Дроби с разными знаменателями примеры без решения. Дроби

Правила сложения дробей с разными знаменателями очень простые.

Рассмотрим правила сложения дробей с разными знаменателями по шагам:

1. Найти НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей. Полученный НОК будет общим знаменателем дробей;

2. Привести дроби к общему знаменателю;

3. Сложить дроби, приведенные к общему знаменателю.

На простом примере научимся применять правила сложения дробей с разными знаменателями.

Пример

Пример сложения дробей с разными знаменателями.

Сложить дроби с разными знаменателями:

1	+	5
6		12

Будем решать по шагам.

1. Найти НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей.

Число 12 делится на 6.

Отсюда делаем вывод, что 12 есть наименьшее общее кратное чисел 6 и 12.

Ответ: нок чисел 6 и 12 равен 12:

НОК(6, 12) = 12

Полученный НОК и будет общим знаменателем двух дробей 1/6 и 5/12.

2. Привести дроби к общему знаменателю.

В нашем примере привести к общему знаменателю 12 нужно только первую дробь, ведь у второй дроби знаменатель уже равен 12.

Разделим общий знаменатель 12 на знаменатель первой дроби:

2 есть дополнительный множитель.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби (1/6) на дополнительный множитель 2.

На данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с разными знаменателями. Для этого дроби необходимо привести к общему знаменателю. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. При этом мы уже умеем приводить алгебраические дроби к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями - одна из наиболее важных и сложных тем в курсе 8 класса. При этом данная тема будет встречаться во многих темах курса алгебры, которые вы будете изучать в дальнейшем. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров.

Рассмотрим простейший пример для обыкновенных дробей.

Пример 1. Сложить дроби: .

Решение:

Вспомним правило сложения дробей. Для начала дроби необходимо привести к общему знаменателю. В роли общего знаменателя для обыкновенных дробей выступает наименьшее общее кратное (НОК) исходных знаменателей.

Определение

Наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на числа и .

Для нахождения НОК необходимо разложить знаменатели на простые множители, а затем выбрать все простые множители, которые входят в разложение обоих знаменателей.

; . Тогда в НОК чисел должны входить две двойки и две тройки: .

После нахождения общего знаменателя, необходимо для каждой из дробей найти дополнительный множитель (фактически, поделить общий знаменатель на знаменатель соответствующей дроби).

Затем каждая дробь умножается на полученный дополнительный множитель. Получаются дроби с одинаковыми знаменателями, складывать и вычитать которые мы научились на прошлых уроках.

Получаем: .

Ответ: .

Рассмотрим теперь сложение алгебраических дробей с разными знаменателями. Сначала рассмотрим дроби, знаменатели которых являются числами.

Пример 2. Сложить дроби: .

Решение:

Алгоритм решения абсолютно аналогичен предыдущему примеру. Легко подобрать общий знаменатель данных дробей: и дополнительные множители для каждой из них.

.

Ответ: .

Итак, сформулируем алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями :

1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.

2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей (поделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби).

3. Домножить числители на соответствующие дополнительные множители.

4. Сложить или вычесть дроби, пользуясь правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим теперь пример с дробями, в знаменателе которых присутствуют буквенные выражения.

Пример 3. Сложить дроби: .

Решение:

Поскольку буквенные выражения в обоих знаменателях одинаковы, то следует найти общий знаменатель для чисел . Итоговый общий знаменатель будет иметь вид: . Таким образом, решение данного примера имеет вид:.

Ответ: .

Пример 4. Вычесть дроби: .

Решение:

Если «схитрить» при подборе общего знаменателя не удаётся (нельзя разложить на множители или воспользоваться формулами сокращённого умножения), то в качестве общего знаменателя приходится брать произведение знаменателей обеих дробей.

Ответ: .

Вообще, при решении подобных примеров, наиболее сложным заданием является нахождение общего знаменателя.

Рассмотрим более сложный пример.

Пример 5. Упростить: .

Решение:

При нахождении общего знаменателя необходимо прежде всего попытаться разложить знаменатели исходных дробей на множители (чтобы упростить общий знаменатель).

