ቤት » የተመጣጠነ ምግብ » የፓይታጎሪያን ቲዎሪ ቀመር. የፓይታጎሪያን ቲዎረም-ዳራ ፣ ማስረጃ ፣ የተግባር አተገባበር ምሳሌዎች

የፓይታጎሪያን ቲዎሪ ቀመር. የፓይታጎሪያን ቲዎረም-ዳራ ፣ ማስረጃ ፣ የተግባር አተገባበር ምሳሌዎች

መመሪያ

በፓይታጎሪያን ቲዎሪ መሰረት ማስላት ካስፈለገዎት የሚከተለውን ስልተ-ቀመር ይጠቀሙ: - በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ የትኞቹ ጎኖች እግሮች እንደሆኑ እና የትኞቹ ደግሞ hypotenuse እንደሆኑ ይወስኑ. ዘጠና ዲግሪዎች አንግል የሚፈጥሩት ሁለቱ ጎኖች እግሮች ናቸው ፣ የተቀረው ሦስተኛው ደግሞ hypotenuse ነው። (ሴሜ) - የዚህን ትሪያንግል እያንዳንዱ እግር ወደ ሁለተኛው ኃይል ያሳድጉ, ማለትም, በእራስዎ ይባዛሉ. ምሳሌ 1. በሶስት ማዕዘን ውስጥ አንድ እግር 12 ሴ.ሜ እና ሌላኛው 5 ሴ.ሜ ከሆነ hypotenuseን ማስላት አስፈላጊ ነው በመጀመሪያ ደረጃ የእግሮቹ ካሬዎች 12 * 12 = 144 ሴ.ሜ እና 5 * 5 = 25 ሴ.ሜ ናቸው. - በመቀጠል የካሬዎቹን እግሮች ድምር ይወስኑ. የተወሰነ ቁጥር ነው። hypotenuse, ለማግኘት የቁጥሩን ሁለተኛ ኃይል ማስወገድ ያስፈልግዎታል ርዝመትየሶስት ማዕዘን ጎን. ይህንን ለማድረግ ከካሬ ሥር ስር የእግሮቹን ካሬዎች ድምር ዋጋ ያውጡ. ምሳሌ 1. 144+25=169. የ 169 ካሬ ሥር 13 ይሆናል ስለዚህ, የዚህ ርዝመት hypotenuseከ 13 ሴ.ሜ ጋር እኩል ነው.

ርዝመቱን ለማስላት ሌላኛው መንገድ hypotenuseበሳይን ቃላቶች እና ማዕዘኖች በሶስት ማዕዘን ውስጥ ይገኛሉ። በትርጉም-የተቃራኒው እግር አንግል አልፋ ወደ hypotenuse። ማለትም ፣ ስዕሉን በመመልከት ፣ ኃጢአት ሀ \u003d CB / AB። ስለዚህ, hypotenuse AB \u003d CB / sin ሀ ምሳሌ 2. አንግል 30 ዲግሪ ይሁን, እና ተቃራኒው እግር - 4 ሴ.ሜ. ሃይፖታነስ ማግኘት ያስፈልግዎታል. መፍትሄ: AB \u003d 4 ሴሜ / ኃጢአት 30 \u003d 4 ሴሜ / 0.5 \u003d 8 ሴሜ. መልስ: ርዝመት hypotenuseከ 8 ሴ.ሜ ጋር እኩል ነው.

ለማግኘት ተመሳሳይ መንገድ hypotenuseከማዕዘን ኮሳይን ፍቺ. የማዕዘን ኮሳይን ከእሱ አጠገብ ያለው እግር ጥምርታ እና hypotenuse. ማለትም ፣ cos a \u003d AC / AB ፣ ስለሆነም AB \u003d AC / cos a. ምሳሌ 3. በሦስት ማዕዘኑ ABC ውስጥ AB hypotenuse ነው, አንግል BAC 60 ዲግሪ, እግር AC 2 ሴንቲ ሜትር ነው AB ፈልግ.
መፍትሄ: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2/0.5 \u003d 4 ሴ.ሜ. መልስ-hypotenuse 4 ሴ.ሜ ርዝመት አለው.

ጠቃሚ ምክር

የማዕዘን ሳይን ወይም ኮሳይን ዋጋ በሚፈልጉበት ጊዜ የሳይንስ እና ኮሳይን ሠንጠረዥ ወይም የብራዲስ ጠረጴዛን ይጠቀሙ።

ጠቃሚ ምክር 2: በትክክለኛው ትሪያንግል ውስጥ የ hypotenuse ርዝመት እንዴት እንደሚገኝ

hypotenuse በትክክለኛው ትሪያንግል ውስጥ ከጎኖቹ ውስጥ ረጅሙ ተብሎ ይጠራል, ስለዚህ ይህ ቃል ከግሪክ "የተዘረጋ" ተብሎ መተረጎሙ ምንም አያስደንቅም. ይህ ጎን ሁል ጊዜ ከ 90 ° አንግል በተቃራኒ ይተኛል ፣ እና ይህንን አንግል የሚፈጥሩት ጎኖች እግሮች ይባላሉ። የእነዚህን ጎኖች ርዝማኔ እና የከፍተኛ ማዕዘኖችን መጠን ማወቅ በተለያዩ የእነዚህ እሴቶች ውህዶች ውስጥ አንድ ሰው የ hypotenuseን ርዝመት ማስላት ይችላል።

መመሪያ

የሁለቱም ትሪያንግሎች (A እና B) ርዝማኔዎች የሚታወቁ ከሆነ, የ hypotenuse (C) ርዝማኔዎችን ይጠቀሙ, ምናልባትም በጣም የታወቀው የሂሳብ ፖስታ - የፓይታጎሪያን ቲዎሪ. የ hypotenuse ርዝማኔ ካሬው የእግሮቹ ርዝማኔ ካሬዎች ድምር ነው ይላል, ከዚህ ውስጥ የሁለቱም ጎኖች ስኩዌር ርዝመቶች ድምር ሥሩን ማስላት አለብዎት-C \u003d √ (A² + B²)። ለምሳሌ ፣ የአንድ እግሩ ርዝመት 15 ፣ እና - 10 ሴንቲሜትር ከሆነ ፣ የ hypotenuse ርዝመት በግምት 18.0277564 ሴንቲሜትር ይሆናል ፣ ከ √ (15² + 10²) \u003d √ (225 + 100) \u003d .

በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ የአንድ እግሮች (A) ርዝመት ብቻ የሚታወቅ ከሆነ ፣ እንዲሁም ከሱ ተቃራኒው (α) ያለው ዋጋ የሚታወቅ ከሆነ ፣ የ hypotenuse (C) ርዝመት ከትሪግኖሜትሪክ አንዱን በመጠቀም ሊከናወን ይችላል። ተግባራት - ሳይን. ይህንን ለማድረግ የሚታወቀውን የጎን ርዝመት በሚታወቀው አንግል በሳይንስ ይከፋፍሉት: C = A / sin (α). ለምሳሌ ፣ የአንዱ እግሮች ርዝመት 15 ሴ.ሜ ከሆነ ፣ እና የሶስት ማዕዘኑ ተቃራኒው ጫፍ 30 ° ከሆነ ፣ ከዚያ hypotenuse ርዝመት 30 ሴንቲሜትር ይሆናል ፣ ከ 15 / ኃጢአት (30 °) \u003d \u003d 15/0.5 \u003d 30.

በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ የአንዱ አጣዳፊ ማዕዘኖች (α) እና ከሱ አጠገብ ያለው እግር ርዝመት (ለ) የሚታወቅ ከሆነ ፣ ሌላ ትሪግኖሜትሪክ ተግባር ፣ ኮሳይን ፣ የ hypotenuseን ርዝመት ለማስላት ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል። ሐ) የሚታወቀውን እግር ርዝመት በሚታወቀው አንግል ኮሳይን መከፋፈል አለብህ: С=В/ cos (α). ለምሳሌ ፣ የዚህ እግር ርዝመት 15 ሴንቲሜትር ከሆነ እና ከእሱ አጠገብ ያለው አጣዳፊ አንግል ዋጋ 30 ° ከሆነ ፣ የ hypotenuse ርዝመት በግምት 17.3205081 ሴንቲሜትር ይሆናል ፣ ከ 15 / cos (30 °) \u003d 15 ጀምሮ። / (0.5 * √3)=30/√3≈17.3205081.

ርዝመቱ በአንድ መስመር ክፍል ላይ በሁለት ነጥቦች መካከል ያለው ርቀት ነው. ቀጥ ያለ, የተሰበረ ወይም የተዘጋ መስመር ሊሆን ይችላል. የክፍሉን አንዳንድ ሌሎች አመልካቾች ካወቁ ርዝመቱን ቀላል በሆነ መንገድ ማስላት ይችላሉ።

መመሪያ

የካሬውን ጎን ርዝመት ማግኘት ከፈለጉ ፣ ከዚያ ይህ አይሆንም ፣ አካባቢውን ኤስ ካወቁ የካሬው ሁሉም ጎኖች በመኖራቸው ምክንያት ይህ አይሆንም ።

የፓይታጎሪያን ቲዎረም በጣም አስፈላጊው የጂኦሜትሪ መግለጫ ነው። ጽንሰ-ሐሳቡ እንደሚከተለው ተዘጋጅቷል-በቀኝ ትሪያንግል hypotenuse ላይ የተገነባው የካሬው ስፋት በእግሮቹ ላይ ከተገነቡት ካሬዎች ድምር ጋር እኩል ነው።

ብዙውን ጊዜ የዚህ መግለጫ ግኝት ለጥንታዊው የግሪክ ፈላስፋ እና የሂሳብ ሊቅ ፓይታጎረስ (VI ክፍለ ዘመን ዓክልበ.) ነው። ይሁን እንጂ የባቢሎናውያን የኪዩኒፎርም ጽላቶችና የጥንት ቻይናውያን የእጅ ጽሑፎች (የቆዩ የእጅ ጽሑፎች ቅጂዎች) ላይ የተደረገ ጥናት እንደሚያሳየው ይህ አባባል ከፓይታጎረስ ከረጅም ጊዜ በፊት ምናልባትም ከእሱ በፊት ከአንድ ሺህ ዓመት በፊት ይታወቅ ነበር. የፓይታጎረስ ጠቀሜታ የዚህን ንድፈ ሃሳብ ማረጋገጫ ማግኘቱ ነው።

ምናልባት, በፓይታጎሪያን ቲዎሪ ውስጥ የተገለፀው እውነታ ለመጀመሪያ ጊዜ የተቋቋመው ለ isosceles ቀኝ ትሪያንግሎች ነው. በለስ ላይ የሚታየውን የጥቁር እና የብርሃን ትሪያንግል ሞዛይክ መመልከት በቂ ነው። 1 የሶስት ማዕዘን ቲዎረም ትክክለኛነት ለማረጋገጥ: በ hypotenuse ላይ የተገነባው ካሬ 4 ትሪያንግሎች ይዟል, እና በእያንዳንዱ እግር ላይ 2 ትሪያንግሎች ያለው ካሬ ይገነባል. በጥንቷ ሕንድ ውስጥ ያለውን አጠቃላይ ሁኔታ ለማረጋገጥ ሁለት ዘዴዎች ነበሯቸው-አራት የቀኝ ማዕዘን ሦስት ማዕዘኖች ርዝመቶች ያሉት እና በጎን በኩል ባለው ካሬ (ምስል 2, a እና 2, b) ተመስለዋል, ከዚያ በኋላ አንድ ቃል ጻፉ. "ተመልከት!" በእርግጥም እነዚህን አኃዞች ስንመለከት በግራ በኩል ከሦስት ማዕዘናት ነፃ የሆነ ሥዕል እንዳለ እናያለን ፣ ሁለት ካሬዎች ከጎኖች ጋር እና በቅደም ተከተል ፣ አካባቢው እኩል ነው ፣ እና በቀኝ በኩል - ከጎን ጋር አንድ ካሬ - አካባቢው ነው። እኩል ነው። ስለዚህ,, ይህም የፓይታጎሪያን ቲዎረም መግለጫ ነው.

