Zapis presečišča in unije množic. Lekcija "presečišče in združitev množic"
- združenje oz vsota n nizov A 1 , A 2 , …, A n je množica, sestavljena iz elementov, vključenih v vsaj enega od teh n nizov: A = A 1 U A 2 U… U A n, kjer predznak U označuje operacijo združevanja množic.
Formalno je operacija združevanja množic opredeljena na naslednji način:
A = (x / x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2 ∨ … ∨ x ∈ A n ),
kjer je ∨ logični znak, ki označuje konjunkcijo ALI. Ta vnos se bere takole: množica A so vse tiste vrednosti x, ki pripadajo množici A 1, množici A 2 ali množici A 3 in tako naprej do množice A p.
Za izvedbo operacije združitev množic obstaja kalkulator .
Na primer, naj so podane množice: A 1 = (a, b, c); A2 = (4); A 3 = (b, 54). Če zanje uporabimo operacijo združitve, dobimo novo množico A = A 1 U A 2 U A 3 = (a,b,c,4,54). Upoštevajte, da je b ∈ A 1 in b ∈ A 3 , vendar se element b v množici A pojavi le enkrat (spomnimo se: vsi elementi množice morajo biti različni).
Na () je zveza nizov označena s trdnim senčenjem območij, ki ustrezajo tem nizom:
- Na sl. 5 zasenčenih površin kompleta Q U P,
- Na sl. 6 prikazuje območje nabora (P U Q) U R s šrafiranjem.
- Na sl. 7 prikazuje tri sklope P, Q in R. Šrafiranje označuje niz Q U R.
Operacija združevanja niza ima naslednje lastnosti:
a) unija je komutativna:
A U B = B U A ;
A U B U C = A U C U B = B U A U C itd.;
b) zveza asociativno:
(A U B) U C = A U (B U C) = A U B U C.
(Zaradi asociativnosti se pri pisanju več sklopov, povezanih z znakom zveze, oklepajise ne sme uporabljati);
v) če je B ⊆ A ali B ⊂ A, potem je A U B = A.
Na sl. osem Vennov diagram je podan za primer, ko je B ⊂ A.
Šrafiranje označuje območje množice A, ki
istočasno velja za množico A U B .
- Iz lastnosti "in" sledi, da:
- A U A = A ;
- A U A = ∅;
- A U I = I.
vaje
1. Poišči elemente množice A U B če
A = (a, b, c); B = (b, c, d).
2. Poiščite elemente množic: najprej A, nato - A 1 , nato - A 2 (števila razporedite v naraščajočem vrstnem redu), če je A = (x / x ∈ I ∧ (x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2); A 1 ⊂ I je množica večkratnikov treh, A 2 ⊂ I je množicaštevila, ki so večkratniki štirih); I = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
3. Dane tri množice A, B, C. Znano je, da je a ∈ A. Navedite vse resnične trditve:
a) a ⊂ B; f) (a) ∈ B;
b) a ∈ A U B ; g) (a)⊆ A U B ;
c) a ⊂ B U C ; h) (a) ∈ B U C ;
d) a ∈ A U B U C; i) (a)⊆ A U B U C
e) (a) ⊆ A
Odgovori: b), d), e), g), i) - res.
4. Na sl. 9 prikazuje Vennov diagram za tri sklope. Poiščite elemente množic A U B , nato - A U C.
5. Naštej elemente množice M (slika 9):
M = (x / x ∉ A ∧ x ∈ I).
6. Naštej elemente množice N (slika 9):
N = (x / x ∈ A U B , x > 4).
7. Naštej elemente množice K if
K = (x / x ∈ A U B U C , x je sodo število ) (slika 9).
8. Naštej elemente množice T (slika 9):
T = (x / x ∉ A U C, x ∈ I).
9. Poiščite kardinalno številko množice A U B ,
če je A = (a, b, c); B = (6, 7, 8, 9).
Odgovor: | A U B| = 7
10. Poiščite kardinalna števila nizov
A U B, A U C, B U C po Vennovem diagramu (slika 10).
11. Poišči kardinalno število množice A U B če
A = (1, 2, 3, 4); B = (2, 3, 4, 5).
Odgovor: | A U B| = 5
12. Poišči kardinalno število množice A U B, če je A = (∅); B = (a, b, c).
Odgovor: | A U B| = 4
13. Poišči kardinalno število množice B(P) U B(Q), kjer je
P = (a, b, c); Q = (b, c, d).
Odgovor: |B(P) U B(Q)| = |B(P U Q)| = |B(a, b, c, d)| = 2 4 = 16
14. Poišči kardinalno število množice B(K) U B(M), kjer je
K = ( x / x je sodo naravno število, x ≤ 8);
M = ( x / x je liho naravno število, x< 6}.
15. Koliko pravilnih podmnožic ima množica, A = A 1 U A 2 U… U A n ,
če A 1 , A 2 ,…, A n —singletonov, ki so parno neenaki?
Operacija nad množicami je pravilo, zaradi katerega se iz danih množic enolično pridobi neka nova množica.
