ተከታታይ ይሰበሰባል ማለት ምን ማለት ነው? ተግባራትን ወደ ኃይል ተከታታይ ማስፋፋት
ረድፎች ለ teapots. የመፍትሄዎች ምሳሌዎች
የተረፉትን ሁሉ በሁለተኛው ዓመት እንኳን ደህና መጣችሁ! በዚህ ትምህርት, ወይም ይልቁንስ, በተከታታይ ትምህርቶች, ረድፎችን እንዴት ማስተዳደር እንደሚቻል እንማራለን. ርዕሱ በጣም የተወሳሰበ አይደለም, ነገር ግን እሱን መቆጣጠር ከመጀመሪያው አመት እውቀትን ይጠይቃል, በተለይም መረዳት ያስፈልግዎታል ገደብ ምንድን ነው, እና በጣም ቀላል የሆኑትን ገደቦች ማግኘት መቻል. ነገር ግን፣ ምንም አይደለም፣ እንደገለጽኩት፣ አስፈላጊ ለሆኑ ትምህርቶች ተዛማጅ አገናኞችን አቀርባለሁ። ለአንዳንድ አንባቢዎች፣ የሒሳብ ተከታታይ ርዕስ፣ የመፍትሔ ዘዴዎች፣ ምልክቶች፣ ቲዎሬሞች ልዩ፣ እና እንዲያውም አስመሳይ፣ የማይረባ ሊመስሉ ይችላሉ። በዚህ ሁኔታ, በጣም "መጫን" አያስፈልገዎትም, እውነታውን እንደ ሁኔታው እንቀበላለን እና የተለመዱትን የተለመዱ ተግባራትን መፍታት እንማራለን.
1) ለዳሚዎች ረድፎችእና ለ samovars ወዲያውኑ ይዘት :)
በርዕሱ ላይ ለፈጣን ዝግጅትበፒዲኤፍ ቅርጸት ግልጽ የሆነ ኮርስ አለ፣ በእሱ እርዳታ ልምምድዎን በትክክል በአንድ ቀን ውስጥ “ማሳደግ” ይችላሉ።
የቁጥር ተከታታይ ጽንሰ-ሐሳብ
በአጠቃላይ ተከታታይ ቁጥርእንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል።
እዚህ፡
- የሂሳብ ድምር አዶ;
– የተከታታዩ የጋራ ቃል(ይህን ቀላል ቃል አስታውስ);
- "ቆጣሪ" ተለዋዋጭ. ማስታወሻው ማለት ማጠቃለያ ከ 1 ወደ "ፕላስ ኢንፊኒቲ" ማለትም በመጀመሪያ ከእኛ ጋር, ከዚያም, ከዚያም, እና ወዘተ - ወደ ወሰን የሌለው. በተለዋዋጭ ምትክ, ተለዋዋጭ ወይም አንዳንድ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል. ማጠቃለያ የግድ ከአንዱ አይጀምርም፤ በአንዳንድ ሁኔታዎች ከዜሮ፣ ከሁለት ወይም ከማንኛውም ሊጀምር ይችላል። የተፈጥሮ ቁጥር.
በ “ቆጣሪ” ተለዋዋጭ መሠረት ማንኛውም ተከታታይ ሊሰፋ ይችላል- 
- እና ወዘተ፣ ማስታወቂያ ኢንፊኒተም
አካላት 
- ይህ NUMBERSየሚባሉት አባላትረድፍ. ሁሉም አሉታዊ ካልሆኑ (ከዜሮ በላይ ወይም እኩል), ከዚያም እንዲህ ዓይነቱ ተከታታይ ይባላል አዎንታዊ ተከታታይ ቁጥር.
ምሳሌ 1
በነገራችን ላይ ይህ ቀድሞውኑ “ውጊያ” ተግባር ነው - በተግባር ብዙ ጊዜ ብዙ ተከታታይ ቃላትን መጻፍ አስፈላጊ ነው።
በመጀመሪያ ከዚያም፡-
ከዚያ በኋላ፡-
ከዚያ በኋላ፡-
ሂደቱ ላልተወሰነ ጊዜ ሊቀጥል ይችላል, ነገር ግን እንደ ቅድመ ሁኔታው የተከታታዩን የመጀመሪያዎቹን ሶስት ቃላት ለመጻፍ ያስፈልግ ነበር, ስለዚህ መልሱን እንጽፋለን. 
እባኮትን መሰረታዊ ልዩነት ከ የቁጥር ቅደም ተከተል,
ቃላቶቹ ያልተጠቃለሉበት, ግን እንደዚሁ ይቆጠራሉ.
ምሳሌ 2
የተከታታዩን የመጀመሪያዎቹን ሶስት ቃላት ጻፍ
ይህ በራስዎ ለመፍታት ምሳሌ ነው, መልሱ በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ነው
በአንደኛው እይታ ውስብስብ ለሆነ ተከታታይ እንኳን ቢሆን ፣ በተስፋፋ መልኩ ለመግለጽ አስቸጋሪ አይደለም ።
ምሳሌ 3
የተከታታዩን የመጀመሪያዎቹን ሶስት ቃላት ጻፍ
በእውነቱ ፣ ተግባሩ የሚከናወነው በቃል ነው- በተከታታዩ የጋራ ቃል ውስጥ በአእምሮ መተካትበመጀመሪያ, ከዚያም እና. በመጨረሻ፡- 
መልሱን እንደሚከተለው እንተወዋለን። የተፈጠሩትን ተከታታይ ቃላትን አለማቃለል የተሻለ ነው, ያውና አታድርጉድርጊቶች:,,. ለምን? መልሱ በቅጹ ነው። 
ለመምህሩ ለመፈተሽ በጣም ቀላል እና የበለጠ ምቹ ነው.
አንዳንድ ጊዜ ተቃራኒው ተግባር ይከሰታል
ምሳሌ 4
እዚህ ምንም ግልጽ መፍትሔ አልጎሪዝም የለም, ንድፉን ብቻ ማየት ያስፈልግዎታል.
በዚህ ሁኔታ፡-
ለመፈተሽ፣ የተገኘው ተከታታዮች በተስፋፋ መልኩ "በኋላ ሊጻፍ" ይችላል።
በራስዎ ለመፍታት ትንሽ የተወሳሰበ ምሳሌ ይኸውና፡
ምሳሌ 5
ድምርን በተሰበሰበ ቅጽ ከተከታታዩ የጋራ ቃል ጋር ይፃፉ 
ተከታታዩን በድጋሚ በመጻፍ ቼክ ያከናውኑ
የተከታታይ ቁጥሮች መመጣጠን
የርዕሱ ዋና ዓላማዎች አንዱ ነው። ተከታታይ ጥናት ለማገናኘት. በዚህ ሁኔታ ሁለት ጉዳዮች ሊኖሩ ይችላሉ-
1) ረድፍይለያያል. ይህ ማለት ወሰን የሌለው ድምር ከኢንፍኔቲዝም ጋር እኩል ነው፡ ወይም በአጠቃላይ ድምር አልተገኘም, እንደ, ለምሳሌ, በተከታታይ 
(እዚህ, በነገራችን ላይ, አሉታዊ ቃላት ያሉት ተከታታይ ምሳሌ ነው). በትምህርቱ መጀመሪያ ላይ የተለያየ ቁጥር ያለው ጥሩ ምሳሌ ተገኝቷል፡- 
. እዚህ እያንዳንዱ ቀጣይ አባል ከቀዳሚው እንደሚበልጥ ግልፅ ነው ፣ እና ስለዚህ ተከታታዩ ይለያያሉ። የበለጠ ቀላል ምሳሌ፡- 
.
2) ረድፍይሰበሰባል. ይህ ማለት ማለቂያ የሌለው ድምር ከአንዳንዶች ጋር እኩል ነው ማለት ነው። የመጨረሻ ቁጥር. አባክሽን: 
- ይህ ተከታታይ ይሰበሰባል እና ድምር ዜሮ ነው። የበለጠ ትርጉም ያለው ምሳሌ ልንጠቅስ እንችላለን ያለማቋረጥ እየቀነሰከትምህርት ቤት ጀምሮ የምናውቀው የጂኦሜትሪክ እድገት፡- 
. ያለገደብ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ቃላቶች ድምር በቀመር ይሰላል፡ የሂደቱ የመጀመሪያ ቃል የት ነው ያለው፣ እና መሰረቱ ነው፣ እሱም ዘወትር በቅጹ የተጻፈ። ትክክልክፍልፋዮች በዚህ ሁኔታ፡. ስለዚህ: አንድ የተወሰነ ቁጥር ተገኝቷል, ይህም ማለት ተከታታዩ ይሰበሰባሉ, ይህም መረጋገጥ ያስፈልገዋል.
ሆኖም ፣ በአብዛኛዎቹ ጉዳዮች የተከታታዩን ድምር ያግኙበጣም ቀላል አይደለም, እና ስለዚህ, በተግባር, ተከታታይ ትስስርን ለማጥናት, በንድፈ ሀሳብ የተረጋገጡ ልዩ ምልክቶች ጥቅም ላይ ይውላሉ.
የተከታታይ ውህደት በርካታ ምልክቶች አሉ- ለተከታታይ ውህደት አስፈላጊ ፈተና፣ የንፅፅር ሙከራዎች፣ የዲኤልምበርት ፈተና፣ የካውቺ ፈተናዎች, የሊብኒዝ ምልክትእና አንዳንድ ሌሎች ምልክቶች. የትኛውን ምልክት መጠቀም መቼ ነው?በምሳሌያዊ አነጋገር በተከታታዩ "መሙላት" ላይ በተከታታዩ የጋራ አባል ላይ የተመሰረተ ነው. እና በቅርቡ ሁሉንም ነገር እናስተካክላለን።
! ትምህርቱን የበለጠ ለመማር, ያስፈልግዎታል በደንብ መረዳትገደብ ምንድን ነው እና የአንድን አይነት እርግጠኛ አለመሆንን ማሳየት መቻል ጥሩ ነው። ትምህርቱን ለመገምገም ወይም ለማጥናት እባክዎን ጽሑፉን ይመልከቱ ገደቦች የመፍትሄዎች ምሳሌዎች.
የተከታታይ ውህደት አስፈላጊ ምልክት
ተከታታይ ከተጣመረ፣ የጋራ ቃሉ ወደ ዜሮ ይቀየራል።
ንግግሩ በአጠቃላይ ሁኔታ እውነት አይደለም፣ ማለትም፣ ከሆነ፣ ከዚያም ተከታታዮቹ ሊጣመሩ ወይም ሊለያዩ ይችላሉ። እና ስለዚህ ይህ ምልክት ለማጽደቅ ጥቅም ላይ ይውላል ልዩነቶችረድፍ:
የተከታታዩ የጋራ ቃል ከሆነ ወደ ዜሮ አይቀናም, ከዚያም ተከታታዮቹ ይለያያሉ
ወይም በአጭሩ: ከሆነ, ከዚያም ተከታታዮቹ ይለያያሉ. በተለይም እንደ, ምንም ገደብ የለም ሊሆን ይችላል ገደብ. ስለዚህ ወዲያውኑ የአንድ ተከታታይ መለያየትን አጸደቁ :)
ግን ብዙ ጊዜ ፣የተለያዩ ተከታታይ ገድብ ከማይታወቅ ጋር እኩል ነው ፣ እና በ “x” ምትክ እንደ “ተለዋዋጭ” ተለዋዋጭ ነው። እውቀታችንን እናድስ፡ በ “x” ገደቦች የተግባር ገደብ ይባላሉ፣ እና ከተለዋዋጭ “en” ጋር ገደቦች የቁጥር ቅደም ተከተሎች ገደብ ይባላሉ። ግልጽ የሆነው ልዩነት ተለዋዋጭ "en" የተለየ (የተቋረጠ) የተፈጥሮ እሴቶችን ይወስዳል፡ 1፣ 2፣ 3፣ ወዘተ. ነገር ግን ይህ እውነታ ገደቦችን ለመፍታት እና እርግጠኛ ያልሆኑ ነገሮችን ለመግለጽ ዘዴዎች ላይ ትንሽ ተፅእኖ የለውም።
ከመጀመሪያው ምሳሌ ውስጥ ያሉት ተከታታዮች እንደሚለያዩ እናረጋግጥ።
የተከታታዩ የጋራ አባል፡-
ማጠቃለያ: ረድፍ ይለያያል
አስፈላጊው ባህሪ ብዙውን ጊዜ በእውነተኛ ተግባራዊ ተግባራት ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል-
ምሳሌ 6
በቁጥር እና በተከፋፈለው ውስጥ ብዙ ቁጥር አለን። በአንቀጹ ውስጥ እርግጠኛ አለመሆንን የመግለፅ ዘዴን በጥንቃቄ ያነበበ እና የተረዳ ገደቦች የመፍትሄዎች ምሳሌዎች፣ ምናልባት ያንን ያዝኩት የቁጥር እና የቁጥር ከፍተኛ ኃይሎች ሲሆኑ እኩል ነው።, ከዚያ ገደቡ ነው የመጨረሻ ቁጥር .
አሃዛዊውን እና መለያውን በ 
ተከታታይ በጥናት ላይ ይለያያል, ለተከታታዩ ውህደት አስፈላጊው መስፈርት ስላልተሟላ.
ምሳሌ 7
ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ
ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው። በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ሙሉ መፍትሄ እና መልስ
ስለዚህ፣ ተከታታይ ቁጥር ሲሰጠን፣ በመጀመሪያእኛ እንፈትሻለን (በአእምሯዊ ወይም በረቂቅ ላይ)፡ የጋራ ቃሉ ወደ ዜሮ ያቀናል? ካልሆነ, በምሳሌ ቁጥር 6, 7 ላይ በመመስረት መፍትሄ እናቀርባለን እና ተከታታዩ የሚለያይ መልስ እንሰጣለን.
ምን አይነት የተለያዪ የሚመስሉ ተከታታዮችን ተመልክተናል? ተከታታዮች እንደሚወዱ ወይም እንደሚለያዩ ወዲያውኑ ግልጽ ነው። ተከታታይ ምሳሌዎች ቁጥር 6፣7 እንዲሁ ይለያያሉ፡- አሃዛዊው እና መለያው ፖሊኖሚሎችን ሲይዝ እና የቁጥር ቆጣቢው የመሪነት ኃይል ከዋናው መሪ ኃይል የበለጠ ወይም እኩል ከሆነ. በእነዚህ ሁሉ ሁኔታዎች ምሳሌዎችን ሲፈቱ እና ሲያዘጋጁ, አስፈላጊውን የተከታታይ ውህደት ምልክት እንጠቀማለን.
ምልክቱ ለምን ተጠራ? አስፈላጊ? በጣም ተፈጥሯዊ በሆነው መንገድ ይረዱ: ተከታታዮች እንዲሰበሰቡ, አስፈላጊ, ስለዚህ የእሱ የተለመደ ቃል ወደ ዜሮ ይቀየራል. እና ሁሉም ነገር በጣም ጥሩ ይሆናል, ግን ተጨማሪ አለ በቂ አይደለም. በሌላ ቃል, የተከታታይ የጋራ ቃል ወደ ዜሮ የሚመራ ከሆነ፣ ይህ ማለት ተከታታዩ ይገናኛሉ ማለት አይደለም- ሁለቱም ሊጣመሩ እና ሊለያዩ ይችላሉ!
መገናኘት:
ይህ ተከታታይ ይባላል harmonic ተከታታይ. እባክዎን ያስታውሱ! ከቁጥር ተከታታይ መካከል እሱ ፕሪማ ባላሪና ነው። ይበልጥ በትክክል፣ ባለሪና =)
ያንን ማየት ቀላል ነው። 
፣ ግን። በሂሳብ ትንተና ንድፈ ሃሳብ ውስጥ ተረጋግጧል harmonic ተከታታይ ይለያያሉ.