ነገር ግን፣ ለሁለት ሺህ ዓመታት፣ ጥቅም ላይ የዋለው ይህ የእይታ ማስረጃ ሳይሆን፣ በዩክሊድ የፈለሰፈው የበለጠ ውስብስብ ማስረጃ ነው፣ እሱም በታዋቂው መጽሃፉ “መጀመሪያ” (ኢዩክሊድ እና “መጀመሪያ” የሚለውን ይመልከቱ)። ዩክሊድ ቁመቱን ከ የቀኝ አንግል ጫፍ ወደ hypotenuse እና ቀጣይነቱ በ hypotenuse ላይ የተገነባውን ካሬ በሁለት አራት ማዕዘኖች ይከፍላል ፣ ቦታዎቹ በእግሮቹ ላይ ከተሠሩት ተጓዳኝ ካሬዎች አከባቢዎች ጋር እኩል ናቸው (ምስል 3) ። ለዚህ ቲዎሬም ማረጋገጫ ጥቅም ላይ የዋለው ሥዕል በቀልድ መልክ "የፒታጎሪያን ሱሪዎች" ተብሎ ይጠራል. ለረጅም ጊዜ እሱ የሂሳብ ሳይንስ ምልክቶች አንዱ ተደርጎ ይቆጠር ነበር።

ዛሬ, በርካታ ደርዘን የተለያዩ የፓይታጎሪያን ቲዎሬም ማረጋገጫዎች ይታወቃሉ. አንዳንዶቹ በካሬዎች ክፍፍል ላይ የተመሰረቱ ናቸው, በ hypotenuse ላይ የተገነባው ካሬ በእግሮቹ ላይ በተገነቡት የካሬዎች ክፍልፋዮች ውስጥ የተካተቱትን ክፍሎች ያካተተ ነው; ሌሎች - ወደ እኩል አሃዞች ማሟያ ላይ; ሦስተኛው - ቁመቱ ከትክክለኛው አንግል ጫፍ ወደ hypotenuse ዝቅ ብሎ የቀኝ ትሪያንግል ወደ ሁለት ትሪያንግሎች ይከፍላል ።

የፓይታጎሪያን ቲዎረም በአብዛኛዎቹ የጂኦሜትሪክ ስሌቶች ላይ የተመሠረተ ነው። በጥንቷ ባቢሎን እንኳን የኢሶስሴል ትሪያንግል ቁመትን ከመሠረቱ እና ከጎን ርዝመቶች ፣ የክፋዩ ቀስት በክበቡ ዲያሜትር እና በኮርድ ርዝመት ለማስላት እና ግንኙነቱን ለመመስረት ያገለግል ነበር ። በአንዳንድ መደበኛ ፖሊጎኖች አካላት መካከል። በፓይታጎሪያን ቲዎረም እገዛ አጠቃላይ አጠቃላዩ የተረጋገጠ ሲሆን ይህም የጎን ርዝመት ከአጣዳፊ ወይም ከድብቅ አንግል ተቃራኒው ላይ ያለውን ርዝመት ለማስላት ያስችላል።

ከዚህ አጠቃላይ ሁኔታ ውስጥ ቀጥ ያለ ማዕዘን መኖሩ በቂ ብቻ ሳይሆን ለእኩልነት መሟላት አስፈላጊ ነው. ቀመር (1) ግንኙነቱን ያመለክታል ከጎኖቹ ርዝመቶች የሶስት ማዕዘን መካከለኛ ርዝመት ለማግኘት ቀላል በሆነው በትይዩ ዲያግራኖች እና በጎን በኩል ባሉት ርዝመቶች መካከል።

በፓይታጎሪያን ቲዎሬም ላይ በመመስረት የማንኛውም ትሪያንግል ስፋት ከጎኖቹ ርዝመት አንፃር የሚገልጽ ቀመርም ተገኝቷል (የሄሮን ቀመር ይመልከቱ)። እርግጥ ነው, የፓይታጎሪያን ቲዎረም የተለያዩ ተግባራዊ ችግሮችን ለመፍታትም ጥቅም ላይ ውሏል.

በቀኝ ትሪያንግል ጎኖች ላይ ካሉት አራት ማዕዘኖች ይልቅ እርስ በርስ የሚመሳሰሉ ቅርጾችን (ተመጣጣኝ ሶስት ማዕዘን, ሴሚካሎች, ወዘተ) መገንባት ይችላሉ. በዚህ ሁኔታ, በ hypotenuse ላይ የተገነባው የምስሉ ስፋት በእግሮቹ ላይ ከተገነቡት የምስሎች አከባቢዎች ድምር ጋር እኩል ነው. ሌላው አጠቃላይ ሁኔታ ከአውሮፕላን ወደ ጠፈር ሽግግር ጋር የተያያዘ ነው. እንደሚከተለው ተዘጋጅቷል-የአራት ማዕዘን ትይዩ የዲያግኖል ርዝመት ካሬው ከስፋቱ (ርዝመት, ስፋት እና ቁመት) ካሬዎች ድምር ጋር እኩል ነው. ተመሳሳይ ቲዎሬም በብዙ ልኬት እና አልፎ ተርፎም ማለቂያ በሌለው-ልኬት ጉዳዮች ላይም እውነት ነው።

የፓይታጎሪያን ቲዎረም በዩክሊዲያን ጂኦሜትሪ ውስጥ ብቻ አለ። በሎባቼቭስኪ ጂኦሜትሪ ውስጥም ሆነ ሌሎች ኢውክሊዲያን ባልሆኑ ጂኦሜትሪዎች ውስጥ አይከናወንም። በሉሉ ላይ የፓይታጎሪያን ቲዎሬም አናሎግ የለም። ሁለት ሜሪድያኖች የ90° አንግል ይፈጥራሉ እና ወገብ እኩል የሆነ ሉላዊ ትሪያንግል በሉሉ ላይ አስረዋል ፣ ሦስቱም ቀኝ ማዕዘኖች ናቸው። ለእሱ, እንደ አውሮፕላን አይደለም.

የፓይታጎሪያን ቲዎረምን በመጠቀም በነጥቦች እና በአስተባባሪ አውሮፕላን መካከል ያለው ርቀት በቀመር ይሰላል

የፓይታጎሪያን ቲዎረም ከተገኘ በኋላ የቀኝ ትሪያንግል ጎን ሊሆኑ የሚችሉትን ሁሉንም ሶስት እጥፍ የተፈጥሮ ቁጥሮች እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ጥያቄ ተነሳ (የፌርማትን ታላቅ ቲዎሬም ይመልከቱ)። እነሱ የተገኙት በፓይታጎራውያን ነው፣ ነገር ግን እነዚህን ሦስት እጥፍ ቁጥር ለማግኘት አንዳንድ አጠቃላይ ዘዴዎች በባቢሎናውያን ዘንድ እንኳ ይታወቃሉ። ከኩኒፎርም ጽላቶች አንዱ 15 ትሪፕሎች ይዟል። ከነሱ መካከል እንደዚህ ያሉ ብዙ ቁጥሮችን ያቀፈ ሶስት እጥፍ አሉ ፣ ስለሆነም እነሱን በምርጫ ለማግኘት ምንም ጥያቄ ሊኖር አይችልም።

ሂፖክራቲት ሄልስ

የሂፖክራቲክ ቀዳዳዎች በሁለት ክበቦች ዘንጎች የተከበቡ ምስሎች ናቸው, እና በተጨማሪ, የእነዚህን ክበቦች የጋራ ገመድ ራዲየስ እና ርዝመት በመጠቀም, ኮምፓስ እና ገዥን በመጠቀም, ለእነሱ እኩል መጠን ያላቸውን ካሬዎች መገንባት ይችላሉ.

ከፓይታጎሪያን ቲዎሪ አጠቃላይ እስከ ሴሚክሎች ድረስ በግራ በኩል ባለው ስእል ላይ የሚታየው ሮዝ ቀዳዳዎች ድምር ከሰማያዊው ትሪያንግል ስፋት ጋር እኩል ነው ። ስለዚህ ፣ የ isosceles ቀኝ ትሪያንግል ከወሰድን ፣ ሁለት ቀዳዳዎችን እናገኛለን ፣ የባህር ዳርቻው ስፋት ከሦስት ማዕዘኑ ግማሽ ጋር እኩል ይሆናል። ክብ ቅርጽን የመንከባከብን ችግር ለመፍታት በመሞከር ላይ (በጥንት ዘመን የነበሩትን ክላሲካል ችግሮች ተመልከት), የጥንታዊው ግሪክ የሂሳብ ሊቅ ሂፖክራቲስ (5 ኛው ክፍለ ዘመን ዓክልበ.) ብዙ ተጨማሪ ቀዳዳዎችን አግኝቷል, እነዚህም ቦታዎች ከሬክቲሊነር ምስሎች አከባቢዎች አንጻር ይገለፃሉ.

የተሟላ የሂፖማርጂናል ጉድጓዶች ዝርዝር የተገኘው በ19-20ኛው ክፍለ ዘመን ብቻ ነው። የጋሎይስ ቲዎሪ ዘዴዎችን በመጠቀም.

መካከለኛ ደረጃ

የቀኝ ሶስት ማዕዘን. የተሟላ የምስል መመሪያ (2019)

የቀኝ ሶስት ማዕዘን የመጀመሪያ ደረጃ.

በችግሮች ውስጥ የቀኝ አንግል በጭራሽ አስፈላጊ አይደለም - የታችኛው ግራ ፣ ስለዚህ በዚህ ቅጽ ውስጥ የቀኝ ትሪያንግል እንዴት እንደሚያውቁ መማር ያስፈልግዎታል ፣

እና በእንደዚህ ዓይነት ውስጥ

እና በእንደዚህ ዓይነት ውስጥ

የቀኝ ትሪያንግል ምን ጥሩ ነው? እንግዲህ... በመጀመሪያ ለፓርቲዎቹ ልዩ የሚያምሩ ስሞች አሉ።

ለሥዕሉ ትኩረት ይስጡ!

አስታውስ እና አታደናግር፡- እግሮች - ሁለት, እና hypotenuse - አንድ ብቻ(ብቸኛው፣ ልዩ እና ረጅሙ)!

ደህና, ስሞቹን ተወያይተናል, አሁን በጣም አስፈላጊው ነገር: የፓይታጎሪያን ቲዎሪ.

የፓይታጎሪያን ቲዎረም.

ይህ ቲዎሬም የቀኝ ትሪያንግልን የሚያካትቱ ብዙ ችግሮችን ለመፍታት ቁልፍ ነው። በፒታጎረስ ሙሉ በሙሉ በጥንት ጊዜ የተረጋገጠ ሲሆን ከዚያን ጊዜ ጀምሮ ለሚያውቁት ብዙ ጥቅሞችን አስገኝቷል. እና ለእሷ በጣም ጥሩው ነገር እሷ ቀላል መሆኗ ነው።

ስለዚህ፣ የፓይታጎሪያን ቲዎረም;

"የፓይታጎሪያን ሱሪዎች በሁሉም ጎኖች እኩል ናቸው!" የሚለውን ቀልድ ታስታውሳለህ?