В данном конкретном случае:

Тогда легко определить общий знаменатель: .

Определяем дополнительные множители и решаем данный пример:

Ответ: .

Теперь закрепим правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Пример 6. Упростить: .

Решение:

Ответ: .

Пример 7. Упростить: .

Решение:

.

Ответ: .

Рассмотрим теперь пример, в котором складываются не две, а три дроби (ведь правила сложения и вычитания для большего количества дробей остаются такими же).

Пример 8. Упростить: .

Обратите внимание! Перед тем как написать окончательный ответ, посмотрите, может можно сократить дробь , которую вы получили.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, примеры:

,

,

Вычитание правильной дроби из единицы.

Если необходимо вычесть из единицы дробь, которая является правильной , единицу переводят к виду неправильной дроби , у нее знаменатель равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример вычитания правильной дроби из единицы:

Знаменатель вычитаемой дроби = 7 , т.е., единицу представляем в виде неправильной дроби 7/7 и вычитаем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание правильной дроби из целого числа.

Правила вычитания дробей - правильной из целого числа (натурального числа) :

• Переводим заданные дроби, которые содержат целую часть, в неправильные. Получаем нормальные слагаемые (не важно если они с разными знаменателями), которые считаем по правилам, приведенным выше;
• Далее вычисляем разность дробей, которые мы получили. В результате мы почти найдем ответ;
• Выполняем обратное преобразование, то есть избавляемся от неправильной дроби - выделяем в дроби целую часть.

Вычтем из целого числа правильную дробь: представляем натуральное число в виде смешанного числа. Т.е. занимаем единицу в натуральном числе и переводим её к виду неправильной дроби, знаменатель при этом такой же, как у вычитаемой дроби.

Пример вычитания дробей:

В примере единицу мы заменили неправильной дробью 7/7 и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.

Вычитание дробей с разными знаменателями.

Или, если сказать другими словами, вычитание разных дробей .

Правило вычитания дробей с разными знаменателями. Для того, чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо, для начала, привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) , и только послеиэтого произвести вычитание как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, которые являются знаменателями данных дробей.

Внимание! Если в конечной дроби у числителя и знаменателя есть общие множители , то дробь необходимо сократить. Неправильную дробь лучше представить в виде смешанной дроби. Оставить результат вычитания, не сократив дробь, где есть возможность, — это незаконченное решение примера!

Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.

• найти НОК для всех знаменателей;
• поставить для всех дробей дополнительные множители;
• умножить все числители на дополнительный множитель;
• полученные произведения записываем в числитель, подписывая под всеми дробями общий знаменатель;
• произвести вычитание числителей дробей, подписывая под разностью общий знаменатель.

Таким же образом проводится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

Вычитание дробей, примеры:

Вычитание смешанных дробей.

При вычитании смешанных дробей (чисел) отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

Первый вариант вычитания смешанных дробей.

Если у дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из него вычитаем) ≥ числителю дробной части вычитаемого (его вычитаем).

Например:

Второй вариант вычитания смешанных дробей.

Когда у дробных частей разные знаменатели. Для начала приводим к общему знаменателю дробные части, а после этого выполняем вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

Например:

Третий вариант вычитания смешанных дробей.

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример:

Т.к. у дробных частей разные знаменатели, значит, как и при втором варианте, сначала приводим обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого. 3 < 14. Значит, занимаем единицу из целой части и приводим эту единицу к виду неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем = 18.

В числителе от правой части пишем сумму числителей, дальше раскрываем скобки в числителе от правой части, то есть умножаем все и приводим подобные. В знаменателе скобки не раскрываем. В знаменателях принято оставлять произведение. Получаем:

Действия с дробями.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Итак, что из себя представляют дроби, виды дробей, преобразования - мы вспомнили. Займёмся главным вопросом.

Что можно делать с дробями? Да всё то, что и с обычными числами. Складывать, вычитать, умножать, делить.

Все эти действия с десятичными дробями ничем не отличаются от действий с целыми числами. Собственно, этим они и хороши, десятичные. Единственно, запятую правильно поставить надо.

