በትይዩ ውስጥ አንግል እንዴት እንደሚገኝ. የትይዩውን አጣዳፊ አንግል እንዴት ማግኘት እንደሚቻል

ተግባር 1. ከትይዩ አንግሎች አንዱ 65 ° ነው. የተቀሩትን የትይዩ ማዕዘኖች ያግኙ።

∠C = ∠A = 65° እንደ ትይዩ ተቃራኒ ማዕዘኖች።

∠A + ∠B = 180° ከትይዩው አንድ ጎን አጠገብ ያሉ ማዕዘኖች።

∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°።

∠D = ∠B = 115° እንደ ትይዩ ተቃራኒ ማዕዘኖች።

መልስ፡ ∠A = ∠C = 65°; ∠B = ∠D = 115°።

ተግባር 2.የአንድ ትይዩ ማዕዘኖች ድምር 220° ነው። የትይዩውን ማዕዘኖች ይፈልጉ።

ትይዩው 2 እኩል የሆነ አጣዳፊ ማዕዘኖች እና 2 እኩል የማዕዘን ማዕዘኖች ስላሉት ፣ የሁለት አግድም ማዕዘኖች ድምር ይሰጠናል ፣ ማለትም ። ∠B +∠D = 220°። ከዚያ ∠В =∠D = 220° : 2 = 110 °.

∠A + ∠B = 180° ከትይዩው አንድ ጎን አጠገብ ያሉ ማዕዘኖች፣ ስለዚህ ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°። ከዚያ ∠C =∠A = 70°።

መልስ፡ ∠A = ∠C = 70°; ∠B = ∠D = 110°።

ተግባር 3.ከትይዩ አንግሎች አንዱ 3 እጥፍ ነው. የትይዩውን ማዕዘኖች ይፈልጉ።

∠A =x። ከዚያ ∠B = 3x። ከጎኖቹ በአንዱ አጠገብ ያለው የትይዩ አንግሎች ድምር ከ 180 ° ጋር እኩል መሆኑን በማወቅ ቀመር እንጽፋለን።

x = 180 : 4;

እናገኛለን: ∠A \u003d x \u003d 45 °, እና ∠ B \u003d 3x \u003d 3 ∙ 45 ° \u003d 135 °.

ትይዩ ተቃራኒ ማዕዘኖች እኩል ናቸው, ስለዚህ

∠A = ∠C = 45 °; ∠B = ∠D = 135°።

መልስ፡ ∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 135°።

ተግባር 4.የአራት ማዕዘን ሁለት ጎኖች ትይዩ እና እኩል ከሆኑ ይህ ባለአራት ጎን ትይዩ መሆኑን ያረጋግጡ።

ማረጋገጫ።

ሰያፍ BD ይሳሉ እና Δ ADB እና Δ CBD ግምት ውስጥ ያስገቡ።

AD = BC በሁኔታ። የ BD ጎን የተለመደ ነው. ∠1 = ∠2 እንደ ውስጣዊ አቋራጭ በትይዩ (በግምት) መስመሮች AD እና BC እና ሴካንት ቢዲ። ስለዚህ, Δ ADB = Δ CBD በሁለት ጎኖች እና በመካከላቸው ያለው አንግል (የሶስት ማዕዘን እኩልነት 1 ኛ መስፈርት). በተመጣጣኝ ሶስት ማዕዘኖች ውስጥ, ተጓዳኝ ማዕዘኖች እኩል ናቸው, ስለዚህ ∠3 = ∠4. እና እነዚህ ማዕዘኖች በ AB እና በሲዲ እና በሴካንት ቢዲ ላይ የተንጠለጠሉ ውስጣዊ መስመሮች ናቸው። ይህ የሚያመለክተው የመስመሮች AB እና ሲዲ ትይዩነት ነው። ስለዚህ, በተሰጠው ባለአራት ጎን ABCD ውስጥ, ተቃራኒዎቹ ጎኖች ጥንድ ጥንድ ናቸው, ስለዚህም, በትርጉሙ, ABCD ትይዩ ነው, እሱም መረጋገጥ ነበረበት.

ተግባር 5.የትይዩ ሁለቱ ጎኖች እንደ 2 ይዛመዳሉ : 5, እና ፔሪሜትር 3.5 ሜትር ነው ትይዩውን ጎኖቹን ያግኙ.

∙ (AB+AD)

አንዱን ክፍል በ x እንጥቀስ። ከዚያም AB = 2x, AD = 5x ሜትር. የትይዩው ዙሪያ 3.5 ሜትር መሆኑን በማወቅ ቀመር እንጽፋለን-

2 ∙ (2x + 5x) = 3.5;

2 ∙ 7x=3.5;

x=3.5 : 14;

አንድ ክፍል 0.25 ሜትር ከዚያም AB = 2 ነው ∙ 0.25 = 0.5 ሜትር; AD=5 ∙ 0.25 = 1.25 ሜትር.

ምርመራ.