እነዚህን በጣም የፓይታጎሪያን ሱሪዎችን እንሳል እና እንያቸው።

በእርግጥ ቁምጣ ይመስላል? ደህና, በየትኞቹ ጎኖች እና የት እኩል ናቸው? ቀልዱ ለምን እና ከየት መጣ? እና ይህ ቀልድ በትክክል ከፓይታጎሪያን ቲዎረም ጋር የተገናኘ ነው፣ የበለጠ በትክክል ፓይታጎረስ ራሱ ንድፈ ሃሳቡን ካዘጋጀበት መንገድ ጋር። እንዲህም አዘጋጀው።

" ድምር የካሬዎች አካባቢ, በእግሮቹ ላይ የተገነባ, እኩል ነው ካሬ አካባቢበ hypotenuse ላይ የተገነባ.

ትንሽ የተለየ አይመስልም አይደል? እና ስለዚህ ፣ ፓይታጎረስ የንድፈ ሃሳቡን መግለጫ ሲሳል ፣ እንደዚህ ያለ ምስል ተገኘ።

በዚህ ሥዕል ላይ የትንሽ ካሬዎች ቦታዎች ድምር ከትልቅ ካሬው ስፋት ጋር እኩል ነው. እናም ልጆቹ የእግሮቹ ካሬዎች ድምር ከ hypotenuse ካሬ ጋር እኩል መሆኑን በተሻለ ሁኔታ እንዲያስታውሱ ፣ አንድ ሰው ስለ ፓይታጎሪያን ሱሪዎች ቀልድ ፈጠረ።

ለምን አሁን የፓይታጎሪያን ቲዎረም እየቀረፅን ነው።

ፓይታጎረስ ተሠቃይቷል እና ስለ ካሬዎች ተናግሯል?

አየህ በጥንት ጊዜ ... አልጀብራ አልነበረም! ምንም ምልክቶች አልነበሩም እና ወዘተ. ምንም የተቀረጹ ጽሑፎች አልነበሩም። ለድሆች የጥንት ተማሪዎች ሁሉንም ነገር በቃላት መሸምደድ ምን ያህል አስከፊ እንደነበር መገመት ትችላለህ??! እና የፒታጎሪያን ቲዎረም ቀላል ቀመር ስላለን ደስ ሊለን ይችላል። በደንብ ለማስታወስ እንደገና እንድገመው፡-

አሁን ቀላል መሆን አለበት:

የ hypotenuse ካሬው ከእግሮቹ ካሬዎች ድምር ጋር እኩል ነው.

ደህና፣ ስለ ትክክለኛው ትሪያንግል በጣም አስፈላጊው ንድፈ ሃሳብ ተብራርቷል። እንዴት እንደተረጋገጠ ፍላጎት ካሎት, ቀጣዩን የንድፈ-ሃሳብ ደረጃዎች ያንብቡ, እና አሁን ወደ ... ወደ ጨለማው ጫካ ... ወደ ትሪግኖሜትሪ እንሂድ! ለአስፈሪዎቹ ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት።

ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት ፣ ኮታንጀንት በትክክለኛ ትሪያንግል።

እንደ እውነቱ ከሆነ, ሁሉም ነገር በጭራሽ አስፈሪ አይደለም. በእርግጥ የሳይን፣ ኮሳይን፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት የሚለው “እውነተኛ” ፍቺ በአንቀጹ ውስጥ መታየት አለበት። ግን የምር አልፈልግም አይደል? ልንደሰት እንችላለን-ስለ ትክክለኛ ትሪያንግል ችግሮችን ለመፍታት በቀላሉ የሚከተሉትን ቀላል ነገሮች መሙላት ይችላሉ-

ለምንድን ነው ሁሉም ስለ ጥግ ነው? ጥግ የት ነው? ይህንን ለመረዳት 1 - 4 መግለጫዎች በቃላት እንዴት እንደሚጻፉ ማወቅ ያስፈልግዎታል. ይመልከቱ ፣ ተረዱ እና ያስታውሱ!

1.
በእውነቱ እንደዚህ ይመስላል።

ስለ ማእዘኑስ? ከማዕዘኑ ተቃራኒ የሆነ እግር አለ, ማለትም ተቃራኒው እግር (ለማዕዘኑ)? በእርግጥ አለን! ይህ ካቴት ነው!

ግን ስለ ማእዘኑስ? በቅርበት ይመልከቱ። ከማዕዘኑ አጠገብ ያለው የትኛው እግር ነው? እርግጥ ነው, ድመቷ. ስለዚህ, ለማእዘኑ, እግሩ አጠገብ ነው, እና

እና አሁን, ትኩረት! ያገኘነውን ተመልከት፡-

ምን ያህል ታላቅ እንደሆነ ይመልከቱ፡-

አሁን ወደ ታንጀንት እና ኮንቴይነንት እንሂድ.

አሁን በቃላት እንዴት ማስቀመጥ ይቻላል? ከማእዘኑ ጋር በተያያዘ እግሩ ምንድን ነው? ተቃራኒ, በእርግጥ - ከማዕዘኑ በተቃራኒው "ውሸቶች" ነው. እና ካቴቱ? ወደ ጥግ አጠገብ. ታዲያ ምን አገኘን?

አሃዛዊው እና መለያው እንዴት እንደሚገለበጡ ይመልከቱ?

እና አሁን እንደገና ማዕዘኖቹን እና ልውውጡን አደረጉ:

ማጠቃለያ

የተማርነውን ባጭሩ እንፃፍ።

የፓይታጎሪያን ቲዎረም;

ዋናው የቀኝ ትሪያንግል ቲዎረም የፓይታጎሪያን ቲዎረም ነው።

የፓይታጎሪያን ቲዎረም

በነገራችን ላይ እግሮች እና hypotenuse ምን እንደሆኑ በደንብ ታስታውሳለህ? ካልሆነ, ምስሉን ይመልከቱ - እውቀትዎን ያድሱ

ቀደም ሲል የፓይታጎሪያን ቲዎረምን ብዙ ጊዜ ተጠቅመህ ሊሆን ይችላል፣ ግን ለምን እንደዚህ አይነት ቲዎረም እውነት እንደሆነ ጠይቀህ ታውቃለህ። እንዴትስ ታረጋግጣለህ? እንደ ጥንታውያን ግሪኮች እናድርግ። አንድ ካሬ ከጎን ጋር እንሳል.

ጎኖቹን እንዴት በረዥም ክፍል እንደከፈልን አየህ እና!

አሁን ምልክት የተደረገባቸውን ነጥቦች እናገናኝ

እዚህ ግን ሌላ ነገር አስተውለናል, ግን እርስዎ እራስዎ ምስሉን ተመልክተው ለምን እንደሆነ ያስቡ.

የትልቁ አደባባይ አካባቢ ምንድነው? በትክክል፣ . ስለ ትንሹ አካባቢስ? በእርግጠኝነት,. የአራቱ ማዕዘኖች አጠቃላይ ስፋት ይቀራል. እስቲ አስቡት ሁለቱን ወስደን ሃይፖቴነስ ይዘን እርስ በርስ ተደገፍን። ምን ተፈጠረ? ሁለት አራት ማዕዘኖች. ስለዚህ "የመቁረጥ" ቦታ እኩል ነው.

አሁን ሁሉንም አንድ ላይ እናስቀምጥ።

እንቀይር፡-

ስለዚህ ፓይታጎረስን ጎበኘን - የእሱን ቲዎሪ በጥንት መንገድ አረጋግጠናል.

የቀኝ ትሪያንግል እና ትሪግኖሜትሪ

ለቀኝ ትሪያንግል፣ የሚከተሉት ግንኙነቶች ይያዛሉ፡

የአጣዳፊ አንግል ሳይን ከተቃራኒ እግር እና hypotenuse ሬሾ ጋር እኩል ነው።

የአጣዳፊ አንግል ኮሳይን ከጎን ካለው እግር እና hypotenuse ሬሾ ጋር እኩል ነው።

የአጣዳፊ አንግል ታንጀንት ከተቃራኒው እግር ተጓዳኝ እግር ሬሾ ጋር እኩል ነው።

የአጣዳፊ አንግል ብክለት ከአጠገቡ እግር እና ከተቃራኒው እግር ጥምርታ ጋር እኩል ነው።

እና እንደገና ፣ ይህ ሁሉ በጠፍጣፋ መልክ ፣

በጣም ምቹ ነው!

የቀኝ ትሪያንግሎች እኩልነት ምልክቶች

I. በሁለት እግሮች ላይ

II. በእግር እና hypotenuse

III. በ hypotenuse እና አጣዳፊ ማዕዘን

IV. በእግር እና አጣዳፊ ማዕዘን

ሀ)

ለ)

ትኩረት! እዚህ እግሮቹ "ተዛማጅ" መሆናቸው በጣም አስፈላጊ ነው. ለምሳሌ እንደዚህ ከሄደ፡-

ከዚያም ትሪያንግሎች እኩል አይደሉም, ምንም እንኳን አንድ ተመሳሳይ አጣዳፊ ማዕዘን ቢኖራቸውም.

ያስፈልጋል በሁለቱም ትሪያንግሎች እግሩ አጠገብ, ወይም በሁለቱም - ተቃራኒ ነበር.

የቀኝ ትሪያንግሎች እኩልነት ምልክቶች ከተለመዱት የሶስት ማዕዘናት እኩልነት ምልክቶች እንዴት እንደሚለያዩ አስተውለሃል? ርዕሱን ይመልከቱ "እና ለ "ተራ" ትሪያንግሎች እኩልነት የሶስት አካላት እኩልነት ያስፈልግዎታል-ሁለት ጎኖች እና በመካከላቸው ያለው አንግል, ሁለት ማዕዘኖች እና በመካከላቸው አንድ ጎን ወይም ሶስት ጎኖች. ነገር ግን ለቀኝ ማዕዘን ትሪያንግሎች እኩልነት ሁለት ተጓዳኝ አካላት ብቻ በቂ ናቸው. በጣም ጥሩ ነው አይደል?

የቀኝ ትሪያንግሎች ተመሳሳይነት ምልክቶች ጋር በግምት ተመሳሳይ ሁኔታ።

የቀኝ ትሪያንግሎች ተመሳሳይነት ምልክቶች

I. አጣዳፊ ማዕዘን

II. በሁለት እግሮች ላይ

III. በእግር እና hypotenuse

ሚድያን በቀኝ ትሪያንግል

ለምን እንዲህ ሆነ?

ከቀኝ ትሪያንግል ይልቅ አንድ ሙሉ ሬክታንግል አስቡበት።

አንድ ሰያፍ እንሳል እና አንድ ነጥብ እናስብ - የዲያግራኖቹ መገናኛ ነጥብ። ስለ አራት ማዕዘኑ ዲያግናልስ ምን ያውቃሉ?

እና ከዚህ ምን ይከተላል?

እንደዚህ ሆነ

- መካከለኛ;

ይህንን እውነታ አስታውስ! በጣም ይረዳል!

