Notación de intersección y unión de conjuntos. Lección "intersección y unión de conjuntos"
- Asociación o la suma de n conjuntos A 1 , A 2 , …, An es un conjunto formado por elementos incluidos en al menos uno de estos n conjuntos: A = A 1 U A 2 U… U A n donde el signo U denota la operación de combinación de conjuntos.
Formalmente, la operación de unión de conjuntos se define como sigue:
UNA = (x / x ∈ UNA 1 ∨ x ∈ UNA 2 ∨ … ∨ x ∈ UNA norte ),
donde ∨ es un signo lógico que denota la conjunción OR. Esta entrada se lee así: el conjunto A son todos aquellos valores de x que pertenecen al conjunto A 1, o al conjunto A 2, o al conjunto A 3, y así sucesivamente hasta llegar al conjunto A p.
Para realizar la operación unión de conjuntos hay una calculadora .
por ejemplo, sean conjuntos: A 1 = (a, b, c); A2 = (4); A 3 = (b, 54). Aplicándoles la operación unión, obtenemos un nuevo conjunto A = A 1 U A 2 U A 3 = (a,b,c,4,54). Tenga en cuenta que b ∈ A 1 y b ∈ A 3 , pero el elemento b aparece en el conjunto A solo una vez (recuerde: todos los elementos del conjunto deben ser diferentes).
En (), la unión de conjuntos se denota con un sombreado continuo de las áreas correspondientes a estos conjuntos:
- En la fig. 5 área sombreada del conjunto Q U P ,
- En la fig. 6 muestra la región del conjunto (P U Q) U R con sombreado.
- En la fig. 7 muestra tres conjuntos P, Q y R. La eclosión marca el conjunto Q U R.
La operación de unión de conjuntos tiene las siguientes propiedades:
a) la unión es conmutativa:
A U B = B U A ;
A U B U C = A U C U B = B U A U C etc.;
b) unión asociativa:
(A U B) U C = A U (B U C) = A U B U C.
(Debido a la asociatividad, al escribir varios conjuntos conectados por un signo de unión, los corchetesno se puede utilizar);
en) si B ⊆ A o B ⊂ A, entonces A U B = A.
En la fig. ocho el diagrama de Venn se da para el caso en que B ⊂ A.
La eclosión marca el área del conjunto A, que
se aplica simultáneamente al conjunto A U B .
- De la propiedad "in" se sigue que:
- AU A = A ;
- UNAU UNA = ∅ ;
- AU I = I.
Ejercicios
1. Encuentra los elementos del conjunto A U B si
A = (a, b, c); B = (b, c, d).
2. Encuentra los elementos de los conjuntos: primero A, luego - A 1 , luego - A 2 (ordena los números en orden ascendente), si A = (x / x ∈ I ∧ (x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2); A 1 ⊂ I es el conjunto de múltiplos de tres, A 2 ⊂ I es el conjuntonúmeros que son múltiplos de cuatro); yo = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
3. Dados tres conjuntos A, B, C. Se sabe que a ∈ A. Indica todos los enunciados verdaderos:
a) a ⊂ B; f) (a) ∈ B;
b) a ∈ A U B ; g) (a)⊆ A U B ;
c) a ⊂ BUC ; h) (a) ∈ BUC;
d) a ∈ A U B U C; i) (a)⊆ A U B U C
e) (a) ⊆ A
Respuestas: b), d), e), g), i) - cierto.
4. En la fig. 9 muestra un diagrama de Venn para tres conjuntos. Encuentre los elementos de los conjuntos A U B , luego - A U C.
5. Enumere los elementos del conjunto M (Fig. 9):
METRO = (x / x ∉ UN ∧ x ∈ yo).
6. Enumere los elementos del conjunto N (Fig. 9):
norte = (x / x ∈ A U B , x > 4).
7. Liste los elementos del conjunto K si
K = (x / x ∈ A U B U C , x es un número par) (Fig. 9).
8. Liste los elementos del conjunto T (Fig. 9):
T = (x / x ∉ UNA U C, x ∈ yo ).
9. Encuentra el número cardinal del conjunto A U B ,
si A = (a, b, c); B = (6, 7, 8, 9).
Respuesta: | A U B | = 7
10. Encuentra números cardinales de conjuntos
A U B, A U C, B U C según el diagrama de Venn (Fig. 10).
11. Encuentra el número cardinal del conjunto A U B si
A = (1, 2, 3, 4); B = (2, 3, 4, 5).
Respuesta: | A U B | = 5
12. Encuentra el número cardinal del conjunto A U B si A = (∅); B = (a, b, c).
Respuesta: | A U B | = 4
13. Encuentra el número cardinal del conjunto B(P) U B(Q), donde
P = (a, b, c); Q = (b, c, d).
Respuesta: |B(P) U B(Q)| = |B(P U Q)| = |B(a, b, c, d)| = 2 4 = 16
14. Encuentra el número cardinal del conjunto B(K) U B(M), donde
K = ( x / x es un número natural par, x ≤ 8);
M = ( x / x es un número natural impar, x< 6}.
15. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto A = A 1 U A 2 U… U A n ,
si A 1 , A 2 ,…, A n —singletons que son desiguales por pares?
Una operación sobre conjuntos es una regla, como resultado de la cual se obtiene sin ambigüedad algún conjunto nuevo a partir de conjuntos dados.
