เครื่องหมายจุดตัดและสหภาพของเซต บทเรียน "ทางแยกและการรวมกันของชุด"

• สมาคมหรือ ผลรวมของ n ชุด A 1 , A 2 , …, A n คือเซตที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่รวมอยู่ในชุด n อย่างน้อยหนึ่งชุด: A = A 1 U A 2 U… U A n โดยที่เครื่องหมาย U หมายถึงการทำงานของชุดการรวม

อย่างเป็นทางการ การทำงานของสหภาพของเซตถูกกำหนดดังนี้:

A = (x / x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2 ∨ … ∨ x ∈ A n ),

โดยที่ ∨ เป็นเครื่องหมายตรรกะที่แสดงถึงคำสันธาน OR รายการนี้อ่านได้ดังนี้ ชุด A คือค่าทั้งหมดของ x ที่เป็นของชุด A 1 หรือชุด A 2 หรือชุด A 3 เป็นต้นไปจนถึงชุด A p

เพื่อดำเนินการสหภาพการดำเนินงานของชุด มีเครื่องคิดเลข .

ตัวอย่างเช่นให้ชุดที่ได้รับ: A 1 = (a, b, c); A2 = (4); A 3 = (b, 54) นำการดำเนินการของสหภาพมาใช้กับพวกเขา เราได้รับชุดใหม่ A = A 1 U A 2 U A 3 = (a,b,c,4,54) โปรดทราบว่า b ∈ A 1 และ b ∈ A 3 แต่องค์ประกอบ b ปรากฏในชุด A เพียงครั้งเดียว (จำได้ว่า: องค์ประกอบทั้งหมดของชุดต้องแตกต่างกัน)

บน () การรวมชุดจะถูกแสดงโดยการแรเงาทึบของพื้นที่ที่สอดคล้องกับชุดเหล่านี้:

• ในรูป 5 พื้นที่แรเงาของชุด Q U P ,
• ในรูป 6 แสดงขอบเขตของชุด (P U Q) U R พร้อมฟักไข่
• ในรูป 7 แสดงสามชุด P, Q และ R การฟักเป็นตัวกำหนดชุด Q U R

การดำเนินการชุดยูเนี่ยนมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ก) สหภาพมีการสับเปลี่ยน:

เอ ยู บี = บี ยู เอ ;

A U B U C = A U C U B = B U A U C เป็นต้น;

ข) สหภาพเชื่อมโยง:

(A U B) U C = A U (B U C) = A U B U C.

(เนื่องจากความเชื่อมโยง เมื่อเขียนหลายชุดเชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายสหภาพ วงเล็บไม่สามารถใช้) ;

ใน) ถ้า B ⊆ A หรือ B ⊂ A แล้ว A U B = A

ในรูป แปด แผนภาพเวนน์ถูกกำหนดไว้สำหรับกรณีที่ B ⊂ A.

การฟักเป็นตัวกำหนดพื้นที่ของเซต A ซึ่ง

ใช้กับชุด A U B ได้พร้อมกัน

• จากคุณสมบัติ "ใน" ดังต่อไปนี้:

1. เอ ยู เอ = เอ ;
2. A UA = ∅ ;
3. A U ฉัน = ฉัน

การออกกำลังกาย

1. หาองค์ประกอบของเซต A U B if

A = (a, b, c); B = (b, c, d)

2. ค้นหาองค์ประกอบของเซต: อันดับแรก A จากนั้น - A 1 หลังจากนั้น - A 2 (เรียงลำดับตัวเลขจากน้อยไปมาก) ถ้า A = (x / x ∈ I ∧ (x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2); A 1 ⊂ I คือเซตของผลคูณของสาม A 2 ⊂ I คือเซตตัวเลขที่เป็นทวีคูณของสี่); ผม = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)

3. ให้ชุด A, B, C สามชุด เป็นที่ทราบกันว่า a ∈ A. ระบุข้อความจริงทั้งหมด:

ก) ก ⊂ B; ฉ) (ก) ∈ ข;

b) a ∈ A U B ; g) (a)⊆ A U B ;

c) a ⊂ B U C ; h) (a) ∈ B U C ;

d) a ∈ A U B U C; i) (ก)⊆ A U B U C

จ) (ก) ⊆ A

คำตอบ: b), d), e), g), i) - จริง

4. ในรูป 9 แสดงแผนภาพเวนน์สำหรับสามชุด ค้นหาองค์ประกอบของชุด A U B จากนั้น - A U C

5. รายการองค์ประกอบของชุด M (รูปที่ 9):

M = (x / x ∉ A ∧ x ∈ I).

6. รายการองค์ประกอบของชุด N (รูปที่ 9):

N = (x / x ∈ A U B , x > 4).