በጣም የሚያስደንቀው ግን ንግግሩ እውነት መሆኑ ነው።

ወደ hypotenuse የሚቀርበው ሚዲያን ከግማሽ hypotenuse ጋር እኩል ከሆነ ምን ጥቅም ማግኘት ይቻላል? ምስሉን እንይ

በቅርበት ይመልከቱ። እኛ አለን: ማለትም ከነጥቡ እስከ ሦስቱም የሶስት ማዕዘኑ ጫፎች ድረስ ያሉት ርቀቶች እኩል ሆነው ተገኝተዋል። ነገር ግን በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ አንድ ነጥብ ብቻ አለ ፣ ከሦስቱም የሶስት ማዕዘኑ ጫፎች ጋር እኩል የሆኑ ርቀቶች እኩል ናቸው ፣ እና ይህ የተገለፀው የዙሪያ ማእከል ነው። ታዲያ ምን ተፈጠረ?

እንግዲህ ከዚህ "በተጨማሪ..." እንጀምር።

እስቲ እንመልከት.

ግን በተመሳሳይ ሶስት ማዕዘኖች ውስጥ ሁሉም ማዕዘኖች እኩል ናቸው!

ስለ እና ተመሳሳይ ነገር ማለት ይቻላል

አሁን አንድ ላይ እንሳበው፡-

ከዚህ "ሶስትዮሽ" ተመሳሳይነት ምን ጥቅም ማግኘት ይቻላል.

ደህና ፣ ለምሳሌ - ለቀኝ ትሪያንግል ቁመት ሁለት ቀመሮች።

የተጓዳኙን ወገኖች ግንኙነት እንጽፋለን-

ቁመቱን ለማግኘት, መጠኑን እንፈታለን እና እናገኛለን የመጀመሪያው ቀመር "በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ ቁመት":

ስለዚ፡ ተመሳሳሊ ነገር እንተገብረ፡ .

አሁን ምን ይሆናል?

እንደገና መጠኑን እንፈታዋለን እና ሁለተኛውን ቀመር እናገኛለን

እነዚህ ሁለቱም ቀመሮች በደንብ መታወስ አለባቸው እና ለማመልከት የበለጠ አመቺ ናቸው. እንደገና እንጽፋቸው።

የፓይታጎሪያን ቲዎረም;

በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ, hypotenuse ያለውን ካሬ እግር ካሬ ድምር ጋር እኩል ነው:.

የቀኝ ትሪያንግሎች እኩልነት ምልክቶች:

በሁለት እግሮች ላይ;
በእግር እና hypotenuse: ወይም
በእግር እና በአጠገብ ያለው አጣዳፊ ማዕዘን: ወይም
በእግር እና በተቃራኒው አጣዳፊ ማዕዘን: ወይም
በ hypotenuse እና አጣዳፊ ማዕዘን: ወይም.

የቀኝ ትሪያንግሎች ተመሳሳይነት ምልክቶች:

አንድ ስለታም ጥግ: ወይም
ከሁለቱ እግሮች ተመጣጣኝነት;
ከእግር እና hypotenuse ተመጣጣኝነት: ወይም.

ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት ፣ ኮታንጀንት በትክክለኛ ትሪያንግል

የቀኝ ትሪያንግል አጣዳፊ አንግል ኃጢያት የተቃራኒ እግር ከ hypotenuse ጋር ያለው ጥምርታ ነው።
የቀኝ ትሪያንግል አጣዳፊ አንግል ኮሳይን ከጎን ያለው እግር ከ hypotenuse ጋር ያለው ጥምርታ ነው።
የቀኝ ትሪያንግል አጣዳፊ አንግል ታንጀንት የተቃራኒው እግር ከአጠገቡ ካለው ሬሾ ነው።
የቀኝ ትሪያንግል አጣዳፊ አንግል ኮታንጀንት የተቃራኒው እግር ጥምርታ ነው።

የቀኝ ትሪያንግል ቁመት: ወይም.

በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ ፣ ከቀኝ አንግል ወርድ ላይ ያለው ሚዲያን ከ hypotenuse ግማሽ ጋር እኩል ነው።

የቀኝ ትሪያንግል አካባቢ;

በካቴተሮች በኩል;

(በበርሊን ሙዚየም ፓፒረስ 6619 መሠረት)። እንደ ካንቶር ሃርፔዶናፕስ ወይም "string tensioners" ቀኝ ማዕዘኖች ከ 3፣ 4 እና 5 ጋር በቀኝ ሶስት መአዘኖች ገነቡ።

የእነሱን የግንባታ ዘዴ እንደገና ማባዛት በጣም ቀላል ነው. 12 ሜትር ርዝመት ያለው ገመድ እንይዛው እና ከአንድ ጫፍ በ 3 ሜትር ርቀት ላይ እና ከሌላው በ 4 ሜትር ርቀት ላይ ባለ ባለ ቀለም ነጠብጣብ ላይ እናስረው. ከ 3 እስከ 4 ሜትር ርዝመት ባለው ጎኖች መካከል የቀኝ ማዕዘን ይዘጋል. ሃርፐዶናፕትስ ለምሳሌ ሁሉም አናጢዎች የሚጠቀሙበት የእንጨት አደባባይ ጥቅም ላይ ከዋለ የግንባታ ዘዴያቸው ብዙ ጊዜ እንደሚቀንስ ሊቃወም ይችላል። በእርግጥም የግብፅ ሥዕሎች እንዲህ ዓይነት መሣሪያ የሚገኝበት የታወቁ ናቸው - ለምሳሌ የእንጨት ሥራ አውደ ጥናትን የሚያሳዩ ሥዕሎች።

በባቢሎናውያን መካከል ስለ ፒይታጎሪያን ቲዎሬም ትንሽ ተጨማሪ ይታወቃል። በሐሙራቢ ዘመን ማለትም እስከ 2000 ዓክልበ. ድረስ ባለው አንድ ጽሑፍ። ሠ. , የቀኝ ትሪያንግል hypotenuse ግምታዊ ስሌት ተሰጥቷል. ከዚህ በመነሳት በሜሶጶጣሚያ ውስጥ ቢያንስ በአንዳንድ ሁኔታዎች, በቀኝ-ማዕዘን ሶስት ማዕዘኖች ስሌት መስራት እንደቻሉ መደምደም እንችላለን. በአንድ በኩል፣ አሁን ባለው የግብፅ እና የባቢሎናውያን ሂሳብ የዕውቀት ደረጃ፣ በሌላ በኩል፣ የግሪክ ምንጮችን ወሳኝ ጥናት ላይ በማድረግ፣ ቫን ደር ዋየርደን (የኔዘርላንድ የሒሳብ ሊቅ) ከፍተኛ ዕድል ሊኖር እንደሚችል ደምድሟል። hypotenuse square theorem በህንድ ውስጥ አስቀድሞ በ18ኛው ክፍለ ዘመን ዓክልበ አካባቢ ይታወቅ ነበር። ሠ.

በ400 ዓክልበ. አካባቢ. ሠ.፣ ፕሮክሉስ እንደሚለው፣ ፕላቶ አልጀብራ እና ጂኦሜትሪ በማጣመር የፒታጎሪያን ሶስት እጥፍ ለማግኘት የሚያስችል ዘዴ ሰጠ። በ300 ዓክልበ. አካባቢ. ሠ. የዩክሊድ ንጥረ ነገሮች የፓይታጎሪያን ቲዎረም ጥንታዊ አክሲዮማቲክ ማረጋገጫ ይዟል።

የቃላት አወጣጥ

የጂኦሜትሪክ ቀመር፡

ንድፈ ሃሳቡ በመጀመሪያ የተቀረፀው እንደሚከተለው ነው።

የአልጀብራ ቅንብር፡-

ማለትም ፣ የሶስት ማዕዘኑን hypotenuse ርዝመት ፣ እና የእግሮቹን ርዝመት በ እና

ሁለቱም የንድፈ ሀሳቡ ቀመሮች እኩል ናቸው ፣ ግን ሁለተኛው አጻጻፍ የበለጠ የመጀመሪያ ደረጃ ነው ፣ የአካባቢ ጽንሰ-ሀሳብን አያስፈልገውም። ያም ማለት, ሁለተኛው መግለጫ ስለ አካባቢው ምንም ሳያውቅ እና የቀኝ ትሪያንግል ጎኖቹን ርዝመቶች ብቻ በመለካት ማረጋገጥ ይቻላል.

ተገላቢጦሽ የፓይታጎሪያን ቲዎሪ፡

ማረጋገጫ

በአሁኑ ጊዜ, የዚህ ጽንሰ-ሐሳብ 367 ማረጋገጫዎች በሳይንሳዊ ጽሑፎች ውስጥ ተመዝግበዋል. ምናልባትም, የፓይታጎሪያን ቲዎረም እንደዚህ አይነት አስደናቂ ቁጥር ያላቸው ማረጋገጫዎች ብቸኛው ቲዎሪ ነው. እንዲህ ዓይነቱ ልዩነት ሊብራራ የሚችለው ለጂኦሜትሪ ጽንሰ-ሐሳብ መሠረታዊ ጠቀሜታ ብቻ ነው.

እርግጥ ነው, በጽንሰ-ሀሳብ, ሁሉም በትንሽ ክፍሎች ሊከፋፈሉ ይችላሉ. ከነሱ በጣም ዝነኛ የሆኑት፡በአካባቢው ዘዴ ማስረጃዎች፣አክሲዮማቲክ እና እንግዳ የሆኑ ማረጋገጫዎች (ለምሳሌ፣ ልዩነትን በመጠቀም)።

በተመሳሳይ ትሪያንግሎች በኩል

የሚከተለው የአልጀብራ አጻጻፍ ማረጋገጫ በቀጥታ ከአክሲዮሞች የተገነቡ በጣም ቀላሉ ማረጋገጫዎች ነው። በተለይም የስዕላዊ አከባቢን ጽንሰ-ሀሳብ አይጠቀምም.

ይሁን ኢቢሲየቀኝ ማዕዘን ሦስት ማዕዘን አለ ሲ. ቁመትን ከ ሲእና መሰረቱን በ ኤች. ትሪያንግል ACHከሶስት ማዕዘን ጋር ተመሳሳይ ኢቢሲበሁለት ማዕዘኖች. በተመሳሳይም, ትሪያንግል CBHተመሳሳይ ኢቢሲ. ማስታወሻውን በማስተዋወቅ ላይ

እናገኛለን

ምን እኩል ነው።

በማከል, እናገኛለን

, ይህም ሊረጋገጥ ነበር

የአካባቢ ማረጋገጫዎች

የሚከተሉት ማረጋገጫዎች ቀላል ቢመስሉም ቀላል አይደሉም። ሁሉም የአከባቢውን ባህሪያት ይጠቀማሉ, ማረጋገጫው ከፓይታጎሪያን ቲዎረም ማረጋገጫው የበለጠ የተወሳሰበ ነው.

በ Equivalence በኩል ማረጋገጫ

በስእል 1 ላይ እንደሚታየው አራት እኩል የቀኝ ትሪያንግሎችን አዘጋጅ።
ከጎን ጋር አራት ማዕዘን ሐካሬ ነው ምክንያቱም የሁለት አጣዳፊ ማዕዘኖች ድምር 90 ° እና ቀጥተኛ አንግል 180 ° ነው.
የጠቅላላው ምስል ስፋት በአንድ በኩል ፣ ከጎን (a + b) ጋር ካለው ካሬ ስፋት ጋር እኩል ነው ፣ በሌላ በኩል ፣ የአራት ማዕዘኖች እና የአከባቢው ድምር። የውስጣዊው ካሬ.

ጥ.ኢ.ዲ.

