ቤት » ሳይኮሎጂ » ቬክተር ከ 1 ጋር እኩል ነው

ቬክተር ከ 1 ጋር እኩል ነው

ቬክተር በ Euclidean ቦታ ውስጥ ቀጥተኛ መስመር የሚመራ ክፍል ነው, አንደኛው ጫፍ (ነጥብ A) የቬክተር መጀመሪያ ይባላል, ሌላኛው ጫፍ (ነጥብ B) የቬክተር መጨረሻ (ምስል 1). ቬክተሮች ተለይተዋል፡-

የቬክተሩ መጀመሪያ እና መጨረሻ ከተገጣጠሙ, ከዚያም ቬክተሩ ይባላል ዜሮ ቬክተርእና የተሰየመ ነው 0 .

ለምሳሌ. በሁለት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ ያለው የቬክተር መጀመሪያ መጋጠሚያዎች ይኑርዎት ሀ(12.6) , እና የቬክተሩ መጨረሻ መጋጠሚያዎች ናቸው ለ(12.6) ከዚያም ቬክተሩ ዜሮ ቬክተር ነው.

ክፍል ርዝመት ABተብሎ ይጠራል ሞጁል (ርዝመት, መደበኛው) ቬክተር እና በ | ሀ| ከአንድ ጋር እኩል የሆነ ቬክተር ይባላል ዩኒት ቬክተር. ከሞጁሉ በተጨማሪ ቬክተሩ በአቅጣጫ ይገለጻል: ቬክተሩ ከ አቅጣጫ አለው ሀለ ለ. ቬክተር ቬክተር ይባላል። ተቃራኒቬክተር.

ሁለቱ ቬክተሮች ተጠርተዋል ኮላይኔር, በተመሳሳይ መስመር ላይ ወይም በትይዩ መስመሮች ላይ ቢዋሹ. በሥዕሉ ላይ ምስል. 3 ቀይ ቬክተሮች ኮሊኔር ናቸው, ምክንያቱም እነሱ በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ ይተኛሉ, እና ሰማያዊዎቹ ቬክተሮች ኮሊነር ናቸው, ምክንያቱም በትይዩ መስመሮች ላይ ይተኛሉ. ሁለት ኮሊነር ቬክተሮች ይባላሉ በእኩልነት ተመርቷል, ጫፎቻቸው አጀማመሩን በማገናኘት ቀጥታ መስመር ላይ በተመሳሳይ ጎን ላይ ቢተኛ. ሁለት ኮሊነር ቬክተሮች ይባላሉ በተቃራኒ አቅጣጫ ተመርቷል, ጫፎቻቸው ጅማሬዎቻቸውን በማገናኘት ቀጥታ መስመር ላይ በተቃራኒ ጎኖች ላይ ቢተኛ. ሁለት ኮላይኔር ቬክተሮች በአንድ ቀጥተኛ መስመር ላይ ቢተኛ በአንድ ቬክተር ከተፈጠሩት ጨረሮች ውስጥ አንዱ በሌላኛው ቬክተር የተፈጠረውን ጨረሮች ሙሉ በሙሉ ከያዘ እነሱም በተመሳሳይ አቅጣጫ ይባላሉ። አለበለዚያ ቬክተሮቹ በተቃራኒው አቅጣጫ ይባላሉ. በስእል 3, ሰማያዊ ቬክተሮች በእኩልነት ይመራሉ, እና ቀይ ቬክተሮች በተቃራኒው ይመራሉ.

ሁለቱ ቬክተሮች ተጠርተዋል እኩል ነው።እኩል ሞጁሎች እና ተመሳሳይ አቅጣጫዎች ካላቸው. በስእል 2, ቬክተሮች እኩል ናቸው ምክንያቱም ሞጁሎቻቸው እኩል ናቸው እና ተመሳሳይ አቅጣጫ አላቸው.

ቬክተሮች ተጠርተዋል ኮፕላላር, በአንድ አውሮፕላን ላይ ወይም በትይዩ አውሮፕላኖች ውስጥ ቢዋሹ.

ውስጥ nበመጠን የቬክተር ቦታ ላይ፣ የመነሻ ነጥባቸው ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ ጋር የሚገጣጠመውን የሁሉም ቬክተሮች ስብስብ አስቡባቸው። ከዚያም ቬክተሩ በሚከተለው ቅጽ ሊጻፍ ይችላል.

(1)

የት x 1, x 2, ..., x nየቬክተር መጨረሻ ነጥብ መጋጠሚያዎች x.

በቅጹ (1) የተጻፈ ቬክተር ይባላል ረድፍ ቬክተር, እና በቅጹ ላይ የተጻፈው ቬክተር

(2)

ተብሎ ይጠራል አምድ ቬክተር.

ቁጥር nተብሎ ይጠራል ልኬት (በስነስርአት) ቬክተር. ከሆነ ከዚያም ቬክተሩ ይባላል ዜሮ ቬክተር(ከቬክተሩ መነሻ ነጥብ ጀምሮ ). ሁለት ቬክተሮች xእና yየእነሱ ተጓዳኝ ንጥረ ነገሮች እኩል ከሆኑ እና ብቻ ከሆነ እኩል ናቸው.

2018 ኦልሼቭስኪ አንድሬ ጆርጂቪች

ድህረገፅ በመጻሕፍት ተሞልተው መጻሕፍትን ማውረድ ይችላሉ።

ቬክተሮች በአውሮፕላኑ እና በቦታ ውስጥ, ችግሮችን ለመፍታት ዘዴዎች, ምሳሌዎች, ቀመሮች

1 ቬክተሮች በጠፈር ውስጥ

በጠፈር ውስጥ ያሉ ቬክተሮች የ10ኛ ክፍል ጂኦሜትሪ፣ የ11ኛ ክፍል ጂኦሜትሪ እና የትንታኔ ጂኦሜትሪ ያካትታሉ። ቬክተሮች የተዋሃደ የስቴት ፈተና እና የትንታኔ ጂኦሜትሪ በጠፈር ሁለተኛ ክፍል የጂኦሜትሪክ ችግሮችን በብቃት እንዲፈቱ ያስችሉዎታል። በጠፈር ውስጥ ያሉ ቬክተሮች በአውሮፕላኑ ውስጥ እንደ ቬክተሮች በተመሳሳይ መንገድ ይሰጣሉ, ነገር ግን ሶስተኛው አስተባባሪ z ግምት ውስጥ ይገባል. በሶስተኛ-ልኬት ቦታ ላይ ከቬክተሮች መገለል በአውሮፕላኑ ላይ ቬክተሮች ይሰጣል, እነዚህም በጂኦሜትሪ 8 ኛ, 9 ኛ ክፍል ተብራርተዋል.

1.1 ቬክተር በአውሮፕላኑ እና በጠፈር ላይ

ቬክተር በሥዕሉ ላይ በቀስት የሚታየው መጀመሪያ እና መጨረሻ ያለው አቅጣጫ ያለው ክፍል ነው። በህዋ ላይ ያለ የዘፈቀደ ነጥብ እንደ ዜሮ ቬክተር ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል። ዜሮ ቬክተር የተወሰነ አቅጣጫ የለውም, መጀመሪያ እና መጨረሻው አንድ አይነት ስለሆነ ማንኛውንም አቅጣጫ ሊሰጥ ይችላል.

ቬክተር ከእንግሊዝኛ የተተረጎመ ማለት ቬክተር, አቅጣጫ, ኮርስ, መመሪያ, አቅጣጫ አቀማመጥ, የአውሮፕላን ኮርስ ማለት ነው.

ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ርዝመት (ሞዱሉስ) የ AB ክፍል ርዝመት ነው ፣ እሱም የሚወከለው
. የቬክተር ርዝመት በ ተጠቁሟል . ባዶ ቬክተር ከዜሮ ጋር እኩል የሆነ ርዝመት አለው = 0.

በተመሳሳይ መስመር ላይ ወይም በትይዩ መስመሮች ላይ የሚተኛ ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች ኮሊነር ይባላሉ።

ባዶ ቬክተር ለማንኛውም ቬክተር ኮላይነር ነው።

ተመሳሳይ አቅጣጫ ያላቸው ኮላይኔር ያልሆኑ ዜሮ ቬክተሮች ኮዲሬክሽናል ይባላሉ። የተቀናጁ ቬክተሮች የሚጠቁሙት በ. ለምሳሌ, ቬክተሩ ከቬክተሩ ጋር ኮዲሬክሽናል ከሆነ , ከዚያም ማስታወሻው ጥቅም ላይ ይውላል.

ዜሮ ቬክተር ከማንኛውም ቬክተር ጋር ኮዲሬክሽናል ነው.

ተቃራኒ አቅጣጫ ያላቸው ሁለት ኮላይኔር ያልሆኑ ዜሮ ቬክተሮች በተቃራኒ አቅጣጫ ይመራሉ. በተቃራኒ አቅጣጫ የሚመሩ ቬክተሮች በምልክት ↓ ይጠቁማሉ። ለምሳሌ, ቬክተሩ በተቃራኒው ወደ ቬክተር ከተመራ, ከዚያም ማስታወሻው ↓ ጥቅም ላይ ይውላል.

የእኩል ርዝመት ያላቸው አብሮ የሚመሩ ቬክተሮች እኩል ይባላሉ።

ብዙ አካላዊ መጠኖች የቬክተር መጠኖች ናቸው: ኃይል, ፍጥነት, የኤሌክትሪክ መስክ.

የቬክተሩ የትግበራ ነጥብ (ጅምር) ካልተገለጸ, በዘፈቀደ ይመረጣል.

የቬክተሩ መጀመሪያ በ O ነጥብ ላይ ከተቀመጠ ቬክተሩ ከ O ነጥብ ላይ እንደዘገየ ይቆጠራል. ከየትኛውም ነጥብ አንድ ነጠላ ቬክተር ከተሰጠው ቬክተር ጋር እኩል ማድረግ ይችላሉ.

1.2 የቬክተር ድምር

በሦስት ማዕዘኑ ደንብ መሠረት ቬክተር ሲጨመር ቬክተር 1 ይሣላል፣ ከዚ ቬክተር 2 ይሣላል፣ የእነዚህ ሁለት ቬክተሮች ድምር ቬክተር 3 ነው፣ ከቬክተር 1 መጀመሪያ እስከ ቬክተር 2 መጨረሻ ድረስ።

የዘፈቀደ ነጥቦች A፣ B እና C፣ የቬክተር ድምርን መፃፍ ይችላሉ፡-

+
=

ሁለት ቬክተሮች ከአንድ ነጥብ የሚመነጩ ከሆነ

ከዚያም በትይዩው ደንብ መሰረት እነሱን ማከል የተሻለ ነው.

በትይዩ ደንቡ መሰረት ሁለት ቬክተሮች ሲጨመሩ የተጨመሩት ቬክተሮች ከአንድ ነጥብ ላይ ተዘርግተዋል, ከነዚህ ቬክተሮች ጫፍ ላይ አንድ ትይዩ (ፓራሌሎግራም) የሌላውን መጀመሪያ ወደ አንድ ቬክተር ጫፍ በመተግበር ይጠናቀቃል. በትይዩ ዲያግናል የተሰራው ቬክተር፣ ከተጨመረው የቬክተር መነሻ ነጥብ የሚመነጨው የቬክተር ድምር ይሆናል።

ትይዩአሎግራም ደንቡ በሦስት ማዕዘኑ ደንብ መሰረት ቬክተሮችን ለመጨመር የተለየ ቅደም ተከተል ይዟል.

