Математическое ожидание при игре на ставках. Математическое ожидание выигрыша\проигрыша на бирже Правило сбора статистических данных для расчета математического ожидания профита

6 мая 2013 в 11:46

Теория вероятностей и антропогенный фактор

• Математика

Введение

Среди людей бытует мнение, что человек, поступивший на математический факультет, обязательно выйдет оттуда учителем математики. Это не я придумал, это по опыту, ибо довольно большое количество не очень образованных людей спрашивало, куда я собираюсь идти работать после окончания ВУЗа. Разумеется, найти можно и куда более обширные области применения своих знаний. Одна из них связана с теорией вероятности. Я не хочу вникать в сложные подробности предмета, т.к. люди, не имеющие нужной математической базы, скорее всего запутаются. Но и говорить совсем ни о чем не хочется. Поэтому я хочу написать про связь человека и этой самой теории вероятностей, причем на простом, понятном любому языке. Если интересно - прошу под кат.

Общая информация

Я все же введу пару определений, чтобы хоть немного формализовать написанное.
1) Если имеется несколько возможных случайных исходов, «равновозможных» между собой, то классическая вероятность - это отношение количества «хороших» случайных (элементарных) событий к их общему количеству. Например, если у вас есть 5 шариков, 2 из которых белые, то вероятность взять именно белый шар будет равняться 2/5.
2) Случайная величина - это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины до ее измерения нельзя точно предсказать. Классический пример - игральная кость. Кидая ее, можно случайно получить одно из шести возможных значений.
3) Математическое ожидание случайной величины - это сумма всех возможных ее значений, помноженных на их вероятность. Говоря простым языком, это «среднее значение» принимаемой случайной величины. Для игральной кости оно равно (1+2+3+4+5+6)*1/6=3.5. Что нам это дает? То, что кидая кость много (например 100) раз, в среднем каждый раз будет выпадать 3.5, а в сумме выпадет примерно 100*3.5=350. При увеличении количества бросков, относительная погрешность реального результата и его математического ожидания, помноженного на количество бросков, будет уменьшаться все сильнее.

Суть

Теперь суть того, что я, собственно, хотел рассказать: математические подсчеты довольно хорошо прогнозируют разные события, если они напрямую не зависят от выбора человека. Если же вмешивается антропогенный фактор, то строить какие-то планы, опираясь только на теорию вероятности нужно с осторожностью. Приведу пару простых примеров. Возможно они немного надуманные, но зато простые и понятные.

Монетка

Случай раз

Вам во время пары в универе (урока в школе, рабочего дня) стало скучно и Вы предложили соседу по парте (коллеге по работе) сыграть в следующую игру: подбрасываете монетку; если выпал орел - Ваш друг платит вам 5 рублей, если же выпала решка, то Вы платите 5 рублей. От скуки человек может и согласиться. Вы будете играть так весь день, а в конечном итоге оба останетесь практически при тех же деньгах, что были изначально. Вероятность выпадения любой стороны монетки 1/2 и, как следствие, математическое ожидание Вашего выигрыша равно нулю. Так что в среднем выигрыш/проигрыш будет в районе плюс-минус 10 рублей. Ну, может быть, немногим больше. В любом случае, для бюджета не критично.

Случай два

Ситуация та же, но вы предложили за проигрыш платить не по 5, а по 1000 рублей. Скорее всего ваш друг/коллега откажется. Ибо не хочется просто так потерять ощутимую сумму денег.

Что же изменилось? Математическое ожидание выигрыша по-прежнему равно нулю. С точки зрения математики все практически то же самое. А тут уже вмешался человеческий фактор, и Ваш план скоротать скучный день провалился.

Лотерея

Вы решили организовать лотерею. Сделали билеты ценой по 10 рублей с пятидесятипроцентным шансом выиграть 15. Математическое ожидание выигрыша равно 15*0.5=7.5 рублей, но так как билет стоит 10, получается -2.5 рубля. Да, клиенту не очень выгодно, но ведь Вы не собираетесь работать себе в убыток, правда? Однако вряд ли такая лотерея будет пользоваться популярностью. Потому что предлагается потратить 10 рублей с сомнительным шансом выиграть 15. Разница-то невелика.