የዩክሊድ ማስረጃ

የዩክሊድ ማረጋገጫው ሀሳብ እንደሚከተለው ነው-በ hypotenuse ላይ የተገነባው የካሬው ግማሽ ስፋት በእግሮቹ ላይ ከተገነቡት ካሬዎች ግማሽ አከባቢዎች እና ከዚያ አከባቢዎች ድምር ጋር እኩል መሆኑን ለማረጋገጥ እንሞክር ። ትላልቅ እና ሁለት ትናንሽ ካሬዎች እኩል ናቸው.

በግራ በኩል ያለውን ስዕል አስቡበት. በላዩ ላይ ባለ ቀኝ ማዕዘን ባለ ሶስት ማዕዘን ጎኖች ላይ አደባባዮችን ገንብተናል እና ከቀኝ አንግል ሐ ወርድ ላይ ሬይ s ን ይሳሉ ፣ ቀጥ ያለ ወደ hypotenuse AB ፣ በ hypotenuse ላይ የተገነባውን ካሬ ኤቢክን በሁለት አራት ማዕዘኖች ይቆርጣል - BHJI እና HAKJ , በቅደም ተከተል. የእነዚህ አራት ማዕዘኖች አከባቢዎች በተመጣጣኝ እግሮች ላይ ከተገነቡት የካሬዎች ቦታዎች ጋር በትክክል እኩል ናቸው.

የካሬው DECA ስፋት ከአራት ማዕዘኑ AHJK ጋር እኩል መሆኑን ለማረጋገጥ እንሞክር ይህንን ለማድረግ ረዳት ምልከታ እንጠቀማለን-የሦስት ማዕዘኑ ስፋት ልክ እንደ ተጠቀሰው ቁመት እና መሠረት ሬክታንግል ከተሰጠው አራት ማዕዘን ቦታ ግማሽ ጋር እኩል ነው. ይህ የሶስት ማዕዘን ቦታን እንደ የመሠረቱ እና የቁመቱ ግማሽ ምርት የመወሰን ውጤት ነው. ከዚህ ምልከታ አንጻር የሶስት ማዕዘን ACK ቦታ ከሶስት ማዕዘን AHK (አይታይም) ጋር እኩል ነው, እሱም በተራው, ከአራት ማዕዘኑ AHJK ግማሽ ጋር እኩል ነው.

አሁን የሶስት ማዕዘን ACK ቦታ ከ ስኩዌር DECA ግማሽ ስፋት ጋር እኩል መሆኑን እናረጋግጥ። ለዚህ መደረግ ያለበት ብቸኛው ነገር የሶስት ማዕዘኖች ACK እና BDA እኩልነት ማረጋገጥ ነው (የሦስት ማዕዘን BDA ስፋት ከላይ ባለው ንብረት ከካሬው ግማሽ ስፋት ጋር እኩል ስለሆነ)። ይህ እኩልነት ግልጽ ነው-ሦስት ማዕዘኖች በሁለት ጎኖች እና በመካከላቸው ያለው አንግል እኩል ናቸው. ይኸውም - AB=AK, AD=AC - የማዕዘን እኩልነት CAK እና BAD በእንቅስቃሴ ዘዴ ለመረጋገጥ ቀላል ነው፡ ትሪያንግል CAK 90 ° በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ እናሽከርክር ከዛም የሁለቱ ተያይዘው ትሪያንግሎች ተጓዳኝ ጎኖች እንደሚገጣጠሙ ግልጽ ነው። (በካሬው ጫፍ ላይ ያለው አንግል 90 ° በመኖሩ ምክንያት).

ስለ ስኩዌር BCFG እና ሬክታንግል BHJI አከባቢዎች እኩልነት ክርክር ሙሉ በሙሉ ተመሳሳይ ነው።

ስለዚህ, በ hypotenuse ላይ የተገነባው የካሬው ቦታ በእግሮቹ ላይ የተገነቡት የካሬዎች ቦታዎች ድምር መሆኑን አረጋግጠናል. ከዚህ ማስረጃ ጀርባ ያለው ሃሳብ ከዚህ በላይ ባለው አኒሜሽን የበለጠ ይገለጻል።

የሊዮናርዶ ዳ ቪንቺ ማረጋገጫ

የማረጋገጫው ዋና ዋና ነገሮች ሲሜትሪ እና እንቅስቃሴ ናቸው.

ስዕሉን አስቡበት, ከሲሜትሪ እንደሚታየው, ክፍሉ ካሬውን ወደ ሁለት ተመሳሳይ ክፍሎች (ከሦስት ማዕዘኖች ጀምሮ እና በግንባታ ውስጥ እኩል ናቸው) ይቆርጣል.

በ 90 ዲግሪ ነጥቡ ዙሪያ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ መሽከርከርን በመጠቀም, የተከለሉትን ምስሎች እኩልነት እናያለን.

አሁን በእኛ ጥላ የተሸፈነው የምስሉ ስፋት በግማሽ ካሬዎች (በእግሮቹ ላይ የተገነባው) እና ከመጀመሪያው የሶስት ማዕዘን ስፋት ጋር እኩል እንደሆነ ግልጽ ነው. በሌላ በኩል ፣ ከትልቅ ካሬው ግማሽ ስፋት ጋር እኩል ነው (በ hypotenuse ላይ የተገነባው) እና ከመጀመሪያው የሶስት ማዕዘን ቦታ ጋር። ስለዚህ ፣ የትንሽ ካሬዎች አከባቢዎች ግማሽ ድምር ከትልቅ ካሬው ስፋት ጋር እኩል ነው ፣ ስለሆነም በእግሮቹ ላይ የተገነቡ ካሬዎች ድምር ከተገነባው ካሬ ስፋት ጋር እኩል ነው። በ hypotenuse ላይ.

በማያልቀው ዘዴ ማረጋገጫ

ልዩነት እኩልታዎችን በመጠቀም የሚከተለው ማረጋገጫ ብዙውን ጊዜ በ 20 ኛው ክፍለ ዘመን የመጀመሪያ አጋማሽ ላይ የኖረው ታዋቂው እንግሊዛዊ የሂሳብ ሊቅ ሃርዲ ነው።

በሥዕሉ ላይ የሚታየውን ስዕል ግምት ውስጥ በማስገባት በጎን በኩል ያለውን ለውጥ በመመልከት ሀ, ላልተወሰነ የጎን ጭማሪዎች የሚከተለውን ግንኙነት መጻፍ እንችላለን ጋርእና ሀ(ተመሳሳይ ትሪያንግሎችን በመጠቀም)

ተለዋዋጭዎችን የመለየት ዘዴን በመጠቀም, እናገኛለን

በሁለቱም እግሮች መጨመር ላይ hypotenuseን ለመለወጥ የበለጠ አጠቃላይ መግለጫ

ይህንን እኩልታ በማዋሃድ እና የመጀመሪያ ሁኔታዎችን በመጠቀም, እናገኛለን

ስለዚህ, ወደሚፈለገው መልስ ደርሰናል

በመጨረሻው ቀመር ውስጥ ያለው የኳድራቲክ ጥገኝነት በሦስት ማዕዘኑ ጎኖች እና ጭማሪዎች መካከል ባለው መስመራዊ ተመጣጣኝነት ምክንያት እንደሚታይ ማየት ቀላል ነው ፣ ድምሩ ከተለያዩ እግሮች መጨመር ነፃ መዋጮዎች ምክንያት ነው።

አንድ እግሮች መጨመር እንደማያጋጥማቸው ካሰብን ቀለል ያለ ማረጋገጫ ማግኘት ይቻላል (በዚህ ሁኔታ, እግር). ከዚያ ለውህደት ቋሚነት እናገኛለን

ልዩነቶች እና አጠቃላይ

ተመሳሳይ የጂኦሜትሪክ ቅርጾች በሶስት ጎን

ለተመሳሳይ ትሪያንግሎች አጠቃላይነት ፣ የአረንጓዴ ምስሎች ስፋት A + B = የሰማያዊ ሐ አካባቢ

ተመሳሳይ የቀኝ ትሪያንግሎችን በመጠቀም የፓይታጎሪያን ቲዎረም

የፓይታጎሪያን ቲዎሬም አጠቃላይ አሰራር በዩክሊድ በስራው ውስጥ ተሰርቷል። ጅምርበጎን በኩል ያሉትን የካሬዎች ቦታዎች ወደ ተመሳሳይ የጂኦሜትሪክ ቅርጾች ቦታዎች ማስፋፋት;

በቀኝ ትሪያንግል ጎኖች ላይ ተመሳሳይ የጂኦሜትሪክ ምስሎችን (Euclidean ጂኦሜትሪ ይመልከቱ) ከገነባን የሁለቱ ትናንሽ ቁጥሮች ድምር ከትልቁ ምስል ስፋት ጋር እኩል ይሆናል።

የዚህ አጠቃላይ አጠቃላዩ ዋና ሀሳብ የእንደዚህ ዓይነቱ የጂኦሜትሪክ ምስል ስፋት ከማንኛውም መስመራዊ ልኬቶች ካሬ እና በተለይም ከማንኛውም ጎን ርዝመት ካሬ ጋር ተመጣጣኝ ነው ። ስለዚህ, ከአካባቢዎች ጋር ለተመሳሳይ አሃዞች ሀ, ለእና ሲከርዝመት ጋር በጎን በኩል የተገነባ ሀ, ለእና ሐ, እና አለነ:

ነገር ግን፣ እንደ ፓይታጎሪያን ቲዎረም፣ ሀ 2 + ለ 2 = ሐ 2 , እንግዲያውስ ሀ + ለ = ሲ.

በተቃራኒው፣ ያንን ማረጋገጥ ከቻልን። ሀ + ለ = ሲለሶስት ተመሳሳይ የጂኦሜትሪክ ምስሎች የፓይታጎሪያን ቲዎረም ሳይጠቀሙ, ከዚያም ንድፈ ሃሳቡን እራሱ ማረጋገጥ እንችላለን, በተቃራኒው አቅጣጫ ይጓዛል. ለምሳሌ, የመነሻ ማእከል ሶስት ማዕዘን እንደ ሶስት ማዕዘን እንደገና ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል ሲበ hypotenuse ላይ እና ሁለት ተመሳሳይ የቀኝ ትሪያንግሎች ሀእና ለ) ማዕከላዊውን ትሪያንግል በከፍታው በመከፋፈል ምክንያት በተፈጠሩት ሌሎች ሁለት ጎኖች ላይ የተገነቡ ናቸው. የሶስት ማዕዘኑ ሁለት ትናንሽ ቦታዎች ድምር ከሦስተኛው ስፋት ጋር እኩል ነው ፣ ስለሆነም ሀ + ለ = ሲእና ቀደም ሲል የነበሩትን ማረጋገጫዎች በተቃራኒው ቅደም ተከተል በማከናወን, የፓይታጎሪያን ቲዎረም 2 + b 2 = c 2 እናገኛለን.

ኮሳይን ቲዎረም

የፓይታጎሪያን ቲዎረም የዘፈቀደ ትሪያንግል ውስጥ ያሉትን የጎን ርዝመቶች የሚያገናኘው የአጠቃላይ የኮሳይን ቲዎሬም ልዩ ጉዳይ ነው።

የት θ በጎኖቹ መካከል ያለው አንግል ነው ሀእና ለ.