እንዲሁም የአጠቃላይ ሃርሞኒክ ተከታታይ ጽንሰ-ሀሳብን ማስታወስ አለብዎት-
1) ይህ ረድፍ ይለያያልበ. ለምሳሌ, ተከታታይ,, የተለያዩ.
2) ይህ ረድፍ ይሰበሰባልበ. ለምሳሌ, ተከታታይ,,,, ተሰብስበው. በሁሉም ተግባራዊ ተግባራት ማለት ይቻላል ለእኛ ምንም ያህል አስፈላጊ እንዳልሆነ በድጋሚ አፅንዖት እሰጣለሁ, ለምሳሌ, ተከታታይ ድምር ምን ያህል እኩል ነው. የመገጣጠም እውነታ አስፈላጊ ነው.
እነዚህ ቀደም ሲል የተረጋገጡ ተከታታይ ፅንሰ-ሀሳቦች የመጀመሪያ ደረጃ እውነታዎች ናቸው ፣ እና ማንኛውንም ተግባራዊ ምሳሌ ሲፈቱ ፣ ለምሳሌ ፣ የተከታታይ መለያየትን ወይም የተከታታይ ውህደትን በደህና መጥቀስ ይችላሉ።
በአጠቃላይ, በጥያቄ ውስጥ ያለው ቁሳቁስ በጣም ተመሳሳይ ነው ተገቢ ያልሆኑ ውህዶች ጥናት, እና ይህን ርዕስ ያጠኑ ሰዎች ቀላል ይሆናል. ደህና ፣ ላላጠኑት ፣ በእጥፍ ቀላል ነው :)
ስለዚህ፣ የተከታታይ TENDS የጋራ ቃል ወደ ዜሮ ከሆነ ምን ማድረግ አለበት?በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ምሳሌዎችን ለመፍታት ሌሎችን መጠቀም ያስፈልግዎታል በቂ የመገጣጠም/የመለያየት ምልክቶች፡-
የንጽጽር መስፈርቶች ለአዎንታዊ ተከታታይ ቁጥሮች
ትኩረታችሁን እሳበዋለሁእዚህ የምንናገረው ስለ አዎንታዊ ተከታታይ ቁጥር ብቻ ነው (ከአሉታዊ ቃላት ጋር).
ሁለት የንጽጽር ምልክቶች አሉ, ከመካከላቸው አንዱ በቀላሉ እደውላለሁ የንጽጽር ምልክትሌላ - የንጽጽር ገደብ.
አስቀድመን እናስብ የንጽጽር ምልክት, ወይም ይልቁንስ, የእሱ የመጀመሪያ ክፍል:
ሁለት ተከታታይ አወንታዊ ቁጥሮችን እና . የሚታወቅ ከሆነተከታታይ ፣ ይሰበሰባል, እና ከአንዳንድ ቁጥሮች ጀምሮ, አለመመጣጠን ይረካል, ከዚያም ተከታታይ እንዲሁም ይሰበሰባል.
በሌላ ቃል: ከተከታታዩ ትላልቅ ቃላቶች ጋር ከተጣመረ የተከታታዩን መገጣጠም በትንንሽ ቃላት ይከተላል. በተግባር፣ አለመመጣጠን ብዙውን ጊዜ ለሁሉም እሴቶች ይይዛል፡-
ምሳሌ 8
ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ
መጀመሪያ፣ እንፈትሽ(በአእምሯዊ ወይም በረቂቅ) አፈፃፀም;
“በደም መውረድ” አልተቻለም ማለት ነው።
የአጠቃላይ ሃርሞኒክ ተከታታይን "ጥቅል" እንመለከታለን እና በከፍተኛ ዲግሪ ላይ በማተኮር, ተመሳሳይ ተከታታይ እናገኛለን: በንድፈ ሀሳብ እንደሚሰበሰብ ይታወቃል.
ለሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ግልጽ የሆነ አለመመጣጠን ይይዛል፡-
እና ትላልቅ መለያዎች ከትናንሽ ክፍልፋዮች ጋር ይዛመዳሉ፡ 
, ይህም ማለት በንፅፅር መስፈርት ላይ በመመስረት, በጥናት ላይ ያሉ ተከታታይ ይሰበሰባልከአጠገቡ ጋር አንድ ላይ .
ማንኛቸውም ጥርጣሬዎች ካሉዎት ሁል ጊዜ እኩልነትን በዝርዝር መግለጽ ይችላሉ!ለብዙ ቁጥሮች "en" የተሰራውን አለመመጣጠን እንፃፍ፡-
ከሆነ፣ እንግዲህ
ከሆነ፣ እንግዲህ
ከሆነ፣ እንግዲህ
ከሆነ፣ እንግዲህ
….
እና አሁን በትክክል አለመመጣጠን ግልጽ ነው 
ለሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ተሟልቷል "en".
የንፅፅር መስፈርት እና የተፈታውን ምሳሌ ከመደበኛ ያልሆነ እይታ እንመርምር። አሁንም ፣ ተከታታዩ ለምን ይገናኛሉ? ምክንያቱ ይህ ነው። ተከታታይ ከተጣመረ, ከዚያም የተወሰነ አለው የመጨረሻመጠን: 
. እና ከሁሉም ተከታታይ አባላት ጀምሮ ያነሰየተከታታዩ ተጓዳኝ ውሎች ፣ ከዚያ የተከታታዩ ድምር ከቁጥሩ የበለጠ ሊሆን እንደማይችል ግልፅ ነው ፣ እና የበለጠ ፣ ከማይታወቅ ጋር እኩል ሊሆን አይችልም!
በተመሳሳይ፣ የ“ተመሳሳይ” ተከታታዮችን ትስስር ማረጋገጥ እንችላለን፡- 
, , 
ወዘተ.
! ማስታወሻ, በሁሉም ሁኔታዎች ውስጥ "ፕላስ" በዲኖሚነሮች ውስጥ አለን. ቢያንስ አንድ ሲቀነስ መኖሩ በጥያቄ ውስጥ ያለውን ምርት አጠቃቀምን በእጅጉ ሊያወሳስበው ይችላል። የንጽጽር ምልክት. ለምሳሌ ፣ ተከታታይ ከተለዋዋጭ ተከታታይ ጋር በተመሳሳይ መንገድ ከተነፃፀረ (ለመጀመሪያዎቹ ውሎች ብዙ አለመመጣጠኖችን ይፃፉ) ከዚያ ሁኔታው በጭራሽ አይረካም! እዚህ ለማነፃፀር ሌላ convergent ተከታታይ መምረጥ እና መምረጥ ይችላሉ ፣ ግን ይህ አላስፈላጊ ቦታዎችን እና ሌሎች አላስፈላጊ ችግሮችን ያስከትላል። ስለዚህ, የተከታታዩን ተያያዥነት ለማረጋገጥ ለመጠቀም በጣም ቀላል ነው የንጽጽር ገደብ(የሚቀጥለውን አንቀጽ ተመልከት)።
ምሳሌ 9
ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ
እና በዚህ ምሳሌ ውስጥ, ለራስዎ ግምት ውስጥ እንዲገቡ ሀሳብ አቀርባለሁ የንፅፅር ባህሪ ሁለተኛ ክፍል:
የሚታወቅ ከሆነተከታታይ ፣ ይለያያል, እና ከአንዳንድ ቁጥሮች ጀምሮ (ብዙውን ጊዜ ከመጀመሪያው)አለመመጣጠን ረክቷል, ከዚያም ተከታታይ እንዲሁም ይለያያል.
በሌላ ቃል: ከተከታታይ አነስ ያሉ ቃላት ልዩነት ከተከታታይ ትላልቅ ቃላት ጋር ያለውን ልዩነት ይከተላል.
ምን መደረግ አለበት?
በጥናት ላይ ያሉትን ተከታታይ ክፍሎች ከተለያየ ሃርሞኒክ ተከታታይ ጋር ማወዳደር ያስፈልጋል። ለተሻለ ግንዛቤ፣ በርካታ ልዩ እኩልነቶችን ይገንቡ እና እኩልነት ፍትሃዊ መሆኑን ያረጋግጡ።
የመፍትሄው እና የናሙና ንድፍ በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ናቸው.
ቀደም ሲል እንደተገለፀው, በተግባር, አሁን የተነጋገርነው የንጽጽር መስፈርት እምብዛም ጥቅም ላይ አይውልም. የቁጥር ተከታታይ እውነተኛ የስራ ፈረስ ነው። የንጽጽር ገደብ, እና ከአጠቃቀም ድግግሞሽ አንጻር ሊወዳደር የሚችለው ብቻ ነው d'Alembert ምልክት.
የቁጥር አወንታዊ ተከታታዮችን ለማነፃፀር ፈተናን ይገድቡ
ሁለት ተከታታይ አወንታዊ ቁጥሮችን እና . የእነዚህ ተከታታይ የጋራ ውሎች ጥምርታ ገደብ እኩል ከሆነ ዜሮ ያልሆነ ቁጥር: , ከዚያ ሁለቱም ተከታታዮች በአንድ ጊዜ ይሰባሰባሉ ወይም ይለያያሉ።.
የመገደብ መስፈርት መቼ ጥቅም ላይ ይውላል?የንፅፅር መገደብ መስፈርት ጥቅም ላይ የሚውለው ተከታታይ "መሙላት" ፖሊኖሚሎች ሲሆኑ ነው. በዲኖሚነተሩ ውስጥ አንድ ፖሊኖሚል፣ ወይም ፖሊኖሚሎች በሁለቱም በቁጥር እና በቁጥር። እንደ አማራጭ, ፖሊኖሚሎች ከሥሮቹ ስር ሊቀመጡ ይችላሉ.
የቀደመው የንፅፅር ምልክት የቆመበትን ረድፍ እንይ።
ምሳሌ 10
ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ
ይህን ተከታታይ ክፍል ከተከታታይ ተከታታይ ጋር እናወዳድር። ለማነፃፀር ገዳቢውን መስፈርት እንጠቀማለን. ተከታታይ መሰባሰቡ ይታወቃል። እኩል መሆኑን ማሳየት ከቻልን ውሱን ፣ ዜሮ ያልሆነቁጥር ፣ ተከታታዩም እንደሚሰበሰቡ ይረጋገጣል።
ውሱን ዜሮ ያልሆነ ቁጥር ተገኝቷል, ይህም ማለት በጥናት ላይ ያለው ተከታታይ ነው ይሰበሰባልከአጠገቡ ጋር አንድ ላይ .
ተከታታይ ንጽጽር ለምን ተመረጠ? ከአጠቃላይ ሃርሞኒክ ተከታታይ “ቤት” ውስጥ ማንኛውንም ሌላ ተከታታይ መርጠን ቢሆን ኖሮ በገደቡ ላይ ስኬታማ አንሆንም ነበር። ውሱን ፣ ዜሮ ያልሆነቁጥሮች (መሞከር ይችላሉ).
ማስታወሻገዳቢውን የንጽጽር መስፈርት ስንጠቀም ምንም ማለት አይደለም, የጋራ አባላትን ግንኙነት ለማቀናጀት በምን ቅደም ተከተል, በተጠቀሰው ምሳሌ, ግንኙነቱ በሌላ መንገድ ሊጠቃለል ይችላል: - ይህ የጉዳዩን ይዘት አይለውጥም.
ያለምክንያት ሳቅ የ d'Alembert ምልክት ነው።
የተግባር ደረጃዎች ሰዓቱ ደርሷል። ርዕሱን በተሳካ ሁኔታ ለመቆጣጠር እና በተለይም ይህ ትምህርት ስለ ተራ ቁጥር ተከታታይ ጥሩ ግንዛቤ ሊኖርዎት ይገባል ። ተከታታይ ምን እንደሆነ ጥሩ ግንዛቤ ሊኖሮት ይገባል እና የንፅፅር መመዘኛዎችን መተግበር መቻል አለብዎት ተከታታይ ውህደትን ለመመርመር። ስለዚህ፣ ርዕሱን ገና ማጥናት ከጀመርክ ወይም በከፍተኛ የሂሳብ ትምህርት ጀማሪ ከሆንክ፣ አስፈላጊበቅደም ተከተል ሶስት ትምህርቶችን ያከናውኑ ለዳሚዎች ረድፎች , እና ተለዋጭ ረድፎች. የሊብኒዝ ፈተና . በእርግጠኝነት ሦስቱም! በቁጥር ተከታታይ ችግሮችን ለመፍታት መሰረታዊ እውቀት እና ችሎታዎች ካሉዎት ብዙ አዳዲስ ቁሳቁሶች ስለሌለ ተግባራዊ ተከታታይን መቋቋም በጣም ቀላል ይሆናል።
በዚህ ትምህርት ውስጥ የተግባር ተከታታይ ጽንሰ-ሀሳብን እንመለከታለን (ምን እንደሆነ) ፣ በ 99% በተግባራዊ ተግባራት ውስጥ ከሚገኙት የኃይል ተከታታዮች ጋር መተዋወቅ እና ራዲየስ የማግኘት የተለመደ የተለመደ ችግር እንዴት እንደሚፈታ እንማራለን ። የመገጣጠም ፣ የመሰብሰቢያ ክፍተት እና የኃይል ተከታታዮች የመገጣጠም ክልል። በመቀጠል, በኃይል ተከታታይ ድምር ላይ ያለውን ቁሳቁስ እና ግምት ውስጥ ማስገባት እንችላለን ተግባራትን ወደ ኃይል ተከታታይ ማስፋፋት .
የተግባር ተከታታይ እና የኃይል ተከታታይ ጽንሰ-ሐሳብ
የተለመደው ተከታታይ ቁጥር፣ አስታውስ፣ ቁጥሮችን ያካትታል፡-
ሁሉም ተከታታይ አባላት ናቸው። NUMBERS.
ተግባራዊ ተከታታይ ያካትታል ተግባራት:
ከፖሊኖሚሎች, ፋብሪካዎች እና ሌሎች ስጦታዎች በተጨማሪ በተከታታይ አጠቃላይ ቃል በእርግጠኝነት"X" የሚለውን ፊደል ያካትታል. ለምሳሌ ይህን ይመስላል። እንደ ተከታታይ ቁጥር፣ ማንኛውም ተግባራዊ ተከታታይ በተስፋፋ መልኩ ሊፃፍ ይችላል፡-
እንደሚመለከቱት ፣ ሁሉም የተግባር ተከታታይ አባላት ናቸው። ተግባራት.
በጣም ታዋቂው የተግባር ተከታታይ አይነት ነው የኃይል ተከታታይ.
ፍቺ፡
የኃይል ተከታታይየጋራ ቃሉ የሚያጠቃልለው ተከታታይ ነው። አዎንታዊ የኢንቲጀር ኃይሎችተለዋዋጭ. በብዙ የመማሪያ መጽሐፍት ውስጥ የኃይል ተከታታይ በቀላሉ እንደሚከተለው ተጽፏል-የቀድሞው የተለመደ የቁጥር ተከታታይ “መሙላት” የት አለ (ፖሊኖሚሎች ፣ ኃይሎች ፣ ፋብሪካዎች ፣ ጥገኛ ከ "en" ብቻ). በጣም ቀላሉ ምሳሌ: 
ይህንን መስፋፋት እንመልከተው እና ትርጉሙን እንደገና እናስብ፡ የኃይል ተከታታዮቹ ውሎች በ "x" ውስጥ ይይዛሉ አዎንታዊ ኢንቲጀሮች (ተፈጥሯዊ) ዲግሪዎች። በጣም ብዙ ጊዜ, የኃይል ተከታታይ በሚከተሉት "ማሻሻያዎች" ውስጥ ሊገኝ ይችላል: ወይም, ቋሚ የት አለ. ለምሳሌ:
በትክክል ለመናገር፣ ለኃይል ተከታታይ ቀላል ማስታወሻዎች ሙሉ በሙሉ ትክክል አይደሉም። በገለፃው ውስጥ፣ “en” ከሚለው ብቸኛ ፊደል ይልቅ የበለጠ የተወሳሰበ አገላለጽ ሊኖር ይችላል፣ ለምሳሌ፡- 
ወይም ይህ የኃይል ተከታታይ:
የ “XA” የዲግሪ ኢንዴክሶች ተፈጥሯዊ ከሆኑ ብቻ.