Вы меняете условия и делаете лотерею практически благотворительной. Теперь выигрыш 25 рублей. Математическое ожидание выигрыша минус стоимость билета - 2.5 рубля! Вы даже останетесь в убытке! Но народ в большинстве своем по-прежнему не будет жаловать Вашу лотерею, ибо выигрыш немногим больше цены билета. В лотерею будут играть разве что школьники, которым не хватает мелочи на мороженное.

В то же время Ваш предприимчивый сосед тоже устраивает свою лотерею. Только он берет за билет 50 рублей, а выигрышем является автомобиль стоимостью 500000 руб. Вероятность выигрыша - 0.001%. Математическое ожидание выигрыша - 5 рублей. Минус стоимость билета, получим -45 рублей. Да лотерея соседа просто грабительна! Продав достаточно большое количество билетов, даже разыграв при этом автомобиль, он все равно знатно разбогатеет. Люди же вполне могут покупать билеты, ведь что такое 50 рублей перед перспективой получить задаром неплохой автомобиль?

Читатель может решить, что дело просто в количественном размере выигрыша. Но это далеко не обязательно. Приведу еще один довольно надуманный, но показательный пример:

Очень крупная лотерея

Вам предлагают подарок неслыханной щедрости. «Супер-лотерею». Одну из двух, на выбор. Сыграть в нее можно только один раз . В первой «лотерее» Вам гарантированно выплачивают миллион долларов. А во второй с 50% шансом Вы получите 2 миллиона, с 40% шансом миллион и с 10% шансом уйдете ни с чем. Математическое ожидание выигрыша в первой «лотерее» 1 миллион. Во второй - 1.4 миллиона. Но что же Вы выберете? Может кто-то и выберет второй вариант, но проведение опроса среди некоторого количества людей покажет, что большинство наверняка выберет первый вариант. Ведь, как говорится, лучше синица в руках… Тем более, если синица - это миллион, а во второй «лотерее» есть шанс не получить ничего. И гипотетические 2 миллиона ничего не решают.

Последний пример

Вы написали хорошее и качественное приложение для телефона. Потратили много сил и средств. Вы выставляете его в магазин по цене $9.99. Для такого качественного продукта это, вроде бы, не очень много. Да и Вам нужно окупиться и подзаработать. Но Ваше приложение никто не покупает. Люди сочли, что это дорого. Загрузки минимальны. Вы в отчаянии снижаете цену до $0.99. Фурор, люди скачивают Вашу программу только так, но денег с них идет недостаточно. Тогда Вы вновь поднимаете цену, но уже до $4.99. Да, поток скачиваний снижается относительно самой низкой цены, но все же он выше, чем вначале. И о чудо, Вы получаете вполне неплохую прибыль с Вашего продукта. С точки зрения примитивных подсчетов, количество желающих иметь эту программу всегда было одним и тем же. Однако Вы снизили цену относительно первоначальной, а прибыли увеличились. Снова чисто человеческий фактор.

Ну и что в итоге?

В итоге, с одной стороны, математические подсчеты могут дать не совсем очевидные с точки зрения математики результаты. Человек может из почти одинаковых условий выбирать строго одно, а среди нескольких предложений брать более невыгодное для себя. Почему? Так устроен человек. Выгода одного конкретного человека не всегда может быть просто так подсчитана.
С другой стороны, если смотреть с точки зрения различных фирм, корпораций и т.д., то имея множество клиентов, можно получать неплохие деньги, даже если с точки зрения математики предложение для клиента не самое выгодное. Именно поэтому существуют банки, лотереи, страховые компании. И люди берут кредиты под дикие проценты, покупают сомнительные лотерейные билеты и страхуют вещи, с которыми, скорее всего, все будет в порядке.
А значит, пытаясь применить по отношению к людям какие-то подсчеты «в тупую», мысля как робот, скорее всего, ничего путного и полезного не выйдет. Но ежели действовать с умом, представить себя на месте других людей, то можно горы свернуть и миллиарды заработать с помощью математики.

В общем, думайте как люди, но про математику тоже не забывайте.

P.S. Если я где-то написал какую-то ерунду (примеры-то из головы брал), сильно не пинайте, скажите. Мне интересно мнение других людей.