θ 90 ዲግሪ ከሆነ ከዚያ cos θ = 0 እና ቀመሩ ወደ ተለመደው የፓይታጎሪያን ቲዎሬም ቀለል ያለ ነው።

የዘፈቀደ ትሪያንግል

ወደ የትኛውም የተመረጠ የዘፈቀደ ትሪያንግል ከጎን ጋር a, b, cበእሱ መሠረት θ እኩል ማዕዘኖች ከተመረጠው አንግል ጋር እኩል እንዲሆኑ የ isosceles triangle እንጽፋለን። የተመረጠው አንግል θ ከተጠቆመው ጎን በተቃራኒው እንደሚገኝ እናስብ ሐ. በውጤቱም, ከጎን ተቃራኒው የሚገኘው አንግል θ ያለው ሶስት ማዕዘን ABD አገኘን ሀእና ፓርቲዎች አር. ሁለተኛው ትሪያንግል በጎን በኩል ተቃራኒ በሆነው አንግል θ የተሰራ ነው። ለእና ፓርቲዎች ጋርረጅም ኤስበሥዕሉ ላይ እንደሚታየው. ታቢት ኢብኑ ኩራራ በነዚህ ሶስት መአዘኖች ውስጥ ያሉት ጎኖቹ በሚከተለው መልኩ የተያያዙ ናቸው፡-

አንግል θ ወደ π/2 ሲቃረብ የ isosceles triangle መሰረቱ ይቀንሳል እና ሁለቱ ወገኖች r እና s መደራረብ እየቀነሰ ይሄዳል። θ = π/2፣ ADB ወደ ቀኝ ትሪያንግል ሲቀየር፣ አር + ኤስ = ሐእና የመጀመሪያውን የፓይታጎሪያን ቲዎሬም እናገኛለን.

ከመከራከሪያዎቹ አንዱን እንመልከት። ትሪያንግል ABC ልክ እንደ ትሪያንግል ABD ተመሳሳይ ማዕዘኖች አሉት፣ ግን በተቃራኒው ቅደም ተከተል። (ሁለቱ ትሪያንግሎች በ vertex B ላይ አንድ የጋራ ማዕዘን አላቸው፣ ሁለቱም አንግል θ አላቸው፣ እና እንዲሁም የሶስተኛው አንግል ተመሳሳይ ናቸው፣ በሶስት ማዕዘን ማዕዘናት ድምር። በታችኛው ስእል. በተቃራኒ ጎኖች እና ከማዕዘኑ θ አጠገብ ባሉት መካከል ያለውን ግንኙነት እንጻፍ.

የሌላ ትሪያንግል ነፀብራቅ እንዲሁ ነው ፣

ክፍልፋዮቹን ያባዙ እና እነዚህን ሁለት ሬሾዎች ያክሉ።

ጥ.ኢ.ዲ.

በትይዩዎች በኩል የዘፈቀደ ትሪያንግሎች አጠቃላይነት

የዘፈቀደ ትሪያንግሎች አጠቃላይነት ፣
አረንጓዴ አካባቢ ሴራ = አካባቢሰማያዊ

ከላይ በሥዕሉ ላይ ያለውን የቲሲስ ማረጋገጫ

ከካሬዎች ይልቅ በሶስት ጎን ትይዩዎችን በመጠቀም አራት ማዕዘን ላልሆኑ ትሪያንግሎች ተጨማሪ አጠቃላዩን እናድርግ። (ካሬዎች ልዩ ጉዳይ ናቸው) የላይኛው ምስል እንደሚያሳየው ለከባድ ትሪያንግል በረዥሙ በኩል ያለው ትይዩው ስፋት በሌሎቹ ሁለት ጎኖች ካሉት ትይዩዎች ድምር ጋር እኩል ነው ፣ ጎን በሥዕሉ ላይ እንደሚታየው (በቀስቶች ምልክት የተደረገባቸው ልኬቶች ተመሳሳይ ናቸው እና የታችኛው ትይዩ ጎኖችን ይወስናሉ) ተገንብቷል ። ይህ የካሬዎች መተካት በትይዩዎች ከመጀመሪያው የፒታጎሪያን ቲዎረም ጋር ግልጽ የሆነ ተመሳሳይነት ያለው እና በ 4 ዓ.ም. በአሌክሳንድሪያው ፓፑስ እንደተሰራ ይታመናል። ሠ.

የታችኛው ምስል የማረጋገጫውን ሂደት ያሳያል. የሶስት ማዕዘን በግራ በኩል እንይ. የግራ አረንጓዴ ትይዩ ከሰማያዊው ትይዩ የግራ ክፍል ጋር ተመሳሳይ ቦታ አለው ምክንያቱም ተመሳሳይ መሠረት ስላላቸው ለእና ቁመት ሸ. እንዲሁም የግራ አረንጓዴ ሳጥኑ ከላይኛው ስእል ላይ ካለው የግራ አረንጓዴ ሳጥን ጋር ተመሳሳይ ቦታ አለው ምክንያቱም እነሱ የጋራ መሰረት (የሶስት ማዕዘኑ የላይኛው ግራ በኩል) እና ከሦስት ማዕዘኑ ጋር ተመሳሳይ የሆነ ቁመት አላቸው. በተመሳሳይ መልኩ ለስላሴው የቀኝ ጎን መሟገት, የታችኛው ትይዩ ከሁለቱ አረንጓዴ ትይዩዎች ጋር አንድ አይነት ቦታ እንዳለው እናረጋግጣለን.

ውስብስብ ቁጥሮች

የፓይታጎሪያን ቲዎረም በካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ በሁለት ነጥቦች መካከል ያለውን ርቀት ለመፈለግ ይጠቅማል ፣ እና ይህ ጽንሰ-ሀሳብ ለሁሉም እውነተኛ መጋጠሚያዎች እውነት ነው-ርቀት። ኤስበሁለት ነጥቦች መካከል ( ሀ፣ ለ) እና ( ሐ፣ መ) እኩል ነው።

ውስብስብ ቁጥሮች ከትክክለኛ አካላት ጋር እንደ ቬክተር ከተያዙ በቀመርው ላይ ምንም ችግሮች የሉም x + እኔ y = (x, y). . ለምሳሌ, ርቀቱ ኤስበ 0 + 1 መካከል እኔእና 1 + 0 እኔእንደ የቬክተር ሞጁሎች አስላ (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), ወይም

ነገር ግን, ውስብስብ መጋጠሚያዎች ካላቸው ቬክተሮች ጋር ለሚሰሩ ስራዎች, የፓይታጎሪያን ቀመር የተወሰነ ማሻሻያ ማድረግ አስፈላጊ ነው. ውስብስብ ቁጥሮች ባላቸው ነጥቦች መካከል ያለው ርቀት ( ሀ, ለ) እና ( ሐ, መ); ሀ, ለ, ሐ, እና መሁሉም ውስብስብ ፣ ፍጹም እሴቶችን በመጠቀም እንፈጥራለን። ርቀት ኤስበቬክተር ልዩነት ላይ የተመሰረተ (ሀ − ሐ, ለ − መ) በሚከተለው ቅፅ: ልዩነቱን ይፍቀዱ ሀ − ሐ = ገጽ+እኔ ቅ፣ የት ገጽየልዩነቱ ትክክለኛ አካል ነው ቅምናባዊው ክፍል ነው, እና i = √ (-1). በተመሳሳይም እንፍቀድ ለ − መ = አር+እኔ ኤስ. ከዚያም፡-

የት ነው ያለው ውስብስብ conjugate . ለምሳሌ, በነጥቦች መካከል ያለው ርቀት (ሀ, ለ) = (0, 1) እና (ሐ, መ) = (እኔ, 0) , ልዩነቱን አስሉ (ሀ − ሐ, ለ − መ) = (−እኔ, 1) እና ውስብስብ ማያያዣዎች ጥቅም ላይ ካልዋሉ ውጤቱ 0 ይሆናል. ስለዚህ, የተሻሻለውን ቀመር በመጠቀም, እናገኛለን

ሞጁሉ እንደሚከተለው ይገለጻል:

ስቴሪዮሜትሪ

ለሶስት አቅጣጫዊ ቦታ የፒታጎሪያን ቲዎሬም ጉልህ የሆነ አጠቃላይ የዴ ጓ ቲዎረም ነው ፣ በጄ.-ፒ. de Gua: ቴትራሄድሮን ቀኝ ማዕዘን ካለው (እንደ ኪዩብ) ፣ ከዚያ ከቀኝ አንግል ፊት ለፊት ያለው የፊት ክፍል ካሬ ከሌሎቹ የሶስቱ የፊት ገጽታዎች ካሬዎች ድምር ጋር እኩል ነው። ይህ መደምደሚያ እንደሚከተለው ሊጠቃለል ይችላል. n-ልኬት የፓይታጎሪያን ቲዎረም"

የፒታጎሪያን ቲዎረም በሦስት ልኬቶች ሰያፍ ዓ.ም ከሦስት ጎኖች ጋር ይዛመዳል።

ሌላ አጠቃላይ መግለጫ፡- የፒታጎሪያን ቲዎረም በሚከተለው ቅፅ ላይ ለስቴሪዮሜትሪ ሊተገበር ይችላል። በሥዕሉ ላይ እንደሚታየው አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ሳጥን አስቡበት. የፓይታጎሪያን ቲዎረምን በመጠቀም የሰያፍ BD ርዝመት ይፈልጉ፡-

የሶስት ጎኖች ትክክለኛ ሶስት ማዕዘን የሚፈጥሩበት. የፒታጎሪያን ቲዎረምን እንደገና በመጠቀም የዲያግራኑን AD ርዝመት ለማግኘት አግድም ሰያፍ BD እና ቋሚውን ጠርዝ AB ይጠቀሙ፡

ወይም ሁሉም ነገር በአንድ ቀመር ከተጻፈ፡-

ይህ ውጤት የቬክተሩን መጠን ለመወሰን የ3-ል መግለጫ ነው። ቁ(ሰያፍ AD) በቋሚ ክፍሎቹ ውስጥ ተገልጿል ( ቁ k) (ሶስት እርስ በርስ ቀጥ ያሉ ጎኖች)

ይህ እኩልታ እንደ ሁለገብ ቦታ የፓይታጎሪያን ቲዎሬም አጠቃላይ ሆኖ ሊታይ ይችላል። ይሁን እንጂ ውጤቱ በእውነቱ የፓይታጎሪያን ቲዎረም በተከታታይ ቀጥ ባለ አውሮፕላኖች ውስጥ በተከታታይ የቀኝ ትሪያንግሎች ቅደም ተከተል ከመተግበር የበለጠ ምንም አይደለም ።

የቬክተር ቦታ

የቬክተሮች ኦርቶጎንታል ስርዓትን በተመለከተ እኩልነት ይከናወናል, እሱም የፓይታጎሪያን ቲዎረም ተብሎም ይጠራል.

ከሆነ - እነዚህ የቬክተር ወደ አስተባባሪ መጥረቢያ ላይ ትንበያዎች ናቸው, ከዚያም ይህ ቀመር Euclidean ርቀት ጋር የሚገጣጠመው - እና የቬክተር ርዝመት በውስጡ ክፍሎች ካሬ ድምር ካሬ ሥር ጋር እኩል ነው ማለት ነው.