የቬክተር መጨመር ህጎች፡-

1. የመፈናቀል ህግ + = +.

2. ጥምር ህግ (+) + = + ( + ).

ብዙ ቬክተሮችን መጨመር አስፈላጊ ከሆነ, ቬክተሮች ጥንድ ሆነው ይጨመራሉ ወይም በፖሊጎን ደንብ መሰረት: ቬክተር 2 ከቬክተር 1 መጨረሻ, ቬክተር 3 ከቬክተር 2 መጨረሻ, ቬክተር 4 ይሳባል. የቬክተር 3 መጨረሻ፣ ቬክተር 5 ከቬክተር 4 መጨረሻ ወዘተ ይሳላል።የብዙ ቬክተር ድምር የሆነ ቬክተር ከቬክተር 1 መጀመሪያ አንስቶ እስከ መጨረሻው ቬክተር መጨረሻ ድረስ ይሳላል።

በቬክተር መደመር ህጎች መሰረት የቬክተር መደመር ቅደም ተከተል ውጤቱን አይጎዳውም ይህም የበርካታ ቬክተር ድምር ነው።

እኩል ርዝመት ያላቸው ሁለት ዜሮ ያልሆኑ ተቃራኒ አቅጣጫ ያላቸው ቬክተሮች ተቃራኒ ይባላሉ። ቬክተር - የቬክተር ተቃራኒ ነው

እነዚህ ቬክተሮች በተቃራኒው አቅጣጫ እና በመጠን እኩል ናቸው.

1.3 የቬክተር ልዩነት

የቬክተር ልዩነት እንደ የቬክተር ድምር ሊጻፍ ይችላል

- = + (-),

የት "-" ከቬክተር ጋር ተቃራኒው ቬክተር ነው.

ቬክተሮች እና - በሶስት ማዕዘን ወይም ትይዩአዊ ደንብ መሰረት ሊጨመሩ ይችላሉ.

ቬክተሮች እና

በቬክተሮች መካከል ያለውን ልዩነት ለማግኘት ቬክተር እንገነባለን -

ቬክተሮችን እንጨምራለን እና - በሶስት ማዕዘን ህግ መሰረት, የቬክተሩን መጀመሪያ በመተግበር - እስከ ቬክተሩ መጨረሻ ድረስ, ቬክተር + (-) = -

ቬክተሮችን እንጨምራለን እና - በትይዩው ደንብ መሰረት, የቬክተሩን ጅምር ወደ ጎን እና - ከአንድ ነጥብ.

ቬክተሮች እና ከተመሳሳይ ነጥብ የሚመነጩ ከሆነ

ከዚያም የቬክተሮች ልዩነት ጫፎቻቸውን የሚያገናኝ ቬክተር ይሰጠዋል እና በውጤቱ ቬክተር መጨረሻ ላይ ያለው ቀስት ሁለተኛው ቬክተር በሚቀንስበት የቬክተር አቅጣጫ ይቀመጣል.

ከታች ያለው ምስል የመደመር እና የቬክተር ልዩነትን ያሳያል

ከታች ያለው ምስል በተለያዩ መንገዶች የቬክተር መደመር እና ልዩነትን ያሳያል

ተግባርቬክተሮች እና ተሰጥተዋል.

የቬክተሮችን ድምር እና ልዩነት በሁሉም መንገዶች በተቻለ መጠን በሁሉም የቬክተር ጥምረት ይሳሉ።

1.4 Lemma በ collinear vectors ላይ

= ክ

1.5 የቬክተር እና የቁጥር ምርት

በቁጥር k የዜሮ ያልሆነ የቬክተር ምርት ለቬክተር ቬክተር = k, collinear ይሰጣል. የቬክተር ርዝመት፡

| | = |k ||| |

ከሆነ k > 0፣ ከዚያም ቬክተሮች እና ኮዲሬክሽናል ናቸው።

ከሆነ k = 0, ከዚያም ቬክተር ዜሮ ነው.

ከሆነ ክ< 0, то векторы и противоположно направленные.

ከሆነ | k | = 1, ከዚያም ቬክተሮች እና እኩል ርዝመት አላቸው.

ከሆነ k = 1, ከዚያም ቬክተሮች እኩል ናቸው.

ከሆነ k = -1, ከዚያም ተቃራኒ ቬክተሮች.

ከሆነ | k | > 1, ከዚያም የቬክተሩ ርዝመት ከቬክተሩ ርዝመት ይበልጣል.

ከሆነ k > 1፣ ከዚያም ቬክተሮቹ ሁለቱም ኮዲሬክሽናል ናቸው እና ርዝመቱ ከቬክተሩ ርዝመት ይበልጣል።

ከሆነ ክ< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

ከሆነ | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

ከሆነ 0< ክ< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

ከሆነ -1< ክ< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

የዜሮ ቬክተር እና የቁጥር ምርት ዜሮ ቬክተር ይሰጣል።

ተግባርቬክተር ተሰጥቷል.

ቬክተሮች 2, -3, 0.5, -1.5 ይገንቡ.

ተግባርቬክተሮች እና ተሰጥተዋል.

ቬክተሮች 3 + 2, 2 - 2, -2 - ይገንቡ.

ቬክተርን በቁጥር ማባዛትን የሚገልጹ ህጎች

1. ጥምር ህግ (kn) = k (n)

2. የመጀመሪያው ስርጭት ህግ k (+) = k + k .

3. ሁለተኛ ስርጭት ህግ (k + n) = k + n.

ለኮላይኔር ቬክተሮች እና፣ ≠ 0 ከሆነ፣ ቬክተሩን በሚከተለው መልኩ እንዲገልጹ የሚያስችል ነጠላ ቁጥር k አለ፡-

= ክ

1.6 ኮፕላላር ቬክተሮች

በአንድ አውሮፕላን ውስጥ ወይም በትይዩ አውሮፕላኖች ውስጥ ያሉ ቬክተሮች ኮፕላላር ይባላሉ. ከእነዚህ ኮፕላላር ቬክተሮች ጋር እኩል የሆኑ ቬክተሮችን ከአንድ ነጥብ ላይ ካወጣን, ከዚያም በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ. ስለዚህ, በአንድ አውሮፕላን ውስጥ እኩል የሆኑ ቬክተሮች ካሉ ቬክተሮች ኮፕላላር ይባላሉ ማለት እንችላለን.

ሁለት የዘፈቀደ ቬክተሮች ሁል ጊዜ ኮፕላነር ናቸው። ሦስቱ ቬክተሮች ኮፕላላር ወይም ኮፕላላር ያልሆኑ ሊሆኑ ይችላሉ. ሶስት ቬክተሮች, ቢያንስ ሁለቱ ኮሊንየር ናቸው, ኮፕላላር ናቸው. ኮላይኔር ቬክተሮች ሁል ጊዜ ኮፕላነር ናቸው።

1.7 የቬክተር መበስበስ ወደ ሁለት ኮልላይነር ያልሆኑ ቬክተሮች

ማንኛውም ቬክተር በልዩ ሁኔታ በአውሮፕላኑ ላይ በሁለት ኮልላይነር ያልሆኑ ዜሮ ቬክተሮች ውስጥ ይበሰብሳል እና በነጠላ የማስፋፊያ ቅንጅቶች x እና y፡-

= x+y

ማንኛውም የቬክተር ኮፕላላር ወደ ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች እና በልዩ ሁኔታ ወደ ሁለት ኮላይኔር ያልሆኑ ቬክተሮች እና ልዩ የማስፋፊያ ቅንጅቶች x እና y ሊሰፋ ይችላል፡

= x+y

የተሰጠውን ቬክተር በአውሮፕላኑ ላይ በተሰጡት ኮሊንነር ባልሆኑ ቬክተሮች መሰረት እናስፋፋው እና፡-

የተሰጡትን የኮፕላላር ቬክተሮችን ከአንድ ነጥብ እንስጠው

ከቬክተሩ መጨረሻ ጀምሮ ከቬክተሮች ጋር ትይዩ የሆኑ መስመሮችን እንይዛለን እና በቬክተሩ ውስጥ ከተሰቀሉት መስመሮች ጋር እስኪገናኙ ድረስ እና . ትይዩአችን እናገኛለን

የአንድ ትይዩ ጎኖች ርዝማኔዎች የሚገኙት የቬክተሮች ርዝማኔዎችን በማባዛት እና በ x እና y ቁጥሮች ነው, እነዚህም የርዝመቶችን ርዝመቶች በተመጣጣኝ ቬክተሮች እና ርዝመቶች በመከፋፈል ይወሰናል. በተሰጡት ኮሊንነር ባልሆኑ ቬክተሮች መሰረት የቬክተሩን መበስበስ እናገኛለን፡-

= x+y

እየተፈታ ባለው ችግር, x ≈ 1.3, y ≈ 1.9, ስለዚህ የቬክተር መስፋፋት በተሰጡት ኮሊነር ባልሆኑ ቬክተሮች ውስጥ በቅጹ ሊጻፍ ይችላል.

1,3 + 1,9 .

እየተፈታ ባለው ችግር, x ≈ 1.3, y ≈ -1.9, ስለዚህ የቬክተር መስፋፋት በተሰጡት ኮሊነር ባልሆኑ ቬክተሮች ውስጥ በቅጹ ሊጻፍ ይችላል.

1,3 - 1,9 .

1.8 ትይዩ የሆነ ደንብ

ትይዩ የሆነ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቅርጽ ሲሆን ተቃራኒው ፊታቸው ሁለት እኩል ትይዩዎች በትይዩ አውሮፕላኖች ውስጥ ተኝተዋል።

ትይዩው ደንብ ሶስት ያልሆኑ ኮፕላነር ቬክተሮች እንዲጨምሩ ይፈቅድልዎታል, እነሱም ከአንድ ነጥብ የተነደፉ ናቸው, እና ትይዩ የተሰራ ነው ስለዚህም የተጠቃለሉት ቬክተሮች ጠርዞቹን ይፈጥራሉ, እና የተቀሩት የተርጓሚው ጠርዞች በቅደም ተከተል ትይዩ እና ከርዝመቱ ጋር እኩል ናቸው. በተገጣጠሙ ቬክተሮች የተሰሩ ጠርዞች. የትይዩው ዲያግናል ቬክተር ይመሰርታል ይህም የተሰጡት ሶስት ቬክተር ድምር ሲሆን ይህም ከተጨመሩበት ቬክተር መነሻ ነጥብ ይጀምራል።

1.9 የቬክተር ወደ ሶስት ኮፕላላር ያልሆኑ ቬክተሮች መበስበስ

ማንኛውም ቬክተር ወደ ሶስት የተሰጡ ኮፕላላር ያልሆኑ ቬክተሮች ይሰፋል , እና በነጠላ የማስፋፊያ ቅንጅቶች x, y, z:

= x + y + z

1.10 በጠፈር ውስጥ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ቅንጅት ስርዓት

ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ፣ አራት ማዕዘን ቅርፅ ያለው የማስተባበሪያ ስርዓት ኦክሲዝ በመነሻ ኦ እና እርስ በእርሱ የሚገናኙት እርስ በርስ በተያያዙ መጋጠሚያዎች ኦክስ ፣ ኦይ እና ኦዝ በተመረጡ አወንታዊ አቅጣጫዎች በቀስቶች እና በክፍሎች የመለኪያ አሃድ ይገለጻል። በሦስቱም ዘንጎች ላይ የክፍሎቹ መጠን ተመሳሳይ ከሆነ እንዲህ ዓይነቱ ሥርዓት የካርቴዥያን መጋጠሚያ ሥርዓት ይባላል.