ЗА ЧАС

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

Математическое ожидание - это количество денег, которое в среднем можно выиграть или проиграть на данной ставке. Это предельно важное понятие для игрока, поскольку оно является ключевым для оценки большинства игровых ситуаций. Матожидание - это также наилучший инструмент анализа большинства покерных раскладов.

Предположим, вы играете с приятелем в монетку, ставя поровну по $1 каждый раз независимо от того, какой стороной она упадет. Решка - вы выигрываете, орел - проигрываете. Шансы выпадения решки 1 к 1, и вы ставите $1 к $1. Следовательно, математическое ожидание у вас точно равно нулю, поскольку с точки зрения математики вы не можете ожидать, что вы ведёте или проигрываете после двух бросков или после 200.

Ваш часовой выигрыш равен нулю. Часовой выигрыш - это количество денег, которое вы ожидаете выиграть за час. Вы можете бросать монету 500 раз в течение часа, но поскольку ваши шансы ни положительны, ни отрицательны, вы не выиграете и не проиграете. С точки зрения серьезного игрока такая система ставок неплоха. Но это просто трата времени.

Но положим, какой-то баран желает поставить $2 против вашего $1 в ту же игру. Тогда вы тут же имеете положительное матожидание 50 центов с одной ставки. Почему 50 центов? В среднем одну ставку вы выигрываете, другую проигрываете. Ставите первый доллар - и теряете $1, ставите второй - выигрываете $2. Вы дважды поставили по $1 и идете с опережением в $1. Следовательно, каждая из этих однодолларовых ставок принесла вам 50 центов.

Если за час монета выпала 500 раз, ваш часовой выигрыш составляет теперь $250, поскольку в среднем вы теряли но одному доллару 250 раз и выигрывали по два доллара 250 раз. $500 минус $250 равняется $250, что и есть суммарный выигрыш. Заметьте вновь, что матожидание, которое является суммой, в среднем выигрываемой вами на одной ставке, равняется 50 центам. Вы выиграли $250, поставив доллар 500 раз: это составляет 50 центов со ставки.

Матожидание не имеет ничего общего с кратковременным результатом. Баран мог выиграть первые десять бросков подряд, но, имея преимущество ставок 2 к 1 при равных шансах, вы всё равно получаете 50 центов с каждой ставки в $1. Нет разницы, выигрываете вы либо проигрываете одну ставку или ряд ставок при условии, что у вас достаточно наличности, чтобы легко покрывать расходы. Если вы продолжите ставить так же, то выиграете, и за продолжительный период времени ваш выигрыш приблизится четко к сумме матожиданий в отдельных бросках.

Всякий раз, как вы делаете ставку с лучшим исходом, (то есть, можно ожидать, что она окажется выгодной на длинной дистанции), когда шансы в вашу пользу, вы что-то выигрываете на ней независимо от того, теряете "ли вы ее или нет в конкретной сдаче. И наоборот, если вы делаете ставку с худшим исходом (невыгодную на длинной дистанции), когда шансы не в вашу пользу, вы что-то теряете независимо от того, выиграли вы или проиграли в конкретной сдаче.

Вы ставите с лучшим исходом, когда матожидание положительно, а оно положительно, когда шансы в вашу пользу. Ставя с худшим исходом, вы имеете отрицательное матожидание, а оно бывает, когда шансы против вас. Серьёзные игроки ставят только с лучшим исходом, с худшим они пасуют.

Что это значит шансы в вашу пользу? Это значит в результате выиграть больше, чем дают реальные шансы. Реальные шансы выпадения решки 1 к 1, но у вас получается 2 к 1 за счёт соотношения ставок. Шансы в этом случае в вашу пользу. Лучший исход гарантирован с положительным ожиданием 50 центов за ставку.

А вот пример матожидания немножко посложнее. Товарищ пишет цифры от единицы до пятерки и ставит $5 против вашего $1 за то, что вы не угадаете эту цифру. Принимать ли вам такое пари? Каково здесь матожидание?

В среднем четыре раза вы промахнётесь, а один раз отгадаете. Итого шансы против того, что вы угадаете правильно, составят 4 к 1. Шансы за то, что при одной попытке вы потеряете доллар. Однако вы получаете $5 к $1 при вероятности проиграть 4 к 1. Так что шансы в вашу пользу, вы можете надеяться на лучший исход, и стоит принимать ставку. Если вы поставите таким образом пять раз, в среднем четыре раза вы проиграете по $1 и разок выиграете $5. Таким образом, за пять попыток вы заработаете $1 с положительным ожиданием 20 центов за ставку.

