Kesişme ve kümelerin birleşimi gösterimi. "Kümelerin kesişimi ve birleşimi" dersi
- Dernek veya n kümenin toplamı A 1 , A 2 , …, A n, şu n kümelerinden en az birinde yer alan öğelerden oluşan bir kümedir: A = A 1 U A 2 U… U A n Burada U işareti kümeleri birleştirme işlemini belirtir.
Biçimsel olarak, kümelerin birleşiminin işlemi şu şekilde tanımlanır:
A = (x / x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2 ∨ … ∨ x ∈ Bir n ),
burada ∨, VEYA bağlacını gösteren mantıksal bir işarettir. Bu giriş şu şekilde okunur: A kümesi, A 1 kümesine veya A 2 kümesine veya A 3 kümesine ve A p kümesine kadar devam eden x'in tüm değerleridir.
Kümelerin işlem birleşimini gerçekleştirmek için hesap makinesi var .
örneğin, kümeler verilsin: A 1 = (a, b, c); A2 = (4); A3 = (b, 54). Birleşim işlemini onlara uygulayarak yeni bir A = A 1 U A 2 U A 3 = (a,b,c,4,54) kümesi elde ederiz. b ∈ A 1 ve b ∈ A 3 olduğuna dikkat edin, ancak b öğesi A kümesinde yalnızca bir kez görünür (hatırlayın: kümenin tüm öğeleri farklı olmalıdır).
() üzerinde, kümelerin birleşimi, bu kümelere karşılık gelen alanların düz gölgelenmesiyle gösterilir:
- Şek. Q U P kümesinin 5 taralı alanı,
- Şek. Şekil 6, taramalı (P U Q) U R kümesinin bölgesini göstermektedir.
- Şek. 7, üç küme P, Q ve R'yi gösterir. Tarama, set Q U R'yi işaretler.
Küme birleştirme işlemi aşağıdaki özelliklere sahiptir:
a) birlik değişmeli:
A U B = B U A ;
A U B U C = A U C U B = B U A U C vb.;
b) birlikte birlik:
(A U B) U C = A U (B U C) = A U B U C.
(İlişkililik nedeniyle, bir birleşim işaretiyle bağlanan birkaç küme yazarken, parantezlerkullanılamaz);
içinde) B ⊆ A veya B ⊂ A ise, A U B = A.
Şek. sekiz B ⊂ A durumu için Venn şeması verilmiştir.
Tarama, A kümesinin alanını işaretler;
A U B kümesine aynı anda uygulanır.
- "in" özelliğinden şunu çıkar:
- A U A = A ;
- A U A = ∅ ;
- Bir U I = I.
Egzersizler
1. Aşağıdaki durumlarda A U B kümesinin elemanlarını bulunuz.
A = (a, b, c); B = (b, c, d).
2. Kümelerin elemanlarını bulun: önce A, sonra - A 1 , ondan sonra - A 2 (sayıları artan sırada sıralayın), eğer A = (x / x ∈ I ∧ (x ∈ A 1 ∨ x ∈ A) 2)); A 1 ⊂ I üçün katları kümesidir, A 2 ⊂ I kümesidirdördün katı olan sayılar); ben = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
3. Verilen üç A, B, C kümesi. a ∈ A olduğu bilinmektedir. Tüm doğru ifadeleri belirtin:
a) bir ⊂ B; f) (a) ∈ B;
b) a ∈ A U B ; g) (a)⊆ A U B ;
c) bir ⊂ BUC ; h) (a) ∈ BUC ;
d) a ∈ A U B U C; i) (a)⊆ A U B U C
e) (a) ⊆ A
Cevaplar: b), d), e), g), i) - doğru.
4. Şek. Şekil 9, üç küme için bir Venn şemasını göstermektedir. A U B , sonra - A U C kümelerinin elemanlarını bulun.
5. M kümesinin elemanlarını listeleyin (Şekil 9):
M = (x / x ∉ A ∧ x ∈ I).
6. N kümesinin öğelerini listeleyin (Şekil 9):
N = (x / x ∈ A U B , x > 4).
7. Aşağıdaki durumlarda K kümesinin elemanlarını listeleyiniz.
K = (x / x ∈ A U B U C , x bir çift sayıdır ) (Şekil 9).
8. T kümesinin elemanlarını listeleyin (Şekil 9):
T = (x / x ∉ A U C, x ∈ I ).
9. A U B kümesinin kardinal sayısını bulunuz,
eğer A = (a, b, c); B = (6, 7, 8, 9).
Cevap: | A U B| = 7
10. Kümelerin kardinal sayılarını bulun
A U B, A U C, B U C Venn şemasına göre (Şekil 10).
11. Aşağıdaki durumlarda A U B kümesinin kardinal sayısını bulun:
A = (1, 2, 3, 4); B = (2, 3, 4, 5).
Cevap: | A U B| = 5
12. A = (∅); B = (a, b, c).
Cevap: | A U B| = 4
13. B(P) U B(Q) kümesinin ana sayısını bulun, burada
P = (a, b, c); S = (b, c, d).
Cevap: |B(P) U B(Q)| = |B(P U Q)| = |B(a, b, c, d)| = 2 4 = 16
14. B(K) U B(M) kümesinin ana sayısını bulun, burada
K = ( x / x bir çift doğal sayıdır, x ≤ 8);
M = ( x / x tek bir doğal sayıdır, x< 6}.
15. Kümenin kaç tane uygun alt kümesi var, A = A 1 U A 2 U… U A n ,
eğer A 1 , A 2 ,…, A n —ikili eşit olmayan singletonlar?
Kümeler üzerinde bir işlem, bir kuraldır, bunun sonucunda verilen kümelerden kesin olarak yeni bir küme elde edilir.