Parallelogram ፔሪሜትር P ABCD = 2 ∙ (AB+AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1.75 = 3.5 (ሜ).

የፓራሎግራም ተቃራኒ ጎኖች እኩል ስለሆኑ ሲዲ = AB = 0.25 ሜትር; BC = AD = 1.25 ሜትር.

መልስ: ሲዲ = AB = 0.25 ሜትር; BC = AD = 1.25 ሜትር.

ኳድራንግልስ

§43. ፓራሌሎግራም

1. ትይዩ ፍቺ.

ጥንድ ትይዩ መስመሮችን ከሌላ ጥንድ ትይዩ መስመሮች ጋር ካገናኘን, ተቃራኒው ጎኖቹ ጥንድ ጥንድ የሆኑ አራት ማዕዘን ቅርጾችን እናገኛለን.

በአራት ማዕዘናት ABDC እና EFNM (ምስል 224) BD || AC እና AB || ሲዲ;
ኢኤፍ || ኤምኤን እና ኢኤም || ኤፍ.ኤን.

ተቃራኒ ጎኖቹ በጥንድ አቅጣጫ የሚመሳሰሉ አራት ማዕዘን ቅርጾች ትይዩ ይባላል።

2. የፓራሎግራም ባህሪያት.

ቲዎረም. የፓራሎግራም ዲያግናል ወደ ሁለት እኩል ትሪያንግሎች ይከፍለዋል።

ABDC (ስዕል 225) በውስጡ AB || ሲዲ እና ኤሲ || BD

ዲያግራኑ ወደ ሁለት እኩል ትሪያንግሎች እንደሚከፍለው ማረጋገጥ ያስፈልጋል።

በትይዩ ABDC ውስጥ ሰያፍ CB ይሳሉ። ይህን እናረጋግጥ /\ ካብ= /\ ሲዲቢ

የ NE ጎን ለእነዚህ ትሪያንግሎች የተለመደ ነው; / ኤቢሲ = / ቢሲዲ፣ እንደ ውስጣዊ መስቀል የውሸት አንግሎች ትይዩ AB እና ሲዲ እና ሴካንት CB; / DIA = / ሲዲ (CBD)፣ እንዲሁም እንደ ውስጣዊ ተሻጋሪ ማዕዘኖች ከ AC እና BD እና ሴካንት CB (§ 38) ጋር።

ከዚህ /\ ካብ = /\ ሲዲቢ

በተመሣሣይ ሁኔታ፣ አንድ ሰው ዲያግናል AD ትይዩውን ወደ ሁለት እኩል ትሪያንግሎች ACD እና ABD እንደሚከፍለው ማረጋገጥ ይችላል።

ውጤቶቹ። 1 . ትይዩ ተቃራኒ ማዕዘኖች እኩል ናቸው።

/ አ = / መ፣ ይህ ከሦስት ማዕዘናት CAB እና CDB እኩልነት ይከተላል።
በተመሳሳይ እ.ኤ.አ. / ሐ = / አት.

2. የአንድ ትይዩ ተቃራኒ ጎኖች እኩል ናቸው.

AB \u003d ሲዲ እና ኤሲ\u003d BD፣ እነዚህ የእኩል ትሪያንግል ጎኖች ስለሆኑ እና ከእኩል ማዕዘኖች ተቃራኒ ናቸው።

ቲዎሪ 2. የአንድ ትይዩ ዲያግራኖች በመገናኛው ቦታ ላይ በሁለት ይከፈላሉ.

BC እና AD የትይዩው ABDC ዲያግራኖች ይሁኑ (ምስል 226)። AO = OD እና CO = OB መሆኑን እናረጋግጥ።

ይህንን ለማድረግ አንዳንድ ጥንድ ተቃራኒ ትሪያንግሎችን ለምሳሌ ያወዳድሩ /\ AOB እና /\ ኮድ

በእነዚህ ትሪያንግሎች AB = ሲዲ, እንደ ትይዩ ተቃራኒ ጎኖች;
/ 1 = / 2, እንደ ውስጣዊ አንግሎች crosswise በትይዩ AB እና ሲዲ እና secant AD;
/ 3 = / 4 በተመሳሳይ ምክንያት ከ AB || ሲዲ እና CB ሴክታቸው ናቸው (§ 38)።

ስለዚህም ይከተላል /\ AOB = /\ ኮድ እና በእኩል ሶስት ማዕዘኖች ውስጥ, ተቃራኒ እኩል ማዕዘኖች እኩል ጎኖች ናቸው. ስለዚህ, AO = OD እና CO = OB.

ቲዎሪ 3. ከትይዩው አንድ ጎን አጠገብ ያሉት ማዕዘኖች ድምር እኩል ነው። 2 መ .

ራስህን አረጋግጥ።

3. የትይዩ ምልክቶች.

