Halmazok metszéspontja és uniója. lecke "halmazok metszéspontja és egyesülése"
- Egyesület vagy n halmaz összege Az A 1 , A 2 , …, A n egy olyan halmaz, amely az alábbi n halmazok legalább egyikében található elemekből áll: A = A 1 U A 2 U… U A n ahol az U előjel a halmazok kombinálásának műveletét jelöli.
Formálisan a halmazok uniójának működését a következőképpen határozzuk meg:
A = (x / x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2 ∨ … ∨ x ∈ A n ),
ahol ∨ az VAGY kötőszót jelölő logikai jel. Ez a bejegyzés a következőképpen olvasható: az A halmaz az x összes olyan értéke, amely az A 1 halmazhoz vagy az A 2 halmazhoz vagy az A 3 halmazhoz tartozik, és így tovább az A p halmazig.
A halmazok műveletegyesítésének végrehajtása van egy számológép .
például, legyenek adottak halmazok: A 1 = (a, b, c); A2 = (4); A 3 = (b, 54). Az egyesülési műveletet rájuk alkalmazva egy új A = A 1 U A 2 U A 3 = (a,b,c,4,54) halmazt kapunk. Figyeljük meg, hogy b ∈ A 1 és b ∈ A 3, de a b elem csak egyszer szerepel az A halmazban (emlékezzünk vissza: a halmaz minden elemének különbözőnek kell lennie).
A () ponton a halmazok unióját az ezeknek a halmazoknak megfelelő területek egyenletes árnyékolásával jelöljük:
- ábrán a készlet 5 árnyékolt területe Q U P ,
- ábrán A 6. ábra a (P U Q) U R halmaz régióját mutatja sraffozással.
- ábrán A 7. ábra három P, Q és R halmazt mutat. Sraffozás jelöli a Q U R halmazt.
A halmazegyesítési művelet a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
a) az unió kommutatív:
A U B = B U A ;
A U B U C = A U C U B = B U A U C stb.;
b) társulás:
(A U B) U C = A U (B U C) = A U B U C.
(Az asszociativitás miatt több halmaz írásakor, amelyeket egyesítő jel köt össze, zárójelnem használható) ;
ban ben) ha B ⊆ A vagy B ⊂ A, akkor A U B = A.
ábrán nyolc a Venn-diagram arra az esetre vonatkozik, amikor B ⊂ A.
A sraffozás az A halmaz területét jelöli, amely
egyidejűleg vonatkozik az A U B halmazra.
- Az "in" tulajdonságból az következik, hogy:
- A U A = A ;
- A U A = ∅ ;
- A U I = I.
Feladatok
1. Keresse meg az A U B halmaz elemeit, ha
A = (a, b, c); B = (b, c, d).
2. Keresse meg a halmazok elemeit: először A, majd - A 1 , utána - A 2 (rendezze a számokat növekvő sorrendben), ha A = (x / x ∈ I ∧ (x ∈ A 1 ∨ x ∈ A) 2); A 1 ⊂ I a három többszöröseinek halmaza, A 2 ⊂ I a halmazszámok, amelyek négy többszörösei); I = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
3. Adott három A, B, C halmaz. Ismeretes, hogy a ∈ A. Jelölje meg az összes igaz állítást:
a) a ⊂ B; f) (a) ∈ B;
b) a ∈ A U B ; g) (a)⊆ A U B ;
c) a ⊂ B U C ; h) (a) ∈ B U C ;
d) a ∈ A U B U C; i) (a)⊆ A U B U C
e) (a) ⊆ A
Válaszok: b), d), e), g), i) - igaz.
4. Az ábrán A 9. ábra egy Venn-diagramot mutat három halmazra. Keresse meg az A U B, majd az - A U C halmazok elemeit!
5. Sorolja fel az M halmaz elemeit (9. ábra):
M = (x / x ∉ A ∧ x ∈ I).
6. Sorolja fel az N halmaz elemeit (9. ábra):
N = (x / x ∈ A U B , x > 4).
7. Sorolja fel a K ha halmaz elemeit!
K = (x / x ∈ A U B U C, x páros szám ) (9. ábra).
8. Sorolja fel a T halmaz elemeit (9. ábra):
T = (x / x ∉ A U C, x ∈ I ).
9. Keresse meg az A U B halmaz bíborszámát,
ha A = (a, b, c); B = (6, 7, 8, 9).
Válasz: | A U B| = 7
10. Keresse meg a halmazok kardinális számát!
A U B, A U C, B U C a Venn-diagram szerint (10. ábra).
11. Keresse meg az A U B halmaz bíborszámát, ha
A = (1, 2, 3, 4); B = (2, 3, 4, 5).
Válasz: | A U B| = 5
12. Határozza meg az A U B halmaz bíborszámát, ha A = (∅); B = (a, b, c).
Válasz: | A U B| = 4
13. Keresse meg a B(P) U B(Q) halmaz bíborszámát, ahol!
P = (a, b, c); Q = (b, c, d).
Válasz: |B(P) U B(Q)| = |B(P U Q)| = |B(a, b, c, d)| = 2 4 = 16
14. Keresse meg a B(K) U B(M) halmaz bíborszámát, ahol!
K = ( x / x páros természetes szám, x ≤ 8);
M = ( x / x egy páratlan természetes szám, x< 6}.
15. Hány megfelelő részhalmaza van a halmaznak, A = A 1 U A 2 U… U A n ,
ha A 1 , A 2 ,…, A n —szingli, amelyek páronként egyenlőtlenek?
A halmazokon végzett művelet egy szabály, amelynek eredményeként adott halmazokból egyértelműen új halmaz keletkezik.
Jelöljön egy tetszőleges műveletet *-gal. A megadott halmazokból kapott halmaz A és B formában van írva A*B. A kapott halmazt és magát a műveletet egy tagnak nevezzük.