የዚህ እኩልነት አናሎግ ገደብ በሌለው የቬክተር ስርዓት ሁኔታ የፓርሴቫል እኩልነት ይባላል።

ኢዩክሊዲያን ያልሆነ ጂኦሜትሪ

የፒታጎሪያን ቲዎረም ከኤውክሊዲያን ጂኦሜትሪ አክሲዮሞች የተገኘ ነው እና በእውነቱ፣ ከላይ በተጻፈበት መልኩ ኢዩክሊዲያን ጂኦሜትሪ ላልሆኑ ተቀባይነት የለውም። (ይህም የፒታጎሪያን ቲዎሬም ከዩክሊድ ትይዩነት ጋር ተመሳሳይነት ያለው ዓይነት ሆኖ ተገኝቷል) በሌላ አነጋገር ኢውክሊዲያን ጂኦሜትሪ ባልሆነ መልኩ በሦስት ማዕዘኑ ጎኖች መካከል ያለው ጥምርታ የግድ ከፓይታጎሪያን ቲዎሬም በተለየ መልኩ ይሆናል። . ለምሳሌ፣ በሉላዊ ጂኦሜትሪ፣ የቀኝ ትሪያንግል ሶስቱም ጎኖች (ይበል ሀ, ለእና ሐየሉል ክፍልን ኦክታንት (ስምንተኛ ክፍል) ያስተሳሰረ፣ π/2 ርዝመት አለው፣ እሱም ከፒታጎሪያን ቲዎረም ጋር ይቃረናል፣ ምክንያቱም ሀ 2 + ለ 2 ≠ ሐ 2 .

Euclidean ያልሆኑ ጂኦሜትሪ ሁለት ጉዳዮችን እዚህ አስቡ - ሉላዊ እና ሃይፐርቦሊክ ጂኦሜትሪ; በሁለቱም ሁኔታዎች የ Euclidean ቦታ ለትክክለኛ ትሪያንግሎች, የፓይታጎሪያን ቲዎረም የሚተካው ውጤት ከኮሳይን ቲዎሪም ይከተላል.

ነገር ግን ትሪያንግል ቀኝ-አንግል ነው የሚለው መስፈርት የሶስት ማዕዘን ሁለት ማዕዘኖች ድምር ከሦስተኛው ጋር እኩል መሆን አለበት በሚለው ሁኔታ ከተተካ የፓይታጎሪያን ቲዎረም ለሃይፐርቦሊክ እና ሞላላ ጂኦሜትሪ ይቆያል። ሀ+ለ = ሲ. ከዚያም በጎኖቹ መካከል ያለው ጥምርታ ይህን ይመስላል-ዲያሜትር ያላቸው የክበቦች ቦታዎች ድምር ሀእና ለዲያሜትር ካለው ክብ ስፋት ጋር እኩል ነው። ሐ.

ሉላዊ ጂኦሜትሪ

ራዲየስ ባለው ሉል ላይ ለማንኛውም የቀኝ ትሪያንግል አር(ለምሳሌ, በሶስት ማዕዘን ውስጥ ያለው አንግል γ ትክክለኛ ከሆነ) ከጎኖች ጋር ሀ, ለ, ሐበተዋዋይ ወገኖች መካከል ያለው ግንኙነት እንደሚከተለው ይሆናል-

ይህ እኩልነት ለሁሉም ሉላዊ ትሪያንግሎች የሚሰራ እንደ spherical cosine theorem እንደ ልዩ ሁኔታ ሊመጣ ይችላል፡

ኮሽ ሃይፐርቦሊክ ኮሳይን ባለበት። ይህ ቀመር ለሁሉም ትሪያንግሎች የሚሰራ የሃይፐርቦሊክ ኮሳይን ቲዎረም ልዩ ጉዳይ ነው።

የት γ ወርድ ከጎኑ ተቃራኒ የሆነ አንግል ነው። ሐ.

የት ሰ ijሜትሪክ ቴንስ ይባላል። የአቀማመጥ ተግባር ሊሆን ይችላል. እንደነዚህ ያሉት የከርቪላይንየር ቦታዎች ሪማንኒያን ጂኦሜትሪ እንደ አንድ የተለመደ ምሳሌ ያካትታሉ። ይህ አጻጻፍ ከርቪላይንየር መጋጠሚያዎችን በሚጠቀሙበት ጊዜ ለ Euclidean ቦታም ተስማሚ ነው። ለምሳሌ፣ ለፖላር መጋጠሚያዎች፡-

የቬክተር ምርት

የፓይታጎሪያን ቲዎረም ለቬክተር ምርት መጠን ሁለት መግለጫዎችን ያገናኛል። ተሻጋሪ ምርትን ለመወሰን አንዱ አቀራረብ ቀመርን ማሟላት ያስፈልገዋል፡-

ይህ ቀመር የነጥብ ምርቱን ይጠቀማል. የእኩልታው የቀኝ ጎን የግራም መወሰኛ ይባላል ሀእና ለበእነዚህ ሁለት ቬክተሮች ከተፈጠሩት ትይዩዎች ስፋት ጋር እኩል ነው። በዚህ መስፈርት ላይ በመመስረት, እንዲሁም የቬክተር ምርቱ ወደ ክፍሎቹ ቀጥ ያለ መሆን አለበት ሀእና ለከ 0 እና 1-ልኬት ቦታ ጥቃቅን ጉዳዮች በስተቀር የቬክተር ምርቱ በሶስት እና በሰባት ልኬቶች ብቻ ይገለጻል. የማዕዘን ፍቺን በ ውስጥ እንጠቀማለን n- ልኬት ቦታ;

ይህ የቬክተር ምርት ንብረት ዋጋውን በሚከተለው መልክ ይሰጣል፡-

በፓይታጎረስ መሠረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ማንነት በኩል እሴቱን ሌላ የአጻጻፍ ዘዴ እናገኛለን፡-

ተሻጋሪ ምርትን ለመወሰን አማራጭ አቀራረብ ለትልቅነቱ አገላለጽ ይጠቀማል። ከዚያ በተቃራኒው ቅደም ተከተል ስንከራከር ከስካላር ምርቱ ጋር ግንኙነት እናገኛለን፡-

ተመልከት

ማስታወሻዎች

የታሪክ ርዕስ፡ የፓይታጎረስ ቲዎሬም በባቢሎን ሒሳብ
( ገጽ 351) ገጽ 351
( ቅፅ አንድ ገጽ 144)
የታሪካዊ እውነታዎች ውይይት በ (ገጽ 351) ገጽ 351 ተሰጥቷል።
ከርት ቮን ፍሪትዝ (ኤፕሪል፣ 1945)። "በ Hippasus of Metapontum ተመጣጣኝ ያልሆነ ግኝት" የሂሳብ ዘገባዎች፣ ሁለተኛ ተከታታይ(የሂሳብ ዘገባዎች) 46 (2): 242–264.
ሉዊስ ካሮል፣ “ታሪኩ ከኖቶች ጋር”፣ ኤም.፣ ሚር፣ 1985፣ ገጽ. 7
አስገር አቦከመጀመሪያዎቹ የሂሳብ ታሪክ ክፍሎች። - የአሜሪካ የሂሳብ ማህበር, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
የፓይታጎሪያን ሀሳብበኤልሻ ስኮት ሎሚስ
ዩክሊድ ንጥረ ነገሮችመጽሐፍ VI ፣ Proposition VI 31፡ "በቀኝ ባለ ሶስት ማዕዘኖች ውስጥ በጎን በኩል በቀኝ ማዕዘኑ ላይ ያለው ምስል በቀኝ በኩል ካለው ተመሳሳይ እና በተመሳሳይ መልኩ ከተገለጹት አሃዞች ጋር እኩል ነው።"
ሎውረንስ ኤስ. ሌፍ የተጠቀሰው ሥራ. - ባሮን የትምህርት ተከታታይ - P. 326. - ISBN 0764128922
ሃዋርድ ዊትሊ ኢቭስ§4.8፡... የፓይታጎሪያን ቲዎረም አጠቃላይነት // በሂሳብ ውስጥ ያሉ ታላላቅ ጊዜያት (ከ1650 በፊት)። - የአሜሪካ የሂሳብ ማህበር, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
ታቢት ኢብን ቆራ (ሙሉ ስም ጧቢት ኢብን ቁራ ኢብን ማርዋን አል-ሳቢኤ አል-ሀርራኒ) (826-901 AD) በባግዳድ ይኖር የነበረ ዶክተር በኡክሊድ ኤለመንቶች እና ሌሎች የሂሳብ ትምህርቶች ላይ በሰፊው የፃፈ ሐኪም ነበር።
አይዲን ሳይሊ (መጋቢት 1960) "ትህቢት ኢብን ቁርራ የፒታጎሪያን ቲዎረም አጠቃላይ መግለጫ" አይሲስ 51 (1): 35–37 DOI: 10.1086/348837.
ጁዲት ዲ. ሳሊ, ፖል ሳሊመልመጃ 2.10 (ii) // የተጠቀሰ ሥራ . - P. 62. - ISBN 0821844032
ለእንደዚህ አይነት ግንባታ ዝርዝሮች, ይመልከቱ ጆርጅ ጄኒንዝምስል 1.32: አጠቃላይ የፓይታጎሪያን ቲዎረም // ዘመናዊ ጂኦሜትሪ ከመተግበሪያዎች ጋር: ከ 150 አሃዞች ጋር. - 3 ኛ. - ስፕሪንግ, 1997. - ፒ. 23. - ISBN 038794222X
አርለን ብራውን፣ ካርል ኤም. ፒርሲንጥል ነገር ሲ: መደበኛ የዘፈቀደ n-tuple ... // የትንታኔ መግቢያ . - ስፕሪንግ, 1995. - ፒ. 124. - ISBN 0387943692እንዲሁም ከገጽ 47-50 ተመልከት።
አልፍሬድ ግሬይ፣ ኤልሳ አቤና፣ ሲሞን ሳላሞንዘመናዊ ልዩነት ጂኦሜትሪ ኩርባዎች እና ገጽታዎች ከሂሳብ ጋር። - 3 ኛ. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
ራጄንድራ ብሃቲያማትሪክስ ትንተና. - ስፕሪንግ, 1997. - ፒ. 21. - ISBN 0387948465
እስጢፋኖስ ደብልዩ ሃውኪንግ የተጠቀሰው ሥራ. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
ኤሪክ W. Weisstein CRC አጭር የሂሳብ ኢንሳይክሎፔዲያ። - 2ኛ. - 2003. - ፒ. 2147. - ISBN 1584883472
አሌክሳንደር አር.ፕረስ

የፓይታጎሪያን ቲዎረም: በእግሮቹ የተደገፉ የካሬዎች ቦታዎች ድምር ( ሀእና ለበ hypotenuse ላይ ከተገነባው ካሬ ስፋት ጋር እኩል ነው ( ሐ).

የጂኦሜትሪክ ቀመር፡

ንድፈ ሃሳቡ በመጀመሪያ የተቀረፀው እንደሚከተለው ነው።

የአልጀብራ ቅንብር፡-

ማለትም ፣ የሶስት ማዕዘኑ hypotenuse ርዝመትን በመጥቀስ ሐ, እና የእግሮቹ ርዝመት በ ሀእና ለ :

ሀ 2 + ለ 2 = ሐ 2

ተገላቢጦሽ የፓይታጎሪያን ቲዎሪ፡

ማረጋገጫ

በተመሳሳይ ትሪያንግሎች በኩል

እናገኛለን

ምን እኩል ነው።

በማከል, እናገኛለን

የአካባቢ ማረጋገጫዎች

በ Equivalence በኩል ማረጋገጫ

በስእል 1 ላይ እንደሚታየው አራት እኩል የቀኝ ትሪያንግሎችን አዘጋጅ።
ከጎን ጋር አራት ማዕዘን ሐካሬ ነው ምክንያቱም የሁለት አጣዳፊ ማዕዘኖች ድምር 90 ° እና ቀጥተኛ አንግል 180 ° ነው.
የጠቅላላው ምስል ስፋት በአንድ በኩል ፣ ከጎን (a + b) ጋር ካለው የካሬው ስፋት ጋር እኩል ነው ፣ በሌላ በኩል ደግሞ የአራት ማዕዘኖች እና ሁለት ውስጣዊ ድምር። ካሬዎች.