ቲዎረም. የአራት ማዕዘን ተቃራኒ ጎኖች በጥንድ አቅጣጫ እኩል ከሆኑ አራት ማዕዘኑ ትይዩ ነው።

በአራት ማዕዘን ABDC (ስዕል 227) AB = ሲዲ እና AC = BD. በዚህ ሁኔታ AB || ሲዲ እና ኤሲ || BD, ማለትም, አራት ማዕዘን ABDC ትይዩ ነው.
የዚህን አራት ማዕዘን ሁለት ተቃራኒ ጫፎች በክፍል እናያይዛለን፣ ለምሳሌ፣ C እና B. ባለአራት ጎን ABDC በሁለት እኩል ትሪያንግሎች ተከፍሏል። /\ CAB እና /\ ሲዲቢ በእርግጥ፣ በሁኔታዎች የጋራ ጎን CB፣ AB \u003d CD እና AC \u003d BD አላቸው። ስለዚህ, የአንድ ትሪያንግል ሶስት ጎኖች ከሌላው ሶስት ጎን ጋር እኩል ናቸው, ስለዚህ /\ ካብ = /\ ሲዲቢ

እኩል ትሪያንግሎች እኩል ጎኖች ተቃራኒ እኩል ማዕዘን አላቸው, ስለዚህ
/ 1 = / 2 እና / 3 = / 4.

1ኛ እና 2ኛ ማዕዘኖች AB እና ሲዲ ከመስመር CB ጋር መጋጠሚያ ላይ ያሉ የውስጥ ተሻጋሪ ማዕዘኖች ናቸው። ስለዚ ኣብ || ሲዲ

በተመሳሳይ 3ኛ እና 4ኛ ማዕዘኖች የውስጥ ተሻጋሪ ማዕዘኖች ናቸው CA በመስመሮች መጋጠሚያ ላይ እና ቢዲ ከመስመር CB ጋር፣ስለዚህ CA || BD (§ 35)

ስለዚህም የአራት ማዕዘን ABDC ተቃራኒ ጎኖች በጥንድ አቅጣጫ ትይዩ ናቸው, ስለዚህ, እሱ ትይዩ ነው, እሱም መረጋገጥ ያስፈልገዋል.

ቲዎሪ 2. የአራት ማዕዘን ሁለት ተቃራኒ ጎኖች እኩል እና ትይዩ ከሆኑ, አራት ማዕዘን (አራት ማዕዘን) ትይዩ ነው.

በአራት ማዕዘን ABDC AB = ሲዲ እና AB || ሲዲ በእነዚህ ሁኔታዎች ውስጥ አራት ማዕዘን (ABDC) ትይዩ (ምስል 228) መሆኑን እናረጋግጥ.

ጫፎችን C እና Bን ከክፍል CB ጋር እናገናኛለን ። በመስመሮች AB እና በሲዲ ትይዩ ምክንያት ፣ 1 እና 2 ማዕዘኖች ፣ እንደ ውስጣዊ ማዕዘኖች ፣ እኩል ናቸው (§ 38)።
ከዚያም ትሪያንግል CAB ከ triangle CDB ጋር እኩል ነው፣ ምክንያቱም የጋራ ጎን CB ስላላቸው።
AB \u003d ሲዲ በቲዎሬም ሁኔታ እና / 1 = / 2 እንደተረጋገጠው. ከእነዚህ ትሪያንግሎች እኩልነት አንፃር የ 3 እና 4 ማዕዘኖች እኩልነት ይከተላል ፣ ምክንያቱም እነሱ በእኩል ሶስት ማዕዘኖች ውስጥ እርስ በእርስ ተቃራኒ ስለሆኑ።

ግን 3 እና 4 ማዕዘኖች በኤሲ እና ቢዲ በመስመሮች መጋጠሚያ ላይ የተሰሩ የውስጥ ተሻጋሪ ማዕዘኖች ናቸው ፣ስለዚህ AC || BD (§ 35)፣ ማለትም አራት ማዕዘን
ABDC ትይዩ ነው።

መልመጃዎች.

1. እርስ በርስ በሚገናኙበት ቦታ ላይ ባለ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ዲያግኖች በግማሽ ከተከፈሉ, ይህ አራት ማዕዘን ትይዩ ነው.

2. የውስጣዊ ማዕዘኖቹ ድምር ከሁለቱ ተያያዥ ጎኖች አጠገብ ያለው አራት ማዕዘን ከ2 ጋር እኩል መሆኑን ያረጋግጡ። መ, ትይዩ ነው.

3. ትይዩአሎግራምን በሁለት በኩል እና በመካከላቸው አንግል ይገንቡ፡

ሀ) የትይዩውን ተቃራኒ ጎኖች ትይዩነት በመጠቀም;
ለ) ትይዩ የሆኑትን ተቃራኒ ጎኖች እኩልነት በመጠቀም.

4. ትይዩ (ትይዩ) በሁለት ተጓዳኝ ጎኖች እና ዲያግናል ይገንቡ።

5. ትይዩአሎግራምን በሁለት ዲያግኖች እና በመካከላቸው ያለውን አንግል ይገንቡ።

6. በጎን በኩል እና ሁለት ዲያግኖች ያሉት ትይዩግራም ይገንቡ.

