Пифагоровы теоремы. Прямоугольный треугольник
Теорема Пифагора
Когда вы только начинали изучать квадратные корни и способы решения иррациональных уравнений (равенств, содержащих неизвестную под знаком корня), вы, вероятно, получили первое представление об их практическом использовании. Умение извлекать квадратный корень из чисел также необходимо для решения задач на применение теоремы Пифагора. Эта теорема связывает длины сторон любого прямоугольного треугольника.
Пусть длины катетов прямоугольного треугольника (тех двух сторон, которые сходятся под прямым углом) будут обозначены буквами и , а длина гипотенузы (самой длинной стороны треугольника, расположенной напротив прямого угла) будет обозначена буквой . Тогда соответствующие длины связаны следующим соотношением:
Данное уравнение позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника в том случае, когда известна длина двух других его сторон. Кроме того, оно позволяет определить, является ли рассматриваемый треугольник прямоугольным, при условии, что длины всех трёх сторон заранее известны.
Решение задач с использованием теоремы Пифагора
Для закрепления материала решим следующие задачи на применение теоремы Пифагора.
Итак, дано:
- Длина одного из катетов равняется 48, гипотенузы – 80.
- Длина катета равняется 84, гипотенузы – 91.
Приступим к решению:
a) Подстановка данных в приведённое выше уравнение даёт следующие результаты:
48 2 + b 2 = 80 2
2304 + b 2 = 6400
b 2 = 4096
b = 64 или b = -64
Поскольку длина стороны треугольника не может быть выражена отрицательным числом, второй вариант автоматически отбрасывается.
Ответ к первому рисунку: b = 64.
b) Длина катета второго треугольника находится тем же способом:
84 2 + b 2 = 91 2
7056 + b 2 = 8281
b 2 = 1225
b = 35 или b = -35
Как и в предыдущем случае, отрицательное решение отбрасывается.
Ответ ко второму рисунку: b = 35
Нам дано:
- Длины меньших сторон треугольника равны 45 и 55 соответственно, большей – 75.
- Длины меньших сторон треугольника равны 28 и 45 соответственно, большей – 53.
Решаем задачу:
a) Необходимо проверить, равна ли сумма квадратов длин меньших сторон данного треугольника квадрату длины большей:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Следовательно, первый треугольник не является прямоугольным.
b) Выполняется та же самая операция:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Следовательно, второй треугольник является прямоугольным.
Сперва найдем длину наибольшего отрезка, образованного точками с координатами (-2, -3) и (5, -2). Для этого используем известную формулу для нахождения расстояния между точками в прямоугольной системе координат:
Аналогично находим длину отрезка, заключенного между точками с координатами (-2, -3) и (2, 1):
Наконец, определяем длину отрезка между точками с координатами (2, 1) и (5, -2):
Поскольку имеет место равенство:
то соответствующий треугольник является прямоугольным.
Таким образом, можно сформулировать ответ к задаче: поскольку сумма квадратов сторон с наименьшей длиной равняется квадрату стороны с наибольшей длиной, точки являются вершинами прямоугольного треугольника.
Основание (расположенное строго горизонтально), косяк (расположенный строго вертикально) и трос (протянутый по диагонали) формируют прямоугольный треугольник, соответственно, для нахождения длины троса может использоваться теорема Пифагора:
Таким образом, длина троса будет составлять приблизительно 3,6 метра.
Дано: расстояние от точки R до точки P (катет треугольника) равняется 24, от точки R до точки Q (гипотенуза) – 26.
Итак, помогаем Вите решить задачу. Поскольку стороны треугольника, изображённого на рисунке, предположительно образуют прямоугольный треугольник, для нахождения длины третьей стороны можно использовать теорему Пифагора:
Итак, ширина пруда составляет 10 метров.
Сергей Валерьевич
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение
между сторонами прямоугольного треугольника .
Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.
Геометрическая формулировка теоремы Пифагора.
Изначально теорема была сформулирована следующим образом:
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата , построенного на гипотенузе , равна сумме площадей квадратов ,
построенных на катетах.
Алгебраическая формулировка теоремы Пифагора.
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c , а длины катетов через a и b :
Обе формулировки теоремы Пифагора эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не
требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и
измерив только длины сторон прямоугольного треугольника .
Обратная теорема Пифагора.
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то
треугольник прямоугольный.
Или, иными словами:
Для всякой тройки положительных чисел a , b и c , такой, что
существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c .
Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника.
Теорема Пифагора для равностороннего треугольника.
Доказательства теоремы Пифагора.
На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема
Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие
можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.
Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них:
доказательства методом площадей , аксиоматические и экзотические доказательства (например,
с помощью дифференциальных уравнений ).
1. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.
Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся
напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.
Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C . Проведём высоту из C и обозначим
её основание через H .
Треугольник ACH подобен треугольнику AB C по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC .
Введя обозначения:
получаем:
,
что соответствует -
Сложив a 2 и b 2 , получаем:
или , что и требовалось доказать.
2. Доказательство теоремы Пифагора методом площадей.
Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они
используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.
- Доказательство через равнодополняемость.
Расположим четыре равных прямоугольных
треугольника так, как показано на рисунке
справа.
Четырёхугольник со сторонами c - квадратом,
так как сумма двух острых углов 90°, а
развёрнутый угол — 180°.
Площадь всей фигуры равна, с одной стороны,
площади квадрата со стороной (a+b ), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и
Что и требовалось доказать.
3. Доказательство теоремы Пифагора методом бесконечно малых.
Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и
наблюдая изменение стороны a , мы можем
записать следующее соотношение для бесконечно
малых приращений сторон с и a (используя подобие
треугольников):
Используя метод разделения переменных, находим:
Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов:
Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем:
Таким образом, мы приходим к желаемому ответу:
Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной
пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми
вкладами от приращения разных катетов.
Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения
(в данном случае катет b ). Тогда для константы интегрирования получим:
Каждый школьник знает, что всегда квадрат гипотенузы равен сумме катетов, каждый из которых возведен в квадрат. Эта утверждение носит название теоремы Пифагора. Она является одной из самых известных теорем тригонометрии и математики в целом. Рассмотрим ее подробнее.
Понятие о прямоугольном треугольнике
Перед тем, как переходить к рассмотрению теоремы Пифагора, в которой квадрат гипотенузы равен сумме катетов, которые возведены в квадрат, следует рассмотреть понятие и свойства прямоугольного треугольника, для которого справедлива теорема.
Треугольник - плоская фигура, имеющая три угла и три стороны. Прямоугольный же треугольник, как следует из его названия, имеет один прямой угол, то есть этот угол равен 90 o .
Из общих свойств для всех треугольников известно, что сумма всех трех углов этой фигуры равна 180 o , а это означает, что для прямоугольного треугольника сумма двух углов, которые не являются прямыми, составляет 180 o - 90 o = 90 o . Последний факт означает, что любой угол в прямоугольном треугольнике, который не является прямым, будет всегда меньше 90 o .
Сторону, которая лежит против прямого угла, принято называть гипотенузой. Две же другие стороны являются катетами треугольника, они могут быть равны между собой, а могут и отличаться. Из тригонометрии известно, что чем больше угол, против которого лежит сторона в треугольнике, тем больше длина этой стороны. Это означает, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза (лежит против угла 90 o) будет всегда больше любого из катетов (лежат против углов < 90 o).
Математическая запись теоремы Пифагора
Эта теорема гласит, что квадрату гипотенузы равна сумма катетов, каждый из которых предварительно возведен в квадрат. Чтобы математически записать эту формулировку, рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором стороны a, b и c являются двумя катетами и гипотенузой, соответственно. В этом случае теорема, которая формулируется, как квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, формулой следующей может быть представлена: c 2 = a 2 + b 2 . Отсюда могут быть получены другие важные для практики формулы: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) и c = √(a 2 + b 2).
Отметим, что в случае прямоугольного равностороннего треугольника, то есть a = b, формулировка: квадрат гипотенузы равен сумме катетов, каждый из которых возведен в квадрат, математически запишется так: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2 , откуда вытекает равенство: c = a√2.
Историческая справка
Теорема Пифагора, гласящая, что квадрату гипотенузы равна сумма катетов, каждый из которых возведен в квадрат, была известна задолго до того, когда на нее обратил внимание знаменитый греческий философ. Многие папирусы Древнего Египта, а также глиняные таблички Вавилонян подтверждают, что эти народы использовали отмеченное свойство сторон прямоугольного треугольника. Например, одна из первых египетских пирамид, пирамида Хефрена, строительство которой относится к XXVI веку до нашей эры (за 2000 лет до жизни Пифагора), была построена, исходя из знания соотношения сторон в прямоугольном треугольнике 3x4x5.
Почему же тогда в настоящее время теорема носит имя грека? Ответ прост: Пифагор является первым, кто математически доказал эту теорему. В сохранившихся вавилонских и египетских письменных источниках говорится лишь об ее использовании, но не приводится никакого математического доказательства.
Считается, что Пифагор доказал рассматриваемую теорему путем использования свойств подобных треугольников, которые он получил, проведя высоту в прямоугольном треугольнике из угла 90 o к гипотенузе.
Пример использования теоремы Пифагора
Рассмотрим простую задачу: необходимо определить длину наклонной лестницы L, если известно, что она имеет высоту H = 3 метра, и расстояние от стены, в которую упирается лестница, до ее подножия равно P = 2,5 метра.
В данном случае H и P - это катеты, а L - гипотенуза. Поскольку длина гипотенузы равна сумме квадратов катетов, получаем: L 2 = H 2 + P 2 , откуда L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2) = 3,905 метра или 3 м и 90,5 см.