ጥ.ኢ.ዲ.

ማስረጃ በ Equivalence

የሚያምር የመተላለፊያ ማረጋገጫ

ከእነዚህ ማስረጃዎች ውስጥ አንዱ ምሳሌ በቀኝ በኩል ባለው ሥዕል ላይ ይታያል፣ በ hypotenuse ላይ የተሠራው ካሬ በእግሮች ላይ ወደተሠሩ ሁለት ካሬዎች በመተላለፊያነት ይለወጣል።

የዩክሊድ ማስረጃ

ለ Euclid ማረጋገጫ መሳል

ለኢውክሊድ ማረጋገጫ ምሳሌ

አሁን የሶስት ማዕዘን ACK ቦታ ከ ስኩዌር DECA ግማሽ ስፋት ጋር እኩል መሆኑን እናረጋግጥ። ለዚህ መደረግ ያለበት ብቸኛው ነገር የሶስት ማዕዘኖች ACK እና BDA እኩልነት ማረጋገጥ ነው (የሦስት ማዕዘን BDA ስፋት ከላይ ባለው ንብረት ከካሬው ግማሽ ስፋት ጋር እኩል ስለሆነ)። ይህ እኩልነት ግልጽ ነው, ትሪያንግሎች በሁለት ጎኖች እና በመካከላቸው ያለው አንግል እኩል ናቸው. ማለትም AB=AK, AD=AC - የማዕዘኖቹ እኩልነት CAK እና BAD በእንቅስቃሴ ዘዴ በቀላሉ ማረጋገጥ ይቻላል፡ ትሪያንግል CAK 90 ° በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ እናዞረው ከዛም የሁለቱ ተጓዳኝ ጎኖች ትሪያንግሎች እንደሚቆጠሩ ግልጽ ነው። ይጣጣማሉ (በካሬው ጫፍ ላይ ያለው አንግል 90 ° በመኖሩ ምክንያት).

ስለ ስኩዌር BCFG እና ሬክታንግል BHJI አከባቢዎች እኩልነት ክርክር ሙሉ በሙሉ ተመሳሳይ ነው።

የሊዮናርዶ ዳ ቪንቺ ማረጋገጫ

የማረጋገጫው ዋና ዋና ነገሮች ሲሜትሪ እና እንቅስቃሴ ናቸው.

ከሲሜትሪ, ከክፍሉ እንደሚታየው, ስዕሉን አስቡበት ሲአይካሬውን ይከፋፍላል ሀለኤችጄ ወደ ሁለት ተመሳሳይ ክፍሎች (ከሦስት ማዕዘናት ጀምሮ ሀለሲእና ጄኤችአይበግንባታ ውስጥ እኩል ናቸው). በ 90 ዲግሪ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ መሽከርከርን በመጠቀም, የተሸለሙትን ምስሎች እኩልነት እናያለን ሲሀጄአይ እና ጂዲሀለ . አሁን በእኛ ጥላ የተሸፈነው የምስሉ ስፋት በእግሮቹ ላይ ከተገነቡት የካሬዎች አከባቢዎች ግማሽ እና ከመጀመሪያው ሶስት ማዕዘን ስፋት ጋር እኩል እንደሆነ ግልጽ ነው. በሌላ በኩል, በ hypotenuse ላይ የተገነባው የካሬው ግማሽ ስፋት እና ከመጀመሪያው የሶስት ማዕዘን ስፋት ጋር እኩል ነው. የማረጋገጫው የመጨረሻ ደረጃ ለአንባቢ የተተወ ነው።

በማያልቀው ዘዴ ማረጋገጫ

ተለዋዋጭዎችን የመለየት ዘዴን በመጠቀም, እናገኛለን

በሁለቱም እግሮች መጨመር ላይ hypotenuseን ለመለወጥ የበለጠ አጠቃላይ መግለጫ

ይህንን እኩልታ በማዋሃድ እና የመጀመሪያ ሁኔታዎችን በመጠቀም, እናገኛለን

ሐ 2 = ሀ 2 + ለ 2+ ቋሚ።

ስለዚህ, ወደሚፈለገው መልስ ደርሰናል

ሐ 2 = ሀ 2 + ለ 2 .

ከእግሮቹ አንዱ መጨመር እንደማያጋጥመው ካሰብን ቀለል ያለ ማስረጃ ማግኘት ይቻላል (በዚህ ሁኔታ እግሩ). ለ). ከዚያ ለውህደት ቋሚነት እናገኛለን

ልዩነቶች እና አጠቃላይ

ከካሬዎች ይልቅ ሌሎች ተመሳሳይ ምስሎች በእግሮች ላይ ከተገነቡ ፣ የሚከተለው የፓይታጎሪያን ንድፈ ሀሳብ አጠቃላይ እውነት ነው ። በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ ፣ በእግሮቹ ላይ የተገነቡ ተመሳሳይ ምስሎች ድምር በ hypotenuse ላይ ከተገነባው ምስል ስፋት ጋር እኩል ነው።በተለየ ሁኔታ:
- በእግሮቹ ላይ የተገነቡ የመደበኛ ትሪያንግል ቦታዎች ድምር በ hypotenuse ላይ ከተገነባው መደበኛ ትሪያንግል ስፋት ጋር እኩል ነው።
- በእግሮቹ ላይ የተገነቡ የሴሚካሎች አከባቢዎች ድምር (እንደ ዲያሜትር) በ hypotenuse ላይ ከተገነባው የግማሽ ክበብ ስፋት ጋር እኩል ነው. ይህ ምሳሌ በሁለት ክበቦች ቅስት የታሰሩ እና ሂፖክራቲክ ሉኑላ የሚል ስያሜ ያላቸውን የምስሎች ባህሪያት ለማረጋገጥ ይጠቅማል።

ታሪክ

Chu-pei 500-200 ዓክልበ. በግራ በኩል የተቀረጸው ጽሑፍ ነው-የቁመቱ ርዝመቶች እና የመሠረቱ ካሬዎች ድምር የ hypotenuse ርዝመት ካሬ ነው.

የጥንታዊው የቻይና መጽሐፍ ቹ-ፔ ስለ ፒይታጎሪያን ትሪያንግል ከ 3 ፣ 4 እና 5 ጋር ይናገራል፡ በተመሳሳይ መጽሃፍ ከባሻራ የሂንዱ ጂኦሜትሪ ሥዕሎች አንዱ ጋር የሚገጣጠም ሥዕል ቀርቧል።

ካንቶር (የሂሳብ ትልቁ ጀርመናዊ የታሪክ ምሁር) እኩልነት 3 ² + 4 ² = 5² በግብፃውያን ዘንድ የሚታወቀው በ2300 ዓክልበ. አካባቢ እንደሆነ ያምናል። ሠ. በንጉሥ አመነምኸት 1ኛ ጊዜ (በበርሊን ሙዚየም በፓፒረስ 6619 መሠረት)። እንደ ካንቶር አባባል ሃርፐዶናፕትስ ወይም "stringers" ቀኝ ማዕዘኖች ከ 3፣ 4 እና 5 ጋር ቀኝ ትሪያንግል በመጠቀም ገንብተዋል።

የእነሱን የግንባታ ዘዴ እንደገና ማባዛት በጣም ቀላል ነው. 12 ሜትር ርዝመት ያለው ገመድ ወስደህ በ 3 ሜትር ርቀት ላይ ባለ ባለ ቀለም ነጠብጣብ ላይ አስረው. ከአንድ ጫፍ እና ከሌላው 4 ሜትር. ከ 3 እስከ 4 ሜትር ርዝመት ባለው ጎኖች መካከል የቀኝ ማዕዘን ይዘጋል. ሃርፐዶናፕትስ አንድ ሰው ለምሳሌ ሁሉም አናጺዎች የሚጠቀሙበትን የእንጨት አደባባይ ከተጠቀሙ የግንባታ ዘዴያቸው ብዙ ጊዜ እንደሚቀንስ ሊቃወመው ይችላል። በእርግጥም, የግብፅ ሥዕሎች እንዲህ ዓይነት መሣሪያ የሚገኝበት የታወቁ ናቸው, ለምሳሌ, የአናጢነት አውደ ጥናትን የሚያሳዩ ሥዕሎች.

በባቢሎናውያን መካከል ስለ ፒይታጎሪያን ቲዎሬም ትንሽ ተጨማሪ ይታወቃል። በሐሙራቢ ዘመን ማለትም እስከ 2000 ዓክልበ. ድረስ ባለው አንድ ጽሑፍ። ሠ, የቀኝ ትሪያንግል hypotenuse ግምታዊ ስሌት ተሰጥቷል. ከዚህ በመነሳት በሜሶጶጣሚያ ውስጥ ቢያንስ በአንዳንድ ሁኔታዎች, በቀኝ-ማዕዘን ሶስት ማዕዘኖች ስሌት መስራት እንደቻሉ መደምደም እንችላለን. በአንድ በኩል፣ አሁን ባለው የግብፅና የባቢሎናውያን ሂሳብ የዕውቀት ደረጃ፣ በሌላ በኩል፣ በግሪክ ምንጮች ላይ ባደረገው ወሳኝ ጥናት፣ ቫን ደር ዋየርደን (የሆች የሒሳብ ሊቅ) የሚከተለውን ደምድሟል።

ስነ-ጽሁፍ

በሩሲያኛ

ስኮፕቶች Z.A.ጂኦሜትሪክ ድንክዬዎች. ኤም.፣ 1990
ዬለንስኪ ሸ.የፓይታጎረስን ፈለግ በመከተል። ኤም.፣ 1961 ዓ.ም
ቫን ደር ዋየርደን ቢ.ኤል.የንቃት ሳይንስ. የጥንቷ ግብፅ ፣ ባቢሎን እና ግሪክ ሂሳብ። ኤም.፣ 1959
ግላዘር ጂ.አይ.በትምህርት ቤት ውስጥ የሂሳብ ታሪክ. ኤም.፣ 1982 ዓ.ም
ደብሊው ሊዝማን፣ "የፒታጎሪያን ቲዎረም" ኤም.፣ 1960
- ስለ ፓይታጎሪያን ቲዎሬም ብዙ ማረጋገጫዎች ያለው ጣቢያ ፣ ቁሱ ከመጽሐፉ የተወሰደው በደብሊው ሊትስማን ነው ፣ ብዙ ቁጥር ያላቸው ስዕሎች እንደ የተለየ ግራፊክ ፋይሎች ቀርበዋል ።
የፒታጎሪያን ቲዎረም እና ፓይታጎሪያን በዲ.ቪ. አኖሶቭ ከመጽሐፉ ውስጥ በሦስት እጥፍ ምዕራፎች “የሂሳብ እይታ እና ከእሱ የሆነ ነገር”
በፒታጎሪያን ቲዎሬም እና የማረጋገጫ ዘዴዎች ላይ ፣ የሞስኮ የሩሲያ የትምህርት አካዳሚ አካዳሚ ጂ.ግላዘር