ትይዩ (ፓራሎግራም) ተቃራኒ ጎኖቹ ትይዩ የሆኑ አራት ማዕዘን ቅርጾች ናቸው, ማለትም. በትይዩ መስመሮች ላይ ተኛ

ትይዩ ባህሪያት፡-
ቲዎሪ 22. የአንድ ትይዩ ተቃራኒ ጎኖች እኩል ናቸው.
ማረጋገጫ። በትይዩ ABCD ውስጥ ሰያፍ AC ይሳሉ። ትሪያንግል ኤሲዲ እና ኤሲቢ እንደ አንድ የጋራ ጎን AC እና ሁለት ጥንድ እኩል ማዕዘኖች ያላቸው ናቸው። ከእሱ አጠገብ፡- ∠ CAB=∠ ACD፣ ∠ ASV=∠ DAC (እንደ ተሻጋሪ ማዕዘኖች ትይዩ መስመሮች AD እና BC)። ስለዚህም AB=CD እና BC=AD እንደ የእኩል ትሪያንግሎች ተጓዳኝ ጎኖች፣ ወዘተ. የእነዚህ ትሪያንግሎች እኩልነት የሶስት ማዕዘኖቹን ተዛማጅ ማዕዘኖች እኩልነት ያሳያል።
ቲዎሪ 23. ትይዩአሎግራም ተቃራኒ ማዕዘኖች፡- ∠ A=∠ C እና ∠ B=∠ ዲ ናቸው።
የመጀመሪያዎቹ ጥንድ እኩልነት የሚመጣው ከሶስት ማዕዘኖች ABD እና CBD እኩልነት ነው, እና ሁለተኛው - ABC እና ACD.
ቲዎሪ 24. ትይዩ አጎራባች ማዕዘኖች፣ i.e. ከአንዱ ጎን አጠገብ ያሉ ማዕዘኖች እስከ 180 ዲግሪዎች ይጨምራሉ.
ይህ የሆነበት ምክንያት ውስጣዊ አንድ-ጎን ማዕዘኖች በመሆናቸው ነው።
ቲዎሪ 25. የአንድ ትይዩ ዲያግራኖች በመገናኛው ቦታ ላይ እርስ በርስ ይከፋፈላሉ.
ማረጋገጫ። ትሪያንግሎችን BOC እና AODን ተመልከት። በመጀመሪያው ንብረት መሠረት AD=BC ∠ ОАD=∠ OSV እና ∠ ОDA=∠ ОВС ከ AD እና BC ጋር ትይዩ የሆኑ መስመሮች ተዘርግተዋል። ስለዚህ, ትሪያንግሎች BOC እና AOD በጎን በኩል እና ከእሱ አጠገብ ያሉ ማዕዘኖች እኩል ናቸው. ስለዚህ, BO=OD እና AO=OC, እንደ የእኩል ትሪያንግሎች ተጓዳኝ ጎኖች, ወዘተ.