Смешанные числа , как я уже говорил, малопригодны для большинства действий. Их всё равно надо переводить в обыкновенные дроби.

А вот действия с обыкновенными дробями похитрее будут. И гораздо важнее! Напомню: все действия с дробными выражениями с буковками, синусами, неизвестными и прочая и прочая ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями ! Действия с обыкновенными дробями - это основа для всей алгебры. Именно по этой причине мы очень подробно разберём здесь всю эту арифметику.

Сложение и вычитание дробей.

Сложить (отнять) дроби с одинаковыми знаменателями каждый сможет (очень надеюсь!). Ну уж совсем забывчивым напомню: при сложении (вычитании) знаменатель не меняется. Числители складываются (вычитаются) и дают числитель результата. Типа:

Короче, в общем виде:

А если знаменатели разные? Тогда, используя основное свойство дроби (вот оно и опять пригодилось!), делаем знаменатели одинаковыми! Например:

Здесь нам из дроби 2/5 пришлось сделать дробь 4/10. Исключительно с целью сделать знаменатели одинаковыми. Замечу, на всякий случай, что 2/5 и 4/10 это одна и та же дробь ! Только 2/5 нам неудобно, а 4/10 очень даже ничего.

Кстати, в этом суть решений любых заданий по математике. Когда мы из неудобного выражения делаем то же самое, но уже удобное для решения .

Ещё пример:

Ситуация аналогичная. Здесь мы из 16 делаем 48. Простым умножением на 3. Это всё понятно. Но вот нам попалось что-нибудь типа:

Как быть?! Из семёрки девятку трудно сделать! Но мы умные, мы правила знаем! Преобразуем каждую дробь так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Это называется «приведём к общему знаменателю»:

Во как! Откуда же я узнал про 63? Очень просто! 63 это число, которое нацело делится на 7 и 9 одновременно. Такое число всегда можно получить перемножением знаменателей. Если мы какое-то число умножили на 7, к примеру, то результат уж точно на 7 делиться будет!

Если надо сложить (вычесть) несколько дробей, нет нужды делать это попарно, по шагам. Просто надо найти знаменатель, общий для всех дробей, и привести каждую дробь к этому самому знаменателю. Например:

И какой же общий знаменатель будет? Можно, конечно, перемножить 2, 4, 8, и 16. Получим 1024. Кошмар. Проще прикинуть, что число 16 отлично делится и на 2, и на 4, и на 8. Следовательно, из этих чисел легко получить 16. Это число и будет общим знаменателем. 1/2 превратим в 8/16, 3/4 в 12/16, ну и так далее.

Кстати, если за общий знаменатель взять 1024, тоже всё получится, в конце всё посокращается. Только до этого конца не все доберутся, из-за вычислений...

Дорешайте уж пример самостоятельно. Не логарифм какой... Должно получиться 29/16.

Итак, со сложением (вычитанием) дробей ясно, надеюсь? Конечно, проще работать в сокращённом варианте, с дополнительными множителями. Но это удовольствие доступно тем, кто честно трудился в младших классах... И ничего не забыл.

А сейчас мы поделаем те же самые действия, но не с дробями, а с дробными выражениями . Здесь обнаружатся новые грабли, да...

Итак, нам надо сложить два дробных выражения:

Надо сделать знаменатели одинаковыми. Причём только с помощью умножения ! Уж так основное свойство дроби велит. Поэтому я не могу в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. (а вот бы хорошо было!). А вот если перемножить знаменатели, глядишь, всё и срастётся! Так и записываем, черту дроби, сверху пустое место оставим, потом допишем, а снизу пишем произведение знаменателей, чтобы не забыть:

И, конечно, ничего в правой части не перемножаем, скобки не открываем! А теперь, глядя на общий знаменатель правой части, соображаем: чтобы в первой дроби получился знаменатель х(х+1), надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на (х+1). А во второй дроби - на х. Получится вот что:

Обратите внимание! Здесь появились скобки! Это и есть те грабли, на которые многие наступают. Не скобки, конечно, а их отсутствие. Скобки появляются потому, что мы умножаем весь числитель и весь знаменатель! А не их отдельные кусочки...