የኃይል ተከታታይ ውህደት.የመገጣጠም ክፍተት፣ የመገጣጠሚያ ራዲየስ እና የመሰብሰቢያ ቦታ
በእንደዚህ ዓይነት የተትረፈረፈ ቃላቶች ማስፈራራት አያስፈልግም, "እርስ በርሳቸው አጠገብ" ይሄዳሉ እና ምንም የተለየ ለመረዳት አስቸጋሪ አይሆኑም. አንዳንድ ቀላል የሙከራ ተከታታይ መምረጥ የተሻለ ነው እና ወዲያውኑ ለማወቅ ይጀምሩ.
እባካችሁ የኃይል ተከታታዮችን ውደዱ እና ደግፉ።
ተለዋዋጭው ሊወስድ ይችላል ማንኛውም እውነተኛ ዋጋከ"minus infinity" ወደ "plus infinity"። በርካታ የዘፈቀደ “x” እሴቶችን በተከታታዩ የጋራ ቃል እንተካ፡ ከሆነ፣ ከዚያ፣ ከሆነ፣ ከዚያም ከሆነ፣ ከዚያ ከሆነ፣ ከዚያ 
እናም ይቀጥላል.
“x”ን ወደ አንድ ወይም ሌላ እሴት በመተካት የተለያዩ ተከታታይ ቁጥሮችን እናገኛለን። የተወሰኑ ተከታታይ ቁጥሮች ይሰባሰባሉ እና አንዳንዶቹ ይለያያሉ። እና የእኛ ተግባር ብዙ የ "x" እሴቶችን ያግኙ, የትኛው የኃይል ተከታታይ ይሆናል መሰባሰብ. እንዲህ ዓይነቱ ስብስብ ይባላል ተከታታይ convergence ክልል.
ለማንኛውም የኃይል ተከታታዮች (ለጊዜው ከአንድ የተወሰነ ምሳሌ የሚገለጽ) ሶስት ጉዳዮች ሊኖሩ ይችላሉ፡
1) የኃይል ተከታታይ ሙሉ በሙሉ ይሰበሰባልበተወሰነ ክፍተት. በሌላ አገላለጽ ፣ ማንኛውንም የ “x” እሴት ከመካከሉ ከመረጥን እና በኃይል ተከታታይ አጠቃላይ ቃል ውስጥ ከተተካ ፣ ከዚያ እናገኛለን ። ፍፁም የተቀናጀተከታታይ ቁጥር. ይህ ክፍተት ይባላል የኃይል ተከታታዮች የመገጣጠም ክፍተት.
የመገጣጠም ራዲየስ, በቀላሉ ለማስቀመጥ, ይህ ነው ግማሽ ርዝመትየመገጣጠም ክፍተት;
በጂኦሜትሪ ሁኔታ ሁኔታው ይህ ይመስላል.
በዚህ አጋጣሚ የተከታታዩ የመገጣጠም ክፍተት፡ የተከታታዩ መገጣጠም ራዲየስ፡ 
በጣም የተስፋፋ ተራ ጉዳይ የመገጣጠሚያ ክፍተቱ ከዜሮ ጋር ሲመሳሰል ነው።
የተከታታዩ የመገጣጠም ክፍተት እዚህ አለ፡- የተከታታዩ መገጣጠም ራዲየስ፡ 
በክፍተቱ መጨረሻ ላይ ምን ይሆናል? ነጥቦች ላይ, የኃይል ተከታታይ ሊጣመር ወይም ሊለያይ ይችላልይህንንም ለማብራራት ተጨማሪ ጥናት ያስፈልጋል። ከእንደዚህ ዓይነት ጥናት በኋላ, ስለእሱ እየተነጋገርን ነው የተከታታዩ የመገጣጠም ክልል:
- የኃይል ተከታታዮች በሁለቱም የጊዜ ክፍተቶች ላይ እንደሚለያዩ ከተረጋገጠ ፣ ከዚያ ተከታታይ convergence ክልልከመገጣጠም ክፍተት ጋር ይጣጣማል፡-
- የሃይል ተከታታዮች በመካከላቸው በአንደኛው ጫፍ ተገናኝተው በሌላኛው እንደሚለያዩ ከተረጋገጠ ተከታታይ convergence ክልልየግማሽ ክፍተትን ይወክላል: ወይም.
- የኃይል ተከታታዮቹ በሁለቱም የጊዜ ክፍተቶች ላይ እንደሚሰበሰቡ ከተረጋገጠ, ከዚያ ተከታታይ convergence ክልልክፍል ነው፡-
ቃላቱ በጣም ተመሳሳይ ናቸው ተከታታይ convergence ክልል- ይህ ትንሽ የበለጠ ዝርዝር ነው ተከታታይ የመገጣጠም ክፍተት.
በቀሩት ሁለት ጉዳዮች ሁሉም ነገር አጭር እና ቀላል ነው-
2) የኃይል ተከታታይ ሙሉ በሙሉ ይሰበሰባልበ ማንኛውምትርጉም ማለትም የ “x” እሴት ምንም ይሁን ምን በኃይል ተከታታዮች አጠቃላይ ቃል ውስጥ ብንተካው በማንኛውም ሁኔታ ስኬታማ እንሆናለን። ፍፁም የተቀናጀተከታታይ ቁጥር. በዚህ ጉዳይ ላይ የመገጣጠም ክፍተት እና የመገጣጠም ክልል ይገናኛሉ፡. የመገጣጠም ራዲየስ:. ስዕል አልሰጥም; ምንም አያስፈልግም ብዬ አስባለሁ.
3) የኃይል ተከታታይ በአንድ ነጥብ ላይ ይሰበሰባል. ተከታታዩ ቅጹ ካለው, ከዚያም በአንድ ነጥብ ላይ ይሰበሰባል. በዚህ ሁኔታ ውስጥ, convergence ያለውን ክፍተት እና ተከታታይ convergence ክልል ደግሞ የሚገጣጠመው እና ነጠላ ቁጥር ጋር እኩል ናቸው - ዜሮ:. ተከታታዩ ቅጹ ካለው ፣ ተከታታይ ቅጹ ካለው ፣ ከዚያ ፣ በእውነቱ ፣ “ሀ ሲቀነስ” በአንድ ነጥብ ላይ ይሰበሰባል ። በሁሉም ሁኔታዎች ውስጥ ተከታታይ convergence ያለውን ራዲየስ, በተፈጥሮ, ዜሮ ነው:.
ሌሎች አማራጮች የሉም። የአንድ የኃይል ተከታታዮች መገጣጠም ክልል ሁል ጊዜ አንድ ነጥብ ነው ፣ ወይም ማንኛውም “X” ፣ ወይም ክፍተት (ምናልባትም ግማሽ-ጊዜ ፣ ክፍል) ነው። ያንን አፅንዖት እሰጣለሁ ይህ ምደባ ለኃይል ተከታታይ የሚሰራ ነው።. የዘፈቀደ ተግባራዊ ተከታታይ በአጠቃላይ ውሸት ነው።
ለማገናኘት የኃይል ተከታታይ ጥናት
ከትንሽ የቲዎሬቲክ ቁሳቁስ በኋላ፣ ወደ አንድ ዓይነተኛ ተግባር እንሸጋገራለን፣ ይህም ሁልጊዜ በከፍተኛ የሂሳብ ፈተናዎች እና ፈተናዎች ውስጥ ይገኛል።
ምሳሌ 1
ስራው ብዙ ጊዜ የሚቀረፀው በተመሳሳይ መልኩ ነው፡ የአንድ ሃይል ተከታታዮች የመግባቢያ ክፍተት ይፈልጉ እና በተገኘው የጊዜ ክፍተት መጨረሻ ላይ ያለውን ግኑኝነት ይመርምሩ።
የመፍትሄው ስልተ ቀመር በጣም ግልጽ እና የተለመደ ነው.
በመጀመሪያው ደረጃ, የተከታታዩን የመገጣጠም ክፍተት እናገኛለን. የ d'Alembert ፈተናን መጠቀም እና ገደቡን መፈለግ ሁል ጊዜ አስፈላጊ ነው። የ d'Alembert ፈተናን ለመጠቀም ቴክኖሎጂው ልክ እንደ ተከታታይ ቁጥር ነው; በትምህርቱ ውስጥ እራስዎን በደንብ ማወቅ ይችላሉ የዲኤልምበርት ምልክት። የ Cauchy ምልክቶች . ልዩነቱ ሁሉም ጉዳዮቻችን የሚከናወኑት በሞጁል ምልክት ስር መሆኑ ብቻ ነው።
ስለዚህ ገደባችንን እንፍታ፡- 
(3) በቁጥር ቆጣሪው ውስጥ ከስልጣኖች ጋር ባለው የአሠራር ደንብ መሠረት አንድ “X”ን “ቆንጥጦ” እናደርጋለን። በተከፋፈለው ውስጥ ሁለትዮሽውን እናካራለን.
(4) የቀረውን "x" ከገደቡ ምልክት በላይ እንወስዳለን, እና ከሞጁል ምልክት ጋር አንድ ላይ እናወጣዋለን. ለምን በሞጁል ምልክት? እውነታው ግን የእኛ ገደብ ቀድሞውኑ አሉታዊ ያልሆነ ይሆናል, ነገር ግን "x" አሉታዊ እሴቶችን ሊወስድ ይችላል. ስለዚህ, ሞጁሉ በተለይ እሱን ያመለክታል.
በነገራችን ላይ ለምን ከገደቡ ምልክት በላይ መውሰድ ይችላሉ? ምክንያቱም በእኛ ገደብ ውስጥ ያለው "ተለዋዋጭ" ተለዋዋጭ "en" ነው, እና ይህ የእኛን "X" ሞቃትም ሆነ ቀዝቃዛ ያደርገዋል.
(5) ጥርጣሬን መደበኛ በሆነ መንገድ እናስወግዳለን።
ገደቡ ከተገኘ በኋላ ያገኘነውን መተንተን ያስፈልገናል.
ከገባ በገደቡ ውስጥ ዜሮ ሆኖ ይወጣል, ከዚያም የመፍትሄው ስልተ ቀመር ስራውን ያጠናቅቃል, እና ለሥራው የመጨረሻውን መልስ እንሰጣለን: "የኃይል ተከታታዮች የመገናኘት ክልል:" (ማንኛውም እውነተኛ ቁጥር - የቀደመው አንቀጽ ቁጥር 2). ያም ማለት የኃይል ተከታታዮቹ ለማንኛውም የ "x" እሴት ይሰበሰባሉ. መልሱ በተመሳሳይ መልኩ ሊፃፍ ይችላል፡- “ተከታታዩ የሚሰበሰቡት በ” (በሂሳብ ውስጥ ያለው ምልክት አባልነትን ያመለክታል)።
ከገባ ገደቡ ማለቂያ የሌለው ይሆናል።, ከዚያም የመፍትሄው ስልተ ቀመር እንዲሁ ስራውን ያጠናቅቃል, እና ለሥራው የመጨረሻውን መልስ እንሰጣለን: "ተከታታዩ በ" (ወይም በግምት). ያለፈውን አንቀጽ ቁጥር 3 ተመልከት.
በገደቡ ውስጥ ውጤቱ ዜሮ ወይም ማለቂያ የሌለው ከሆነ, በተግባር ቁጥር 1 ውስጥ በጣም የተለመደው ጉዳይ አለን - ተከታታይ በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ላይ ይሰበሰባል.
በዚህ ሁኔታ, ገደቡ ነው. የተከታታይ ውህደት ክፍተት እንዴት ማግኘት ይቻላል? እኩልነትን እንፈጥራለን-
ውስጥ የዚህ አይነት ማንኛውም ተግባርበእኩልነት በግራ በኩል መሆን አለበት ገደብ ስሌት ውጤትእና በእኩልነት በቀኝ በኩል - በጥብቅ ክፍል. ለምን እንደዚህ ያለ እኩልነት እንዳለ እና ለምን በቀኝ በኩል እንዳለ በትክክል አላብራራም። ትምህርቶቹ በተግባር ላይ ያተኮሩ ናቸው፣ እና ታሪኮቼ የማስተማር ሰራተኞችን አለመሰቀላቸው እና አንዳንድ ንድፈ ሐሳቦች ግልጽ መሆናቸው በጣም ጥሩ ነው።
ከአንድ ሞጁል ጋር የመሥራት ዘዴ እና ድርብ አለመመጣጠን የመፍታት ዘዴ በአንቀጹ ውስጥ በመጀመሪያው ዓመት ውስጥ በዝርዝር ተብራርቷል የተግባር ጎራ , ግን ለመመቻቸት በተቻለ መጠን በዝርዝር ስለ ሁሉም ድርጊቶች አስተያየት ለመስጠት እሞክራለሁ. መግለጥ ከሞዱል ጋር አለመመጣጠን በትምህርት ቤት ደንቦች መሰረት. በዚህ ሁኔታ፡-
ግማሹ መንገድ አልቋል።
በሁለተኛው ደረጃ, በተገኘው የጊዜ ክፍተት መጨረሻ ላይ የተከታታዩን ተያያዥነት መመርመር አስፈላጊ ነው.
በመጀመሪያ የክፍለ ጊዜውን የግራ ጫፍ ወስደን በሃይል ተከታታዮቻችን ውስጥ እንተካለን።
በ 
ተከታታይ ቁጥር አግኝተናል, እና ለመገጣጠም መመርመር አለብን (ከቀደሙት ትምህርቶች አስቀድሞ የታወቀ ተግባር).
የሌብኒዝ መስፈርትን እንጠቀማለን፡ 1) ተከታታዩ በምልክት እየተፈራረቁ ነው። 2) 
- የተከታታዩ ውሎች በሞጁል ውስጥ ይቀንሳሉ. እያንዳንዱ ተከታይ አባል ከቀዳሚው ፍፁም ዋጋ ያነሰ ነው፣ ይህ ማለት ቅነሳው ነጠላ ነው።
ማጠቃለያ፡ ተከታታዩ ይሰበሰባሉ.
ተከታታዩን ለፍፁም ውህደት እንመርምር፡ – converges (የአጠቃላይ harmonic ተከታታይ ጉዳይ)።
ስለዚህ, የተገኘው የቁጥር ተከታታይ ሙሉ በሙሉ ይሰበሰባል.
በ 
- ይሰበሰባል.
ስለዚህ, የኃይል ተከታታዮቹ በተገኘው የጊዜ ክፍተት በሁለቱም ጫፎች ላይ ይሰበሰባሉ.
መልስ፡-በጥናት ላይ ያለው የኃይል ተከታታይ ትስስር ክልል፡-
ሌላ ዓይነት መልስ የመኖር መብት አለው፡ ተከታታይ ከተሰበሰበ
አንዳንድ ጊዜ የችግር መግለጫው የመሰብሰቢያውን ራዲየስ እንዲያመለክቱ ይጠይቃል. በተጠቀሰው ምሳሌ ውስጥ ግልጽ ነው.
ምሳሌ 2
የኃይል ተከታታዩን የመገጣጠም ክልል ይፈልጉ
መፍትሄ፡-የዚህን ተከታታዮች የመገጣጠም ክፍተት እናገኝ። የ d'Alembert ምልክት እንጠቀማለን፡-
መደበኛውን እኩልነት እንጽፋለን፡ ተከታታዩ በ ላይ ይሰበሰባሉ
ግራመውጣት አለብን ብቻ, ስለዚህ ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች በ 3 እናባዛለን:
እና እንገልጣለን። ከሞዱል ጋር አለመመጣጠን እንደ ደንቡ: - በጥናት ላይ ያሉ የኃይል ተከታታዮች የመገጣጠም ክፍተት.