ፓራሎግራም ባህሪያት
ቲዎሪ 26. የአራት ማዕዘን ተቃራኒ ጎኖች በጥንድ እኩል ከሆኑ ትይዩ ነው።
ማረጋገጫ። ባለአራት ጎን ABCD ጎኖች AD እና BC፣ AB እና CD፣ በቅደም ተከተል፣ እኩል ይሁኑ (ምስል 2)። ዲያግናል ኤሲ እንሳል። ትሪያንግል ABC እና ACD ሶስት እኩል ጎኖች አሏቸው። ከዚያም BAC እና DCA ማዕዘኖች እኩል ናቸው እና ስለዚህ AB ከሲዲ ጋር ትይዩ ነው. የጎን BC እና AD ትይዩነት ከ CAD እና DIA ማዕዘኖች እኩልነት ይከተላል።
ቲዎሪ 27. የአራት ማዕዘን ተቃራኒ ማዕዘኖች በጥንድ እኩል ከሆኑ, እሱ ትይዩ ነው.
∠ A=∠ C እና ∠ B=∠ መ። ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o፣ ከዚያም ∠ A+∠ B=180 o እና ጎኖች AD እና BC ትይዩ ናቸው (በትይዩ መስመሮች መሰረት)። እንዲሁም የጎኖቹን AB እና ሲዲ ትይዩነት እናረጋግጣለን እና ABCD በትርጉም ትይዩ ነው ብለን እንደምዳለን።
ቲዎሪ 28. የአራት ማዕዘን ተጓዳኝ ማዕዘኖች ካሉ, ማለትም. ከአንዱ ጎን አጠገብ ያሉ ማዕዘኖች እስከ 180 ዲግሪ ይጨምራሉ, ከዚያ ትይዩ ነው.
የውስጣዊው አንድ-ጎን ማዕዘኖች እስከ 180 ዲግሪ ሲጨመሩ, መስመሮቹ ትይዩ ናቸው. ይህ ማለት AB የሲዲ ጥንድ ነው እና BC ጥንድ AD ነው። አራት ማዕዘን በትርጓሜ ትይዩ ይሆናል።
ቲዎሪ 29. የአራት ማዕዘን ዲያግራኖች በግማሽ መገናኛ ነጥብ ላይ እርስ በርስ ከተከፋፈሉ, አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትይዩ ነው.
ማረጋገጫ። AO=OC፣ BO=OD ከሆነ፣ እንግዲያውስ ትሪያንግሎች AOD እና BOC እኩል ናቸው፣ በ vertex O ላይ እኩል ማዕዘኖች (ቋሚ) ያላቸው፣ በእኩል ጎኖች ጥንዶች መካከል የተዘጉ ናቸው። ከሦስት ማዕዘናት እኩልነት AD እና BC እኩል ናቸው ብለን መደምደም እንችላለን። AB እና ሲዲ ጎኖቹ እኩል ናቸው እና አራት ማዕዘኑ በባህሪ 1 መሰረት ትይዩ ይሆናል።
ቲዎሪ 30. አራት ማዕዘን ቅርጽ ያላቸው ጥንድ እኩል, ትይዩ ጎኖች ካሉት, እሱ ትይዩ ነው.
ጎኖች AB እና ሲዲ በአራት ማዕዘን ABCD ትይዩ እና እኩል ይሁኑ። ዲያግራኖቹን AC እና BD ይሳሉ። ከነዚህ መስመሮች ትይዩነት አንፃር የ ABO=CDO እና BAO=OCD ተሻጋሪ ማዕዘናት እኩልነት ይከተላል። ትሪያንግሎች ABO እና CDO በጎን እና በአጎራባች ማዕዘኖች እኩል ናቸው። ስለዚህ, AO=OC, BO=OD, i.e. የመስቀለኛ መንገዱ ዲያግራኖች በግማሽ የተከፋፈሉ ሲሆን አራት ማዕዘኑ በባህሪ 4 መሠረት ትይዩ ይሆናል ።

በጂኦሜትሪ ውስጥ, የፓራሎግራም ልዩ ጉዳዮች ግምት ውስጥ ይገባል.

እንደ Euclidean ጂኦሜትሪ ፣ ነጥቡ እና ቀጥተኛው መስመር የፕላኖች ንድፈ ሀሳብ ዋና አካላት ናቸው ፣ ስለሆነም ትይዩው የኮንቬክስ ኳድሪተራል ገጽታዎች አንዱ ነው ። ከእሱ እንደ ኳስ ክሮች የ "አራት ማዕዘን", "ካሬ", "ሮምብስ" እና ሌሎች የጂኦሜትሪክ መጠኖች ጽንሰ-ሀሳቦች ይፈስሳሉ.

ጋር ግንኙነት ውስጥ

ትይዩ ፍቺ

ኮንቬክስ አራት ማዕዘን,ክፍሎችን ያቀፈ ፣ እያንዳንዱ ጥንድ ትይዩ ነው ፣ በጂኦሜትሪ እንደ ትይዩግራም ይታወቃል።

ክላሲክ ትይዩ ምን ይመስላል ባለአራት ጎን ABCD ነው። ጎኖቹ መሠረቶች (AB፣ BC፣ CD እና AD) ይባላሉ፣ ከየትኛውም ወርድ ወደ ተቃራኒው የዙህ ወርድ ጎን የተሳለው ቀጥ ያለ ቁመቱ (BE እና BF)፣ AC እና BD መስመሮቹ ዲያግራኖች ናቸው።

ትኩረት!ካሬ፣ ሮምብስ እና አራት ማዕዘን ልዩ የትይዩ ጉዳዮች ናቸው።

ጎኖች እና ማዕዘኖች: ጥምርታ ባህሪያት

ዋና ዋና ባህሪያት, በአጠቃላይ, በመሰየም በራሱ አስቀድሞ ተወስኗል, በቲዎሬም የተረጋገጡ ናቸው. እነዚህ ባህሪያት የሚከተሉት ናቸው.

1. ተቃራኒው ጎኖች በጥንድ ተመሳሳይ ናቸው።
2. እርስ በርስ የሚቃረኑ ማዕዘኖች በጥንድ እኩል ናቸው.