7. ระบุองค์ประกอบของเซต K if

K = (x / x ∈ A U B U C , x เป็นเลขคู่ ) (รูปที่ 9)

8. รายการองค์ประกอบของชุด T (รูปที่ 9):

T = (x / x ∉ A U C, x ∈ I )

9. หาเลขคาร์ดินัลของเซต A U B ,

ถ้า A = (a, b, c); B = (6, 7, 8, 9)

คำตอบ: | เอ ยู บี| = 7

10. หาเลขชุดเซต

A U B, A U C, B U C ตามแผนภาพเวนน์ (รูปที่ 10)

11. หาเลขคาร์ดินัลของเซต A U B if

A = (1, 2, 3, 4); B = (2, 3, 4, 5)

คำตอบ: | เอ ยู บี| = 5

12. หาเลขคาร์ดินัลของเซต A U B ถ้า A = (∅); B = (a, b, c)

คำตอบ: | เอ ยู บี| = 4

13. หาเลขคาร์ดินัลของเซต B(P) UB(Q) โดยที่

P = ( a, b, c ); Q = (b, c, d)

คำตอบ: |B(P) UB(Q)| = |B(P U Q)| = |B(a, b, c, d)| = 2 4 = 16

14. หาเลขคาร์ดินัลของเซต B(K) UB(M) โดยที่

K = ( x / x เป็นจำนวนธรรมชาติคู่ x ≤ 8);

M = ( x / x เป็นจำนวนเต็มคี่ x< 6}.

15. ชุดมีกี่ชุดย่อยที่เหมาะสม A = A 1 U A 2 U… U A n ,

ถ้า A 1 , A 2 ,…, A n —singletons ที่เป็นคู่ไม่เท่ากัน?

การดำเนินการกับชุดข้อมูลเป็นกฎ ซึ่งเป็นผลมาจากชุดใหม่บางชุดได้มาจากชุดที่กำหนดอย่างชัดเจน

แสดงถึงการดำเนินการตามอำเภอใจโดย * ชุดที่ได้รับจากชุดที่กำหนด A และ Bเขียนในแบบฟอร์ม เอ*บีชุดผลลัพธ์และการดำเนินการนั้นเรียกว่าหนึ่งเทอม

ความคิดเห็นสำหรับการดำเนินการเชิงตัวเลขพื้นฐาน มีการใช้คำศัพท์สองคำ: คำหนึ่งหมายถึงการดำเนินการเป็นการกระทำ อีกคำคือตัวเลขที่ได้รับหลังจากดำเนินการแล้ว ตัวอย่างเช่น การดำเนินการที่แสดงด้วย + เรียกว่าการบวก และจำนวนที่ได้รับจากการบวกจะเรียกว่าผลรวมของตัวเลข ในทำนองเดียวกัน เครื่องหมายของการคูณและผลลัพธ์ และข -ผลคูณของตัวเลข ก และ ข.อย่างไรก็ตาม มักไม่คำนึงถึงความแตกต่างนี้และพวกเขากล่าวว่า "พิจารณาผลรวมของตัวเลข" ซึ่งหมายถึงไม่ใช่ผลลัพธ์เฉพาะ แต่เป็นการดำเนินการเอง

การดำเนินการข้ามจุดตัดของเซต A และ B AglVซึ่งประกอบด้วยอ็อบเจกต์ทั้งหมด ซึ่งแต่ละอันเป็นของทั้งสองเซต แต่และ ที่พร้อมกัน

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เอเอสวี -เป็นเซตของ r ทั้งหมดอย่างนั้น heAและ โค่น:

การดำเนินงานของสหภาพแรงงานยูเนี่ยนของเซต A และ Bเรียกว่าเซตที่แสดง เอ "และบีประกอบด้วยวัตถุทั้งหมดซึ่งแต่ละอันเป็นของชุดอย่างน้อยหนึ่งชุด แต่หรือ ที่.

การดำเนินการของสหภาพบางครั้งแสดงด้วยเครื่องหมาย + และเรียกว่าการบวกชุด

การดำเนินการที่แตกต่างความแตกต่างของเซต A และ Bเรียกว่าเซตที่แสดง ABซึ่งประกอบด้วยวัตถุทั้งหมดซึ่งแต่ละอย่างอยู่ใน แต่,แต่ไม่โกหก ที่.

การแสดงออก apvอ่าน "แต่แยกกับ ที่», AkjB- "และร่วมกับ B", AB - "Aปราศจาก ที่".

ตัวอย่าง 7.1.1ปล่อยให้เป็น แต่ = {1, 3,4, 5, 8,9}, ที่ = {2,4, 6, 8}.

แล้ว AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), แอคบี=( 4,8}, AB= (1.3, 5, 9), YL = (2.6)"

จากการดำเนินการเหล่านี้ การดำเนินการที่สำคัญอีกสองรายการสามารถกำหนดได้

การดำเนินการเพิ่มเติมปล่อยให้เป็น เอคิวเอส แล้วความแตกต่าง SAเรียกว่า เสริมเซต A ถึง Sและเขียนว่า เนื่องจาก .