ማስተባበር x abcissa ይባላል፣ y ordinate፣ z አፕሊኬሽኑ ነው። የነጥብ መ መጋጠሚያዎች በቅንፍ M (x; y; z) ተጽፈዋል።

1.11 በጠፈር ውስጥ የቬክተር መጋጠሚያዎች

በጠፈር ውስጥ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ስርዓት ኦክሲዝ እንገልፃለን. በመጥረቢያዎቹ አወንታዊ አቅጣጫዎች ውስጥ ከሚገኙት መጋጠሚያዎች አመጣጥ ኦክስ ፣ ኦይ ፣ ኦዝ ፣ ተጓዳኝ ክፍሎችን እንሳሉ ። , , አስተባባሪ ቬክተር ተብለው የሚጠሩ እና ኮፕላላር ያልሆኑ ናቸው። ስለዚህ ማንኛውም ቬክተር በሦስት የተሰጡ ኮፕላላር ያልሆኑ አስተባባሪ ቬክተሮች እና ልዩ የማስፋፊያ ቅንጅቶች x, y, z:

= x + y + z

የማስፋፊያ አሃዞች x፣ y፣ z በቅንፍ (x; y; z) የተጻፉት በተሰጠው አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ የቬክተር መጋጠሚያዎች ናቸው። ዜሮ ቬክተር ከዜሮ ጋር እኩል መጋጠሚያዎች አሉት (0; 0; 0) እኩል ቬክተሮች እኩል ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች አሏቸው።

የውጤቱ ቬክተር መጋጠሚያዎችን ለማግኘት ህጎች፡-

1. ሁለት ወይም ከዚያ በላይ ቬክተሮችን ሲያጠቃልሉ, እያንዳንዱ የውጤት ቬክተር መጋጠሚያ ከተሰጡት ቬክተሮች ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ድምር ጋር እኩል ነው. ሁለት ቬክተር (x 1; y 1; z 1) እና (x 1; y 1; z 1) ከተሰጡ, ከዚያም የቬክተሮች + ድምር አንድ ቬክተር ከ መጋጠሚያዎች ጋር ይሰጣል (x 1 + x 1; y 1 + y). 1; z 1 + z 1)

+ = (x 1 + x 1; y 1 + y 1; z 1 + z 1)

2. ልዩነት የመደመር አይነት ነው, ስለዚህ የተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ልዩነት ሁለት የተሰጡ ቬክተሮችን በመቀነስ የተገኘውን እያንዳንዱን የቬክተር መጋጠሚያ ይሰጣል. ሁለት ቬክተሮች (x a; y a; z a) እና (x b; y b; z b) ከተሰጡ, ከዚያም የቬክተሮች ልዩነት አንድ ቬክተር ከመጋጠሚያዎች ጋር ይሰጣል (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

- = (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

3. ቬክተርን በቁጥር ሲያባዙ እያንዳንዱ የውጤቱ ቬክተር መጋጠሚያ ከዚህ ቁጥር ምርት እና ከተሰጠው ቬክተር ተጓዳኝ መጋጠሚያ ጋር እኩል ነው። አንድ ቁጥር k እና ቬክተር (x; y; z) ከተሰጡ, ከዚያም ቬክተሩን በቁጥር k ማባዛት ቬክተር k ከመጋጠሚያዎች ጋር ይሰጣል.

k = (kx; ky; kz)።

ተግባርየቬክተሩ መጋጠሚያዎች = 2 - 3 + 4 ያግኙ, የቬክተሮች መጋጠሚያዎች (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2) ከሆኑ.

መፍትሄ

2 + (-3) + 4

2 = (2·1; 2· (-2); 2· (-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3 · (-2); -3 · 3; -3 · (-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4· (-1)፤ 4· (-3)፤ 4·2) = (-4፤ -12፤ 8)።

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 የቬክተር, ራዲየስ ቬክተር እና ነጥብ መጋጠሚያዎች

የቬክተር መጋጠሚያዎች የቬክተሩ መጀመሪያ በመነሻው ላይ ከተቀመጠ የቬክተሩ መጨረሻ መጋጠሚያዎች ናቸው.

ራዲየስ ቬክተር ከመነሻው ወደ አንድ ነጥብ የተቀዳ ቬክተር ነው, የራዲየስ ቬክተር እና የነጥቡ መጋጠሚያዎች እኩል ናቸው.

ቬክተር ከሆነ
በነጥቦች M 1 (x 1; y 1; z 1) እና M 2 (x 2; y 2; z 2) ተሰጥቷል, ከዚያም እያንዳንዱ መጋጠሚያዎቹ ከመጨረሻው ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ልዩነት ጋር እኩል ነው. የቬክተር መጀመሪያ

ለኮላይኔር ቬክተሮች = (x 1; y 1; z 1) እና = (x 2; y 2; z 2), ≠ 0 ከሆነ, አንድ ነጠላ ቁጥር አለ k ቬክተሩን በ:

= ክ

ከዚያም የቬክተሩ መጋጠሚያዎች በቬክተር መጋጠሚያዎች በኩል ይገለፃሉ

= (kx 1; ky 1; kz 1)

የኮሊንየር ቬክተሮች ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ጥምርታ ከነጠላ ቁጥር k ጋር እኩል ነው።

1.13 የቬክተር ርዝመት እና በሁለት ነጥቦች መካከል ያለው ርቀት

የቬክተሩ ርዝመት (x; y; z) ከካሬው ስር ከካሬው ስር ከተጋጠሙት ካሬዎች ድምር ጋር እኩል ነው.

በመነሻ ነጥቦች የተገለጸው የቬክተር ርዝመት M 1 (x 1; y 1; z 1) እና መጨረሻ M 2 (x 2; y 2 ; z 2) ከካሬዎች ድምር ካሬ ሥር ጋር እኩል ነው. በቬክተር መጨረሻ እና በጅማሬው ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች መካከል ያለው ልዩነት

ርቀት d በሁለት ነጥቦች መካከል M 1 (x 1; y 1; z 1) እና M 2 (x 2; y 2 ; z 2) ከቬክተሩ ርዝመት ጋር እኩል ነው.

በአውሮፕላኑ ላይ ምንም የ z መጋጠሚያ የለም

በ M 1 (x 1; y 1) እና M 2 (x 2; y 2) መካከል ያለው ርቀት

1.14 የክፍሉ መካከለኛ መጋጠሚያዎች

ነጥቡ ከሆነ ሐ የ AB ክፍል መሃል ነው ፣ ከዚያ የነጥብ ሐ ራዲየስ ቬክተር በዘፈቀደ ቅንጅት ስርዓት ውስጥ ካለው መነሻ በ O ላይ ካለው የነጥብ A እና B ራዲየስ ቬክተር ግማሽ ድምር ጋር እኩል ነው።

የቬክተሮች መጋጠሚያዎች ከሆነ
(x; y; z),
(x 1; y 1; z 1),
(x 2; y 2; z 2), ከዚያ እያንዳንዱ የቬክተር መጋጠሚያ ከተዛማጅ የቬክተር መጋጠሚያዎች ግማሽ ድምር ጋር እኩል ነው እና

,
,

= (x, y, z) =

እያንዳንዱ የክፍሉ መሃከል መጋጠሚያዎች ከክፍሉ ጫፎች ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ግማሽ ድምር ጋር እኩል ነው።

1.15 በቬክተሮች መካከል አንግል

በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ከአንድ ነጥብ በተሰየመው ጨረሮች መካከል ካለው አንግል ጋር እኩል ነው። በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ከ 0 0 እስከ 180 0 ያካተተ ሊሆን ይችላል. በኮዲሬክሽን ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል 0 0 ነው. አንድ ቬክተር ወይም ሁለቱም ዜሮ ከሆኑ, በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል, ቢያንስ አንዱ ዜሮ ከሆነ, ከ 0 0 ጋር እኩል ነው. በቋሚ ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል 90 0 ነው። በተቃራኒ አቅጣጫ በሚመሩ ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል 180 0 ነው።

1.16 የቬክተር ትንበያ

1.17 የቬክተሮች የነጥብ ምርት

የሁለት ቬክተሮች ስካላር ምርት ከቬክተሮች ርዝማኔ እና በቬክተር መካከል ካለው አንግል ኮሳይን ጋር እኩል የሆነ ቁጥር (ስካላር) ነው።

ከሆነ = 0 0, ከዚያም ቬክተሮች ኮዲሬክሽን ናቸው
እና
= cos 0 0 = 1፣ ስለዚህ የኮዲሬክሽን ቬክተሮች ስኬር ምርት ከርዝመታቸው (ሞጁሎች) ምርት ጋር እኩል ነው።

በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል 0 ከሆነ< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, ስለዚህ ስካላር ምርቱ ከዜሮ ይበልጣል
.

ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች ቀጥ ያሉ ከሆኑ ስኬር ምርታቸው ከዜሮ ጋር እኩል ነው።
, ከ cos 90 0 = 0 ጀምሮ. የ perpendicular vectors scalar ምርት ከዜሮ ጋር እኩል ነው.

ከሆነ
, ከዚያም በእንደዚህ አይነት ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ኮሳይን ከዜሮ ያነሰ ነው
, ስለዚህ ስካላር ምርቱ ከዜሮ ያነሰ ነው
.

በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል እየጨመረ ሲሄድ በመካከላቸው ያለው አንግል ኮሳይን
ይቀንሳል እና ዝቅተኛው እሴት ላይ ይደርሳል ቬክተሮች በተቃራኒ አቅጣጫ ሲመሩ = 180 0
. ከ cos 180 0 = -1 ጀምሮ, ከዚያም
. በተቃራኒ አቅጣጫ የሚመሩ ቬክተሮች ስኬር ምርት ከርዝመታቸው (ሞጁሎች) አሉታዊ ምርት ጋር እኩል ነው።

የቬክተር ስካላር ካሬ ከቬክተር ካሬው ሞጁል ጋር እኩል ነው

የቬክተሮች የነጥብ ምርት ቢያንስ አንዱ ዜሮ የሆነው ከዜሮ ጋር እኩል ነው።

1.18 የቬክተሮች scalar ምርት አካላዊ ትርጉም

ከፊዚክስ ኮርስ በA Force የተሰራው ስራ ይታወቃል ሰውነትን ሲያንቀሳቅሱ ከኃይል ርዝመቶች እና የመፈናቀሎች ቬክተሮች እና በመካከላቸው ካለው አንግል ኮሳይን ጋር እኩል ነው ፣ ማለትም ፣ ከኃይል እና የመፈናቀል ቬክተሮች scalar ምርት ጋር እኩል ነው።

የኃይል ቬክተር ከሰውነት እንቅስቃሴ ጋር ኮዲሬክሽናል ከሆነ, ከዚያም በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል
= 0 0, ስለዚህ በማፈናቀል ላይ ያለው ኃይል የሚሠራው ሥራ ከፍተኛ እና ከ A = ጋር እኩል ነው
.