በተገኘው የጊዜ ክፍተት መጨረሻ ላይ የኃይል ተከታታዮችን ውህደት እንመርምር። 1) መቼ
ማስታወሻበኃይል ተከታታይ ውስጥ ያለውን እሴት ሲተካ ኃይሉ ቀንሷል። ይህ የተከታታዩን የመገጣጠም ክፍተት በትክክል እንዳገኘን እርግጠኛ ምልክት ነው።
የተገኘውን ተከታታይ ቁጥር ለመገጣጠም እንመረምራለን.
የሌብኒዝ መስፈርትን እንጠቀማለን። - ተከታታይ ተለዋጭ ነው. – 
- የተከታታዩ ውሎች በሞጁል ውስጥ ይቀንሳሉ. እያንዳንዱ ቀጣይ አባል ከቀዳሚው ፍፁም ዋጋ ያነሰ ነው፣ ይህ ማለት ቅነሳው ነጠላ ነው። ማጠቃለያ፡ ተከታታዩ ይገናኛሉ።
ለፍፁም ውህደት ተከታታዩን እንመርምር፡- 
ይህንን ተከታታይ ክፍል ከተለያዩ ተከታታይ ክፍሎች ጋር እናወዳድር። ገዳቢውን የንጽጽር መስፈርት እንጠቀማለን፡- 
ከዜሮ የተለየ የሆነ የተወሰነ ቁጥር ተገኝቷል, ይህም ማለት ተከታታዮቹ ከተከታታዩ ይለያያሉ.
ስለዚህ ፣ ተከታታዩ የሚሰበሰቡት በሁኔታዊ ሁኔታ ብቻ ነው።
2) መቼ 
መልስ፡-በጥናት ላይ ያለው የኃይል ተከታታዮች መጋጠሚያ አካባቢ፡. ትዕዛዙ በሁኔታዊ ሁኔታ ብቻ ይሰበሰባል።
በተጠቀሰው ምሳሌ ውስጥ ፣ የኃይል ተከታታዮች የመገጣጠም ክልል ግማሽ-ጊዜ ነው ፣ እና በሁሉም የጊዜ ክፍተቶች የኃይል ተከታታዮች ሙሉ በሙሉ ይሰበሰባል(የቀድሞውን አንቀፅ ይመልከቱ) ፣ እና በነጥቡ ላይ ፣ እንደ ተለወጠ - ይሰበሰባል ሁኔታዊ በሆነ ሁኔታ ብቻ.
ምሳሌ 3
የኃይል ተከታታዩን የመገጣጠም ክፍተት ይፈልጉ እና በተገኘው የጊዜ ክፍተት መጨረሻ ላይ ያለውን መጋጠሚያ ይመርምሩ
ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው።
ጥቂት የማይባሉ ግን የሚከሰቱትን ምሳሌዎችን እንመልከት።
ምሳሌ 4
የተከታታዩን መጋጠሚያ ቦታ ይፈልጉ- 
መፍትሄ፡- 
(፩) የሚቀጥለውን ተከታታይ አባል ከቀዳሚው ጋር ያለውን ጥምርታ አዘጋጅተናል።
(2) ባለ አራት ፎቅ ክፍልፋዮችን እናስወግዳለን.
(3) በዲግሪዎች በኦፕሬሽኖች ህግ መሰረት, ኩቦችን ከአንድ ዲግሪ በታች እናመጣለን. በቁጥር ውስጥ ዲግሪውን በብልህነት እናበስባለን, ማለትም. በሚቀጥለው ደረጃ ክፍልፋዩን በ ለመቀነስ በሚያስችል መንገድ እናዘጋጃለን. ፋብሪካዎችን በዝርዝር እንገልጻለን.
(፬) በኪዩብ ሥር፣ አሃዛዊውን በተወካይ ቃል በቃል እንካፈላለን፣ ይህም የሚያመለክተው . በትንሽ ክፍል ውስጥ መቀነስ የሚችሉትን ሁሉንም ነገር እንቀንሳለን. በ "ተለዋዋጭ" ተለዋዋጭ "en" ላይ የሚመረኮዝ ምንም ነገር ስለሌለ ጉዳዩን ከገደቡ ምልክት በላይ እንወስዳለን; እባክዎን ያስታውሱ የሞዱል ምልክቱ አልተሳለም - ምክንያቱም ለማንኛውም “x” አሉታዊ ያልሆኑ እሴቶችን ስለሚወስድ።
በገደቡ ውስጥ ዜሮ ተገኝቷል፣ ይህ ማለት የመጨረሻውን መልስ መስጠት እንችላለን-
መልስ፡-ተከታታይ በ ላይ ይሰበሰባል
ግን መጀመሪያ ላይ “አስፈሪው መሙላት” ያለው ይህ ረድፍ ለመፍታት አስቸጋሪ ይመስላል። በገደቡ ውስጥ ዜሮ ወይም ማለቂያ የሌለው ስጦታ ማለት ይቻላል ፣ ምክንያቱም መፍትሄው በሚታወቅ ሁኔታ ቀንሷል!
ምሳሌ 5
የተከታታዩን መጋጠሚያ ቦታ ይፈልጉ 
ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው። ይጠንቀቁ;-) ሙሉው መፍትሄ በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ነው.
ከቴክኒካል ቴክኒኮች አጠቃቀም አንፃር አዲስ ነገርን የያዙ ጥቂት ተጨማሪ ምሳሌዎችን እንመልከት።
ምሳሌ 6
የተከታታዩን መጋጠሚያ ክፍተት ይፈልጉ እና በተገኘው የጊዜ ክፍተት መጨረሻ ላይ ያለውን መጋጠሚያ ይመርምሩ 
መፍትሄ፡-የኃይል ተከታታዮች የጋራ ቃል የምልክት መለዋወጥን የሚያረጋግጥ ነገርን ያካትታል። የመፍትሄው ስልተ-ቀመር ሙሉ በሙሉ ተጠብቆ ይገኛል, ነገር ግን ገደቦቹን ሲያጠናቅቁ ይህንን ብዜት ችላ እንላለን (አይፃፍም) ምክንያቱም ሞጁሉ ሁሉንም "ጉዳቶች" ያጠፋል.
የዚህን ተከታታዮች የመገጣጠም ክፍተት እናገኝ። የ d'Alembert ምልክት እንጠቀማለን፡- 
መደበኛውን እኩልነት እንጽፋለን፡ ተከታታዩ በ ላይ ይሰበሰባሉ ግራመውጣት አለብን ሞጁል ብቻ, ስለዚህ የእኩልነት ሁለቱንም ጎኖች በ 5 እናባዛለን: አሁን ሞጁሉን በሚታወቀው መንገድ እናሰፋለን.
በእጥፍ እኩልነት መካከል ፣ ለዚህ ዓላማ “X” ብቻ መተው ያስፈልግዎታል ፣ ከእያንዳንዱ እኩልነት ክፍል 2 ን እንቀንሳለን-
- በጥናት ላይ ያለው የኃይል ተከታታይ ትስስር ክፍተት.
በተገኘው የጊዜ ክፍተት መጨረሻ ላይ የተከታታዩን ተመሳሳይነት እንመረምራለን-
1) እሴቱን በሃይል ተከታታያችን ውስጥ ይተኩ 
:
በጣም ይጠንቀቁ፣ ማባዣው ለማንኛውም የተፈጥሮ "ኤን" የምልክት መለዋወጫ አይሰጥም። ውጤቱን ከተከታታዩ ውጭ ወስደን እንረሳዋለን፣ ምክንያቱም እሱ (እንደ ማንኛውም ፋክተር ቋሚ) በምንም መልኩ የቁጥር ተከታታይ ውህደት ወይም ልዩነት ላይ ተጽዕኖ የለውም።
እባክዎ እንደገና ያስተውሉ፣ እሴቱን ወደ አጠቃላይ የኃይል ተከታታይ ጊዜ በሚተካበት ጊዜ የእኛ ሁኔታ ቀንሷል። ይህ ካልሆነ ገደቡን በስህተት አስልተናል ወይም ሞጁሉን በስህተት አስፋፍተናል ማለት ነው።
ስለዚህ፣ የቁጥር ተከታታይን ለመገጣጠም መመርመር አለብን። እዚህ ቀላሉ መንገድ ገዳቢውን የንፅፅር መስፈርት መጠቀም እና ይህን ተከታታይ ከተለያየ ሃርሞኒክ ተከታታይ ጋር ማወዳደር ነው። ነገር ግን፣ እውነቱን ለመናገር፣ የንፅፅር መገደብ ምልክት በጣም ደክሞኛል፣ ስለዚህ ወደ መፍትሄው አንዳንድ አይነት እጨምራለሁ።
ዋናውን ምልክት እንጠቀማለን. ውህደቱ ቀጣይነት ያለው ነው፣ስለዚህ የተገኘው የቁጥር ተከታታዮች ከተዛማጅ ውህድ ጋር ይለያያሉ።
2) የመገጣጠም ክፍተቱን ሁለተኛ ጫፍ እንመርምር. በ
የሌብኒዝ መመዘኛ እንጠቀማለን፡- ተከታታይ ምልክቱ እየተፈራረቀ ነው። – 
- የተከታታዩ ውሎች በሞጁል ውስጥ ይቀንሳሉ. እያንዳንዱ ቀጣይ አባል ከቀዳሚው ፍፁም ዋጋ ያነሰ ነው፣ ይህ ማለት ቅነሳው ነጠላ ነው። ማጠቃለያ፡ ተከታታዩ ይሰበሰባሉ
እየተገመገመ ያለው ተከታታይ ቁጥር ሙሉ በሙሉ የተዋሃደ አይደለም ምክንያቱም 
- ተለያይቷል (በተረጋገጠው መሰረት).
መልስ፡-- በጥናት ላይ ያሉ የኃይል ተከታታዮች የመገጣጠም ክልል;
ከዚህ ርዕስ ጋር መስራት ከመጀመራችሁ በፊት ለቁጥር ተከታታይ የቃላት አገባብ ያለውን ክፍል እንድትመለከቱ እመክራችኋለሁ. ይህ (በተለይ እኛ ንብረቶች ቁጥር 3 እና ቁ. 4 ያስፈልገናል) ተከታታይ እና ቁጥር ተከታታይ ንብረቶች የጋራ አባል ጽንሰ ትኩረት መስጠት በተለይ ዋጋ ነው. የመሰብሰቢያ መስፈርት ትክክለኛ ምርጫን በተመለከተ ጥርጣሬዎች ካሉዎት, "ለቁጥሮች ተከታታይ የመግባቢያ መስፈርት መምረጥ" የሚለውን ርዕስ እንዲመለከቱ እመክርዎታለሁ.
የንጽጽር መመዘኛዎች ቃላቶቻቸው አሉታዊ ያልሆኑትን ተከታታይ ቁጥር ለማጥናት ይጠቅማሉ፣ ማለትም. ከዜሮ በላይ ወይም እኩል ነው። እንዲህ ያሉት ተከታታይ ተጠርተዋል አዎንታዊ(በሥነ-ጽሑፍ - አሉታዊ ያልሆነ ወይም አዎንታዊ). በዚህ ርዕስ ውስጥ የምንመረምረው እነዚህን ተከታታይ ክፍሎች በትክክል ነው.
የመጀመሪያው የንፅፅር መስፈርት (ወይም የመጀመሪያው የንፅፅር ቲዎሬም) እንደሚከተለው ተቀምጧል።
የመጀመሪያው የንፅፅር ምልክት
ሁለት አዎንታዊ ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ እና $\sum\limits_(n=1)^(\infty)v_n$ ይስጥ። ከአንዳንድ ቁጥር $n_0$ ጀምሮ የ$u_n≤ v_n$ እኩልነት ይይዛል፣ እንግዲያውስ፡-
- ተከታታዩ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ የሚለያይ ከሆነ፣ ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)v_n$ ይለያያል።
- ተከታታዩ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)v_n$ ከተጣመረ፣ ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty) u_n$ የሚጣመሩ ይሆናል።
በቀላል አነጋገር፣ ትናንሽ ቃላቶች ያሉት ተከታታይ ድምር (የተለያየ) ከሌለው፣ ትልልቆቹ ቃላቶች ያሉት ተከታታይ ደግሞ ይለያያሉ። እና ይህ ምክንያታዊ ነው ፣ ምክንያቱም የመጀመሪያው ድምር በጣም ትልቅ ከሆነ ፣ ቃላቶቹን ከጨመረ በኋላ እንደዚያው ይቀራል።
ጥሩ፣ ትልልቅ ቃላት ያሉት ተከታታይ ድምር (የተሰበሰበ) ከሆነ፣ ከዚያም ትናንሽ ቃላት ያሉት ተከታታዮችም ይሰባሰባሉ።
የንጽጽር ምልክት በሌላ መልኩ ሊቀረጽ ይችላል. ብዙውን ጊዜ ይህ ሁለተኛው የንጽጽር መስፈርት (ወይም ሁለተኛው የንጽጽር ቲዎሬም) ነው ይላሉ. አንዳንድ ጊዜ የንፅፅር መገደብ ምልክት ወይም የንፅፅር ምልክት በተገደበው ቅፅ ውስጥ ይባላል. ቃሉም እንደሚከተለው ነው።
ሁለተኛ የንጽጽር ምልክት
ሁለት አዎንታዊ ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ እና $\sum\limits_(n=1)^(\infty)v_n$ ይስጥ። በ$v_n\neq 0$ ሁኔታ ከ$$\lim_(n\to\infty)\frac(u_n)(v_n)=K፣$$ በ$0 ገደብ ካለ< K < \infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ сходятся либо расходятся одновременно.
የንፅፅር መመዘኛዎችን ለመተግበር መገናኘታቸው አስቀድሞ የሚታወቅ የተወሰኑ ተከታታይ ክፍሎች ሊኖረን እንደሚገባ ልብ ይበሉ። ብዙ ጊዜ፣ የተከታታይ ንጽጽር ሚና አጠቃላይ ሃርሞኒክ ተከታታይ ነው።
\begin(equation)\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\አልፋ)\መጨረሻ(equation)
$\alpha > 1$ ከሆነ፣ ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\alpha)$ ከተሰበሰበ እና $\alpha ≤ 1$ ከሆነ፣ ከዚያ ተከታታዩ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\alpha)$ diverges። ለምሳሌ ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^5)$ ከ$5 > 1$ ጀምሮ ይሰበሰባል፣ እና ተከታታይ $\sum\limits_(n=) 1) ^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n^4))=\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4) (7) )))$ ከ$\frac(4)(7)≤ 1$ ጀምሮ ይለያያል።
በተለይም ለጉዳዩ $\alpha=1$ ትኩረት መስጠት ተገቢ ነው, ማለትም. ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^1)=\ ድምር\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ . ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ ሃርሞኒክ ተከታታይ ይባላል። ሃርሞኒክ ተከታታይ ይለያያል።
በተጨማሪም ፣ የዚህ አይነት ተከታታይ ብዙውን ጊዜ ለማነፃፀር ጥቅም ላይ ይውላል-
\ መጀመሪያ (እኩልታ) \ ድምር \ ገደቦች_(n=1)^(\infty)aq^n\መጨረሻ(እኩል)
ይህ ተከታታይ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ቃላቶች ድምር ሲሆን ከመጀመሪያው ቃል $b_1=a$ እና ዋጋ $q$ ጋር። ይህ ተከታታይ $|q| ከሆነ ይሰበሰባል< 1$ и расходится если $|q|≥ 1$. Например, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4\cdot 3^n}{5^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^n\right)$ подпадает под вид ряда (2). Этот ряд сходится, так как $\left| \frac{3}{5}\right|=\frac{3}{5} < 1$.