ማረጋገጫ፡- ∆ABC እና ∆ADCን አስቡባቸው፣ እነዚህም አራት ማዕዘን ABCDን በመስመር AC በመከፋፈል የተገኙ ናቸው። ∠BCA=∠CAD እና ∠BAC=∠ACD፣ AC ለእነሱ የተለመደ ስለሆነ (ቋሚ ማዕዘኖች ለBC|| AD እና AB||ሲዲ በቅደም ተከተል)። ከዚህ እንደሚከተለው ነው፡- ∆ABC = ∆ADC (ሁለተኛው የሶስት ማዕዘኖች እኩልነት መስፈርት)።

ክፍል AB እና BC በ∆ABC በጥንድ ሲዲ እና AD በ∆ADC ውስጥ ይዛመዳሉ፣ይህም ማለት ተመሳሳይ ናቸው፡ AB = CD፣ BC = AD። ስለዚህ፣ ∠B ከ∠D ጋር ይዛመዳል እና እነሱ እኩል ናቸው። ከ∠A=∠BAC+∠CAD፣ ∠C=∠BCA+∠ACD ጀምሮ፣ እነዚህም በጥንድ ተመሳሳይ ናቸው፣ ከዚያ ∠A = ∠C። ንብረቱ ተረጋግጧል.

የምስሉ ዲያግኖች ባህሪያት

ዋና ባህሪእነዚህ ትይዩዎች መስመሮች: የመገናኛው ነጥብ በሁለት ይከፋፍላቸዋል.

ማረጋገጫ፡ m. ሠ የዲያግኖች AC እና የ ABCD የሥዕሉ ቢዲ መገናኛ ነጥብ ይሁን። ሁለት ተመጣጣኝ ትሪያንግሎች ይመሰርታሉ - ∆ABE እና ∆CDE።

AB=ሲዲ ተቃራኒ ስለሆኑ። በመስመሮች እና ሴክተሮች መሰረት፣ ∠ABE = ∠CDE እና ∠BAE = ∠DCE።

በሁለተኛው የእኩልነት ምልክት ∆ABE = ∆CDE። ይህ ማለት ንጥረ ነገሮች ∆ABE እና ∆CDE፡- AE = CE፣ BE = DE እና በተጨማሪም፣ የ AC እና BD ተመጣጣኝ ክፍሎች ናቸው። ንብረቱ ተረጋግጧል.

የአጎራባች ማዕዘኖች ባህሪያት

በአጎራባች ጎኖች, የማዕዘን ድምር 180 ° ነው, በትይዩ መስመሮች እና ሴክታንት አንድ ጎን ላይ ስለሚተኛ. ለባለ አራት ጎን ABCD፡

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

የሁለትዮሽ ንብረቶች;

1. , ወደ አንድ ጎን ተወርውረዋል, perpendicular ናቸው;
2. ተቃራኒ ጫፎች ትይዩ ቢሴክተሮች አሏቸው;
3. ቢሴክተሩን በመሳል የተገኘው ትሪያንግል isosceles ይሆናል.

የትይዩ ባህሪ ባህሪያትን በቲዎሬም መወሰን

የዚህ ምስል ገፅታዎች ከዋናው ንድፈ ሃሳቡ ይከተላሉ, እሱም እንደሚከተለው ይነበባል. ባለአራት ጎን እንደ ትይዩአሎግራም ይቆጠራልየእሱ ዲያግራኖች እርስ በርስ በሚገናኙበት ጊዜ, እና ይህ ነጥብ ወደ እኩል ክፍሎችን ይከፋፍላቸዋል.

ማረጋገጫ፡ መስመሮች AC እና BD የኳድሪተራል ABCD በt.E ውስጥ ይገናኙ። ከ∠AED = ∠BEC፣ እና AE+CE=AC BE+DE=BD፣ከዚያ ∆AED=∆BEC (በመጀመሪያው የሶስት ማዕዘን እኩልነት ምልክት)። ማለትም፣ ∠EAD = ∠ECB። እንዲሁም የመስመሮች AD እና BC የሴካንት AC የውስጥ መሻገሪያ ማዕዘኖች ናቸው። ስለዚህም በትይዩ ትርጉም - AD || ዓ.ዓ. የመስመሮች BC እና ሲዲ ተመሳሳይ ንብረት እንዲሁ ተገኝቷል። ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

የአንድን ምስል አካባቢ በማስላት ላይ

የዚህ ምስል አካባቢ በበርካታ መንገዶች ተገኝቷልበጣም ቀላል ከሆኑት አንዱ: ቁመቱን እና የሚቀዳበትን መሠረት ማባዛት.

ማረጋገጫ፡ BE እና CF ከቁመቶች B እና C ይሳሉ። ∆ABE እና ∆DCF ከ AB = ሲዲ እና BE = CF ጀምሮ እኩል ናቸው። ABCD ከአራት ማዕዘኑ EBCF ጋር እኩል ነው፣ ምክንያቱም እነሱም ተመጣጣኝ አሃዞችን ያቀፈ ነው፡ S ABE እና S EBCD፣ እንዲሁም S DCF እና S EBCD። የዚህ ጂኦሜትሪክ ምስል ስፋት ከአራት ማዕዘኑ ጋር ተመሳሳይ ነው-

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

በትይዩ ሎግራም አካባቢ ያለውን አጠቃላይ ቀመር ለመወሰን, ቁመቱን እንደ hb, እና ጎን ለ. በቅደም ተከተል፡-

አካባቢን ለማግኘት ሌሎች መንገዶች

የአካባቢ ስሌቶች በትይዩ እና በማእዘኑ ጎኖች በኩልእነሱ የሚፈጥሩት, ሁለተኛው የታወቀ ዘዴ ነው.