ከሆነ 0< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

ከሆነ = 90 0, ከዚያም በተፈናቃይ ኃይል የሚሠራው ሥራ ዜሮ A = 0 ነው.

900 ከሆነ< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

የኃይሉ ቬክተር ወደ ሰውነት እንቅስቃሴ ተቃራኒ ከሆነ, በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል = 180 0, ስለዚህ በእንቅስቃሴው ላይ ያለው የጉልበት ሥራ አሉታዊ እና ከ A = - ጋር እኩል ነው.

ተግባር 1 ቶን የሚመዝነውን ተሳፋሪ መኪና በ1 ኪሎ ሜትር ርዝመት ባለው መንገድ ላይ ከ30 0 አቅጣጫ ወደ አድማስ በማንሳት በስበት ኃይል የተሰራውን ስራ ይወስኑ። በ 20 0 የሙቀት መጠን ምን ያህል ሊትር ውሃ በዚህ ጉልበት መቀቀል ይቻላል?

መፍትሄ

ኢዮብ አንድ ስበት አካልን በሚያንቀሳቅስበት ጊዜ ከቬክተሮች ርዝመት እና በመካከላቸው ካለው አንግል ኮሳይን ጋር እኩል ነው ፣ ማለትም ፣ ከስበት እና የመፈናቀል ፍጥነቶች scalar ምርት ጋር እኩል ነው።

ስበት

G = mg = 1000 ኪ.ግ 10 ሜትር / ሰ 2 = 10,000 N.

= 1000 ሜ.

በቬክተሮች መካከል አንግል = 120 0 . ከዚያም

cos 120 0 = cos (90 0 + 30 0) = - ኃጢአት 30 0 = - 0.5.

እንተኩ

A = 10,000 N · 1000 ሜትር · (-0.5) = - 5,000,000 ጄ = - 5 MJ.

1.19 በመጋጠሚያዎች ውስጥ የቬክተሮች የነጥብ ምርት

የሁለት ቬክተር የነጥብ ውጤት = (x 1; y 1; z 1) እና = (x 2; y 2; z 2) አራት ማዕዘን ቅርጽ ባለው የማስተባበሪያ ስርዓት ውስጥ ተመሳሳይ ስም ካላቸው መጋጠሚያዎች ምርቶች ድምር ጋር እኩል ነው.

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 የቬክተሮች perpendicularity ሁኔታ

ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች = (x 1; y 1; z 1) እና = (x 2; y 2; z 2) ቀጥ ያሉ ከሆኑ, የእነሱ scalar ምርት ዜሮ ነው.

አንድ ዜሮ ያልሆነ ቬክተር = (x 1; y 1; z 1) ከተሰጠ, የቬክተር መጋጠሚያዎች ቀጥ ያለ (የተለመደ) በእሱ = (x 2; y 2; z 2) እኩልነትን ማሟላት አለባቸው.

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0።

የዚህ አይነት ቬክተር ማለቂያ የሌለው ቁጥር አለ።

አንድ ዜሮ ያልሆነ ቬክተር = (x 1; y 1) በአውሮፕላኑ ላይ ከተሰጠ የቬክተር መጋጠሚያዎች ቀጥ ያለ (የተለመደ) ወደ እሱ = (x 2; y 2) እኩልነትን ማሟላት አለባቸው.

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0።

ዜሮ ያልሆነ ቬክተር = (x 1; y 1) በአውሮፕላኑ ላይ ከተሰጠ, ከዚያም የቬክተር ቋሚ (የተለመደ) መጋጠሚያዎች አንዱን ወደ እሱ = (x 2; y 2) በዘፈቀደ ማዘጋጀት በቂ ነው. የቬክተሮች perpendicularity ሁኔታ

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

የቬክተሩን ሁለተኛ መጋጠሚያ ይግለጹ.

ለምሳሌ፣ የዘፈቀደ መጋጠሚያ x 2ን ከቀየሩ፣ ከዚያ

y 1 y 2 = - x 1 x 2

ሁለተኛ የቬክተር መጋጠሚያ

x 2 = y 1 ከሰጠን የቬክተሩ ሁለተኛ መጋጠሚያ

ዜሮ ያልሆነ ቬክተር = (x 1; y 1) በአውሮፕላኑ ላይ ከተሰጠ, ከዚያም ቬክተር ቀጥ ያለ (መደበኛ) ወደ እሱ = (y 1; -x 1).

ከዜሮ ያልሆኑ ቬክተር መጋጠሚያዎች አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ, ቬክተሩ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ ተመሳሳይ መጋጠሚያ አለው, እና ሁለተኛው መጋጠሚያ ከዜሮ ጋር እኩል ነው. እንደነዚህ ያሉት ቬክተሮች በተቀናጁ መጥረቢያዎች ላይ ይተኛሉ እና ስለሆነም ቀጥ ያሉ ናቸው።

ሁለተኛውን ቬክተር ከቬክተር ጋር ቀጥ ብለን እንግለጽ = (x 1; y 1)፣ ነገር ግን ከቬክተሩ ተቃራኒ ነው። ማለትም ቬክተር - . ከዚያም የቬክተር መጋጠሚያዎችን ምልክቶች መቀየር በቂ ነው

- = (-y 1; x 1)

1 = (y 1; - x 1)

2 = (-y 1; x 1)።

ተግባር

መፍትሄ

በአውሮፕላኑ ላይ ከቬክተር = (x 1; y 1) ቀጥ ያለ የሁለት ቬክተር መጋጠሚያዎች

1 = (y 1; - x 1)

2 = (-y 1; x 1)።

የቬክተር መጋጠሚያዎች ምትክ = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3· (-5) + (-5) · (-3) = -15 + 15 = 0

ቀኝ!

3·5 + (-5) · 3 = 15 - 15 = 0

ቀኝ!

መልስ፡ 1 = (-5; -3)፣ 2 = (5፤ 3)።

x 2 = 1 ከመደብን ተካ

x 1 + y 1 y 2 = 0።

y 1 y 2 = -x 1

የቬክተሩን መጋጠሚያ y 2 ወደ ቬክተር = (x 1; y 1) እናገኛለን.

ከቬክተር ጋር ቀጥ ያለ ሁለተኛ ቬክተር ለማግኘት = (x 1; y 1) ከቬክተሩ ጋር ተቃራኒ ነው. . ፍቀድ

ከዚያም የቬክተር መጋጠሚያዎችን ምልክቶች መቀየር በቂ ነው.

በአውሮፕላኑ ላይ ከቬክተር = (x 1; y 1) ቀጥ ያለ የሁለት ቬክተር መጋጠሚያዎች

ተግባርየተሰጠው ቬክተር = (3; -5). የተለያዩ አቅጣጫዎች ያላቸው ሁለት መደበኛ ቬክተሮችን ያግኙ።

መፍትሄ

በአውሮፕላኑ ላይ ከቬክተር = (x 1; y 1) ቀጥ ያለ የሁለት ቬክተር መጋጠሚያዎች

የአንድ ቬክተር መጋጠሚያዎች

የሁለተኛው ቬክተር መጋጠሚያዎች

የቬክተሮችን perpendicularity ለመፈተሽ መጋጠሚያዎቻቸውን ወደ የቬክተሮች ቋሚነት ሁኔታ እንተካለን.

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0.6 = 3 - 3 = 0

ቀኝ!

3· (-1) + (-5) · (-0.6) = -3 + 3 = 0

ቀኝ!

መልስ: እና.

ከመደብክ x 2 = - x 1 , ምትክ

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0።

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0።

y 1 y 2 = x 1 2

የቬክተሩን ቅንጅት ወደ ቬክተር እናገኛለን

x 2 = x 1 ከመደብክ ተካ

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0።

x 1 2 + y 1 y 2 = 0።

y 1 y 2 = -x 1 2

የሁለተኛውን ቬክተር ከቬክተር ጋር በማያያዝ y መጋጠሚያ እናገኛለን

በአውሮፕላኑ ላይ ካለው ቬክተር ጋር የአንድ ቬክተር መጋጠሚያዎች = (x 1; y 1)

በአውሮፕላኑ ላይ ካለው ቬክተር ጋር የሁለተኛው ቬክተር መጋጠሚያዎች = (x 1; y 1)

በአውሮፕላኑ ላይ ከቬክተር = (x 1; y 1) ቀጥ ያለ የሁለት ቬክተር መጋጠሚያዎች

1.21 በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ኮሳይን

በሁለት ዜሮ ያልሆኑ ቬክተር መካከል ያለው የማዕዘን ኮሳይን = (x 1; y 1; z 1) እና = (x 2; y 2 ; z 2) በቬክተሮች ምርት ከተከፋፈለው ስክላር ምርት ጋር እኩል ነው. የእነዚህ ቬክተሮች ርዝመት

ከሆነ
= 1, ከዚያም በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል 0 0 ነው, ቬክተሮች በጋራ አቅጣጫ ናቸው.

ከሆነ 0< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

ከሆነ = 0, ከዚያም በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል 90 0 ነው, ቬክተሮች ቀጥ ያሉ ናቸው.

ከሆነ -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

ከሆነ = -1, ከዚያም በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል 180 0 ነው, ቬክተሮች በተቃራኒው ይመራሉ.

አንድ ቬክተር በጅማሬ እና በመጨረሻው መጋጠሚያዎች ከተሰጠ, የጅማሬውን መጋጠሚያዎች ከቬክተር መጨረሻ ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች በመቀነስ, የዚህን ቬክተር መጋጠሚያዎች እናገኛለን.

ተግባርበቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ (0; -2; 0), (-2; 0; -4).

መፍትሄ

የቬክተሮች ነጥብ ውጤት

= 0· (-2) + (-2) · 0 + 0 · (-4) = 0፣

ስለዚህ በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል እኩል ነው = 90 0 .

1.22 የቬክተሮች scalar ምርት ባህሪያት

የ scalar ምርት ባህሪያት ለማንኛውም ልክ ናቸው , , , k:

1.
፣ ከሆነ
፣ ያ
፣ ከሆነ =፣ ያ
= 0.

2. የጉዞ ህግ

3. የማከፋፈያ ህግ

4. ጥምር ህግ
.

1.23 ቀጥተኛ ቬክተር

የአንድ መስመር አቅጣጫ ዜሮ ያልሆነ ቬክተር በአንድ መስመር ላይ ወይም ከተሰጠው መስመር ጋር ትይዩ በሆነ መስመር ላይ ተኝቷል።

ቀጥ ያለ መስመር በሁለት ነጥቦች M 1 (x 1; y 1; z 1) እና M 2 (x 2; y 2; z 2) ከተገለጸ, መመሪያው ቬክተር ነው.
ወይም የእሱ ተቃራኒ ቬክተር
= - የማን መጋጠሚያዎች

መስመሩ በመጋጠሚያዎች አመጣጥ ውስጥ እንዲያልፍ የማስተባበር ስርዓቱን ማዘጋጀት ጥሩ ነው ፣ ከዚያ በመስመሩ ላይ ያለው ብቸኛው ነጥብ መጋጠሚያዎች የአቅጣጫ ቬክተር መጋጠሚያዎች ይሆናሉ።

ተግባርነጥቦቹን M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) የሚያልፈውን የቀጥታ መስመር አቅጣጫ ቬክተር መጋጠሚያዎችን ይወስኑ.