Denotar una operación arbitraria por *. El conjunto obtenido de los conjuntos dados A y B escrito en forma A*B. El conjunto resultante y la operación en sí se denominan un término.
Comentario. Para las operaciones numéricas básicas, se utilizan dos términos: uno denota la operación en sí como una acción, el otro es el número obtenido después de realizar la acción. Por ejemplo, la operación denotada por + se llama suma, y el número obtenido como resultado de la suma se llama suma de números. De manera similar, el signo de la operación de multiplicación y el resultado y B - producto de numeros a y B. Sin embargo, con menos frecuencia, esta diferencia no se tiene en cuenta y dicen "Considere la suma de números", es decir, no un resultado específico, sino la operación en sí.
operación de cruce.La intersección de los conjuntos A y B AglV, que consta de todos los objetos, cada uno de los cuales pertenece a ambos conjuntos PERO y EN simultaneamente.
En otras palabras, ASV - es el conjunto de todos los r tales que heA y Él w:
operación gremial.Unión de los conjuntos A y B se llama el conjunto denotado A y B, que consta de todos los objetos, cada uno de los cuales pertenece al menos a un conjunto PERO o EN.
La operación de unión a veces se denota con un signo + y se llama suma de conjuntos.
Operaciones de diferencias.La diferencia de los conjuntos A y B se llama el conjunto denotado AB, que consta de todos los objetos, cada uno de los cuales se encuentra en PERO, pero no mintiendo EN.
Expresión apv leer "PERO en intersección con EN», AkjB- "Y en conjunción con B", AB-"A sin EN".
Ejemplo 7.1.1. Permitir PERO = {1, 3,4, 5, 8,9}, EN = {2,4, 6, 8}.
Entonces AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), AcB=( 4,8}, AB= (1.3, 5, 9), YL = (2.6)."
Sobre la base de estas operaciones, se pueden definir dos operaciones más importantes.
operación de suma. Permitir AqS. entonces la diferencia SA llamado complementando el conjunto A a S y denotado Como .
Sea cualquier conjunto bajo consideración un subconjunto de algún conjunto tu Complemento de un conjunto fijo (en el contexto de resolver un problema particular) tu denotar simplemente PERO. También se utilizan las denominaciones SA, con A, A".
Ejemplo 7.1.2. El complemento del conjunto (1, 3,4, 5, 8, 9) al conjunto de todos los dígitos decimales es (0, 2, 6, 7).
Complemento del conjunto Q al conjunto R hay muchos 1.
El complemento de un conjunto de cuadrados a un conjunto de rectángulos es el conjunto de todos los rectángulos con lados adyacentes desiguales.
Vemos que las operaciones de unión, intersección y suma de conjuntos corresponden a las operaciones lógicas de disyunción, conjunción y negación.
Operación diferencia simétrica.Diferencia simétrica de los conjuntos A y B se llama el conjunto denotado A®B, que consta de todos los objetos, cada uno de los cuales pertenece exactamente a uno de los conjuntos A y B:
Es fácil ver que la diferencia simétrica es la unión de dos conjuntos AB y VIRGINIA. El mismo conjunto se puede obtener combinando primero los conjuntos PERO y EN, y luego eliminar los elementos comunes del conjunto.
Ejemplo 7.1.3. Que se den los números reales y Entonces para los intervalos numéricos correspondientes tenemos:
Tenga en cuenta que dado que el segmento [un; b] contiene un número c> y el intervalo (discos compactos) punto con no contiene el numero con radica en la diferencia [un; b] sin con; cf. Pero la diferencia, por ejemplo, (2; 5), no contiene el número 3, ya que se encuentra en el segmento. Tenemos (2;5)=(2;3).
Que se den conjuntos disjuntos PERO y EN. Dado que n es el signo de la operación de intersección, la notación Tejido incorrecto. También es incorrecto decir que los conjuntos no tienen intersección. La intersección siempre está ahí, está definida para cualquier conjunto. El hecho de que los conjuntos no se intersequen significa que su intersección está vacía (es decir, al realizar la operación especificada, obtenemos un conjunto vacío). Si los conjuntos se intersecan, entonces su intersección no está vacía. Concluimos:
Generalicemos las operaciones de unión de intersección al caso cuando hay más de dos conjuntos.
Deja que el sistema Para conjuntos La intersección de conjuntos de un sistema dado es el conjunto de todos los elementos, cada uno de los cuales pertenece a todos los conjuntos de sus PARA.
La unión de conjuntos de un sistema dado es el conjunto de todos los elementos, cada uno de los cuales pertenece al menos a un conjunto de ellos. PARA.
Sean los conjuntos del sistema Para están numerados por elementos de alguna familia de índices /. Entonces cualquier conjunto de Para puede ser designado PERO,-, donde iel. Si la colección es finita, entonces el conjunto de primeros números naturales (1,2,...,u) se usa como /. En general, / puede ser infinito.
Entonces, en el caso general, la unión de conjuntos PERO para todos iel denota (J PERO( , y la intersección -f]A i .
Deja que el conjunto Para definitivo, entonces K= En este caso
escribe AyjA 2 v...KjA„ y AG4 2 (^---G4p-
Ejemplo 7.1.4. Considera los intervalos de la recta numérica A| \u003d [-oo; 2], L 2 \u003d H °; 3], L 3 =)