Ставящий ловит шансы, когда он полагает выиграть больше, чем ставит, как в примере выше. И он губит шансы, когда собирается выиграть меньше, чем ставит. Ставящий может иметь либо положительное, либо отрицательное матожидание в зависимости от того, ловит он шансы либо губит их. Если вы ставите $50, чтобы выиграть $10, когда вероятность выигрыша всего 4 к 1, вы имеете отрицательное матожидание $2 за ставку, поскольку в среднем четыре раза вы выиграете $10, но однажды проиграете $50, что составит суммарную потерю $10 после пяти ставок. С другой стороны, если вы поставите $30, чтобы выиграть $10, когда вероятность выигрыша 4 к 1, у вас положительное ожидание $2, поскольку вы вновь выиграете четыре раза по S10, а потеряете всего $30 один раз, что даёт суммарную прибыль $10. Ожидание показывает, что первая ставка плохая, а вторая хорошая.

Математическое ожидание стоит в центре каждой игровой ситуации. Когда букмекер требует от футбольных болельщиков ставить $11, чтобы выиграть $10, он имеет положительное ожидание 50 центов с каждых своих $10. Когда казино платит равные деньги на пассовой линии в крепсе, оно имеет положительное ожидание порядка $1.40 со ставки в $!00. поскольку эта игра устроена так, что ставящий на эту линию в среднем проигрывает 50.7%, а выигрывает 49.3% общего времени. Несомненно, именно это кажущееся минимальным положительное матожидание и создаёт колоссальные прибыли казино по всему миру. Как отметил хозяин казино Vegas World Боб Ступак, «одна тысячная процента отрицательной вероятности на достаточно длинной дистанции разорит богатейшего человека в мире».

В большинстве игр, например, крепе и рулетка в казино, шансы на любой ставке постоянны. В других они меняются с течением игры, и матожидание может подсказать вам, как оценивать конкретную ситуацию. В блэкджеке, например, для определения правильной игры математики рассчитали матожидание при разыгрывании боксов различными способами. Тактика, обеспечивающая вам максимальное положительное ожидание или минимальное отрицательное ожидание, является правильной. Например, если у вас 16 против 10 у дилера, скорее всего вы проиграете. Однако если эти 16 состоят из двух восьмерок, лучше всего будет сделать сплит на восьмерках, удвоив ставку. Рассплитовав восьмерки против 10 дилера, вы всё равно потеряете больше денег, чем выиграете, но в данном случае отрицательное ожидание ниже, чем если бы вы просто каждый раз тянули карту, имея 8,8 против 10.

Расчет математического ожидания – это отличный способ определения того, является ли ставка прибыльной. Один математик даже использовал математическое ожидание для неоднократного выигрыша джек-пота лотереи. И хотя эта техника очень полезна, многие игроки незнакомы с ней.

Математическое ожидание – это способ измерения вероятности того или иного исхода в ситуациях, когда возможны два варианта исхода (например, орел или решка при подбрасывании монеты). При этом используется простая матрица решений, в которой оцениваются плюсы и минусы каждого из вариантов.

Эта техника помогает игрокам определить ожидаемую сумму выигрыша или проигрыша по конкретной ставке, при этом положительное математическое ожидание означает, что предложение является выгодным. В качестве примера возьмем национальную лотерею Великобритании: в ней отрицательное математическое ожидание в -0,50 означает, что теоретически игроки теряют 50 пенсов на каждом поставленном фунте стерлингов, то есть ставка с таким математическим ожиданием является невыгодной.

Как рассчитывать математическое ожидание

Формула расчета математического ожидания при проведении лотереи довольно проста. Умножьте вероятность выигрыша на сумму, которую можно выиграть по ставке, и вычтите вероятность выигрыша, умноженную на сумму, которую можно проиграть:

(сумма выигрыша по ставке x вероятность выигрыша) – (сумма проигрыша по ставке x вероятность проигрыша)

В качестве простого примера можно привести подбрасывание монеты, при котором имеется два варианта выигрыша. Допустим, вы поставили по 10 фунтов стерлингов на оба исхода с одинаковой вероятностью (вероятность 0,5 или же коэффициент 2,0 при использовании десятичных коэффициентов). В этом случае математическое ожидание для каждого исхода составит 0. Мы получили 0 потому, что вероятность каждого из исходов одинакова. То есть, если подбрасывать монету бесконечно долго, в теории вы не выиграете и не проиграете.