መፍትሄ

ነጥቦቹን M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) የሚያልፈው ቀጥተኛ መስመር አቅጣጫ ቬክተር ይገለጻል.
. እያንዳንዱ መጋጠሚያዎቹ በቬክተሩ መጨረሻ እና መጀመሪያ መካከል ባለው ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች መካከል ካለው ልዩነት ጋር እኩል ነው።

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

ቀጥ ያለ መስመር የሚመራውን ቬክተር በአስተባባሪ ስርዓቱ መጀመሪያ በነጥብ M 1፣ መጨረሻው ነጥብ M 2 እና እኩል ቬክተር እናሳይ።
ከመነሻው መጨረሻ ጋር ነጥብ M (-1; 1; 0)

1.24 በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል አንግል

በአውሮፕላኑ ላይ ለ 2 ቀጥተኛ መስመሮች አንጻራዊ አቀማመጥ እና በእንደዚህ ዓይነት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው አንግል ሊሆኑ የሚችሉ አማራጮች

1. ቀጥ ያሉ መስመሮች በአንድ ነጥብ ላይ ይጣመራሉ, 4 ማዕዘኖች, 2 ጥንድ ቋሚ ማዕዘኖች በጥንድ እኩል ናቸው. በሁለት የተጠላለፉ መስመሮች መካከል ያለው አንግል φ በእነዚህ መስመሮች መካከል ከሌሎቹ ሶስት ማዕዘኖች የማይበልጥ ነው. ስለዚህ በመስመሮቹ መካከል ያለው አንግል φ ≤ 90 0 ነው።

የተጠላለፉ መስመሮች በተለይም ከ φ = 90 0 ጋር ቀጥ ያሉ ሊሆኑ ይችላሉ.

በቦታ ውስጥ ባለ 2 ቀጥታ መስመሮች አንጻራዊ ቦታ እና በእንደዚህ ባሉ ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው አንግል ሊሆኑ የሚችሉ አማራጮች

1. ቀጥ ያሉ መስመሮች በአንድ ነጥብ ላይ ይጣመራሉ, 4 ማዕዘኖች, 2 ጥንድ ቋሚ ማዕዘኖች በጥንድ እኩል ናቸው. በሁለት የተጠላለፉ መስመሮች መካከል ያለው አንግል φ በእነዚህ መስመሮች መካከል ከሌሎቹ ሶስት ማዕዘኖች የማይበልጥ ነው.

2. መስመሮቹ ትይዩ ናቸው, ማለትም, አይጣጣሙም እና አይገናኙም, φ=0 0 .

3. መስመሮቹ ይጣጣማሉ, φ = 0 0 .

4. መስመሮች እርስ በርስ ይገናኛሉ, ማለትም, በጠፈር ውስጥ አይገናኙም እና ትይዩ አይደሉም. በተቆራረጡ መስመሮች መካከል ያለው አንግል φ ከእነዚህ መስመሮች ጋር እርስ በርስ እንዲተሳሰሩ በተደረጉ መስመሮች መካከል ያለው አንግል ነው. ስለዚህ በመስመሮቹ መካከል ያለው አንግል φ ≤ 90 0 ነው።

በ 2 ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው አንግል በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ ከነዚህ ቀጥታ መስመሮች ጋር ትይዩ በተሰየመው ቀጥታ መስመሮች መካከል ካለው አንግል ጋር እኩል ነው። ስለዚህ በመስመሮቹ መካከል ያለው አንግል 0 0 ≤ φ ≤ 90 0 ነው።

አንግል θ (ቴታ) በቬክተር እና በ 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 መካከል.

በመስመሮች α እና β መካከል ያለው አንግል θ በነዚህ መስመሮች አቅጣጫ ቬክተሮች መካከል ካለው አንግል φ = θ ጋር እኩል ከሆነ።

cos φ = cos θ.

ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው አንግል φ = 180 0 - θ ከሆነ, ከዚያ

cos φ = cos (180 0 - θ) = - cos θ.

cos φ = - cos θ.

ስለዚህ, ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው አንግል ኮሳይን በቬክተሮች መካከል ካለው የማዕዘን ሞጁል ጋር እኩል ነው.

cos φ = |cos θ|.

ዜሮ ያልሆኑ ቬክተር = (x 1; y 1; z 1) እና = (x 2; y 2 ; z 2) መጋጠሚያዎች ከተሰጡ በመካከላቸው ያለው የማዕዘን θ ኮሳይን

በመስመሮቹ መካከል ያለው አንግል ኮሳይን በእነዚህ መስመሮች አቅጣጫ ቬክተሮች መካከል ካለው የማዕዘን ሞጁል ጋር እኩል ነው።

cos φ = |cos θ| =

መስመሮቹ ተመሳሳይ የጂኦሜትሪክ እቃዎች ናቸው, ስለዚህ ተመሳሳይ ትሪግኖሜትሪክ ኮስ ተግባራት በቀመር ውስጥ ይገኛሉ.

እያንዳንዳቸው ሁለት መስመሮች በሁለት ነጥቦች ከተሰጡ, የእነዚህን መስመሮች አቅጣጫ ጠቋሚዎች እና በመስመሮቹ መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን መወሰን ይቻላል.

ከሆነ cos φ = 1, ከዚያም በመስመሮቹ መካከል ያለው አንግል φ ከ 0 0 ጋር እኩል ነው, ለእነዚህ መስመሮች ከእነዚህ መስመሮች አቅጣጫዎች አንዱን ልንወስድ እንችላለን, መስመሮቹ ትይዩ ወይም ተመሳሳይ ናቸው. መስመሮቹ የማይጣጣሙ ከሆነ, እነሱ ትይዩ ናቸው. መስመሮቹ ከተጣመሩ፣ በአንድ መስመር ላይ ያለው ማንኛውም ነጥብ የሌላኛው መስመር ነው።

ከሆነ 0< cos φ ≤ 1፣ ከዚያ በመስመሮቹ መካከል ያለው አንግል 0 0 ነው።< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

ከሆነ cos φ = 0, ከዚያም በመስመሮቹ መካከል ያለው አንግል φ 90 0 (መስመሮቹ ቀጥ ያሉ ናቸው), መስመሮቹ ይገናኛሉ ወይም ይሻገራሉ.

ተግባርከ M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) እና M 3 (0; 0; 1) መጋጠሚያዎች ጋር ቀጥታ መስመሮች M 1 M 3 እና M 2 M 3 መካከል ያለውን አንግል ይወስኑ.

መፍትሄ

የተሰጡ ነጥቦችን እና መስመሮችን በኦክሲዝ ማስተባበሪያ ስርዓት ውስጥ እንስራ።

በመስመሮቹ መካከል ያለው አንግል θ በተሰጠው መስመሮች መካከል ካለው አንግል φ ጋር እንዲገጣጠም የመስመሮቹ አቅጣጫ ቬክተሮችን እንመራለን. ቬክተሮችን እንወክል =
እና =
, እንዲሁም ማዕዘኖች θ እና φ:

የቬክተሮችን መጋጠሚያዎች እንወስን እና

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 እና መጥረቢያ + በ + cz = 0;

አውሮፕላኑ ከመጋጠሚያው ዘንግ ጋር ትይዩ ነው, ስያሜው በአውሮፕላኑ እኩልነት ውስጥ የማይገኝ ሲሆን, ስለዚህ, ተመጣጣኝ ቅንጅት ዜሮ ነው, ለምሳሌ በ c = 0, አውሮፕላኑ ከኦዝ ዘንግ ጋር ትይዩ ነው እና አይደለም. በቀመር መጥረቢያ + በ + d = 0 ውስጥ z ይይዛል;

አውሮፕላኑ ያንን አስተባባሪ ዘንግ ይዟል፣ ስያሜውም ይጎድላል፣ ስለዚህ ተጓዳኝ መጠኑ ዜሮ እና d = 0 ነው፣ ለምሳሌ በ c = d = 0፣ አውሮፕላኑ ከኦዝ ዘንግ ጋር ትይዩ ነው እና z ውስጥ የለውም። እኩልታው መጥረቢያ + በ = 0;

አውሮፕላኑ ከመጋጠሚያው አውሮፕላን ጋር ትይዩ ነው, ምልክቶቹ በአውሮፕላኑ እኩልነት ውስጥ የማይገኙ እና, ስለዚህ, ተጓዳኝ ቅንጅቶች ዜሮ ናቸው, ለምሳሌ, ለ b = c = 0, አውሮፕላኑ ከአስተባባሪ አውሮፕላን Oyz ጋር ትይዩ ነው. እና በቀመር መጥረቢያ + d = 0 ውስጥ y፣ z አልያዘም።

አውሮፕላኑ ከአስተባባሪ አውሮፕላን ጋር የሚጣጣም ከሆነ የእንደዚህ አይነት አውሮፕላን እኩልነት ከዜሮ ጋር እኩልነት ነው የመጋጠሚያ ዘንግ ከተሰጠው መጋጠሚያ አውሮፕላን ጋር, ለምሳሌ x = 0, የተሰጠው አውሮፕላን አስተባባሪ አውሮፕላን ነው. ኦይዝ

ተግባርየተለመደው ቬክተር የሚሰጠው በቀመር ነው።

የአውሮፕላኑን እኩልነት በተለመደው መልክ ያቅርቡ.

መፍትሄ

መደበኛ የቬክተር መጋጠሚያዎች

አ ; ለ; ሐ) ከዚያ የነጥቡን መጋጠሚያዎች M 0 (x 0; y 0; z 0) እና የመደበኛውን ቬክተር መጋጠሚያዎች a, b, c ወደ የአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልነት መተካት ይችላሉ.

መጥረቢያ + በ + cz + d = 0 (1)

ከማይታወቅ መ. ጋር እኩልታ እናገኛለን

መጥረቢያ 0 + በ 0 + cz 0 + d = 0

ከዚህ

d = -(ax 0 + በ 0 + cz 0 )

የአውሮፕላን እኩልታ (1) ከተተካ በኋላ መ

መጥረቢያ + በ + cz - (አክስ 0 + በ 0 + cz 0) = 0

በነጥብ M 0 (x 0; y 0; z 0) በኩል የሚያልፈውን የአውሮፕላኑን እኩልታ ወደ ዜሮ ካልሆኑ ቬክተር እናገኛለን (a; b; c)

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

ቅንፎችን እንክፈት።

መጥረቢያ - መጥረቢያ 0 + በ - በ 0 + cz - cz 0 = 0

መጥረቢያ + በ + cz - መጥረቢያ 0 - በ 0 - cz 0 = 0

እንጥቀስ

d = - መጥረቢያ 0 - በ 0 - cz 0

የአውሮፕላኑን አጠቃላይ እኩልነት እናገኛለን

መጥረቢያ + በ + cz + d = 0።

1.29 በሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ አውሮፕላን እና መነሻው እኩልነት

መጥረቢያ + በ + cz + d = 0።

አውሮፕላኑ በዚህ የስርዓተ-ፆታ ስርዓት አመጣጥ ውስጥ እንዲያልፍ የማስተባበር ስርዓቱን ማዘጋጀት ተገቢ ነው. በዚህ አውሮፕላን ውስጥ የተቀመጡ ነጥቦች M 1 (x 1; y 1; z 1) እና M 2 (x 2; y 2; z 2) መገለጽ አለባቸው, ስለዚህም እነዚህን ነጥቦች የሚያገናኘው ቀጥተኛ መስመር በመነሻው ውስጥ እንዳያልፍ.