,

Spr-ma - አካባቢ;

a እና b ጎኖቹ ናቸው።

α - በክፍሎች a እና b መካከል አንግል.

ይህ ዘዴ በተግባር በመጀመሪያ ላይ የተመሰረተ ነው, ነገር ግን በማይታወቅ ሁኔታ. ሁልጊዜ ትክክለኛ ትሪያንግል ይቆርጣል የእሱ መለኪያዎች በትሪግኖሜትሪክ ማንነቶች የተገኙ ናቸው, ማለትም. ሬሾውን በመለወጥ, እናገኛለን. በመጀመሪያው ዘዴ እኩልነት, ቁመቱን በዚህ ምርት እንተካለን እና የዚህን ቀመር ትክክለኛነት ማረጋገጫ እናገኛለን.

በትይዩ እና በማእዘን ዲያግራኖች በኩል ፣እርስ በርስ በሚገናኙበት ጊዜ የሚፈጥሩት, እርስዎም ቦታውን ማግኘት ይችላሉ.

ማረጋገጫ፡ AC እና BD intersecting አራት ማዕዘናት ይመሰርታሉ፡ ABE፣ BEC፣ CDE እና AED። የእነሱ ድምር ከዚህ አራት ማዕዘን ስፋት ጋር እኩል ነው.

የእያንዳንዳቸው ∆ አካባቢ ከሚለው አገላለጽ ሊገኝ ይችላል፣ a=BE፣ b=AE፣ ∠γ =∠AEB። ጀምሮ , ከዚያም የሲን ነጠላ ዋጋ በስሌቶች ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል. I.e. ከ AE+CE=AC=d 1 እና BE+DE=BD=d 2 ጀምሮ የአካባቢ ቀመር ወደ፡- ይቀንሳል።

.

በቬክተር አልጀብራ ውስጥ ማመልከቻ

የዚህ አራት ማዕዘን አካል ክፍሎች ገፅታዎች በቬክተር አልጀብራ ውስጥ አተገባበር አግኝተዋል፡- የሁለት ቬክተር መጨመር። ትይዩ ደንቡ እንዲህ ይላል። ቬክተሮች ከተሰጡእናአይደለምኮላይኔር ናቸው ፣ ከዚያ ድምራቸው ከዚህ ምስል ዲያግናል ጋር እኩል ይሆናል ፣ መሰረቱ ከእነዚህ ቫክተሮች ጋር ይዛመዳል።

ማረጋገጫ: በዘፈቀደ ከተመረጠ መጀመሪያ - ማለትም. - ቬክተሮችን እንገነባለን እና . በመቀጠል, OA እና OB ክፍሎቹ በጎን በኩል ሲሆኑ ትይዩ ኦኤኤስቪ እንገነባለን. ስለዚህ ስርዓተ ክወናው በቬክተር ወይም ድምር ላይ ነው.

የአንድ ትይዩ መለኪያዎችን ለማስላት ቀመሮች

ማንነቶች በሚከተሉት ሁኔታዎች ተሰጥተዋል፡-

1. a እና b, α - ጎኖች እና በመካከላቸው ያለው አንግል;
2. d 1 እና d 2, γ - ዲያግራኖች እና በመስቀለኛ መንገዳቸው ላይ;
3. h a እና h b - ቁመቶች ወደ ጎኖች ዝቅ ብለው a እና b;

መለኪያ	ፎርሙላ
ጎኖችን መፈለግ
በዲያግራኖች እና በመካከላቸው ያለው አንግል ኮሳይን
በሰያፍ እና በጎን በኩል
በከፍታ እና በተቃራኒ ጫፍ
የዲያግራኖቹን ርዝመት ማግኘት
በጎን በኩል እና በመካከላቸው ያለው የላይኛው መጠን

ትይዩ (ፓራሎግራም) አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ሲሆን ተቃራኒው ጎኖቹ ትይዩ ናቸው, ማለትም, በትይዩ መስመሮች ላይ ይተኛሉ (ምስል 1).

ቲዎሪ 1. በጎን እና በማእዘኖች ባህሪያት ላይ ትይዩ.በትይዩ, ተቃራኒ ጎኖች እኩል ናቸው, ተቃራኒ ማዕዘኖች እኩል ናቸው, እና ከትይዩ አንድ ጎን አጠገብ ያሉት ማዕዘኖች ድምር 180 ° ነው.