В числителе правой части записываем сумму числителей, всё как в числовых дробях, затем раскрываем скобки в числителе правой части, т.е. перемножаем всё и приводим подобные. Раскрывать скобки в знаменателях, перемножать что-то не нужно! Вообще, в знаменателях (любых) всегда приятнее произведение! Получим:

Вот и получили ответ. Процесс кажется долгим и трудным, но это от практики зависит. Порешаете примеры, привыкните, всё станет просто. Те, кто освоил дроби в положенное время, все эти операции одной левой делают, на автомате!

И ещё одно замечание. Многие лихо расправляются с дробями, но зависают на примерах с целыми числами. Типа: 2 + 1/2 + 3/4= ? Куда пристегнуть двойку? Никуда не надо пристёгивать, надо из двойки дробь сделать. Это не просто, а очень просто! 2=2/1. Вот так. Любое целое число можно записать в виде дроби. В числителе - само число, в знаменателе - единица. 7 это 7/1, 3 это 3/1 и так далее. С буквами - то же самое. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 и т.д. А дальше работаем с этим дробями по всем правилам.

Ну, по сложению - вычитанию дробей знания освежили. Преобразования дробей из одного вида в другой - повторили. Можно и провериться. Порешаем немного?)

Вычислить:

Ответы (в беспорядке):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Умножение/деление дробей - в следующем уроке. Там же и задания на все действия с дробями.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

В данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. Умение работать с дробями с одинаковыми знаменателями является одним из краеугольных камней в изучении правил работы с алгебраическими дробями. В частности, понимание данной темы позволит легко освоить более сложную тему - сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров

Правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Сфор-му-ли-ру-ем пра-ви-ло сло-же-ния (вы-чи-та-ния) ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми (оно сов-па-да-ет с ана-ло-гич-ным пра-ви-лом для обык-но-вен-ных дро-бей): То есть для сло-же-ния или вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми необ-хо-ди-мо со-ста-вить со-от-вет-ству-ю-щую ал-геб-ра-и-че-скую сумму чис-ли-те-лей, а зна-ме-на-тель оста-вить без из-ме-не-ний.

Это пра-ви-ло мы раз-бе-рём и на при-ме-ре обык-но-вен-ных дро-бей, и на при-ме-ре ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.

Примеры применения правила для обыкновенных дробей

При-мер 1. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние

Сло-жим чис-ли-те-ли дро-бей, а зна-ме-на-тель оста-вим таким же. После этого раз-ло-жим чис-ли-тель и зна-ме-на-тель на про-стые мно-жи-те-ли и со-кра-тим. По-лу-чим: .

При-ме-ча-ние: стан-дарт-ная ошиб-ка, ко-то-рую до-пус-ка-ют при ре-ше-нии по-доб-но-го рода при-ме-ров, за-клю-ча-ет-ся в сле-ду-ю-щем спо-со-бе ре-ше-ния: . Это гру-бей-шая ошиб-ка, по-сколь-ку зна-ме-на-тель оста-ёт-ся таким же, каким был в ис-ход-ных дро-бях.

При-мер 2. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние

Дан-ная за-да-ча ничем не от-ли-ча-ет-ся от преды-ду-щей: .

Примеры применения правила для алгебраических дробей

От обык-но-вен-ных дро-бей пе-рей-дём к ал-геб-ра-и-че-ским.

При-мер 3. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:как уже го-во-ри-лось выше, сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей ничем не от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния обык-но-вен-ных дро-бей. По-это-му метод ре-ше-ния такой же: .

При-мер 4. Вы-честь дроби: .

Ре-ше-ние

Вы-чи-та-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния толь-ко тем, что в чис-ли-тель за-пи-сы-ва-ет-ся раз-ность чис-ли-те-лей ис-ход-ных дро-бей. По-это-му .

При-мер 5. Вы-честь дроби: .

Ре-ше-ние: .

При-мер 6. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: .