አውሮፕላኑ በመነሻው በኩል ያልፋል, ስለዚህ d = 0. ከዚያም የአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልነት ቅጹን ይወስዳል

መጥረቢያ + በ + cz = 0።

3 የማይታወቁ አሃዞች አሉ a, b, c. የሁለት ነጥቦችን መጋጠሚያዎች በአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልነት መተካት የ 2 እኩልታዎች ስርዓት ይሰጣል። በአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልታ ውስጥ የተወሰነ መጠን ከወሰድን ፣ ከዚያ የ 2 እኩልታዎች ስርዓት 2 ያልታወቁ መለኪያዎችን ለመወሰን ያስችለናል።

የነጥብ መጋጠሚያዎች አንዱ ዜሮ ከሆነ ፣ከዚህ መጋጠሚያ ጋር የሚዛመደው ቅንጅት እንደ አንድ ይወሰዳል።

አንዳንድ ነጥብ ሁለት ዜሮ መጋጠሚያዎች ካሉት፣ ከእነዚህ ዜሮ መጋጠሚያዎች ውስጥ ከአንዱ ጋር የሚዛመደው ቅንጅት እንደ አንድ ይወሰዳል።

a = 1 ተቀባይነት ካገኘ የ 2 እኩልታዎች ስርዓት 2 ያልታወቁትን b እና c ለመወሰን ያስችለናል፡

አንዳንድ እኩልታዎችን በዚህ ቁጥር በማባዛት የእነዚህን እኩልታዎች ስርዓት መፍታት ቀላል ሲሆን ይህም ለአንዳንዶች ያልታወቀ ውህዶች እኩል ይሆናሉ። ከዚያ የእኩልታዎች ልዩነት ይህንን ያልታወቀን ለማስወገድ እና ሌላ ያልታወቀን ለመወሰን ያስችለናል. የተገኘውን ያልታወቀ ወደ ማንኛውም እኩልነት መተካት ሁለተኛው ያልታወቀን ለመወሰን ያስችልዎታል።

1.30 በሶስት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ አውሮፕላን እኩልታ

የአውሮፕላኑን አጠቃላይ እኩልነት (coefficients) እንወስን

መጥረቢያ + በ + cz + d = 0፣

ነጥቦቹን ማለፍ M 1 (x 1; y 1; z 1), M 2 (x 2; y 2 ; z 2) እና M 3 (x 3; y 3; z 3). ነጥቦች ሁለት ተመሳሳይ መጋጠሚያዎች ሊኖራቸው አይገባም.

4 ያልታወቁ አሃዞች a፣ b፣ c እና d አሉ። የሶስት ነጥቦችን መጋጠሚያዎች በአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልነት መተካት የ 3 እኩልታዎች ስርዓት ይሰጣል። በአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልነት ውስጥ የተወሰነ መጠን ይውሰዱ ፣ ከዚያ የ 3 እኩልታዎች ስርዓት 3 ያልታወቁ መለኪያዎችን እንዲወስኑ ያስችልዎታል። ብዙውን ጊዜ a = 1 ተቀባይነት አለው ፣ ከዚያ የ 3 እኩልታዎች ስርዓት 3 ያልታወቁ መጠኖችን b ፣ c እና d ለመወሰን ያስችለናል ።

የማይታወቁትን (የጋውስ ዘዴ) በማስወገድ የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት የተሻለ ነው. በስርዓቱ ውስጥ ያሉትን እኩልታዎች ማስተካከል ይችላሉ. ማንኛውም እኩልታ ከዜሮ ጋር እኩል ባልሆነ በማንኛውም ኮፊሸን ሊባዛ ወይም ሊከፋፈል ይችላል። ማንኛቸውም ሁለት እኩልታዎች ሊጨመሩ ይችላሉ እና የተገኘው እኩልታ በሁለቱም በተጨመሩት እኩልታዎች ምትክ ሊፃፍ ይችላል። ያልታወቁት ከፊት ለፊታቸው ዜሮ ኮፊሸን በማግኘት ከእኩልታዎቹ ይገለላሉ ። በአንድ እኩልታ፣ አብዛኛውን ጊዜ ዝቅተኛው፣ የሚወሰን አንድ ተለዋዋጭ ይቀራል። የተገኘው ተለዋዋጭ ከታች ወደ ሁለተኛው እኩልነት ተተክቷል, ይህም ብዙውን ጊዜ 2 የማይታወቁትን ይተዋል. እኩልታዎቹ ከታች ወደ ላይ ተፈትተዋል እና ሁሉም ያልታወቁ መጋጠሚያዎች ተወስነዋል.

ቅንጅቶች ከማያውቋቸው ፊት ለፊት ተቀምጠዋል፣ እና ከማያውቋቸው ነፃ የሆኑ ቃላቶች ወደ እኩልታዎቹ በቀኝ በኩል ይተላለፋሉ።

የላይኛው መስመር ብዙውን ጊዜ ከመጀመሪያው ወይም ከማንኛውንም የማይታወቅ በፊት 1 እኩልነት ያለው እኩልታ ይይዛል ወይም የመጀመሪያው እኩልታ ከመጀመሪያው የማይታወቅ በፊት በኮፊሸን ይከፋፈላል። በዚህ የእኩልታዎች ስርዓት ውስጥ የመጀመሪያውን እኩልታ በ y 1 ይከፋፍሉት

ከመጀመሪያው የማናውቀው በፊት 1 ኮፊሸን አግኝተናል፡-

ከሁለተኛው እኩልዮሽ የመጀመሪያ ተለዋዋጭ ፊት ለፊት ያለውን ቅንጅት እንደገና ለማስጀመር, የመጀመሪያውን እኩልታ በ -y 2 በማባዛት, ወደ ሁለተኛው እኩልታ ይጨምሩ እና በሁለተኛው እኩልታ ምትክ የተገኘውን እኩልታ ይፃፉ. በሁለተኛው እኩልታ ውስጥ የመጀመሪያው የማይታወቅ ይወገዳል ምክንያቱም

y 2 ለ - y 2 ለ = 0።

በተመሳሳይ፣ በሦስተኛው እኩልታ ውስጥ የመጀመሪያውን ያልታወቀን እናስወግዳለን፣ የመጀመሪያውን እኩልታ በ -y 3 በማባዛት፣ ወደ ሦስተኛው እኩልነት በማከል እና ከሦስተኛው እኩልታ ይልቅ የተገኘውን እኩልነት በመፃፍ። በሦስተኛው እኩልታ ውስጥ የመጀመሪያው የማይታወቅ እንዲሁ ይወገዳል ምክንያቱም

y 3 ለ - y 3 ለ = 0።

በተመሳሳይ, በሶስተኛው እኩልታ ውስጥ ሁለተኛውን የማይታወቅ እናስወግዳለን. ስርዓቱን ከታች ወደ ላይ እንፈታዋለን.

ተግባር

መጥረቢያ + በ + cz + d = 0፣

ነጥቦች M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) እና y ማለፍ.+ 0 ዝ + 0 = 0

x = 0

የተገለጸው አውሮፕላን አስተባባሪ አውሮፕላን Oyz ነው።

ተግባርየአውሮፕላኑን አጠቃላይ እኩልነት ይወስኑ

መጥረቢያ + በ + cz + d = 0፣

ነጥቦቹን M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) እና M 3 (0; 0; 1) ማለፍ. ከዚህ አውሮፕላን እስከ ነጥብ M 0 (10; -3; -7) ያለውን ርቀት ያግኙ.

መፍትሄ

የተሰጡትን ነጥቦች በኦክሲዝ አስተባባሪ ስርዓት ውስጥ እንገንባ።

እንቀበል ሀ= 1. የሶስት ነጥቦችን መጋጠሚያዎች በአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልነት መተካት የ 3 እኩልታዎች ስርዓት ይሰጣል.

ℓ =

ድረ-ገጾች፡ 1 2 ቬክተሮች በአውሮፕላኑ እና በህዋ ላይ (የቀጠለ)

ከ Andrey Georgievich Olshevsky ጋር ምክክር ስካይፕ ዳ.ኢርክ.ru

በሂሳብ ፣ በፊዚክስ ፣ በኮምፒተር ሳይንስ ፣ ብዙ ነጥቦችን ለማግኘት የሚፈልጉ ተማሪዎች እና ተማሪዎች (ክፍል ሐ) እና ለስቴት ፈተና (ጂአይኤ) እና ለተዋሃደ የስቴት ፈተና ደካማ ተማሪዎችን ማዘጋጀት ። የማስታወስ ችሎታን ፣ አስተሳሰብን እና የነገሮችን የእይታ አቀራረብን በማዳበር በአንድ ጊዜ መሻሻል። ለእያንዳንዱ ተማሪ ልዩ አቀራረብ. ለመግቢያ ጥቅማጥቅሞችን ለሚያቀርቡ የኦሎምፒያድ ዝግጅት። የ15 ዓመት ልምድ የተማሪዎችን ውጤት ማሻሻል።

ከፍተኛ ሂሳብ፣ አልጀብራ፣ ጂኦሜትሪ፣ ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ፣ የሂሳብ ስታቲስቲክስ፣ የመስመር ፕሮግራሚንግ።

የንድፈ ሃሳቡ ግልጽ ማብራሪያ, የግንዛቤ ክፍተቶችን መዝጋት, ችግሮችን ለመፍታት የማስተማር ዘዴዎች, የኮርስ ስራዎችን እና ዲፕሎማዎችን ሲጽፉ ማማከር.

አቪዬሽን፣ ሮኬት እና አውቶሞቢል ሞተሮች። ሃይፐርሶኒክ፣ ራምጄት፣ ሮኬት፣ pulse detonation፣ pulsating፣ ጋዝ ተርባይን፣ ፒስተን የውስጥ ማቃጠያ ሞተሮች - ቲዎሪ፣ ዲዛይን፣ ስሌት፣ ጥንካሬ፣ ዲዛይን፣ የማምረቻ ቴክኖሎጂ። ቴርሞዳይናሚክስ, ሙቀት ምህንድስና, ጋዝ ተለዋዋጭ, ሃይድሮሊክ.