ብዙ ጊዜ፣ በመደበኛ ምሳሌዎች፣ የተከታታይ የጋራ ቃል በክፍልፋይ የሚወከል ከሆነ የንፅፅር መመዘኛዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ፣ አሃዛዊው እና ተከሳሾቹ አንዳንድ ፖሊኖሚሎች ናቸው። ለምሳሌ $u_n=\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ (ምሳሌ ቁጥር 1 ይመልከቱ)። ወይም ከፖሊኖሚሎች ይልቅ (ወይም ከነሱ ጋር) የፖሊኖሚሎች ሥሮች ሊኖሩ ይችላሉ (ምሳሌ ቁጥር 3 ይመልከቱ)። ለዚህ አይነት ተከታታይ አንድ ሰው ለመገጣጠም እና ለማነፃፀር ከሚያስፈልጉት መስፈርቶች መካከል አንዱን መምረጥ አለበት. አንዳንድ ጊዜ የተከታታይ የተለመደ ቃል ፖሊኖሚል ብቻ ሳይሆን መገጣጠም ላይ ተጽእኖ የማያሳድር አንዳንድ "አስጨናቂ ንጥረ ነገሮችን" ሊይዝ ይችላል (የዚህን ርዕስ ሁለተኛ ክፍል ይመልከቱ)። አንዳንድ ጊዜ፣ ተከታታይ ለንፅፅር ለማየት፣ ተመጣጣኝ ኢ-ፍጻሜ ያልሆኑ ተግባራትን መጠቀም አለቦት (በክፍል ሶስት ምሳሌዎችን ይመልከቱ)።
ምሳሌ ቁጥር 1
የተከታታዩ $\ sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ን መመጣጠን መርምር።
የማጠቃለያው ዝቅተኛ ወሰን 1 ስለሆነ፣ የተከታታዩ አጠቃላይ ቃል የተፃፈው በድምር ምልክት፡$u_n=\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ ነው። ከ$n≥1$ ጀምሮ $9n+7> 0$ እና $2n^3+5n^2-4 > 0$፣ ከዚያ $u_n > 0$ አለን። ስለዚህ ተከታታዮቻችን አዎንታዊ ናቸው። በነገራችን ላይ, ለአዎንታዊ ተከታታይ የ $ u_n≥ 0$ ሁኔታን ማሟላት በቂ ነው. ነገር ግን፣ለእኛ ተከታታዮች በበለጠ በትክክል መፃፍ እንችላለን፡$u_n > 0$።
ለመጀመር, አፈፃፀሙን መፈተሽ ጥሩ ይሆናል, ማለትም. $\lim_(n\to\infty) u_n$ን ያግኙ። እድለኛ ብንሆን እና $\lim_(n\to\infty) u_n\neq 0$ ብንሆንስ? ከዚያም ተከታታዩ ይለያያሉ, እና መፍትሄው እዚያ ያበቃል. ገደቡ ሲገኝ በርዕሱ ላይ የተገለጸውን ዘዴ እንጠቀማለን. በመፍታት ሂደት፣ አሃዛዊውን እና መለያውን በ$n^3$ እንካፈላለን፡-
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)=\ግራ|\frac(\infty) (\infty) \ቀኝ|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9)(n^2)+\frac(7)(n^3))(2+\frac(5) (n)-\frac(4)(n^3))=\frac(0+0)(2+0-0)=0። $$
እነዚህን ምልክቶች ለመጠቀም፣ የምናወዳድርባቸው ተከታታይ ነገሮች ያስፈልጉናል። ለንፅፅር ተከታታይን ለመምረጥ፣ ከ$n\to\infty$ ለተሰጠው ተከታታይ የጋራ ቃል ባህሪን እንመርምር። ይህ በተወሰነ ደረጃ መደበኛ ያልሆነ ምክንያት በመጠቀም ሊከናወን ይችላል። እነዚህ ውይይቶች ሁሉንም አንባቢዎች የማይስቡ ሊሆኑ ስለሚችሉ በማስታወሻ ውስጥ እደብቃቸዋለሁ.
ለማነፃፀር አንድ ረድፍ እንዴት እንደሚመረጥ? አሳይ\ደብቅ
እንደ የእድገት ቅደም ተከተል ባለው ርዕስ ላይ አልነካም ፣ በቀላሉ አንዳንድ አጠቃላይ ጉዳዮችን እሰጣለሁ። የተከታታዩን የጋራ ቃል ጠለቅ ብለን እንመልከተው። በመጀመሪያ፣ ለምሳሌ መለያውን እንመልከት። የተከታታዩ የጋራ ቃል መለያ $n^3$፣ $n^2$ እና ቁጥር -4 ኃይላትን ይዟል። የ$n$ ቁጥር እየጨመረ ይሄዳል፣ ወደ ማለቂያ የሌለው አዝማሚያ። ጥያቄ፡ $n$ ቁጥር ሲጨምር የትኛው አካል ($n^3$ ወይም $n^2$) ከሌሎች በበለጠ ፍጥነት ያድጋል?
እዚህ መልሱ ቀላል ነው፡$n^3$ እሴቶቹን በፍጥነት ይጨምራል። ለምሳሌ፣ $n=100$፣ ከዚያ $n^2=10\,000$፣ እና $n^3=1\,000\,000$ ሲሆኑ። እና ይህ በ$n^2$ እና በ$n^3$ መካከል ያለው ልዩነት ትልቅ እና ትልቅ ይሆናል። ስለዚህ፣ $n^3$ን ከያዙት በስተቀር ሁሉንም የመለያ ውሎችን በአእምሯችን እንጥላለን። በቁጥር ቆጣሪው ውስጥ 9n$ ብቻ በመተው ተመሳሳይ የ"ማስወገድ" ሂደትን እናከናውናለን (በቁጥር 7 ውስጥ ያለው ቁጥር ከ9n$ ጋር ሲነጻጸር ምንም አይነት ሚና እንደማይጫወት ግልጽ ነው)። ስለዚህ፣ ክፍልፋይ $\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ ከሁሉም የሚጣሉ ይሆናሉ፡$\frac(9n)(2n^3)=\frac(9)(2) \ cdot\frac(1)(n^2)$። በሌላ አገላለጽ ከ$n እስከ ኢንፍቲ$ ከሆነ የተከታታዩ አጠቃላይ ቃል $\frac(9)(2)\cdot\frac(1)(n^2)$ ከሚለው አገላለጽ በጣም ትንሽ ነው የሚለየው።
የ$\frac(9)(2)$ ዋጋ እንዲሁ ሊወገድ ይችላል፣ ምክንያቱም በመገጣጠም ላይ ተጽዕኖ የለውም። እና ከእንደዚህ አይነት "ጽዳት" በኋላ $\frac(1)(n^2)$ ብቻ ይቀራል። $v_n=\frac(1)(n^2)$ ስላለው ተከታታይ ምን ማለት እንችላለን? ይህ. የዚህ ተከታታይ የጋራ ቃል ዋጋ $n$ ከ 2 ጋር እኩል ነው ስለዚህ ከ$2> 1$ ጀምሮ ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1) )(n^2)$ ይገናኛል።
በ$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ የተሰጡንን ተከታታይ $\sum\limits_(n) ማነፃፀር የምንጀምረው በዚህ convergent ተከታታይ ነው =1)^( \infty)\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$። እንደ እውነቱ ከሆነ ችግሩን ቀድሞውንም መደበኛ ባልሆነ መንገድ ፈትተናል፡ ተከታታዮቻችን ይሰባሰባሉ። የቀረው ይህንን በጠንካራ አስተሳሰብ ማሳየት ነው።
የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን የንፅፅር መመዘኛዎችን በመጠቀም ችግራችንን እንዴት እንደሚፈታ እናስብ።
ስለዚህ፣ የተከታታዩ አጠቃላይ ቃል፡ $u_n=\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ ነው። መደበኛ ባልሆነ ምክንያት (ከላይ ባለው ማስታወሻ ስር ተደብቆ) ተከታታዮቻችን ይገናኛሉ ወደሚል መደምደሚያ ደርሰናል። ለዚህ ጉዳይ, ሁለተኛው አንቀጽ ተግባራዊ ይሆናል. የተከታታይ ክፍሎቻችን አጠቃላይ ቃል $\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)≤ v_n$፣ ተከታታይ $\ sum\ limits_(n=1) እንደሚያረካ ማሳየት አለብን። ^(\ infty) v_n$ ይሰባሰባል። ከዚያ የተሰጡን ተከታታይ ክፍሎች ይቀላቀላሉ.
ክፍልፋይ $\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ እንጨምር። ግባችን፡ ይህንን ክፍልፋይ ወደ $\frac(1)(n^2)$ ቅጽ መቀነስ። ለምን ይህ ልዩ ዓይነት? ይህንን ጥያቄ ለመመለስ እባክዎ ከላይ ያለውን ማስታወሻ ይክፈቱ።
የተወሰነ ክፍልፋዮችን ለመጨመር ሁለት መንገዶች አሉ-ቁጥሩን ይጨምሩ ወይም መለያውን ይቀንሱ። ከ$n≥ 1$፣ ከዚያ $9n+7 ≥ 9n+7n=16n$ በሚለው ይስማሙ። ስለዚህ፣ $16n$ የሚለውን አገላለጽ ከ$9n+7$ ይልቅ በቁጥር ውስጥ ካስቀመጥን በጥያቄ ውስጥ ያለውን ክፍልፋዩን እንጨምራለን፡-
$$ \frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)≤\frac(16n)(2n^3+5n^2-4)። $$
ወደ ፊት እንሂድ እና ከዲኖሚነተሩ ጋር እንስራ። ክፍልፋይን ለመጨመር አካፋው መቀነስ አለበት። ለምሳሌ፣ እንዲህ ልናስብ እንችላለን፡- $n≥ 1$ መሆኑን እናውቃለን። ከዚያ $5n^2-4 > 0$። ይህ ማለት $5n^2-4$ የሚለውን አገላለጽ በዲኖሚነተሩ ውስጥ ካስወገድነው አካፋው ይቀንሳል ማለት ነው። ስለዚህ የእኛ ክፍልፋዮች ይጨምራል. የቀደመውን እኩልነት እንቀጥል፡-
$$ \frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)≤\frac(16n)(2n^3+5n^2-4)< \frac{16n}{2n^3}=8\cdot\frac{1}{n^2}. $$
ተከታታዩ $\ sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ ስለሚሰበሰብ ተከታታይ $\ sum\limits_(n=1)^(\infty)\ግራ (8\cdot\frac(1)(n^2)\ right)$ (ስለ ተከታታይ የቁጥር ባህሪያት ክፍል ውስጥ ያለውን ነጥብ ቁጥር 4 ይመልከቱ)። ተከታታይ $\ sum\limits_(n=1)^(\infty)\ግራ(8\cdot\frac(1)(n^2)\ቀኝ)$ ስለሚሰበሰብ እና $\frac(9n+7)(2n) ^3+5n^2-4)< 8\cdot\frac{1}{n^2}$, то согласно (пункт №2) ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$ сходится.
በቀደመው አንቀፅ ውስጥ በአማተር እንቅስቃሴዎች ውስጥ ከተሳተፍን ፣ የተወሰኑ “ቁራጮችን” በመምረጥ እና በማስወገድ በተከታታይ አጠቃላይ ቃል ቀመር ውስጥ ፣ ከዚያ ውስን የንፅፅር መስፈርትን በመጠቀም መፍትሄው ሙሉ በሙሉ ስልተ-ቀመር ነው። ከላይ ባለው ማስታወሻ ላይ ተከታታዮቻችንን ከተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ ጋር ማወዳደር እንዳለብን አውቀናል:: ስለዚህ የኛ ተከታታዮች አጠቃላይ ቃል $u_n=\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ ነው። የምናነፃፅርበት የተከታታዩ የጋራ ቃል፡ $v_n=\frac(1)(n^2)$። ከ$\lim_(n\to\infty)\frac(u_n)(v_n)$ ገደብ ጋር ይሰራል። በነገራችን ላይ, በቁጥር እና በቁጥር ውስጥ የትኛው የተለመደ ቃል ምንም ግድ አይሰጠንም. ዋናው ነገር በዲኖሚተር ውስጥ ያለው አገላለጽ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም. ለምሳሌ፣ ከ$v_n\neq 0$ ጀምሮ፣ ይህ የተለመደ ቃል በተከፋፈለው ውስጥ ሊቀመጥ ይችላል፡-
$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4))(\frac(1)(n^2))=\lim_(n \to\infty)\frac(n^2\cdot(9n+7))(2n^3+5n^2-4)=\lim_(n\to\infty)\frac(9n^3+7n^2) )(2n^3+5n^2-4)=\ግራ|\frac(\infty)(\infty) \right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9n^) 3)(n^3)+\frac(7n^2)(n^3))(\frac(2n^3)(n^3)+\frac(5n^2)(n^3)-\frac (4)(n^3))=\lim_(n\to\infty)\frac(9+\frac(7)(n))(2+\frac(5)(n))-\frac(4) (n^3))=\frac(9+0)(2+0-0)=\frac(9)(2)። $$
ከ$0 ጀምሮ<\frac{9}{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$.
በአጠቃላይ ሁኔታ, በእርግጥ, አንድ የንፅፅር መስፈርት ይመርጣሉ, እና ሁለቱንም በአንድ ጊዜ አይደለም :) በዚህ ገጽ ላይ ምሳሌዎችን ሲፈቱ, ሁለቱንም ዘዴዎች እጠቀማለሁ - ግልጽነት.
መልስ: ተከታታዩ ይሰበሰባሉ.
ምሳሌ ቁጥር 2
የተከታታዩ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$ መመጣጠንን መርምር።
የማጠቃለያው ዝቅተኛ ወሰን 1 ስለሆነ፣ የተከታታዩ አጠቃላይ ቃል የተፃፈው በድምር ምልክት፡$u_n=\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$ ነው። አጠቃላይ ቃሉ $u_n > 0$ ነው፣ i.e. የእኛ ተከታታይ አዎንታዊ ነው.
ልክ እንደ ቀድሞው ምሳሌ, አስፈላጊውን የመገጣጠም ሁኔታ መሟላቱን ለመፈተሽ እንሞክር, ማለትም. $\lim_(n\to\infty) u_n$ን እናገኝ። ገደቡ ሲገኝ "የሁለት ፖሊኖሚሎች ጥምርታ ገደብ" በሚለው ርዕስ ውስጥ የተገለጸውን ዘዴ እንጠቀማለን. በመፍትሔው ጊዜ፣ ሁለቱንም አሃዛዊ እና ተከፋይ በ$n^4$ እንካፈላለን፡-
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)=\ግራ|\ frac(\ infty)(\ infty)\ቀኝ|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(4)(n)+\frac(2)(n^3)+\frac(9) (n^4))(\ግራ(3+\frac(5)(n)\ቀኝ)^2)=\frac(0+0+0)((3+0)^2)=0። $$
ከ$\lim_(n\to\infty)u_n=0$ ጀምሮ ስለ ተከታታዮቻችን ውህደት ምንም መደምደሚያ ላይ መድረስ አልቻልንም። ተከታታይ አንድም ሊጣመር ወይም ሊለያይ ይችላል። የንጽጽር መስፈርቶችን ተግባራዊ ለማድረግ እንሞክር.