İsteğe bağlı bir işlemi * ile belirtin. Verilen kümelerden elde edilen küme A ve Bşeklinde yazılmış A*B. Ortaya çıkan kümeye ve işlemin kendisine bir terim denir.
Yorum. Temel sayısal işlemler için iki terim kullanılır: biri işlemin kendisini bir işlem olarak belirtir, diğeri işlem yapıldıktan sonra elde edilen sayıdır. Örneğin + ile gösterilen işleme toplama, toplama sonucu elde edilen sayıya sayıların toplamı denir. Benzer şekilde çarpma işleminin işareti ve sonucu ve B - sayıların çarpımı a ve B. Ancak, daha az sıklıkla bu fark dikkate alınmaz ve “Sayıların toplamını düşünün” derler, yani belirli bir sonuç değil, işlemin kendisi.
geçiş operasyonu.A ve B kümelerinin kesişimi AglV her biri her iki kümeye ait olan tüm nesnelerden oluşan ANCAK ve AT eşzamanlı.
Başka bir deyişle, ASV - tüm r kümesi öyle mi heA ve hey:
sendika operasyonu.A ve B kümelerinin birleşimi gösterilen küme denir A ve B, her biri en az bir kümeye ait olan tüm nesnelerden oluşan ANCAK veya AT.
Birleştirme işlemi bazen + işaretiyle gösterilir ve küme toplama olarak adlandırılır.
Fark işlemleri.A ve B kümelerinin farkı gösterilen küme denir AB, her biri içinde bulunan tüm nesnelerden oluşan ANCAK, ama yalan değil AT.
İfade apv okuman "ANCAK ile kesişme noktasında AT», AkjB- "Ve birlikte BABA olmadan AT".
Örnek 7.1.1.İzin vermek ANCAK = {1, 3,4, 5, 8,9}, AT = {2,4, 6, 8}.
Sonra AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), acB=( 4,8}, AB= (1.3, 5, 9), YL = (2.6)."
Bu işlemlere dayanarak, iki önemli işlem daha tanımlanabilir.
ekleme işlemi.İzin vermek AqS. O zaman fark SA isminde A'dan S'ye kümeyi tamamlayan ve belirtilen Gibi .
İncelenen herhangi bir küme, bir kümenin alt kümesi olsun. Ü. Böyle bir sabit (belirli bir sorunu çözme bağlamında) bir kümenin tamamlayıcısı sen basitçe belirtmek ANCAK. atamalar da kullanılır SA, ile A, A".
Örnek 7.1.2.(1, 3,4, 5, 8, 9) kümesinin tüm ondalık basamak kümesine tümleyeni (0, 2, 6, 7)'dir.
Q kümesinin kümeye tümleyeni Rçok var 1.
Bir kareler kümesinin bir dikdörtgenler kümesine tümleyeni, eşit olmayan bitişik kenarları olan tüm dikdörtgenlerin kümesidir.
Kümelerin birleşim, kesişim ve toplama işlemlerinin mantıksal ayırma, bağlaç ve olumsuzlama işlemlerine karşılık geldiğini görüyoruz.
Simetrik fark işlemi.A ve B kümelerinin simetrik farkı gösterilen küme denir A®B her biri tam olarak kümelerden birine ait olan tüm nesnelerden oluşan A ve B:
Simetrik farkın iki kümenin birleşimi olduğunu görmek kolaydır. AB ve VA. Aynı küme, önce kümeler birleştirilerek elde edilebilir. ANCAK ve AT, ve sonra kümeden ortak öğeleri çıkarın.
Örnek 7.1.3. Gerçek sayılar verilsin ve Sonra karşılık gelen sayısal aralıklar için:
segmentten beri unutmayın [a; b] bir sayı içerir c> ve aralık (c; d) nokta ile numara içermiyor ile farklılıkta yatıyor [a; b] olmadan [ile; bkz. Ancak fark, örneğin (2; 5), segmentte yer aldığı için 3 sayısını içermez. (2;5)=(2;3) var.
Ayrık kümeler verilsin ANCAK ve AT. n, kesişim işleminin işareti olduğundan, gösterim bir(bB yanlış. Kümelerin kesişimi olmadığını söylemek de yanlıştır. Kavşak her zaman oradadır, herhangi bir küme için tanımlanmıştır. Kümelerin kesişmemesi, kesişimlerinin boş olduğu anlamına gelir (yani belirtilen işlemi yaparak boş bir küme elde ederiz). Kümeler kesişirse, kesişimleri boş değildir. Şu sonuca varıyoruz:
Kesişme birleştirme işlemlerini ikiden fazla küme olduğu duruma genelleştirelim.
sistem olsun İle kümeler. Belirli bir sistemin kümelerinin kesişimi, her biri kendi kümelerinin tüm kümelerinde yer alan tüm öğelerin kümesidir. İLE.
Belirli bir sistemin kümelerinin birleşimi, her biri en az bir kümede yer alan tüm öğelerin kümesidir. İLE.
Sistemin kümeleri olsun İle bazı indeks ailesinin elemanları ile numaralandırılmıştır /. Daha sonra herhangi bir set İle atanabilir ANCAK,-, nerede ben. Toplama sonlu ise, ilk doğal sayılar (1,2,...,u) kümesi / olarak kullanılır. Genel olarak, / sonsuz olabilir.
Daha sonra, genel durumda, kümelerin birleşimi ANCAK hepsi için iel belirtmek (J ANCAK( , ve kavşak -f] bir ben .
set olsun İle nihai, o zaman K= Bu durumda
yazmak AyjA 2 v...KjA„ ve AG4 2 (^---G4p-
Örnek 7.1.4. A| sayı doğrusu aralıklarını göz önünde bulundurun. \u003d [-oo; 2], L 2 \u003d H °; 3], L3 =)