አቪዬሽን፣ ኤሮሜካኒክስ፣ ኤሮዳይናሚክስ፣ የበረራ ተለዋዋጭነት፣ ቲዎሪ፣ ዲዛይን፣ ኤሮሃይድሮሜካኒክስ። Ultralight አውሮፕላኖች፣ ኤክራኖፕላኖች፣ አውሮፕላኖች፣ ሄሊኮፕተሮች፣ ሮኬቶች፣ የክሩዝ ሚሳኤሎች፣ ማንዣበብ፣ አውሮፕላኖች፣ ፕሮፐለርስ - ቲዎሪ፣ ዲዛይን፣ ስሌት፣ ጥንካሬ፣ ዲዛይን፣ የማምረቻ ቴክኖሎጂ።

ሀሳቦችን ማመንጨት እና መተግበር። የሳይንሳዊ ምርምር መሰረታዊ ነገሮች, የትውልድ ዘዴዎች, የሳይንሳዊ, የፈጠራ, የንግድ ሀሳቦች ትግበራ. ሳይንሳዊ ችግሮችን እና የፈጠራ ችግሮችን ለመፍታት የማስተማር ዘዴዎች. ሳይንሳዊ ፣ ፈጠራ ፣ ጽሑፍ ፣ የምህንድስና ፈጠራ። በጣም ዋጋ ያለው ሳይንሳዊ ፣ የፈጠራ ችግሮች እና ሀሳቦች መግለጫ ፣ ምርጫ ፣ መፍትሄ።

የፈጠራ ውጤቶች ህትመት. ሳይንሳዊ ጽሑፍን እንዴት እንደሚጽፉ እና እንደሚያትሙ, ለፈጠራ ማመልከት, መጻፍ, መጽሐፍ ማተም. የመጻፍ ፅንሰ-ሀሳብ ፣ የመመረቂያ ጽሑፎችን መከላከል። ከሀሳቦች እና ፈጠራዎች ገንዘብ ማግኘት። ፈጠራዎችን ለመፍጠር ማማከር, ለፈጠራዎች ማመልከቻዎችን መጻፍ, ሳይንሳዊ ጽሑፎች, ለፈጠራዎች ማመልከቻዎች, መጽሃፎች, ሞኖግራፎች, ጥናታዊ ጽሑፎች. ፈጠራዎች, ሳይንሳዊ መጣጥፎች, ሞኖግራፊዎች የጋራ ደራሲነት.

ቲዎሬቲካል ሜካኒክስ (teormekh), የቁሳቁሶች ጥንካሬ (የቁሳቁሶች ጥንካሬ), የማሽን ክፍሎች, የአሠራሮች እና ማሽኖች ንድፈ ሃሳብ (TMM), የሜካኒካል ኢንጂነሪንግ ቴክኖሎጂ, የቴክኒክ ዘርፎች.

የኤሌክትሪክ ምህንድስና (TOE), ኤሌክትሮኒክስ, የዲጂታል እና የአናሎግ ኤሌክትሮኒክስ መሰረታዊ ነገሮች የንድፈ ሃሳባዊ መሠረቶች.

የትንታኔ ጂኦሜትሪ ፣ ገላጭ ጂኦሜትሪ ፣ የምህንድስና ግራፊክስ ፣ ስዕል። የኮምፒውተር ግራፊክስ፣ ግራፊክስ ፕሮግራም፣ በAutoCAD፣ NanoCAD፣ photomontage ውስጥ ያሉ ሥዕሎች።

ሎጂክ፣ ግራፎች፣ ዛፎች፣ የተለየ ሂሳብ።

OpenOffice እና LibreOffice Basic፣ Visual Basic፣ VBA፣ NET፣ ASP.NET፣ማክሮስ፣ ቪቢስክሪፕት፣ መሰረታዊ፣ ሲ፣ ሲ++፣ ዴልፊ፣ ፓስካል፣ ዴልፊ፣ ፓስካል፣ ሲ#፣ ጃቫስክሪፕት፣ ፎርራን፣ ኤችቲኤምኤል፣ ማትካድ። ፕሮግራሞችን መፍጠር, ጨዋታዎች ለፒሲዎች, ላፕቶፖች, ተንቀሳቃሽ መሳሪያዎች. ነጻ የተዘጋጁ ፕሮግራሞችን, ክፍት ምንጭ ሞተሮችን መጠቀም.

መፍጠር, አቀማመጥ, ማስተዋወቅ, የድር ጣቢያዎች ፕሮግራሞች, የመስመር ላይ መደብሮች, በድር ጣቢያዎች ላይ ገንዘብ ማግኘት, የድር ዲዛይን.

የኮምፒውተር ሳይንስ፣ ፒሲ ተጠቃሚ፡ ጽሑፎች፣ ሠንጠረዦች፣ አቀራረቦች፣ በ2 ሰዓት ውስጥ የፍጥነት ትየባ ሥልጠና፣ የውሂብ ጎታዎች፣ 1C፣ Windows፣ Word፣ Excel፣ Access፣ Gimp፣ OpenOffice፣ AutoCAD፣ nanoCad፣ ኢንተርኔት፣ ኔትወርኮች፣ ኢሜል።

የማይንቀሳቀሱ ኮምፒተሮች እና ላፕቶፖች መትከል እና መጠገን።

የቪዲዮ ጦማሪ፣ መፍጠር፣ ማረም፣ ቪዲዮዎችን መለጠፍ፣ ቪዲዮ ማረም፣ ከቪዲዮ ብሎጎች ገንዘብ ማግኘት።

ምርጫ, ግቦችን ማሳካት, እቅድ ማውጣት.

በኢንተርኔት ገንዘብ በማግኘት ላይ ስልጠና: ጦማሪ, ቪዲዮ ጦማሪ, ፕሮግራሞች, ድር ጣቢያዎች, የመስመር ላይ መደብር, ጽሑፎች, መጻሕፍት, ወዘተ.

የጣቢያው እድገትን መደገፍ ይችላሉ, ለ Andrey Georgievich Olshevsky የማማከር አገልግሎት ይክፈሉ

10.15.17 ኦልሼቭስኪ አንድሬ ጆርጂቪችኢሜል፡-[ኢሜል የተጠበቀ]

የቬክተር አልጀብራ

ፍቺ፡

ቬክተር በአውሮፕላን ውስጥ ወይም በጠፈር ውስጥ የሚመራ ክፍል ነው።

ባህሪያት፡-

1) የቬክተር ርዝመት

ፍቺ፡

ሁለት ቬክተሮች በትይዩ መስመሮች ላይ ከተኙ ኮሊንየር ይባላሉ.

ፍቺ፡

አቅጣጫቸው የሚገጣጠም ከሆነ ሁለት ኮሊኔር ቬክተሮች ኮዲሬክሽናል ይባላሉ ( ) አለበለዚያ እነሱ በተቃራኒ አቅጣጫ ይባላሉ (↓ ).

ፍቺ፡

ሁለት ቬክተሮች የጋራ አቅጣጫ ከሆኑ እና ተመሳሳይ ርዝመት ካላቸው እኩል ናቸው.

ለምሳሌ,

ተግባራት፡-

1. ቬክተርን በቁጥር ማባዛት።

ከሆነ
፣ ያ

↓ከሆነ < 0

የዜሮ ቬክተር አቅጣጫ የዘፈቀደ ነው።

በቁጥር የማባዛት ባህሪያት

2. የቬክተር መጨመር

ትይዩአሎግራም ደንብ፡-

የመደመር ባህሪዎች

- እንዲህ ያሉት ቬክተሮች እርስ በርሳቸው ተቃራኒ ይባላሉ. ያንን ማየት ቀላል ነው።

የጋራ ንብረቶች;

ስለ ትርጉም፡-

በሁለቱ ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል እነዚህ ቬክተሮች ከአንድ ነጥብ ላይ ከተነደፉ የተገኘው አንግል ነው 0   

3. የቬክተሮች የነጥብ ምርት.

፣ የት - በቬክተሮች መካከል አንግል

የቬክተሮች scalar ምርት ባህሪያት:

1) (እኩልነቶች የሚከናወኑት በተቃራኒው አቅጣጫ እና የቬክተሮች የጋራ አቅጣጫ ሲሆን)

ከሆነ
, ከዚያም የምርቱ ምልክት አዎንታዊ ነው,ከሆነ ↓ አሉታዊ ነው።

)

6) ማለትም
, ወይም ማንኛውም ቬክተር ዜሮ ነው

የቬክተሮች አተገባበር

ኤምኤን - መካከለኛ መስመር

ያንን አረጋግጡ

ማረጋገጫ፡-

, ከሁለቱም በኩል ቬክተሩን ይቀንሱ
:

የ rhombus ዲያግራኖች ቀጥ ያሉ መሆናቸውን ያረጋግጡ

ማረጋገጫ፡-

አግኝ፡

መፍትሄ፡-

የቬክተሮች መበስበስ ወደ መሰረቶች.

ፍቺ፡

የቬክተሮች መስመራዊ ጥምረት (ኤልሲቪ) የቅጹ ድምር ነው።

(LKV)

የት 1 ,  2 , …  ኤስ - የዘፈቀደ የቁጥሮች ስብስብ

ፍቺ፡

አንድ LCI ሁሉም ነገር ቀላል አይደለም ይባላል እኔ = 0, ያለበለዚያ እሱ ያልሆነ ተብሎ ይጠራል.

ውጤት፡

ቀላል ያልሆነ LCV ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ ቅንጅት አለው። ለ  0

ፍቺ፡

የቬክተር ስርዓት
ቀጥተኛ ገለልተኛ (LNI) ተብሎ ይጠራል ፣ከሆነ() = 0  ሁሉም እኔ  0,

ማለትም የእሱ ተራ LC ብቻ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።

ውጤት፡

የመስመር ላይ ገለልተኛ ቬክተሮች ቀላል ያልሆነ LC ዜሮ አይደለም።

ምሳሌዎች፡-

1)
- LNZ

2) ፍቀድ እና በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ ተኛ ፣ ከዚያ
- LNZ ፣ ኮሊነር ያልሆነ

3) እናድርግ፣ የአንድ አውሮፕላን አባል አይደሉም ፣ ከዚያ የ LNZ vectors ስርዓት ይመሰርታሉ

ቲዎሪ፡

የቬክተሮች ስርዓት በቀጥታ ነፃ ከሆነ ፣ከመካከላቸው ቢያንስ አንዱ የሌሎቹ ቀጥተኛ ጥምረት ነው።

ማረጋገጫ፡-

 ፍቀድ () = 0 እና ሁሉም አይደሉም አይ ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው. አጠቃላይነት ሳይጠፋ፣ እናድርግ ኤስ  0. ከዚያም
, እና ይህ ቀጥተኛ ጥምረት ነው.

 ፍቀድ

ከዚያ, ማለትም, LZ.

ቲዎሪ፡

በአውሮፕላኑ ላይ ያሉ 3 ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው።

ማረጋገጫ፡-

ቬክተሮች ይሰጡ
ሊሆኑ የሚችሉ ጉዳዮች፡-

1)


2) ኮሊነር ያልሆነ

በሚከተሉት እና እንግለጸው፡-
፣ የት
- ቀላል ያልሆነ LC.

ቲዎሪ፡

ፍቀድ
- LZ

ከዚያ ማንኛውም "ሰፊ" ስርዓት LZ ነው

ማረጋገጫ፡-

ጀምሮ - LZ, ከዚያም ቢያንስ አንድ አለ እኔ  0፣ እና () = 0

ከዚያ እና () = 0

ፍቺ፡

ማንኛውም ሌላ ቬክተር ወደ እሱ ሲጨመር በቀጥታ መስመር ላይ የሚመረኮዝ ከሆነ የመስመራዊ ገለልተኛ ቬክተር ስርዓት ከፍተኛ ይባላል።

ፍቺ፡

የቦታ ስፋት (አይሮፕላን) ከፍተኛው የመስመር ገለልተኛ የቬክተር ስርዓት ውስጥ ያሉት የቬክተሮች ብዛት ነው።

ፍቺ፡

መሰረቱ ማንኛውም የታዘዘ ከፍተኛ የመስመር ላይ ገለልተኛ የቬክተር ስርዓት ነው።

ፍቺ፡

በእሱ ውስጥ የተካተቱት ቬክተሮች ከአንድ እኩል ርዝመት ካላቸው አንድ መሠረት መደበኛ ይባላል.