በሁኔታው ውስጥ የተገለጹትን ተከታታይ ክፍሎች ከየትኞቹ ተከታታይ ጋር ማወዳደር እንዳለብን እንወቅ። በምሳሌ ቁጥር 1 ላይ እንደተከናወነው የቁጥር እና መለያውን "ተጨማሪ" አካላት በተመሳሳይ መንገድ ለመጣል እንሞክር። በሚከተለው ክፍልፋይ እንቀራለን-$\frac(4n^3)(n^2\cdot (3n)^2)=\frac(4)(9)\cdot\frac(1)(n)$። የተሰጡትን ተከታታይ ክፍሎች ከሃርሞኒክ ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ ጋር እናነፃፅራለን። ሃርሞኒክ ተከታታዮች ስለሚለያዩ ተከታታዮቻችን እንዲሁ ይለያያሉ። እኛ ማድረግ ያለብን የንፅፅር ምልክቶችን በመጠቀም ይህንን በመደበኛነት ማሳየት ብቻ ነው።
የመጀመሪያውን የንጽጽር ምልክት በመጠቀም መፍትሄ
ከላይ በተካሄደው መደበኛ ያልሆነ ምክንያት ላይ በመመስረት፣ ተከታታይ ክፍሎቻችን ይለያያሉ ወደሚል መደምደሚያ ላይ ደርሰናል። ለዚህ ጉዳይ, የመጀመሪያው አንቀጽ ተግባራዊ ይሆናል. የተከታታዮቻችን አጠቃላይ ቃል $v_n≤ \frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$፣ ተከታታይ $\sum\ limits_ን እንደሚያረካ ማሳየት አለብን። (n= 1)^(\infty) v_n$ ይለያሉ። ከዚያ የተሰጡን ተከታታይ ነገሮች ይለያያሉ.
ክፍልፋይ $\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$ መቀነስ እንጀምር። ግባችን፡ ይህንን ክፍልፋይ ወደ $\frac(1)(n)$ ቅጽ መቀነስ።
ክፍልፋይን ለመቀነስ ሁለት መንገዶች አሉ፡ አሃዛዊውን ይቀንሱ ወይም መለያውን ይጨምሩ። ከ$n≥ 1$፣ ከዚያ $2n+9 > 0$። ስለዚህ፣ $2n+9$ን በአሃዛሪ ውስጥ ካስወገድነው፣ ከዚያም አሃዛዊውን እንቀንሳለን፣ በዚህም በጥያቄ ውስጥ ያለውን ክፍልፋይ እንቀንሳለን።
$$ \frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2) > \frac(4n^3)(n^2(3n+5)^2) $$
ከዲኖሚነተር ጋር እንስራ። ከጨመርን, ክፍልፋዩ ይቀንሳል. ከ$n≥ 1$፣ ከዚያ $3n+5≤ 3n+5n=8n$። ስለዚህ፣ ከ$3n+5$ ይልቅ $8n$ የምንጽፍ ከሆነ፣ መለያው ይጨምራል፡-
$$ \frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2) > \frac(4n^3)(n^2(3n+5)^2)≥ \frac(4n) ^3)(n^2(8n)^2)=\frac(4n^3)(64n^4)=\frac(1)(16)\cdot\frac(1)(n)። $$
ተጨማሪ ምክንያት መደበኛ ነው፡ ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ ስለሚለያይ፣ከዚያ ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^( \\ infty) \ ግራ(\frac(1)(16)\cdot\frac(1)(n)\ቀኝ)$። ከተከታታዩ $\ sum\limits_(n=1)^(\infty)\ግራ(\frac(1)(16)\cdot\frac(1)(n)\ right)$ diverges እና $\frac(4n ^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2) > \frac(1)(16)\cdot\frac(1)(n)$፣ ከዚያም በ(ነጥብ ቁጥር 1) መሰረት ተከታታይ $\ sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$ ይለያያሉ።
ሁለተኛውን የንጽጽር መስፈርት በመጠቀም መፍትሄ
የተሰጠውን ተከታታዮች ከተለያዩ ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ ጋር ማነፃፀር እንዳለብን ቀደም ብለን አውቀናል። የተሰጡትን ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$ ከተከታታዩ $\ ጋር እናወዳድር። ድምር\liits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$፣ በመጠቀም። ይህ ባህሪ ከ$\lim_(n\to\infty)\frac(u_n)(v_n)$ ጋር ይሰራል። ሁለቱም የተከታታዩ የጋራ ቃላቶች ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም፣ስለዚህ የማንኛውም ተከታታዮች የጋራ ቃል በተከፋፈለው ውስጥ ማስቀመጥ እንችላለን፡
$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2))(\frac(1)(n))=\ lim_(n\to\infty)\frac(n\ግራ(4n^3+2n+9\ቀኝ))(n^2(3n+5)^2)=\lim_(n\to\infty)\frac (4n^3+2n+9)(n(3n+5)^2)=\ግራ|\frac(\infty)(\infty)\right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\ frac(\frac(4n^3)(n^3)+\frac(2n)(n^3)+\frac(9)(n^3))(\frac(n(3n+5)^2) (n^3))=\lim_(n\to\infty)\frac(4+\frac(2)(n^2)+\frac(9)(n^3))(\ግራ(3+\) frac(5)(n)\ቀኝ)^2)=\frac(4+0+0)((3+0)^2)=\frac(4)(9)። $$
ከ$0 ጀምሮ<\frac{4}{9}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$.
መልስ: ተከታታይ ይለያያሉ.
ምሳሌ ቁጥር 3
ተከታታዩን $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))$ን ለመገጣጠም መርምር።
የማጠቃለያው ዝቅተኛ ወሰን 1 ስለሆነ፣ የተከታታዩ አጠቃላይ ቃል የተፃፈው በድምር ምልክት፡$u_n=\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4) ስር ነው። )$ ወዲያውኑ እናስተውላለን $u_n > 0$፣ i.e. የእኛ ተከታታይ አዎንታዊ ነው. ልክ እንደ ቀደምት ምሳሌዎች, አስፈላጊውን የመገጣጠም ሁኔታ መሟላቱን ማረጋገጥ ይችላሉ, ነገር ግን ይህ ቼክ የሚያሳየው $\lim_(n\to\infty) u_n=0$ ብቻ ነው. እነዚያ። ስለ ተከታታዩ ውህደት ምንም አይነት ቁርጥ ያለ ነገር መናገር አይቻልም እና ሌሎች መመዘኛዎች ጥቅም ላይ መዋል አለባቸው።
የንፅፅር መመዘኛዎችን በመጠቀም የተሰጡ ተከታታይ ትይዩዎችን ለመፈተሽ በመጀመሪያ የምናነፃፅርበትን ተከታታይ እናዘጋጃለን። በምሳሌ ቁጥር 1 እና ቁጥር 2 ላይ እንደተከናወነው የቁጥር እና መለያውን "ተጨማሪ" አካላት በተመሳሳይ መንገድ ለመጣል እንሞክር። በዚህ ክፍልፋይ ቀርተናል፡-
$$\frac(5n^2)(\sqrt(7n^(10)))=\frac(5)(\sqrt(7))\cdot\frac(n^2)(n^(\frac(10) (3)))=\frac(5)(\sqrt(7))\cdot\frac(1)(n^(\frac(10)(3)-2))= \frac(5)(\ sqrt(7))\cdot\frac(1)(n^(\frac(4)(3))))$$
በተከታታዩ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))$)$ የተሰጠውን ተከታታይ ማወዳደር እንጀምራለን። ከ$\frac(4)(3) > 1$ ጀምሮ፣ በመቀጠል $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3))) )$ ይገናኛል። በዚህም ምክንያት፣ የእኛ ተከታታዮች ይሰባሰባሉ፣ ማድረግ ያለብን የንፅፅር መመዘኛዎችን በመደበኛነት ማሳየት ነው።
የመጀመሪያውን የንጽጽር ምልክት በመጠቀም መፍትሄ
ከላይ ያለውን መደበኛ ያልሆነ ምክንያት ተጠቅመን ተከታታዮቻችን ይገናኛሉ ወደሚል መደምደሚያ ደርሰናል። ለዚህ ጉዳይ, ሁለተኛው አንቀጽ ተግባራዊ ይሆናል. የኛ ተከታታዮች አጠቃላይ ቃል $\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))≤ v_n$ እና ተከታታይ $\ sum ያለውን አለመመጣጠን እንደሚያረካ ማሳየት አለብን። \liits_(n =1)^(\infty) v_n$ ይገናኛል። ከዚያ የተሰጡን ተከታታይ ክፍሎች ይቀላቀላሉ.
ክፍልፋይ $\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))$ እንጨምር። ግባችን፡ ይህንን ክፍልፋይ ወደ $\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))$ ቅፅ መቀነስ።
ይህንን ክፍልፋይ ለመጨመር በመጀመሪያ አሃዛዊውን ይጨምሩ። ቁጥሩን (-3) ከጣልን, አሃዛዊው ትልቅ ይሆናል. ይህ ማለት ክፍልፋዩ ራሱ ይጨምራል፡-
< \frac{5n^2}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}} $$
ከዲኖሚነተር ጋር እንስራ። ከቀነስን, ክፍልፋዩ ይጨምራል. ከ$n≥ 1$፣ ከዚያ $7n^(10)-4≥ 7n^(10)-4n^(10)=3n^(10)$። ስለዚህ፣ በ$7n^(10)-4$ ፈንታ $3n^(10)$ የምንጽፍ ከሆነ፣ አካፋው ይቀንሳል እና ክፍልፋዩ ይጨምራል፡
$$ \frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))< \frac{5n^2}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}≤ \frac{5n^2}{\sqrt{3n^{10}+2n^3}} $$
አሁን ይህንን እናድርገው፡ $2n^3$ የሚለውን ቃል ከአካፋው ያስወግዱት። ስለዚህ ፣ መለያውን እንቀንሳለን እና ክፍልፋዩን ራሱ እንጨምራለን-
$$ \frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))< \frac{5n^2}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}≤ \frac{5n^2}{\sqrt{3n^{10}+2n^3}} < \frac{5n^2}{\sqrt{3n^{10}}}= \frac{5}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}. $$
ተከታታዩ $\ sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))$ ስለሚጣመር፣የተከታታዩ $\sum\limits_ እንዲሁ ይሰባሰባል። (n=1)^(\infty)\ግራ(\frac(5)(\sqrt(3))\cdot\frac(1)(n^(\frac(4)(3))))\ቀኝ)$ . ከተከታታዩ $\ sum\limits_(n=1)^(\infty)\ግራ(\frac(5)(\sqrt(3))\cdot\frac(1)(n^(\frac(4)) ) 3)))\ቀኝ)$ ይሰበሰባል እና $\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))<\frac{5}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$, то согласно (пункт №2) ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$ будет сходиться.
ሁለተኛውን የንጽጽር መስፈርት በመጠቀም መፍትሄ
የተሰጠውን ተከታታይ ከተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3))) ጋር ማነፃፀር እንዳለብን አውቀናል ። )$ የተሰጡትን ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))$ን እናወዳድር። ተከታታይ $\ sum \liits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))$ በመጠቀም። ይህ ባህሪ ከ$\lim_(n\to\infty)\frac(u_n)(v_n)$ ጋር ይሰራል። ሁለቱም የተከታታዩ የጋራ ቃላቶች ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም፣ስለዚህ የማንኛውም ተከታታዮች የጋራ ቃል በተከፋፈለው ውስጥ ማስቀመጥ እንችላለን፡
$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4)))(\frac(1)(n^)) (\frac (4) (3)))=\lim_(n\to\infty)\frac(5n^(\frac(10)(3))-3n^(\frac(4)(3)) )(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))=\ግራ|\frac(\infty)(\infty)\right|=\ግራ|\ጽሑፍ(አሃዛዊውን እና አካፋዩን በ) n ^ (\frac (10) (3))\ቀኝ|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(5n^(\frac(10)(3)))(n^( \ frac (10) (3)))-\frac (3n^(\frac(4)(3)))(n^(\frac(10)(3))))(\sqrt(\frac(7n) ^ (10))(n^(10))+\frac(2n^3)(n^(10))-\frac(4)(n^(10))))=\lim_(n\to\) infty )\frac(5-\frac(3)(n^2))(\sqrt(7+\frac(2)(n^7)-\frac(4)(n^(10)))))=)= \ frac(5-0)(\sqrt(7+0-0))=\frac(5)(\sqrt(7))። $$
ገደቡን ለማስላት "ከምክንያታዊነት ጋር ይገድባል" በሚለው ርዕስ ውስጥ የተገለፀው ዘዴ ጥቅም ላይ ውሏል. ከ$0 ጀምሮ<\frac{5}{\sqrt{7}}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$.
መልስ: ተከታታዩ ይሰበሰባሉ.
ምሳሌ ቁጥር 4
የተከታታዩ $\ sum\limits_(n=1)^(\infty)\ግራ(\sqrt(2n+3)-\sqrt(2n-1)\ቀኝ)$ን መመጣጠን መርምር።
የማጠቃለያው ዝቅተኛ ወሰን 1 ስለሆነ፣ የተከታታዩ አጠቃላይ ቃል የተፃፈው በድምር ምልክት፡ $u_n=\sqrt(2n+3)-\sqrt(2n-1)$ ነው። እዚህ ወዲያውኑ ከ$\sqrt(2n+3)> \sqrt(2n-1)$፣ ከዚያ $u_n > 0$፣ ማለትም፣ የእኛ ተከታታይ አዎንታዊ ነው. ከፈለጉ፣ አስፈላጊው የመሰብሰቢያ ሁኔታ መሟላቱን ማረጋገጥ ይችላሉ፣ ነገር ግን ይህ ቼክ ምንም ነገር አያመጣም (ከ$\lim_(n\to\infty)u_n$ ገደቡ በዚህ ገጽ ላይ ካለው ምሳሌ ቁጥር 8 ጋር በማነፃፀር ይሰላል። ) ከ$\lim_(n\to \infty)u_n=0$ ጀምሮ። ወደ ንጽጽር ባህሪያት እንሸጋገር።
የተወሰኑ የንጽጽር መመዘኛዎችን ከመተግበሩ በፊት, የተከታታይ የጋራ አባል መግለጫውን በትንሹ መቀየር የተሻለ ነው. በ conjugate አገላለጽ ማባዛት እዚህ ይረዳል፣ ማለትም በ$\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)$ በተፈጥሮ፣ በአንድ የተወሰነ አገላለጽ ከተባዛን በእርሱም መከፋፈል አለብን። ሲቀልል፣ ቀመር $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ ይረዳናል። ስለዚህ፡-
$$ u_n=\sqrt(2n+3)-\sqrt(2n-1)=\frac(\ግራ(\sqrt(2n+3)-\sqrt(2n-1)\ቀኝ)\cdot \ግራ(\ sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)\ቀኝ))(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))=\\ = frac(\ግራ(\sqrt(2n+ 3) )\ቀኝ)^2-\ግራ(\sqrt(2n-1)\ቀኝ)^2)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)=\frac(2n+3-( 2n) -1))(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))= \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))። $$
አሁን ተከታታዮቻችን $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))$ ይመስላል። በቀደሙት ምሳሌዎች ከተደረጉት ጋር ተመሳሳይ የሆኑ ክርክሮችን በመተግበር ተከታታዮቻችንን ከተከታታዩ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n)) ጋር ማወዳደር እንዳለብን እናስተውላለን። $. ተከታታዮች $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))=\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n) ^(\frac(1)(2)))$ ከዲግሪው $\frac(1)(2)≤ 1$ ይለያያል። ይህ ማለት የእኛ ተከታታዮችም ይለያያሉ;
የመጀመሪያውን የንጽጽር ምልክት በመጠቀም መፍትሄ
ከላይ ባለው መደበኛ ባልሆነ ምክንያት፣ ተከታታዮቻችን ይለያያሉ ወደሚል መደምደሚያ ደርሰናል። የ$\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))$ ክፍልን መቀነስ እንጀምር። ከ$\sqrt(2n+3)> \sqrt(2n-1)$ ጀምሮ ፣ከ$\sqrt(2n-1)$ ይልቅ $\sqrt(2n+3)$ የሚለውን አገላለፅ በመፃፍ መለያውን እንጨምራለን በዚህ ምክንያት ክፍልፋዩን መቀነስ;
$$ \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)) > \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n+3))=\frac (4)(2\sqrt(2n+3))=\frac(2)(\sqrt(2n+3))። $$
መለያውን እንደገና እንጨምር። ከ$2n+3 ጀምሮ< 2n+7n=9n$, то заменяя выражение в знаменателе на $\sqrt{9n}$ мы увеличим знаменатель, тем самым уменьшив дробь:
$$ \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)) >\frac(2)(\sqrt(2n+3)) > \frac(2)(\sqrt(9n) ))=\frac(2)(3)\cdot\frac(1)(\sqrt(n))። $$
ተከታታዩ $\ sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$ ስለሚለያይ ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^( \infty) \ ግራ(\frac(2)(3)\cdot\frac(1)(\sqrt(n))\ቀኝ)$። ከተከታታዩ $\ sum\limits_(n=1)^(\infty)\ግራ(\frac(2)(3)\cdot\frac(1)(\sqrt(n))\ቀኝ)$ የሚለያዩ እና $ \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)) >\frac(2)(3)\cdot\frac(1)(\sqrt(n))$፣ከዚያም በዚ መሰረት (ነጥብ ቁጥር 1) ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))$ ይለያያሉ።
ሁለተኛውን የንጽጽር መስፈርት በመጠቀም መፍትሄ
የተሰጠውን ተከታታይ ከተለያየ ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$ ጋር ማወዳደር እንደሚያስፈልገን አስቀድመን አውቀናል:: የተሰጠውን ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))$ ከተከታታዩ $\sum ጋር እናወዳድር። \liits_(n =1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$ በመጠቀም። ሁለቱም የተከታታዩ የጋራ ቃላቶች ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም፣ስለዚህ የማንኛውም ተከታታዮች የጋራ ቃል በተከፋፈለው ውስጥ ማስቀመጥ እንችላለን፡
$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)))(\frac(1)(\sqrt(n))) =\lim_(n\to\infty)\frac(4\sqrt(n))(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))=\ግራ|\frac(\infty)(\ infty) \ቀኝ|=\ግራ|\ጽሑፍ(ቁጥር እና አካፋይ በ)\sqrt(n)\right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(4)(\sqrt(2) + \frac(3)(n))+\sqrt(2-\frac(1)(n)))=\frac(4)(\sqrt(2+0)+\sqrt(2-0))= \ frac(2)(\sqrt(2))=\sqrt(2)። $$
ከ$0 ጀምሮ<\sqrt{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}$.