Но если допустить что, выигрыш в случае выпадения орла составит 11 фунтов стерлингов (то есть, вероятность 0,48 или же коэффициент 2,1 при использовании десятичных коэффициентов), то матрица изменится, и для ставки на орла математическое ожидание составит 50 пенсов. Это означает, что при постоянных ставках исключительно на выпадение орла можно ожидать прибыль в 50пенсов с каждых 10 фунтов стерлингов, поскольку используемые в этом примере шансы выше потенциальных шансов выпадения орла.

Поэтому, если вы обнаружили положительное математическое ожидание, можете смело делать ставки. Но не забывайте, что это работает только в долгосрочной перспективе, поскольку математическое ожидание является лишь теоретическим значением.

Лотерейная математика: выигрыш лотереи с помощью математического ожидания

Идея математического ожидания появилась еще в XVII веке в результате дискуссии между тремя выдающимися математиками о выигрышах при игре в кости. Один из них, Блез Паскаль, который позднее стал известен благодаря труду о биноминальном разложении (треугольник Паскаля), был первым, кто использовал идею математического ожидания, противопоставляя ее вмешательству Бога.

Много лет спустя румынский математик Стефан Мандель понял, как хорошо всем известное математическое ожидание работает в отношении лотерей, и использовал свои знания, чтобы получать преимущества при игре в лотерею.

На основе математического ожидания можно составить технико-экономическое обоснование проведения лотерей.

Чтобы выиграть джек-пот национальной лотереи Великобритании, необходимо угадать 6 из 49 номеров, то есть при 14 миллионах возможных комбинаций шанс выиграть составляет один к 14 миллионам. Отрицательное математическое ожидание в минус 50 пенсов на каждый поставленный фунт стерлингов в национальной лотерее Великобритании. Соответственно, чтобы игра в лотерею была прибыльной для игроков, выигрыш (джек-пот) должен быть намного больше суммы ставки (лотерейного билета). Но при этом лотерея – безрисковый способ пополнения правительством государственной казны, поэтому шансы на выигрыш обычно рассчитываются руководством лотереи таким образом, чтобы математическое ожидание было отрицательным.

И если составить рейтинг самых распространенных азартных игр от бинго до блек-джека с точки зрения математического ожидания, то крупные лотереи окажутся в самом его низу. Так, у национальной лотереи Великобритании математическое ожидание отрицательное и составляет минус 50 пенсов на каждый поставленный фунт стерлингов (то есть, -0,50). Вот почему иногда ее и называют способом непрямого налогообложения, а математика объясняет почему не везёт в лотерее. При этом люди с радостью продолжают покупать лотерейные билеты, даже если знают об отрицательном математическом ожидании лотереи. Их можно понять, ведь жертвуя 50 пенсами с каждого фунта стерлингов, они покупают удовольствие от азарта и получают шанс выиграть кучу денег, которые могут кардинально изменить их жизнь.

Тем не менее, существует и определенная особенность при подсчете математического ожидания для лотерей. Она заключается в том, что если в каком-либо розыгрыше джек-пот не был выигран, его сумма добавляется к джек-поту следующего розыгрыша. Таким образом сумма джек-пота аккумулируется и в определенной момент может достигнуть значения, при котором математическое ожидание станет уже положительным. Мандель понимал это преимущество и искал пути воспользоваться им.

В теории все просто: необходимо было дождаться достаточно большого джек-пота и поставить на все возможные комбинации. На практике же возникли серьезные сложности, поскольку для покупки билетов в местном магазинчике и заполнения всех возможных комбинаций номеров необходима уйма времени. Тем не менее, несмотря на необходимый объем работы, Мандель смог добиться успеха (и впоследствии еще не раз). Так что на вопрос, кто из математиков выигрывал в лотерею, есть ответ: Стефан Мандель. Средства, потраченные им на покупку необходимого количества билетов, были меньше суммы джек-пота, то есть он действительно получил прибыль (при этом не стоит забывать, что ему все равно повезло – он один поставил на выигрышную комбинацию, поэтому ему не пришлось делить выигрыш с кем-то еще).

