Shënimi i kryqëzimit dhe bashkimit të bashkësive. Mësimi "Kryqëzimi dhe bashkimi i grupeve"
- Shoqata ose shuma e n grupeve A 1 , A 2 , …, A n është një grup i përbërë nga elementë të përfshirë në të paktën një nga këto n grupe: A = A 1 U A 2 U… U A n ku shenja U tregon veprimin e kombinimit të bashkësive.
Formalisht, funksionimi i bashkimit të grupeve përcaktohet si më poshtë:
A = (x / x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2 ∨ … ∨ x ∈ A n ),
ku ∨ është një shenjë logjike që tregon bashkimin OSE. Kjo hyrje lexohet si më poshtë: bashkësia A janë të gjitha ato vlera të x që i përkasin grupit A 1, ose grupit A 2, ose grupit A 3, e kështu me radhë deri në grupin A p.
Për të kryer operacionin bashkimi i grupeve ka një kalkulator .
për shembull, le të jepen bashkësitë: A 1 = (a, b, c); A2 = (4); A 3 = (b, 54). Duke zbatuar operacionin e bashkimit ndaj tyre, marrim një grup të ri A = A 1 U A 2 U A 3 = (a,b,c,4,54). Vini re se b ∈ A 1 dhe b ∈ A 3 , por elementi b shfaqet në bashkësinë A vetëm një herë (kujtoni: të gjithë elementët e grupit duhet të jenë të ndryshëm).
Në (), bashkimi i grupeve shënohet me hijezim të fortë të zonave që korrespondojnë me këto grupe:
- Në fig. 5 zona me hije të grupit Q U P,
- Në fig. 6 tregon rajonin e grupit (P U Q) U R me çelje.
- Në fig. 7 tregon tre grupe P, Q dhe R. Hatching shënon grupin Q U R.
Operacioni i bashkimit të vendosur ka vetitë e mëposhtme:
a) bashkimi është komutativ:
A U B = B U A;
A U B U C = A U C U B = B U A U C etj.;
b) bashkimi në mënyrë asociative:
(A U B) U C = A U (B U C) = A U B U C.
(Për shkak të asociativitetit, kur shkruani disa grupe të lidhura me një shenjë bashkimi, kllapanuk mund të përdoret);
në) nëse B ⊆ A ose B ⊂ A, atëherë A U B = A.
Në fig. tetë jepet diagrami i Venit për rastin kur B ⊂ A.
Hatching shënon zonën e grupit A, e cila
zbatohet njëkohësisht për bashkësinë A U B.
- Nga vetia "in" rrjedh se:
- A U A = A;
- A U A = ∅ ;
- A U I = I.
Ushtrime
1. Gjeni elementet e bashkësisë A U B nëse
A = (a, b, c); B = (b, c, d).
2. Gjeni elementet e bashkësive: fillimisht A, pastaj - A 1 , pas kësaj - A 2 (renditni numrat në rend rritës), nëse A = (x / x ∈ I ∧ (x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2); A 1 ⊂ I është bashkësia e shumëfishave të tre, A 2 ⊂ I është bashkësianumra që janë shumëfish të katër); I = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
3. Janë dhënë tre grupe A, B, C. Dihet se a ∈ A. Tregoni të gjitha pohimet e vërteta:
a) a ⊂ B; f) (a) ∈ B;
b) a ∈ A U B ; g) (a)⊆ A U B ;
c) a ⊂ B U C; h) (a) ∈ B U C ;
d) a ∈ A U B U C; i) (a)⊆ A U B U C
e) (a) ⊆ A
Përgjigjet: b), d), e), g), i) - e vërtetë.
4. Në fig. 9 tregon një diagram të Venit për tre grupe. Gjeni elementet e bashkësive A U B , pastaj - A U C.
5. Renditni elementet e bashkësisë M (Fig. 9):
M = (x / x ∉ A ∧ x ∈ I).
6. Renditni elementet e bashkësisë N (Fig. 9):
N = (x / x ∈ A U B , x > 4).