መልስ: ተከታታይ ይለያያሉ.
በሁለተኛው እና በሦስተኛው ክፍል ውስጥ የንፅፅር መስፈርቶችን በመጠቀም የተከታታይ ውህደትን የማጥናትን ርዕስ እንቀጥላለን.
ከዚህ ርዕስ ጋር መስራት ከመጀመራችሁ በፊት ለቁጥር ተከታታይ የቃላት አገባብ ያለውን ክፍል እንድትመለከቱ እመክራችኋለሁ. በተለይ ለተከታታይ የጋራ አባል ጽንሰ-ሐሳብ ትኩረት መስጠት ተገቢ ነው. የመሰብሰቢያ መስፈርት ትክክለኛ ምርጫን በተመለከተ ጥርጣሬዎች ካሉዎት, "ለቁጥሮች ተከታታይ የመግባቢያ መስፈርት መምረጥ" የሚለውን ርዕስ እንዲመለከቱ እመክርዎታለሁ.
አስፈላጊ የመገጣጠም ምልክትየቁጥር ተከታታይ ቀላል አጻጻፍ አለው፡ የአንድ ተከታታይ ተከታታይ የጋራ ቃል ወደ ዜሮ ይቀናበራል። ይህ ባህሪ ይበልጥ በመደበኛነት ሊጻፍ ይችላል፡-
ተከታታዩ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ ከተሰበሰበ $\lim_(n\to\infty)u_n=0$።
ብዙውን ጊዜ በሥነ-ጽሑፍ ውስጥ “ለመገናኘት አስፈላጊ መስፈርት” ከሚለው ሐረግ ይልቅ “ለመገናኘት አስፈላጊ ሁኔታን” ይጽፋሉ። ሆኖም, ወደ ነጥቡ እንሂድ: ይህ ምልክት ምን ማለት ነው? እና የሚከተለው ማለት ነው፡ $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ ከሆነ ተከታታይ ምን አልባትመሰባሰብ $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ (ወይም ገደቡ በቀላሉ ከሌለ) ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ ይለያያል።
ከ$\lim_(n\to\infty)u_n=0$ እኩልነት የተከታታዩ መገጣጠም ማለት እንዳልሆነ ልብ ሊባል ይገባል። ተከታታይ አንድም ሊጣመር ወይም ሊለያይ ይችላል። ነገር ግን $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ ከሆነ፣ ተከታታዩ እንደሚለያዩ የተረጋገጠ ነው። እነዚህ ጥቃቅን ነገሮች ዝርዝር ማብራሪያ የሚፈልጉ ከሆነ እባክዎን ማስታወሻውን ይክፈቱ።
"አስፈላጊ ሁኔታ" የሚለው ሐረግ ምን ማለት ነው? አሳይ\ደብቅ
ስለ አንድ አስፈላጊ ሁኔታ ጽንሰ-ሐሳብ በምሳሌ እናብራራ. ለተማሪ ብዕር ለመግዛት አስፈላጊ 10 ሩብልስ ይኑሩ። እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል-አንድ ተማሪ ብዕር ከገዛ 10 ሩብልስ አለው. እስክሪብቶ ለመግዛት አሥር ሩብሎች መኖር አስፈላጊ ሁኔታ ነው.
ይህ ሁኔታ ይሟላል, ማለትም. ተማሪው አሥር አለው. ይህ ማለት እስክሪብቶ ይገዛል ማለት ነው? አይደለም. እስክሪብቶ መግዛት ይችላል ወይም ገንዘቡን ለበኋላ ማስቀመጥ ይችላል። ወይም ሌላ ነገር ይግዙ። ወይም ለአንድ ሰው ስጧቸው - ብዙ አማራጮች አሉ :) በሌላ አነጋገር, እስክሪብቶ ለመግዛት አስፈላጊውን ቅድመ ሁኔታ ማሟላት (ማለትም ገንዘብ ማግኘት) የዚህን እስክሪብቶ ግዢ ምንም ዋስትና አይሰጥም.
በተመሳሳይ መልኩ የቁጥር ተከታታዮች $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ን ለማገናኘት አስፈላጊው ሁኔታ የዚህን ተከታታይ ትስስር በፍጹም ዋስትና አይሰጥም። ቀላል ተመሳሳይነት፡ ገንዘብ ካለ ተማሪው እስክሪብቶ ሊገዛም ላይችልም ይችላል። $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ ከሆነ፣ ተከታታዩ ሊጣመር ወይም ሊለያይ ይችላል።
ነገር ግን, እስክሪብቶ ለመግዛት አስፈላጊው ሁኔታ ካልተሟላ ምን ይሆናል, ማለትም. ምንም ገንዘብ አልቀረም? ከዚያም ተማሪው በእርግጠኝነት ብዕር አይገዛም. ከተከታታይ ጋር ተመሳሳይ ነው: ለመገጣጠም አስፈላጊው ሁኔታ ካልተሟላ, ማለትም. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$፣ ከዚያ ተከታታዩ በእርግጠኝነት ይለያያሉ።
በአጭሩ: አስፈላጊው ሁኔታ ከተሟላ, ውጤቱ ሊከሰት ወይም ላይሆን ይችላል. ነገር ግን, አስፈላጊው ሁኔታ ካልተሟላ, ውጤቱ በእርግጠኝነት አይከሰትም.
ግልፅ ለማድረግ የሁለት ተከታታይ ምሳሌዎችን እሰጣለሁ-$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ እና $\sum\limits_(n=1)^(\ infty) \ frac ( 1) (n^2)$. የመጀመሪያው ተከታታዮች $u_n=\frac(1)(n)$ እና የሁለተኛው ተከታታይ $v_n=\frac(1)(n^2)$ የጋራ ቃል ወደ ዜሮ ይቀየራሉ፣ ማለትም።
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n)=0;\; \lim_(n\to\infty)v_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n^2)=0። $$
ነገር ግን ሃርሞኒክ ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ ይለያያሉ እና ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ frac(1)(n^2)$ ይገናኛል። አስፈላጊውን የመገጣጠም ሁኔታ መሟላት የተከታታዩን መገጣጠም በፍጹም ዋስትና አይሰጥም.
ለተከታታዩ መገጣጠም አስፈላጊ በሆነው ሁኔታ ላይ በመመስረት, እኛ መቅረጽ እንችላለን የመለያየት በቂ ማስረጃተከታታይ ቁጥር
$\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ ከሆነ፣ ተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ ይለያያል።
ብዙውን ጊዜ በመደበኛ ምሳሌዎች ውስጥ ፣ የተከታታዩ የጋራ ቃል በክፍልፋይ የሚወከለው ከሆነ አስፈላጊው የመገጣጠም ምልክት ምልክት ይደረግበታል ፣ የቁጥር እና መለያው የተወሰኑ ፖሊኖሚሎች ናቸው። ለምሳሌ $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ (ምሳሌ ቁጥር 1 ይመልከቱ)። ወይም ከ polynomials ሥሮች ሊኖሩ ይችላሉ (ምሳሌ ቁጥር 2 ይመልከቱ). ከዚህ እቅድ በጥቂቱ የሚያፈነግጡ ምሳሌዎች አሉ፣ ነገር ግን ይህ ለመደበኛ ፈተናዎች ብርቅ ነው (በዚህ ርዕስ ሁለተኛ ክፍል ውስጥ ያሉትን ምሳሌዎች ይመልከቱ)። ዋናውን ነገር አፅንዖት ልስጥ: አስፈላጊውን መስፈርት በመጠቀም, የተከታታይ ውህደትን ማረጋገጥ አይቻልም. ተከታታዮች እንደሚለያዩ ለማረጋገጥ ይህ ምልክት ጥቅም ላይ ይውላል።
ምሳሌ ቁጥር 1
የተከታታዩ $\ sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ን መመጣጠን መርምር።
የማጠቃለያው ዝቅተኛ ወሰን 1 ስለሆነ፣ የተከታታዩ አጠቃላይ ቃል የተፃፈው በድምር ምልክት፡$u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ ነው። የተከታታዩን አጠቃላይ ቃል ወሰን እንፈልግ፡-
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)=\ግራ|\frac(\infty) (\infty)\ቀኝ|= \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n^2)(n^2)+\frac(2n)(n^2)-\frac(1)( n^2))(\frac(5n^2)(n^2)+\frac(7)(n^2))= \lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(2) (n)-\frac(1)(n^2))(5+\frac(7)(n^2))=\frac(3+0-0)(5+0)=\frac(3) (5)። $$
"የሁለት ፖሊኖሚሎች ጥምርታ ገደብ". የተከታታዩ አጠቃላይ ቃል ወሰን ከዜሮ ጋር እኩል ስላልሆነ ማለትም እ.ኤ.አ. $\lim_(n\to\infty)u_n=\frac(3)(5)\neq 0$፣ ከዚያ ለመገጣጠም አስፈላጊው መስፈርት አልረካም። ስለዚህ, ተከታታዮቹ ይለያያሉ.
መፍትሄው የተሟላ ነው, ሆኖም ግን, አንባቢው ሙሉ በሙሉ ምክንያታዊ ጥያቄ ይኖረዋል ብዬ አምናለሁ: ለመገጣጠም አስፈላጊውን ቅድመ ሁኔታ መሟላቱን እንኳን ማረጋገጥ አስፈላጊ መሆኑን እንዴት አየን? የቁጥሮች ተከታታይ ውህደት ብዙ ምልክቶች አሉ፣ ታዲያ ይህን ለምን መረጡት? ይህ ጥያቄ በፍፁም ስራ ፈት አይደለም። ግን ለእሱ መልሱ ለሁሉም አንባቢዎች ፍላጎት ላይኖረው ስለሚችል በማስታወሻ ደብቄዋለሁ።
ለምንድነው በትክክል አስፈላጊውን መመዘኛ ለመገጣጠም መጠቀም የጀመርነው? አሳይ\ደብቅ
በለዘብተኝነት ለመናገር፣ የዚህ ተከታታይ መቀራረብ ጉዳይ ከመደበኛ ጥናት በፊትም መፍትሄ ያገኛል። እንደ የእድገት ቅደም ተከተል ባለው ርዕስ ላይ አልነካም ፣ በቀላሉ አንዳንድ አጠቃላይ ምክንያቶችን እሰጣለሁ። የተከታታይ $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ የጋራ ቃልን ጠለቅ ብለን እንይ። አስቀድመን አሃዙን እንይ። በአሃዛዊው ውስጥ ያለው ቁጥር (-1) ወዲያውኑ መጣል ይቻላል፡ $n\to\infty$ ከሆነ ይህ ቁጥር ከሌሎቹ ቃላቶች ጋር ሲወዳደር በቸልተኝነት ትንሽ ይሆናል።
በቁጥር ቆጣሪው ውስጥ ያሉትን የ$n^2$ እና $n$ ኃይላትን እንይ። ጥያቄ፡ የትኛው አካል ($n^2$ ወይም $n$) ከሌሎች በበለጠ ፍጥነት ያድጋል?
እዚህ መልሱ ቀላል ነው፡$n^2$ እሴቶቹን በፍጥነት ይጨምራል። ለምሳሌ፣ $n=100$፣ ከዚያ $n^2=10\;000$ ሲሆኑ። እና ይህ በ$n$ እና $n^2$ መካከል ያለው ልዩነት ትልቅ እና ትልቅ ይሆናል። ስለዚህ፣ $n^2$ን ከያዙ በስተቀር ሁሉንም ውሎች በአእምሯችን እናስወግዳለን። ከዚህ "መጣል" በኋላ፣ $3n^2$ በቁጥር ቆጣሪው ውስጥ ይቀራል። እና ለተከፋፈለው ተመሳሳይ አሰራር ከተፈጸመ በኋላ፣ $5n^2$ ይቀራል። እና ክፍልፋይ $\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ አሁን ይሆናል፡ $\frac(3n^2)(5n^2)=\frac(3)(5)$ . እነዚያ። ወሰን በሌለው ጊዜ አጠቃላይ ቃሉ በግልጽ ወደ ዜሮ አይመራም። የቀረው ነገር ከላይ የተደረገውን ይህንን በይፋ ማሳየት ነው።
ብዙውን ጊዜ፣ የተከታታይ አጠቃላይ ቃልን በመጻፍ፣ እንደ $\sin\alpha$ ወይም $\arctg\alpha$ እና የመሳሰሉት አካላት ጥቅም ላይ ይውላሉ። የእንደዚህ ዓይነቶቹ መጠኖች እሴቶች ከተወሰኑ የቁጥር ወሰኖች ማለፍ እንደማይችሉ ማስታወስ ያስፈልግዎታል። ለምሳሌ የ$\alpha$ ዋጋ ምንም ይሁን ምን የ$\sin\alpha$ ዋጋ በ$-1≤\sin\alpha≤ 1$ ውስጥ ይቀራል። ማለትም፣ ለምሳሌ፣ ያንን $-1≤\ sin(n!e^n)≤ 1$ መፃፍ እንችላለን። አሁን በተከታታዩ አጠቃላይ ቃል ማስታወሻ ውስጥ እንደ $5n+\ sin(n!e^n)$ ያለ አገላለጽ እንዳለ አስቡት። ከ -1 ወደ 1 ብቻ “ሊለዋወጥ” የሚችለው ሳይን ምንም ጠቃሚ ሚና ይጫወታል? ደግሞም የ$n$ እሴቶች ማለቂያ የሌላቸው ናቸው፣ እና ሳይን ከአንድ መብለጥ አይችልም! ስለዚህ፣ $5n+\ sin(n!e^n)$ የሚለውን አገላለጽ በቅድሚያ ግምት ውስጥ በማስገባት፣ ሳይን በቀላሉ ሊወገድ ይችላል።
ወይም, ለምሳሌ, እስቲ አርክታንጀንት እንውሰድ. የትርጓሜው $\alpha$ ምንም ይሁን ምን የ$\arctg\alpha$ እሴቶች የ$-\frac(\pi)(2) እኩልነትን ያረካሉ።<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.