ፍቺ፡

መሠረት ሁሉም ንጥረ ነገሮች (ቬክተሮች) እርስ በእርሳቸው ቀጥ ያሉ ከሆኑ ኦርቶጎናል ይባላል።

ቲዎሪ፡

የኦርቶጎን ቬክተሮች ስርዓት ሁል ጊዜ በመስመር ላይ ገለልተኛ ነው (ዜሮ ቬክተሮች ከሌሉ)።

ማረጋገጫ፡-

የኦርቶጎን ቬክተሮች (ዜሮ ያልሆኑ) ስርዓት ይሁኑ, ማለትም
. እንበል፣ ይህንን LC በቬክተር በከፍተኛ ሁኔታ እናባዛዋለን :

የመጀመሪያው ቅንፍ ዜሮ ያልሆነ (የቬክተር ርዝመት ካሬ) ነው, እና ሁሉም ሌሎች ቅንፎች በሁኔታ ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው. ከዚያም 1 = 0. በተመሳሳይ ለ 2 …  ኤስ

ቲዎሪ፡

M = - መሠረት. ከዚያ ማንኛውንም ቬክተር በቅጹ መወከል እንችላለን፡-

ኮፊፊሴፍቶች የት አሉ 2 …  ኤስ በልዩ ሁኔታ ተወስነዋል (እነዚህ ከመሠረቱ M አንጻር የቬክተር መጋጠሚያዎች ናቸው).

ማረጋገጫ፡-

1)
=
LZ (በመሠረቱ ሁኔታ መሠረት)

ከዚያ - ቀላል ያልሆነ

ሀ) 0 = 0 ይህም የማይቻል ነው, ምክንያቱም M - LZ

ለ) 0  0

መከፋፈል 0

እነዚያ። የግል መለያ አለ።

2) በተቃርኖ እናረጋግጥ። ሌላ የቬክተር ውክልና ይሁን (ማለትም. ቢያንስ አንድ ጥንድ
). ቀመሮቹን እርስ በርስ እንቀንስ፡-

- LC ቀላል አይደለም.

ግን እንደ ሁኔታው - መሠረት ተቃርኖ, ማለትም, መበስበስ ልዩ ነው.

ማጠቃለያ፡-

እያንዳንዱ መሠረት M ከመሠረት M አንጻር በቬክተሮች እና በአስተባባሪዎቻቸው መካከል የአንድ ለአንድ ደብዳቤን ይወስናል።

ስያሜዎች፡-

M = - የዘፈቀደ ቬክተር

ከዚያም

የሊኒየር ጥምር ቅንጅቶች ልዩነት ልክ እንደ ቀድሞው ቁርኝት በተመሳሳይ መንገድ ተረጋግጧል።

ውጤት፡ማንኛቸውም አራት ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው።

ምዕራፍ 4. የመሠረት ጽንሰ-ሐሳብ. በተወሰነ መሠረት ውስጥ የቬክተር ባህሪያት

ፍቺ፡በጠፈር ላይ መሰረት ማንኛውም የታዘዘ ሶስት እጥፍ ከኮፕላላር ያልሆኑ ቬክተሮች ነው።

ፍቺ፡በአውሮፕላኑ ላይ የተመሠረተ ማንኛውም የታዘዙ ጥንድ ያልሆኑ ኮላላይን ቬክተር ነው።

በጠፈር ላይ ያለ መሠረት እያንዳንዱ ቬክተር በልዩ ሁኔታ ከተታዘዙ የሶስትዮሽ ቁጥሮች ጋር እንዲቆራኝ ያስችለዋል - ይህንን ቬክተር በመሠረታዊ ቬክተሮች መስመራዊ ጥምረት መልክ የሚወክሉ ውህዶች። በተቃራኒው አንድን ቬክተር ከእያንዳንዱ የታዘዙ የሶስትዮሽ ቁጥሮች ጋር እናያይዛለን።

ቁጥሮች ተጠርተዋል አካላት (ወይም መጋጠሚያዎች ) ቬክተር በተሰጠው መሠረት (የተጻፈ).

ቲዎሪ፡ሁለት ቬክተሮች ሲጨመሩ, መጋጠሚያዎቻቸው ይታከላሉ. አንድ ቬክተር በቁጥር ሲባዛ ሁሉም የቬክተሩ መጋጠሚያዎች በዚያ ቁጥር ይባዛሉ።

በእርግጥ, ከሆነ ፣ ያ

በአውሮፕላን ላይ የቬክተር መጋጠሚያዎች ፍቺ እና ባህሪያት ተመሳሳይ ናቸው. በቀላሉ እራስዎ ማዘጋጀት ይችላሉ.

ምዕራፍ 5. የቬክተር ትንበያ

ስር በቬክተሮች መካከል አንግል ከመረጃ ጋር እኩል የሆነ እና የጋራ መነሻ ያለው በቬክተር መካከል ያለውን አንግል ያመለክታል። የማዕዘን ማመሳከሪያው አቅጣጫ ካልተገለጸ, በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ከ π የማይበልጥ አንግል ተደርጎ ይቆጠራል. ከቬክተሮች አንዱ ዜሮ ከሆነ, አንግል ከዜሮ ጋር እኩል እንደሆነ ይቆጠራል. በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ቀጥ ያለ ከሆነ, ቬክተሮች ተጠርተዋል orthogonal .

ፍቺ፡Orthogonal ትንበያ ቬክተር ወደ ቬክተር አቅጣጫ ስካላር መጠን ይባላል , φ - በቬክተሮች መካከል አንግል (ምስል 9).

የዚህ ስክላር መጠን ሞጁል ከክፍሉ ርዝመት ጋር እኩል ነው ኦ.ኤ. 0 .

አንግል φ አጣዳፊ ከሆነ ትንበያው አዎንታዊ ነው ፣ አንግል φ obtuse ከሆነ ፣ ትንበያው አሉታዊ ነው ፣ አንግል φ ቀጥተኛ ከሆነ ፣ ትንበያው ዜሮ ነው።

በኦርቶጎን ትንበያ, በክፍሎቹ መካከል ያለው አንግል ኦ.ኤ. 0 እና አ.አ. 0 ቀጥታ። ይህ አንግል ከትክክለኛው አንግል የሚለይባቸው ትንበያዎች አሉ።

የቬክተሮች ትንበያዎች የሚከተሉት ባህሪያት አሏቸው.

መሰረቱ ይባላል orthogonal , የእሱ ቬክተሮች ጥንድ ኦርቶጎን ከሆኑ.

ኦርቶጎን መሠረት ይባላል ኦርቶዶክሳዊ , የእሱ ቬክተሮች ከአንድ ርዝመት ጋር እኩል ከሆኑ. በጠፈር ውስጥ ለኦርቶዶክሳዊ መሠረት ፣ ማስታወሻው ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል።

ቲዎሪ፡በኦርቶዶክሳዊ መሠረት, የቬክተሮች መጋጠሚያዎች የዚህ ቬክተር ወደ አስተባባሪ ቬክተሮች አቅጣጫዎች የሚዛመዱ ተጓዳኝ ኦርቶጎን ትንበያዎች ናቸው.

ለምሳሌ:የንጥል ርዝመት ያለው ቬክተር በአውሮፕላኑ ላይ ካለው የኦርቶዶክስ መሠረት ቬክተር ጋር አንግል φ ይፍጠር፣ ከዚያ .

ለምሳሌ:የንጥል ርዝመት ያለው ቬክተር ማዕዘኖችን α ፣ β ፣ γ ከቬክተሮች ጋር እና በቦታ ውስጥ በቅደም ተከተል (ምሥል 11) ውስጥ ኦርቶማላዊ መሠረት ይፍጠር። ከዚህም በላይ. መጠኖች cosα ፣ cosβ ፣ cosγ የቬክተር አቅጣጫ ኮሳይኖች ይባላሉ

ምዕራፍ 6. የነጥብ ምርት

ፍቺ፡የሁለት ቬክተሮች ስካላር ምርት የእነዚህ ቬክተሮች ርዝመት እና በመካከላቸው ካለው አንግል ኮሳይን ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ነው። ከቬክተሮች አንዱ ዜሮ ከሆነ, ስካላር ምርቱ ከዜሮ ጋር እኩል እንደሆነ ይቆጠራል.

የቬክተሮች scalar ምርት እና በ [ወይም; ወይም] φ በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ከሆነ እና , ከዚያ .

የ scalar ምርት የሚከተሉትን ባሕርያት አሉት:

ቲዎሪ፡በኦርቶዶክሳዊ መሠረት የማንኛውም ቬክተር አካላት በቀመሮቹ መሠረት ይገኛሉ፡-

በእርግጥ፣ እናድርግ፣ እና እያንዳንዱ ቃል ከተዛማጅ መሰረት ቬክተር ጋር ይጋጫል። ከሁለተኛው ክፍል ጽንሰ-ሐሳብ እንደሚከተለው ነው , የመደመር ወይም የመቀነስ ምልክት የሚመረጠው በቬክተሮች ላይ በመመስረት ነው, እና በተመሳሳይ ወይም በተቃራኒ አቅጣጫዎች ይመራሉ. ነገር ግን፣ φ በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ሲሆን እና . ስለዚህ፣ . የተቀሩት ክፍሎች በተመሳሳይ መንገድ ይሰላሉ.

ስካላር ምርቱ የሚከተሉትን መሰረታዊ ችግሮችን ለመፍታት ያገለግላል።

1. ; 2. ; 3. .

ቬክተሮች በተወሰነ መሠረት ይሰጡ እና ከዚያ የመለኪያ ምርቱን ባህሪያት በመጠቀም እኛ መጻፍ እንችላለን-

መጠኖቹ የአንድ የተወሰነ መሠረት ሜትሪክ ኮፊሸን ይባላሉ። ስለዚህ .

ቲዎሪ፡በኦርቶዶክሳዊ መሠረት

;
;
;
.

አስተያየት፡-በዚህ ክፍል ውስጥ ያሉት ሁሉም ክርክሮች የተሰጡት በጠፈር ውስጥ የቬክተሮች መገኛ ቦታ ጉዳይ ነው. በአውሮፕላን ውስጥ የሚገኙትን የቬክተሮች ጉዳይ የሚገኘው አላስፈላጊ ክፍሎችን በማስወገድ ነው. ደራሲው ይህንን እራስዎ እንዲያደርጉ ይጠቁማል.

ምዕራፍ 7. የቬክተር ምርት

የታዘዘ ሶስት እጥፍ ከኮፕላላር ያልሆኑ ቬክተሮች ይባላል ቀኝ-ተኮር (ቀኝ ), ከሦስተኛው ቬክተር መጨረሻ ወደ የጋራ አመጣጥ ከተተገበረ በኋላ ከመጀመሪያው ቬክተር ወደ ሁለተኛው በጣም አጭር መዞር በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ ይታያል. ያለበለዚያ ፣የኮፕላላር ያልሆኑ ቬክተሮች የታዘዘ ሶስት እጥፍ ይባላል ግራ-ተኮር (ግራ ).

ፍቺ፡የቬክተር እና የቬክተር ተሻጋሪ ውጤት ሁኔታዎችን የሚያረካ ቬክተር ነው፡-