Megjegyzés. Az alapvető numerikus műveleteknél két kifejezést használunk: az egyik magát a műveletet jelöli műveletként, a másik a művelet végrehajtása után kapott számot. Például a +-val jelölt műveletet összeadásnak, az összeadás eredményeként kapott számot pedig számok összegének nevezzük. Hasonlóképpen a szorzási művelet előjele, és az eredmény és b - számok szorzata a és b. Ritkábban azonban ezt a különbséget nem veszik figyelembe, és azt mondják, hogy „Vegyük a számok összegét”, vagyis nem egy konkrét eredményt, hanem magát a műveletet.
átkelés művelet.Az A és B halmazok metszéspontja AglV, amely minden objektumból áll, amelyek mindegyike mindkét halmazhoz tartozik DEés NÁL NÉL egyidejűleg.
Más szavakkal, ASV - minden r halmaza olyan-e heAés vág:
szakszervezeti működés.Az A és B halmazok egyesülése jelölt halmaznak nevezzük A és B, minden objektumból áll, amelyek mindegyike legalább egy halmazhoz tartozik DE vagy NÁL NÉL.
Az egyesülési műveletet néha + jellel jelölik, és összeadásnak nevezik.
Különbségműveletek.Az A és B halmaz különbsége jelölt halmaznak nevezzük AB, amely minden objektumból áll, amelyek mindegyike benne rejlik DE, de nem hazudik NÁL NÉL.
Kifejezés apv olvas "DE kereszteződésében NÁL NÉL», AkjB- "És ezzel együtt B", AB - "A nélkül NÁL NÉL".
7.1.1. példa. Legyen DE = {1, 3,4, 5, 8,9}, NÁL NÉL = {2,4, 6, 8}.
Azután AkjB= (1,2,3,4,5,6,8,9), AcB=( 4,8}, AB= (1,3, 5, 9), YL = (2,6)."
Ezen műveletek alapján további két fontos művelet definiálható.
összeadás művelet. Legyen AqS. Aztán a különbség SA hívott kiegészítve az A-tól S-ig terjedő halmaztés jelöltük A s .
Legyen bármely vizsgált halmaz valamelyik halmaz részhalmaza U. Kiegészítés egy ilyen rögzített (egy adott probléma megoldásával összefüggésben) halmazhoz U egyszerűen jelöli DE. A megnevezéseket is használják SA, val vel A, A".
Példa 7.1.2. A halmaz (1, 3,4, 5, 8, 9) komplementere az összes decimális számjegy halmazához: (0, 2, 6, 7).
A Q halmaz kiegészítése a halmazhoz R sok van 1.
A négyzetek halmazának egy téglalaphalmaz komplementere az összes olyan téglalap halmaza, amelynek szomszédos oldalai nem egyenlők.
Látjuk, hogy a halmazok egyesítése, metszéspontja és összeadása a diszjunkció, a konjunkció és a tagadás logikai műveleteinek felelnek meg.
Szimmetrikus különbségi működés.Az A és B halmazok szimmetrikus különbsége jelölt halmaznak nevezzük A®B, amely minden objektumból áll, amelyek mindegyike pontosan egy halmazhoz tartozik A és B:
Könnyen belátható, hogy a szimmetrikus különbség két halmaz egyesülése ABés VA. Ugyanaz a készlet a készletek összevonásával érhető el DEés NÁL NÉL, majd távolítsa el a közös elemeket a készletből.
7.1.3. példa. Legyenek adottak a valós számok majd a megfelelő numerikus intervallumokhoz van:
Vegye figyelembe, hogy mivel a szegmens [a; b] számot tartalmaz c>és az intervallum (c; d) pont val vel számot nem tartalmazza val vel különbségben rejlik [a; b] nélkül [val; vö. De a különbség például (2; 5) nem tartalmazza a 3-as számot, mivel az a szegmensben található. Nálunk van (2;5)=(2;3).
Legyenek adott diszjunkt halmazok DEés NÁL NÉL. Mivel n a metszésponti művelet előjele, a jelölés A(bB helytelen. Szintén helytelen azt állítani, hogy a halmazoknak nincs metszéspontja. A metszéspont mindig ott van, minden halmazra meghatározva. Az, hogy a halmazok nem metszik egymást, azt jelenti, hogy a metszéspontjuk üres (vagyis a megadott művelet végrehajtásával üres halmazt kapunk). Ha a halmazok metszik egymást, akkor a metszéspontjuk nem üres. Következtetésünk:
Általánosítsuk a metszéspont unió műveleteket arra az esetre, amikor kettőnél több halmaz van.
Hagyja a rendszert Nak nek készletek. Egy adott rendszer halmazainak metszéspontja az összes elem halmaza, amelyek mindegyike a saját halmazaik összes halmazában található. NAK NEK.
Egy adott rendszer halmazainak uniója az összes elem halmaza, amelyek mindegyike legalább egy halmazban található. NAK NEK.
Legyen a rendszer halmazai Nak nek valamelyik indexcsalád elemei szerint vannak számozva /. Aztán bármilyen készlet Nak nek kijelölhető DE,-, ahol iel. Ha a gyűjtemény véges, akkor az első természetes számok halmazát (1,2,...,u) /-ként használjuk. Általában a / végtelen lehet.
Aztán általános esetben a halmazok uniója DE mindenkinek iel jelölje (J DE( , és a kereszteződés -f]A i .
Hagyja a készletet Nak nek akkor végleges K= Ebben az esetben
ír AyjA 2 v...KjA„és AG4 2 (^---G4p-
Példa 7.1.4. Tekintsük az A| számegyenes intervallumait \u003d [-oo; 2], L 2 \u003d H °; 3], L 3 =)