የትኞቹ ንጥረ ነገሮች "ሊጣሉ" እንደሚችሉ እና እንደማይችሉ ለመወሰን ትንሽ ችሎታ ይጠይቃል. ብዙውን ጊዜ ተከታታይ የመሰብሰብ ጉዳይ ከመደበኛ ጥናት በፊት እንኳን ሊፈታ ይችላል። እና በመደበኛ ምሳሌዎች ውስጥ መደበኛ ምርምር በእውቀት የተገኘውን ውጤት እንደ ማረጋገጫ ብቻ ያገለግላል።
መልስ: ተከታታይ ይለያያሉ.
ምሳሌ ቁጥር 2
ተከታታዩን $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$ን ለመገጣጠም መርምር።
የማጠቃለያው ዝቅተኛ ወሰን 1 ስለሆነ፣ የተከታታዩ አጠቃላይ ቃል የተፃፈው በድምር ምልክት፡ $u_n=\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12) )$ የተከታታዩን አጠቃላይ ቃል ወሰን እንፈልግ፡-
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)=\ ግራ|\frac(\infty)(\infty)\ቀኝ|= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(\frac(4n^7)(n^7)+\frac(5n^3) (n^7)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9n^2)(n^(\frac(7)(3))))-\frac(n)(n^ (\frac(7)(3)))+\frac(12)(n^(\frac(7)(3))))= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4+) \frac(5)(n^4)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9)(n^\frac(1)(3)))-\frac(1)(n^) \frac(4)(3))+\frac(12)(n^\frac(7)(3)))=+\infty። $$
ይህንን ገደብ የመፍታት ዘዴ ጥያቄዎችን ካነሳ, ወደ "ሶስተኛው ክፍል ያለምክንያት ይገድባል" (ምሳሌ ቁጥር 7) ወደሚለው ርዕስ እንድትሸጋገር እመክራችኋለሁ. የተከታታዩ አጠቃላይ ቃል ወሰን ከዜሮ ጋር እኩል ስላልሆነ ማለትም እ.ኤ.አ. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$፣ ከዚያ ለመገጣጠም አስፈላጊው መስፈርት አልረካም። ስለዚህ, ተከታታዮቹ ይለያያሉ.
ከተረዳው የማመዛዘን አቀማመጥ ትንሽ እንነጋገር። በመርህ ደረጃ, ለምሳሌ ቁጥር 1 መፍትሄ በማስታወሻው ውስጥ የተነገረው ሁሉ እዚህ እውነት ነው. በተከታታዩ የጋራ ቃል አሃዛዊ እና አከፋፋይ ውስጥ ያሉትን ሁሉንም “ታናናሽ” ቃላት በአእምሯዊ “ከጣሉት”፣ ከዚያም ክፍልፋይ $\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2) -n+12)$ ቅጹን ይወስዳል፡$\frac(\sqrt(4n^7))(9n^2)=\frac(n^2\sqrt(4n))(9n^2)=\frac( \sqrt(4n))(9)$ እነዚያ። ከመደበኛ ጥናት በፊትም ቢሆን ከ$n እስከ ኢንፍቲ$ የተከታታዩ አጠቃላይ ቃል ዜሮ እንደማይሆን ግልጽ ይሆናል። ወደ ማለቂያ የለውም፣ ወደ ዜሮ ግን አይሆንም። ስለዚህ, የቀረው ነገር ከላይ የተደረገውን ይህንን በጥብቅ ማሳየት ነው.
መልስ: ተከታታይ ይለያያሉ.
ምሳሌ ቁጥር 3
የተከታታዩ $\ sum\limits_(n=1)^(\infty)\ግራ(5^n\sin\frac(8)(3^n)\ቀኝ)$ መመጣጠንን መርምር።
የማጠቃለያው ዝቅተኛ ወሰን 1 ስለሆነ፣ የተከታታዩ አጠቃላይ ቃል የተፃፈው በድምር ምልክት፡ $u_n=5^n\sin\frac(8)(3^n)$ ነው። የተከታታዩን አጠቃላይ ቃል ወሰን እንፈልግ፡-
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\ግራ(5^n\sin\frac(8)(3^n)\ቀኝ)=\lim_(n\to \ infty) \ frac (\ sin \ frac (8) (3 ^ n)) (\frac (1) (5^n)) =\ግራ|\frac (0) (0)\ቀኝ|=\ግራ| \\ጀማሪ(የተሰለፈ)&\frac(8)(3^n)\to 0;\\&\ sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)(3^n)። \መጨረሻ(የተሰለፈ)\ቀኝ|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=8\cdot\lim_ (n\to\infty)\ግራ(\frac(5)(3)\ቀኝ)^n=+\infty. $$
የተከታታዩ አጠቃላይ ቃል ወሰን ከዜሮ ጋር እኩል ስላልሆነ ማለትም እ.ኤ.አ. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$፣ ከዚያ ለመገጣጠም አስፈላጊው መስፈርት አልረካም። ስለዚህ, ተከታታዮቹ ይለያያሉ.
ገደቡ ሲሰላ ስለተደረጉት ለውጦች ጥቂት ቃላት። $5^n$ የሚለው አገላለጽ በቁጥር ሰጪው ውስጥ ተቀምጧል ሁለቱንም የቁጥር እና የቁጥር አገላለጾች ወሰን የሌላቸው ለማድረግ። እነዚያ። ለ$n\to\infty$ አለን፡ $\sin\frac(8)(3^n)\to 0$ እና $\frac(1)(5^n)\to 0$። እና የማይገደቡ ጥምርታ ካለን ፣ ከዚያ በሰነዱ ውስጥ የተመለከቱትን ቀመሮች በደህና መተግበር እንችላለን “ተመጣጣኝ ማለቂያ የሌላቸው ተግባራት” (በሰነዱ መጨረሻ ላይ ያለውን ሰንጠረዥ ይመልከቱ)። ከእነዚህ ቀመሮች በአንዱ መሠረት ከ$ x እስከ 0$ ከሆነ፣ ከዚያ $\sin x\sim x$። እና እኛ እንደዚህ ያለ ጉዳይ አለን: ከ $ \ frac (8) (3 ^ n) \ እስከ 0 $ ፣ ከዚያ $ \ sin \ frac (8) (3 ^ n) \ sim \ frac (8) ( 3 ^ n )$ በሌላ አነጋገር በቀላሉ $\sin\frac(8)(3^n)$ የሚለውን አገላለጽ $\frac(8)(3^n)$ በሚለው አገላለጽ እንተካለን።
ለምንድነው $5^n\ sin\frac(8)(3^n)$ የሚለውን አገላለጽ ወደ ክፍልፋይ መልክ ስለቀየርነው ጥያቄው ሊነሳ ይችላል ብዬ እገምታለሁ ምክንያቱም መተካቱ ያለዚህ ለውጥ ሊደረግ ይችል ነበር። እዚህ መልሱ ይህ ነው-መተካት ይቻላል, ግን ህጋዊ ይሆናል? ስለ ተመጣጣኝ ኢ-ፍጻሜ ያልሆኑ ተግባራት ጽንሰ-ሀሳብ እንደዚህ አይነት መተካት የሚቻለው በ$\frac(\alpha(\alpha(\alpha(x))))(\beta(x))$ (በዚህ አጋጣሚ $\alpha(x)$) መግለጫዎች ብቻ እንደሆነ አሻሚ ማሳያ ይሰጣል። እና $\beta (x)$ - infinitesimal)፣ በገደብ ምልክት ስር ይገኛል። ስለዚህ የእኛን አገላለጽ ወደ ክፍልፋይ መልክ ቀየርነው, ከቲዎሬም መስፈርቶች ጋር በማስተካከል.
መልስ: ተከታታይ ይለያያሉ.
ምሳሌ ቁጥር 4
የተከታታዩ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3^n)(n^2)$ን መመጣጠን መርምር።
የማጠቃለያው ዝቅተኛ ወሰን 1 ስለሆነ፣ የተከታታዩ አጠቃላይ ቃል የተፃፈው በድምር ምልክት፡$u_n=\frac(3^n)(n^2)$ ስር ነው። እንደ እውነቱ ከሆነ፣ የዚህ ተከታታይ ውህደት ጉዳይ የD'Alembert ፈተናን በመጠቀም በቀላሉ ሊፈታ ይችላል።
የተከታታዩን የጋራ ቃል ጠለቅ ብለን እንመርምር። አሃዛዊው $3^n$ የሚለውን አገላለጽ ይዟል፣ እሱም፣ $n$ ሲጨምር፣ በተካፋዩ ውስጥ ከሚገኙት $n^2$ በበለጠ ፍጥነት ይጨምራል። ለራስዎ ያወዳድሩ፡ ለምሳሌ፡ $n=10$፡ ከሆነ፡ $3^n=59049$ እና $n^2=100$። እና $n$ ሲያድግ ይህ ክፍተት በፍጥነት ይጨምራል።
ከ$n\nወደ\infty$ ከሆነ $u_n$ ወደ ዜሮ እንደማይሄድ መገመት በጣም ምክንያታዊ ነው፣ ማለትም። ለመገጣጠም አስፈላጊው ሁኔታ አይሟላም. የቀረው ይህንን በጣም አሳማኝ መላምት መሞከር እና $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3^n)(n^2)$ ማስላት ነው። ነገር ግን፣ ይህን ገደብ ከማስላት በፊት፣ የተግባር ረዳት ገደብ እናገኛለን $y=\frac(3^x)(x^2)$ ለ$x\to +\infty$፣ i.e. $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)$ እናሰላ። ለምንድነው ይህን የምናደርገው፡ እውነታው $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ በሚለው አገላለጽ $n$ መለኪያው የተፈጥሮ እሴቶችን ብቻ ነው የሚወስደው($n=1,2,3, \ldots$) ፣ እና የተግባሩ $ x$ ነጋሪ እሴት $y=\frac(3^x)(x^2)$ ትክክለኛ እሴቶችን ይወስዳል። $\lim_(x\to+\infty)\frac(3^x)(x^2)$ ስናገኝ የL'Hopital ህግን መተግበር እንችላለን፡-
$$ \lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=\ግራ|\frac(\infty)(\infty)(\infty)\ቀኝ|=|\ጽሑፍ (L'Hopital'sን ተግብር) ደንብ) |=\lim_(x\to +\infty)\frac(\ግራ(3^x\ቀኝ)")(\ግራ(x^2\ቀኝ)")=\lim_(x\to +\infty) )\ frac(3^x\ln 3)(2x)=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x) =\ግራ|\frac(\infty)(\infty)\ቀኝ|=|\ጽሁፍ(የኤል ሆፒታል ህግን ተግብር)|=\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\) infty) \ frac (\ ግራ (3 ^ x \ ቀኝ)") (\ግራ (x \ ቀኝ)) = \\ = \ frac (\ln 3) (2) \ cdot \ lim_ (x \ ወደ +\) infty)\frac (3^x\ln 3)(1)=\frac(\ln^2 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)3^x=+\infty. $$
ከ$\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=+\infty$፣ ከዚያ $\lim_(n\to\infty) u_n=\lim_(n\to \) infty)\frac(3^n)(n^2)=+\infty$. ከ$\lim_(n\to\infty) u_n\neq 0$ ጀምሮ ለተከታታዩ መገጣጠም አስፈላጊው ቅድመ ሁኔታ አልረካም ማለትም ነው። የተሰጠው ተከታታይ ይለያያል.
መልስ: ተከታታይ ይለያያሉ.
አስፈላጊውን የመሰብሰቢያ ሙከራን በመጠቀም መገናኘታቸው የሚረጋገጥባቸው ሌሎች ተከታታይ ምሳሌዎች በዚህ ርዕስ ሁለተኛ ክፍል ውስጥ ይገኛሉ።
ተከታታይ ቁጥር $ \sum_(n=1) ^\ infty a_n $ ይስጥ። ለተከታታይ ውህደት አስፈላጊውን መስፈርት እንቅረፅ፡-
- ተከታታዩ ከተጣመሩ፣የጋራ ቃሉ ወሰን ዜሮ ነው፡$$ \lim _(n \to \infty) a_n = 0$$
- የተከታታዩ የጋራ ቃል ገደብ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ፣ ተከታታዩ ይለያያሉ፡$$ \lim _(n \to \infty) a_n \neq 0 $$
አጠቃላይ የሃርሞኒክ ተከታታይ
ይህ ተከታታይ የተጻፈው እንደሚከተለው ነው፡- $ \sum_(n=1) ^\ infty \frac(1)(n^p) $. በተጨማሪም፣ በ$p$ ላይ በመመስረት፣ ተከታታዩ ይሰበሰባሉ ወይም ይለያያሉ፡
- $ p = 1 $ ከሆነ፣ ተከታታይ $ \ sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n)$ ተለያይቷል እና harmonic ይባላል፣ ምንም እንኳን የተለመደው ቃል $ a_n = \ frac(1) ቢሆንም። (n) \ ወደ 0 $ ለምንድነው? አስተያየቱ አስፈላጊው መመዘኛ ስለ መገጣጠም መልስ አይሰጥም, ነገር ግን ስለ ተከታታይ ልዩነት ብቻ ነው. ስለዚህ፣ እንደ ዋናው የካውቺ መስፈርት ያሉ በቂ መመዘኛዎችን ከተጠቀምን ተከታታዩ እንደሚለያዩ ግልጽ ይሆናል!
- $ p \leqslant 1 $ ከሆነ, ከዚያም ተከታታይ ይለያያል. ምሳሌ፣ $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n))$፣በዚህም $p = \frac(1)(2)$
- $p > 1$ ከሆነ፣ ተከታታዩ ይሰበሰባል። ምሳሌ፣ $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n^3))$፣ በዚህ ውስጥ $ p = \frac(3)(2) > 1$
የመፍትሄዎች ምሳሌዎች
| ምሳሌ 1 |
| የተከታታዩን $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(n)(6n+1) $ ልዩነት አረጋግጥ |
| መፍትሄ |
|
ተከታታዩ አወንታዊ ናቸው፣ የተለመደውን ቃል እንጽፋለን፡- $$ a_n = \frac(n)(6n+1) $$ ገደቡን በ$ n \to \ infty$ ላይ እናሰላለን፡ $$ \lim _(n \to \infty) \frac(n)(6n+1) = \frac(\infty)(\infty) = $$ $ n $ን በዲኖሚነሩ ውስጥ ካሉ ቅንፎች እናወጣለን እና ከዚያ ላይ ቅነሳን እናከናውናለን። $$ = \lim_(n \to \infty) \frac(n)(n(6+\frac(1)(n)))) = \lim_(n \to \infty) \frac(1)(6) \frac (1) (n)) = \frac (1) (6) $$ $ \lim_(n\to \ infty) a_n = \frac(1)(6) \neq 0 $ መሆኑን ካወቅን በኋላ አስፈላጊው የCauchy ፈተና አልረካም እና ተከታታዩ ይለያያሉ። ችግርዎን መፍታት ካልቻሉ ወደ እኛ ይላኩልን። ዝርዝር መፍትሄ እናቀርባለን። የስሌቱን ሂደት ለማየት እና መረጃ ለማግኘት ይችላሉ. ይህ በጊዜው ከአስተማሪዎ ክፍልዎን እንዲያገኙ ይረዳዎታል! |
| መልስ |
| ተከታታዩ ይለያያሉ። |