ให้ชุดใดพิจารณาเป็นสับเซตของชุดใดชุดหนึ่ง ยู.ประกอบกับชุดคงที่ (ในบริบทของการแก้ปัญหาเฉพาะ) set ยูแปลว่า อย่างง่าย แต่. นอกจากนี้ยังใช้การกำหนดชื่อ SA,กับ เอ เอ"

ตัวอย่าง 7.1.2ส่วนเสริมของเซต (1, 3,4, 5, 8, 9) ของเซตของตัวเลขทศนิยมทั้งหมดคือ (0, 2, 6, 7)

เสริมชุด Q ไปยังชุด Rมีมากมาย 1.

ส่วนเสริมของชุดสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับชุดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือชุดของสี่เหลี่ยมทั้งหมดที่มีด้านประชิดไม่เท่ากัน

เราเห็นว่าการดำเนินการของสหภาพ ทางแยก และการเพิ่มของเซตนั้นสอดคล้องกับการดำเนินการเชิงตรรกะของการแตกแยก การเชื่อมและการปฏิเสธ

การดำเนินการแตกต่างแบบสมมาตรความแตกต่างสมมาตรของเซต A และ Bเรียกว่าเซตที่แสดง A®Bประกอบด้วยวัตถุทั้งหมดซึ่งแต่ละอันเป็นของชุดใดชุดหนึ่ง เอ และ บี:

มันง่ายที่จะเห็นว่าความแตกต่างสมมาตรคือการรวมกันของสองชุด ABและ เวอร์จิเนียสามารถรับชุดเดียวกันได้โดยการรวมชุดก่อน แต่และ ที่,แล้วเอาองค์ประกอบทั่วไปออกจากชุด

ตัวอย่าง 7.1.3 ให้ตัวเลขจริง และสำหรับช่วงตัวเลขที่สอดคล้องกัน เรามี:

โปรดทราบว่าตั้งแต่ส่วน [ก; ข]มีตัวเลข ค>และช่วงเวลา (ซีดี)จุด กับไม่มีหมายเลข กับอยู่ในความแตกต่าง [ก; ข]ไม่มี [กับ; เปรียบเทียบแต่ความแตกต่างเช่น (2; 5) ไม่มีหมายเลข 3 เนื่องจากอยู่ในส่วน เรามี (2;5)=(2;3)

ปล่อยให้มีชุดที่ไม่ปะติดปะต่อกัน แต่และ ที่.เนื่องจาก n เป็นเครื่องหมายของการดำเนินการทางแยก สัญกรณ์ A(bBไม่ถูกต้อง. ยังไม่ถูกต้องที่จะบอกว่าเซตไม่มีจุดตัด ทางแยกอยู่ที่นั่นเสมอ มันถูกกำหนดไว้สำหรับเซตใดๆ ความจริงที่ว่าเซตไม่ตัดกันหมายความว่าจุดตัดของพวกมันว่างเปล่า (นั่นคือโดยดำเนินการตามที่ระบุเราจะได้เซตว่าง) ถ้าเซตตัดกัน แสดงว่ารอยแยกนั้นไม่ว่าง เราสรุป:

ให้เราสรุปการดำเนินการของสหภาพสี่แยกในกรณีเมื่อมีมากกว่าสองชุด

ให้ระบบ ถึงชุด จุดตัดของเซตของระบบที่กำหนดคือเซตขององค์ประกอบทั้งหมด ซึ่งแต่ละเซตอยู่ในเซตทั้งหมดของมัน ถึง.

การรวมชุดของระบบที่กำหนดคือชุดขององค์ประกอบทั้งหมด ซึ่งแต่ละชุดอยู่ในชุดอย่างน้อยหนึ่งชุด ถึง.

ให้ชุดของระบบ ถึงถูกนับตามองค์ประกอบของดัชนีบางกลุ่ม / แล้วชุดของ ถึงสามารถกำหนดได้ แต่,-,ที่ไหน อิลหากคอลเล็กชันมีจำกัด ชุดของตัวเลขธรรมชาติตัวแรก (1,2,...,u) จะถูกใช้เป็น / โดยทั่วไป / สามารถเป็นอนันต์ได้

ในกรณีทั่วไป การรวมเซต แต่เพื่อทุกสิ่ง ielหมายถึง (J แต่( , และทางแยก -f]ฉัน .

ปล่อยให้ชุด ถึงสุดท้ายแล้ว K=ในกรณีนี้

เขียน AyjA 2 กับ...KjA”และ AG4 2 (^---G4p-

ตัวอย่าง 7.1.4 พิจารณาช่วงของเส้นจำนวน A| \u003d [-oo; 2], L 2 \u003d H °; 3], L 3 =)