ማረጋገጫ። በዚህ ትይዩ ABCD፣ ዲያግናል ኤሲ ይሳሉ እና ሁለት ትሪያንግሎች ABC እና ADC ያግኙ (ምስል 2)።

እነዚህ ትሪያንግሎች እኩል ናቸው፣ ምክንያቱም ∠ 1 = ∠ 4፣ ∠ 2 = ∠ 3 (ተሻጋሪ ማዕዘኖች በትይዩ መስመሮች) እና የጎን AC የተለመደ ነው። ከእኩልነት Δ ABC = Δ ADC በመቀጠል AB \u003d CD, BC \u003d AD, ∠ B \u003d ∠ D. ከአንድ ጎን አጠገብ ያሉ ማዕዘኖች ድምር ለምሳሌ, A እና D, ከ 180 ጋር እኩል ነው. ° እንደ አንድ ጎን ከትይዩ መስመሮች ጋር. ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

አስተያየት. የአንድ ትይዩ ተቃራኒ ጎኖች እኩልነት ማለት በትይዩ የተቆራረጡ ክፍሎች የተቆራረጡ ክፍሎች እኩል ናቸው.

ቁርኝት 1. ሁለት መስመሮች ትይዩ ከሆኑ, ሁሉም የአንድ መስመር ነጥቦች ከሌላው መስመር ተመሳሳይ ርቀት ላይ ናቸው.

ማረጋገጫ። በእርግጥ አንድ || ለ (ምስል 3).

ከአንዳንድ ሁለት ነጥቦች B እና C ን በመስመሩ ለ perpendiculars ቢኤ እና ሲዲ ወደ መስመር ሀ እንሳል። ከ AB || ሲዲ, ከዚያም አሃዝ ABCD ትይዩ ነው, እና ስለዚህ AB = ሲዲ.

በሁለት ትይዩ መስመሮች መካከል ያለው ርቀት በአንደኛው መስመር ላይ ካለው የዘፈቀደ ነጥብ ወደ ሌላኛው መስመር ያለው ርቀት ነው.

በተረጋገጠው, ከአንደኛው ትይዩ መስመሮች ወደ ሌላኛው መስመር ከተወሰነው የፔንዲኩላር ርዝመት ጋር እኩል ነው.

ምሳሌ 1የፓራሌሎግራም ፔሪሜትር 122 ሴ.ሜ ነው ። አንደኛው ጎኖቹ ከሌላው 25 ሴ.ሜ ይረዝማሉ ። የትይዩውን ጎኖቹን ይፈልጉ።

ውሳኔ. በቲዎሬም 1፣ የትይዩ ተቃራኒ ጎኖች እኩል ናቸው። የትይዩውን አንድ ጎን x፣ ሌላውን ደግሞ y ብለን እንጥቀስ። ከዚያ በሁኔታ $$\ግራ \(\ጀማሪ (ማትሪክስ) 2x + 2y = 122 \\ x - y = 25 \end(matrix)\ right.$$ ይህንን ስርዓት በመፍታት x = 43, y = 18 እናገኛለን. ስለዚህ, የፓራሎግራም ጎኖች 18, 43, 18 እና 43 ሴ.ሜ.

ምሳሌ 2

ውሳኔ. ቁጥር 4 ከችግሩ ሁኔታ ጋር ይዛመዳል።

AB በ x እና BC በy ያመልክቱ። እንደ ሁኔታው ​​​​የፓራሎግራም ፔሪሜትር 10 ሴ.ሜ ነው, ማለትም 2 (x + y) = 10, ወይም x + y = 5. የሶስት ማዕዘን ABD ፔሪሜትር 8 ሴ.ሜ ነው እና ከ AB + AD = x + y = 5 ጀምሮ. , ከዚያም BD = 8 - 5 = 3. ስለዚህ BD = 3 ሴ.ሜ.

ምሳሌ 3ከመካከላቸው አንዱ ከሌላው 50 ° የበለጠ መሆኑን በማወቅ የትይዩውን ማዕዘኖች ይፈልጉ።

ውሳኔ. ቁጥር 5 ከችግሩ ሁኔታ ጋር ይዛመዳል።

የማዕዘን A የዲግሪ መለኪያን እንደ x እንጥቀስ። ከዚያም የማዕዘን D የዲግሪ መለኪያ x + 50 ° ነው.

ማዕዘኖች BAD እና ADC በትይዩ መስመር AB እና DC እና secant AD ጋር አንድ-ጎን ናቸው። ከዚያም የእነዚህ የተሰየሙ ማዕዘኖች ድምር 180 ° ይሆናል, ማለትም.
x + x + 50° = 180°፣ ወይም x = 65°። ስለዚህ, ∠ A = ∠ C = 65 °, a ∠ B = ∠ D = 115 °.

ምሳሌ 4የትይዩው ጎኖች 4.5 ዲሜ እና 1.2 ዲኤም ናቸው. ቢሴክተር ከአጣዳፊ አንግል ጫፍ ላይ ይሳላል። የትይዩውን ረጅም ጎን በየትኞቹ ክፍሎች ይከፋፍላል?

ውሳኔ. ቁጥር 6 ከችግሩ ሁኔታ ጋር ይዛመዳል።

AE የ A ጣዳፊ ማዕዘን ትይዩ (bisector) ነው. ስለዚህ፣ ∠ 1 = ∠ 2