Označi poljubno operacijo z *. Množica, pridobljena iz danih nizov A in B napisano v obliki A*B. Nastali niz in sama operacija se imenujeta en izraz.
Komentar. Za osnovne številčne operacije se uporabljata dva izraza: eden označuje samo operacijo kot dejanje, drugi - število, pridobljeno po izvedbi dejanja. Na primer, operacija, označena s +, se imenuje seštevanje, število, dobljeno kot rezultat seštevanja, pa se imenuje vsota števil. Podobno predznak operacije množenja in rezultat in b - produkt številk a in b. Vendar pa se ta razlika manj pogosto ne upošteva in pravijo "Upoštevajte vsoto številk", kar pomeni, da ni določen rezultat, ampak samo delovanje.
operacija prehoda.Presečišče množic A in B AglV, sestavljen iz vseh predmetov, od katerih vsak pripada obema nizoma AMPAK in AT hkrati.
Z drugimi besedami, ASV - je množica vseh r takih, da heA in črkati:
sindikalno delovanje.Združenje nizov A in B se imenuje množica označena A" in B, sestavljen iz vseh predmetov, od katerih vsak pripada vsaj enemu nizu AMPAK oz AT.
Operacija združevanja je včasih označena z znakom + in se imenuje seštevanje niza.
Različne operacije.Razlika med nizi A in B se imenuje množica označena AB, sestavljen iz vseh predmetov, od katerih vsak leži v AMPAK, vendar ne laže AT.
Izraz apv preberite "AMPAK v križišču z AT», AkjB- "In v povezavi z B", AB - "A brez AT".
Primer 7.1.1. Pustiti AMPAK = {1, 3,4, 5, 8,9}, AT = {2,4, 6, 8}.
Potem AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), AcB=( 4,8}, AB= (1,3, 5, 9), YL = (2,6)."
Na podlagi teh operacij je mogoče definirati še dve pomembni operaciji.
operacijo dodajanja. Pustiti AqS. Potem pa razlika SA poklical dopolnjuje množico A do S in označena A s .
Naj bo katera koli obravnavana množica podmnožica neke množice U. Dopolnitev takšnega fiksnega (v kontekstu reševanja določenega problema) sklopa U označi preprosto AMPAK. Uporabljajo se tudi oznake SA, Z A, A".
Primer 7.1.2. Komplement množice (1, 3,4, 5, 8, 9) množici vseh decimalnih števk je (0, 2, 6, 7).
Dopolnitev množice Q množici R veliko jih je 1.
Dopolnitev množice kvadratov množici pravokotnikov je množica vseh pravokotnikov z neenakomernimi sosednjimi stranicami.
Vidimo, da operacije združevanja, preseka in seštevanja množic ustrezajo logičnim operacijam disjunkcije, konjunkcije in negacije.
Simetrično diferencialno delovanje.Simetrična razlika množic A in B se imenuje množica označena A®B, sestavljen iz vseh predmetov, od katerih vsak pripada natanko enemu od nizov A in B:
Zlahka je videti, da je simetrična razlika združitev dveh nizov AB in VA Isti niz lahko dobimo tako, da najprej združimo sklope AMPAK in AT, in nato odstranite skupne elemente iz nabora.
Primer 7.1.3. Naj so podane realne številke in Potem imamo za ustrezne številčne intervale:
Upoštevajte, da od segmenta [a; b] vsebuje številko c> in interval (c; d) točka Z ne vsebuje številke Z leži v razliki [a; b] brez [z; prim. Toda razlika, na primer (2; 5), ne vsebuje števila 3, saj leži v segmentu. Imamo (2;5)=(2;3).
Naj so podane disjunktne množice AMPAK in AT. Ker je n predznak operacije presečišča, je zapis A(bB napačno. Prav tako je napačno reči, da množice nimajo presečišča. Presečišče je vedno tam, definirano je za vse množice. Dejstvo, da se množice ne sekata, pomeni, da je njihovo presečišče prazno (torej z izvedbo podane operacije dobimo prazen niz). Če se množice sekata, potem njihovo presečišče ni prazno. sklepamo:
Posplošimo operacije zveze presečišč na primer, ko obstajata več kot dve množici.
Pustite sistemu Za kompleti. Presečišče množic danega sistema je množica vseh elementov, od katerih vsak leži v vseh množicah svojih TO.
Unija množic danega sistema je množica vseh elementov, od katerih vsak leži v vsaj enem izmed njih. TO.
Naj množice sistema Za so oštevilčene z elementi neke družine indeksov /. Potem kateri koli niz Za se lahko določi AMPAK,-, kje iel.Če je zbirka končna, se množica prvih naravnih števil (1,2,...,u) uporablja kot /. Na splošno je / lahko neskončno.
Potem, v splošnem primeru, unija množic AMPAK za vse iel označuje (J AMPAK( , in križišče -f]A i .
Pustite komplet Za končno torej K= V tem primeru
piši AyjA 2 v...KjA„ in AG4 2 (^---G4p-
Primer 7.1.4. Razmislite o intervalih številske premice A| \u003d [-oo; 2], L 2 \u003d H °; 3], L 3 =)