Примеры применения правила с последующим сокращением

В дроби, ко-то-рая по-лу-ча-ет-ся в ре-зуль-та-те сло-же-ния или вы-чи-та-ния, воз-мож-ны со-кра-ще-ния. Кроме того, не стоит за-бы-вать об ОДЗ ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.

При-мер 7. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: .

При этом . Во-об-ще, если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей сов-па-да-ет с ОДЗ ито-го-вой, то его можно не ука-зы-вать (ведь дробь, по-лу-чен-ная в от-ве-те, также не будет су-ще-ство-вать при со-от-вет-ству-ю-щих зна-че-ни-ях пе-ре-мен-ных). А вот если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей и от-ве-та не сов-па-да-ет, то ОДЗ ука-зы-вать необ-хо-ди-мо.

При-мер 8. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: . При этом y (ОДЗ ис-ход-ных дро-бей не сов-па-да-ет с ОДЗ ре-зуль-та-та).

Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями

Чтобы скла-ды-вать и вы-чи-тать ал-геб-ра-и-че-ские дроби с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми, про-ве-дём ана-ло-гию с обык-но-вен-ны-ми дро-бя-ми и пе-ре-не-сём её на ал-геб-ра-и-че-ские дроби.

Рас-смот-рим про-стей-ший при-мер для обык-но-вен-ных дро-бей.

При-мер 1. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:

Вспом-ним пра-ви-ло сло-же-ния дро-бей. Для на-ча-ла дроби необ-хо-ди-мо при-ве-сти к об-ще-му зна-ме-на-те-лю. В роли об-ще-го зна-ме-на-те-ля для обык-но-вен-ных дро-бей вы-сту-па-ет наи-мень-шее общее крат-ное (НОК) ис-ход-ных зна-ме-на-те-лей.

Опре-де-ле-ние

Наи-мень-шее на-ту-раль-ное число, ко-то-рое де-лит-ся од-но-вре-мен-но на числа и .

Для на-хож-де-ния НОК необ-хо-ди-мо раз-ло-жить зна-ме-на-те-ли на про-стые мно-жи-те-ли, а затем вы-брать все про-стые мно-жи-те-ли, ко-то-рые вхо-дят в раз-ло-же-ние обоих зна-ме-на-те-лей.

; . Тогда в НОК чисел долж-ны вхо-дить две двой-ки и две трой-ки: .

После на-хож-де-ния об-ще-го зна-ме-на-те-ля, необ-хо-ди-мо для каж-дой из дро-бей найти до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель (фак-ти-че-ски, по-де-лить общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель со-от-вет-ству-ю-щей дроби).

Затем каж-дая дробь умно-жа-ет-ся на по-лу-чен-ный до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель. По-лу-ча-ют-ся дроби с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми, скла-ды-вать и вы-чи-тать ко-то-рые мы на-учи-лись на про-шлых уро-ках.

По-лу-ча-ем: .

Ответ: .

Рас-смот-рим те-перь сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми. Сна-ча-ла рас-смот-рим дроби, зна-ме-на-те-ли ко-то-рых яв-ля-ют-ся чис-ла-ми.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

При-мер 2. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:

Ал-го-ритм ре-ше-ния аб-со-лют-но ана-ло-ги-чен преды-ду-ще-му при-ме-ру. Легко по-до-брать общий зна-ме-на-тель дан-ных дро-бей: и до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из них.

.

Ответ: .

Итак, сфор-му-ли-ру-ем ал-го-ритм сло-же-ния и вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми :

1. Найти наи-мень-ший общий зна-ме-на-тель дро-бей.

2. Найти до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из дро-бей (по-де-лив общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель дан-ной дроби).

3. До-мно-жить чис-ли-те-ли на со-от-вет-ству-ю-щие до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли.

4. Сло-жить или вы-честь дроби, поль-зу-ясь пра-ви-ла-ми сло-же-ния и вы-чи-та-ния дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми.

Рас-смот-рим те-перь при-мер с дро-бя-ми, в зна-ме-на-те-ле ко-то-рых при-сут-ству-ют бук-вен-ные вы-ра-же-ния.