7. Listoni elementet e bashkësisë K nëse
K = (x / x ∈ A U B U C , x është një numër çift ) (Fig. 9).
8. Renditni elementet e bashkësisë T (Fig. 9):
T = (x / x ∉ A U C, x ∈ I ).
9. Gjeni numrin kardinal të grupit A U B,
nëse A = (a, b, c); B = (6, 7, 8, 9).
Përgjigje: | A U B| = 7
10. Gjeni numrat kryesorë të grupeve
A U B, A U C, B U C sipas diagramit të Venit (Fig. 10).
11. Gjeni numrin kardinal të bashkësisë A U B nëse
A = (1, 2, 3, 4); B = (2, 3, 4, 5).
Përgjigje: | A U B| = 5
12. Gjeni numrin kardinal të bashkësisë A U B nëse A = (∅); B = (a, b, c).
Përgjigje: | A U B| = 4
13. Gjeni numrin kardinal të bashkësisë B(P) U B(Q), ku
P = (a, b, c); Q = (b, c, d).
Përgjigje: |B(P) U B(Q)| = |B(P U Q)| = |B(a, b, c, d)| = 2 4 = 16
14. Gjeni numrin kardinal të bashkësisë B(K) U B(M), ku
K = ( x / x është një numër natyror çift, x ≤ 8);
M = ( x / x është një numër natyror tek, x< 6}.
15. Sa nënbashkësi të duhura ka bashkësia, A = A 1 U A 2 U… U A n ,
nëse A 1, A 2,…, A n -njëshe që janë të pabarabarta në çift?
Një operacion në grupe është një rregull, si rezultat i të cilit një grup i ri merret pa mëdyshje nga grupet e dhëna.
Shënoni një veprim arbitrar me *. Kompleti i përftuar nga grupet e dhëna A dhe B shkruar në formë A*B. Grupi që rezulton dhe vetë operacioni quhen një term.
Komentoni. Për operacionet bazë numerike, përdoren dy terma: njëri përcakton vetë operacionin si veprim, tjetri - numrin e marrë pas kryerjes së veprimit. Për shembull, veprimi i shënuar me + quhet mbledhje, dhe numri i marrë si rezultat i mbledhjes quhet shuma e numrave. Në mënyrë të ngjashme, shenja e operacionit të shumëzimit dhe rezultati dhe b - prodhimi i numrave a dhe b. Sidoqoftë, më rrallë ky ndryshim nuk merret parasysh dhe ata thonë "Konsideroni shumën e numrave", që do të thotë jo një rezultat specifik, por vetë operacioni.
operacioni i kalimit.Kryqëzimi i grupeve A dhe B AglV, i përbërë nga të gjitha objektet, secila prej të cilave u përket të dy grupeve POR dhe AT njëkohësisht.
Me fjale te tjera, ASV -është bashkësia e të gjitha r e tillë që heA dhe pres:
funksionimin e sindikatave.Bashkimi i grupeve A dhe B quhet bashkësia e shënuar A" dhe B, që përbëhet nga të gjitha objektet, secila prej të cilave i përket të paktën një grupi POR ose AT.
Operacioni i bashkimit nganjëherë shënohet me një shenjë + dhe quhet mbledhja e grupit.
Operacionet e ndryshimit.Dallimi i grupeve A dhe B quhet bashkësia e shënuar AB, i përbërë nga të gjitha objektet, secila prej të cilave shtrihet në POR, por jo duke gënjyer AT.
Shprehje apv lexoni "POR në kryqëzim me AT», AkjB- “Dhe në lidhje me B", AB - "A pa AT".
Shembulli 7.1.1. Le te jete POR = {1, 3,4, 5, 8,9}, AT = {2,4, 6, 8}.
Pastaj AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), AcB=( 4,8}, AB= (1.3, 5, 9), YL = (2.6)."
Bazuar në këto operacione, mund të përcaktohen dy operacione më të rëndësishme.
operacion shtesë. Le te jete AqS. Pastaj ndryshimi SA thirrur duke plotësuar bashkësinë A në S dhe shënohet Një s.
