ leży w segmencie. Mamy (2;5)=(2;3).
Niech będą dane zbiory rozłączne ALE oraz W. Ponieważ n jest znakiem operacji przecięcia, notacja Wątek błędny. Błędne jest również twierdzenie, że zbiory nie mają przecięcia. Przecięcie zawsze istnieje, jest zdefiniowane dla dowolnych zbiorów. Fakt, że zbiory się nie przecinają oznacza, że ich przecięcie jest puste (czyli wykonując określoną operację otrzymujemy pusty zbiór). Jeżeli zbiory się przecinają, to ich przecięcie nie jest puste. Wnioskujemy:
Uogólnijmy operacje sumy przecięcia na przypadek, w którym jest więcej niż dwa zbiory.
Niech system W celu zestawy. Przecięcie zbiorów danego systemu to zbiór wszystkich elementów, z których każdy leży we wszystkich ich zbiorach DO.
Związek zbiorów danego systemu to zbiór wszystkich elementów, z których każdy znajduje się w co najmniej jednym z nich. DO.
Niech zbiory systemu W celu są ponumerowane elementami pewnej rodziny indeksów /. Następnie dowolny zestaw W celu można wyznaczyć ALE,-, gdzie tj. Jeżeli zbiór jest skończony, to zbiór pierwszych liczb naturalnych (1,2,...,u) jest używany jako /. Ogólnie / może być nieskończony.
Wtedy, w ogólnym przypadku, suma zbiorów ALE dla wszystkich Iel oznaczać (J ALE( i skrzyżowanie -f]Ai .
Niech zestaw W celu w takim razie ostateczna K= W tym przypadku
pisać AyjA 2 v...KjA„ oraz AG4 2 (^---G4p-
Przykład 7.1.4. Rozważ przedziały osi liczbowej A| \u003d [-oo; 2], L 2 \u003d H °; 3], L3 =)