Хорошим примером использования в своих целях положительного математического ожидания являются и случаи, когда так называемые «счетчики карт» при игре в блек-джек подсчитывают и запоминают вышедшие в отбой и еще играющие карты, получая при этом преимущество и обыгрывая казино.

Можно с уверенностью сказать, что среднестатистический игрок никогда не станет покупать 14 миллионов лотерейных билетов или учиться подсчитывать карты, но существуют две ситуации когда любой игрок может воспользоваться преимуществами положительного математического ожидания: букмекерские вилки и ставки на нишевые виды спорта.

Букмекерские вилки и положительное математическое ожидание

Букмекерская вилка – это разница коэффициентов различных букмекеров на одно и то же событие. Игроки могут использовать ее для создания искусственной таблицы ставок и, как следствие, положительного математического ожидания.

Ставки с использованием букмекерских вилок уже многие десятилетия являются успешным и законным способом получения прибыли и набирают все большую популярность. Такой способ действительно имеет большие преимущества, ведь он основывается на математическом расчете и не зависит от исхода игры или матча. Поэтому многие букмекеры стараются всеми возможными способами противодействовать игрокам, использующим букмекерские вилки. На этом фоне Pinnacle Sports положительно выделяется среди остальных, ведь он наоборот поддерживает таких игроков.

Неявное математическое ожидание

В то время как при ставках на букмекерские вилки используется явное положительное математическое ожидание (конкретные несоответствия коэффициентов у разных букмекеров), существуют и такие ситуации, когда математическое ожидание может быть неявным в результате различия в оценке. Серьезные игроки создают собственные системы оценки шансов и, как следствие, имеют собственную оценку шансов команд или игроков на победу. И если оценка игрока сильно отличается от оценки букмекера, может возникать положительное математическое ожидание.

Особенно часто такое происходит в нишевых видах спорта, когда разница в оценках игрока и букмекера наиболее заметна. В результате возникает матрица решений, в которой коэффициенты игрока лучше предлагаемых букмекером коэффициентов, что в длительной перспективе размещения ставок может принести вам прибыль.

Идея математического ожидания могла родиться в диспуте выдающихся математиков прошлого в попытке найти ответы на важнейшие вопросы мироздания, но сейчас ее можно отлично использовать в более приземленных целях. Это замечательный инструмент, позволяющий игрокам оценить прибыльность ставок. Если вы еще не пользовались математическим ожиданием, нет необходимости обращаться к матрице решений для обоснования его эффективности.

Математическое ожидание выигрыша\проигрыша – один из показателей эффективности торговли трейдера и на форекс, которая вычисляется как сумма произведений каждого возможного профита и лосса и вероятности получить этот выигрыш и проигрыш.

Как рассчитывается математическое ожидание на Форекс?

К примеру, если мы имеем возможность выиграть 40% сделок по 3 доллара, а проиграть 60% сделок по 1 доллару, то наше математическое ожидание будет рассчитываться следующим образом:

Математическое ожидание = (0,4 * 3) + (0,6 * (-1)) =1,2+(-0.6) =0,6.

Получаем, что наше ожидание выигрыша на каждую сделку составляет 60 центов. Другими словами, это эффективность работы трейдера, выраженное в деньгах. При отрицательном математическом ожидании речь идет уже не о выигрыше, а о проигрыше.

Как использовать мат. ожидание?

Математическое ожидание выигрыша является эффективным способом выявить прибыльность выбранной торговой системы.

Собрав статистику своей торговли можно рассчитать математическое ожидание, которое может быть положительным или отрицательным.

Если значение мат. ожидания положительное, это значит, что торговля стабильно прибыльна, депозит будет увеличиваться. При этом, чем больше значения математического ожидания, тем быстрее будет расти депозит.

Если значение математического ожидания отрицательное, это значит, что в случае продолжения такой торговли, депозит будет потерян. Соответственно, нужно вносить коррективы в свою торговую стратегию и пересматривать .

Полезные статьи по теме

Fortrader Suite 11, Second Floor, Sound & Vision House, Francis Rachel Str. Victoria Victoria, Mahe, Seychelles +7 10 248 2640568