Le të jetë çdo grup në shqyrtim një nëngrup i ndonjë grupi U. Plotësoni një grup të tillë fiks (në kontekstin e zgjidhjes së një problemi të caktuar). U tregojnë thjesht POR. Përdoren edhe emërtimet SA, me A, A".
Shembulli 7.1.2. Plotësimi i grupit (1, 3,4, 5, 8, 9) për bashkësinë e të gjitha shifrave dhjetore është (0, 2, 6, 7).
Plotësues i bashkësisë Q ndaj bashkësisë R ka shume 1.
Plotësimi i një grupi katrorësh të një grupi drejtkëndëshash është bashkësia e të gjithë drejtkëndëshave me brinjë të pabarabarta ngjitur.
Shohim që veprimet e bashkimit, kryqëzimit dhe shtimit të bashkësive korrespondojnë me operacionet logjike të ndarjes, lidhjes dhe mohimit.
Operacioni i diferencës simetrike.Dallimi simetrik i grupeve A dhe B quhet bashkësia e shënuar A®B, i përbërë nga të gjitha objektet, secila prej të cilave i përket saktësisht njërës prej grupeve A dhe B:
Është e lehtë të shihet se ndryshimi simetrik është bashkimi i dy grupeve AB dhe VA. I njëjti grup mund të merret duke kombinuar fillimisht grupet POR dhe AT, dhe më pas hiqni elementët e zakonshëm nga grupi.
Shembulli 7.1.3. Le të jepen numra realë dhe pastaj për intervalet numerike përkatëse kemi:
Vini re se që nga segmenti [a; b] përmban një numër c> dhe intervalin (c; d) pikë me nuk përmban numrin me qëndron në ndryshim [a; b] pa [me; kf. Por ndryshimi, për shembull, (2; 5), nuk përmban numrin 3, pasi shtrihet në segment. Kemi (2;5)=(2;3).
Le të jepen grupe të shkëputura POR dhe AT. Meqenëse n është shenja e veprimit të kryqëzimit, shënimi A(bB e pasaktë. Është gjithashtu e gabuar të thuhet se grupet nuk kanë kryqëzim. Kryqëzimi është gjithmonë aty, ai përcaktohet për çdo grup. Fakti që grupet nuk kryqëzohen do të thotë që kryqëzimi i tyre është bosh (d.m.th., pas kryerjes së operacionit të specifikuar, marrim një grup bosh). Nëse grupet kryqëzohen, atëherë kryqëzimi i tyre nuk është bosh. Përfundojmë:
Le të përgjithësojmë operacionet e bashkimit të kryqëzimit në rastin kur ka më shumë se dy grupe.
Lëreni sistemin për të grupe. Kryqëzimi i grupeve të një sistemi të caktuar është bashkësia e të gjithë elementëve, secila prej të cilëve shtrihet në të gjitha grupet e tyre. TE.
Bashkimi i bashkësive të një sistemi të caktuar është bashkësia e të gjithë elementëve, secila prej të cilave shtrihet në të paktën një grup prej tyre. TE.
Lërini grupet e sistemit për të numërohen me elemente të disa familje indeksesh /. Pastaj çdo grup i për të mund të caktohet POR,-, ku iel. Nëse mbledhja është e fundme, atëherë bashkësia e numrave të parë natyrorë (1,2,...,u) përdoret si /. Në përgjithësi, / mund të jetë i pafund.
Pastaj, në rastin e përgjithshëm, bashkimi i bashkësive POR per te gjithe iel tregojnë (J POR( , dhe kryqëzimin -f]A i .
Lëreni grupin për të përfundimtar, atëherë K= Në këtë rast
shkruaj AyjA 2 v...KjA„ dhe AG4 2 (^---G4p-
Shembulli 7.1.4. Konsideroni intervalet e drejtëzës numerike A| \u003d [-oo; 2], L 2 \u003d H °; 3], L 3 =)
