ስብስቦች ማስታወሻ መገናኛ እና አንድነት. ትምህርት "የስብስብ መገናኛ እና አንድነት"

• ማህበርወይም የ n ስብስቦች ድምር A 1፣ A 2፣ …፣ A n ከእነዚህ n ስብስቦች ውስጥ ቢያንስ በአንዱ ውስጥ የተካተቱ ንጥረ ነገሮችን የያዘ ስብስብ ነው፡ A = A 1 U A 2 U… U A n ምልክ U ስብስቦችን የማጣመር ተግባርን የሚያመለክት ነው።

በመደበኛነት ፣ የስብስብ ጥምረት አሠራር እንደሚከተለው ይገለጻል ።

ሀ = (x / x ∈ ሀ 1 ∨ x ∈ A 2 ∨ … ∨ x ∈ A n)፣

የት ∨ ቁርኝቱን OR የሚያመለክት አመክንዮአዊ ምልክት ነው። ይህ ግቤት እንደሚከተለው ይነበባል፡- A ስብስብ A 1፣ ወይም ስብስብ A 2፣ ወይም ስብስብ A 3፣ እና እስከ ስብስብ A p ድረስ ያሉት የ x እሴቶች ናቸው።

ስብስቦችን ኦፕሬሽን ዩኒየን ለማከናወን ካልኩሌተር አለ። .

ለምሳሌ, ስብስቦች ይሰጡ: A 1 = (a, b, c); A2 = (4); A 3 = (ለ, 54) የሕብረት ሥራውን ለእነሱ በመተግበር አዲስ ስብስብ A = A 1 U A 2 U A 3 = (a,b,c,4,54) እናገኛለን. ልብ ይበሉ b∈ A 1 እና b∈ A 3፣ ነገር ግን ኤለመንት ለ በስብስቡ A ውስጥ አንድ ጊዜ ብቻ ይታያል (አስታውስ፡ ሁሉም የስብስቡ አካላት የተለያዩ መሆን አለባቸው)።

በ () ላይ፣ የስብስብ ጥምረት የሚገለጸው ከእነዚህ ስብስቦች ጋር የሚዛመዱ ቦታዎችን በጠንካራ ጥላ በመጥረግ ነው።

• በለስ ላይ. የ QU P ስብስብ 5 ጥላ ያለበት ቦታ ፣
• በለስ ላይ. 6 የስብስቡን ክልል (P U Q) ዩ አር ከመፈልፈል ጋር ያሳያል።
• በለስ ላይ. 7 ሶስት ስብስቦችን P፣ Q እና R ያሳያል። መፈልፈያ ስብስብ Q U Rን ያመለክታል።

የሠራተኛ ማኅበር ሥራ የሚከተሉትን ባህሪዎች አሉት ።

ሀ) ማህበሩ ተላላፊ ነው፡-

A U B = B U A;

A U B U C = A U C U B = B U A U C ወዘተ.;

ለ) በማህበር;

(A U B) U C = A U (B U C) = A U B U C.

(በማህበር ምክንያት፣ በማህበር ምልክት የተገናኙ በርካታ ስብስቦችን ሲጽፉ፣ ቅንፎችጥቅም ላይ ሊውል አይችልም);

ውስጥ) B ⊆ A ወይም B ⊂ A ከሆነ፣ ከዚያ A U B = A።

በለስ ላይ. ስምት የቬን ዲያግራም ለጉዳዩ የተሰጠው B ⊂ A.

መፈልፈያ የ A ስብስብ A አካባቢን ያመለክታል

በተመሳሳይ ጊዜ በ A U B ስብስብ ላይ ይተገበራል.

• ከ "ውስጥ" ንብረት ውስጥ የሚከተለው ነው-

1. A U A = A;
2. A U A = ∅;
3. A U I = I.

መልመጃዎች

1. የ A ዩ ቢ ከሆነ የስብስቡን ንጥረ ነገሮች ያግኙ

A = (a, b, c); B = (b, c, d)

2. የስብስብዎቹን ንጥረ ነገሮች ይፈልጉ-መጀመሪያ A, ከዚያ - A 1, ከዚያ በኋላ - A 2 (ቁጥሮችን በቅደም ተከተል ማዘዝ), A = (x / x ∈ I ∧ (x ∈ A 1 ∨ x ∈ A) ከሆነ. 2) ሀ 1 ⊂ እኔ የሶስት ብዜቶች ስብስብ ነው ፣ A 2 ⊂ እኔ ስብስብ ነውየአራት ብዜት የሆኑ ቁጥሮች); እኔ = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

3. በሦስት ስብስቦች A፣ B፣ C የተሰጠ። ሀ. ሀ. ሁሉንም እውነተኛ መግለጫዎች እንደሚያመለክት ይታወቃል፡-

ሀ) ሀ ⊂ ቢ; ረ) (ሀ) ∈ B;

ለ) a∈ A U B; ሰ) (ሀ)⊆ A U B;

ሐ) a ⊂ B U C; ሸ) (ሀ) ∈ B U C;

መ) ሀ ∈ A U B U C; i) (ሀ) ⊆ አ ዩ ቢዩ ሲ

ሠ) (ሀ) ⊆ ሀ

መልሶች፡ b)) d) e) g) i) - እውነት።

4. በለስ. 9 ለሶስት ስብስቦች የቬን ዲያግራም ያሳያል. የቅንጅቶችን ንጥረ ነገሮች ያግኙ A U B , ከዚያ - A U C.

5. የስብስቡን አካላት ይዘርዝሩ M (ምስል 9)።

M = (x / x ∉ ሀ ∧ x ∈ እኔ)።

6. የስብስቡን አካላት ይዘርዝሩ N (ምስል 9)

N = (x / x ∈ A U B ፣ x > 4)።

7. የስብስቡን አካላት ይዘርዝሩ K ከሆነ

K = (x / x ∈ A U B U C, x እኩል ቁጥር ነው) (ምስል 9).

8. የቲ ስብስብ ክፍሎችን ይዘርዝሩ (ምስል 9):

ቲ = (x / x ∉ A U C, x ∈ I).

9. የ A U Bን ስብስብ ካርዲናል ቁጥር ያግኙ,

ከሆነ A = (a, b, c); B = (6, 7, 8, 9).

መልስ፡ | አ ዩ ለ| = 7

10. ስብስቦች ካርዲናል ቁጥሮች ያግኙ

በቬን ዲያግራም መሰረት A U B, A U C, B U C (ምስል 10).

11. የ A ዩ ቢን ስብስብ ካርዲናል ቁጥር ያግኙ

A = (1, 2, 3, 4); B = (2, 3, 4, 5).

መልስ፡ | አ ዩ ለ| = 5

12. የስብስቡን ካርዲናል ቁጥር ያግኙ A U B if A = (∅); B = (a, b, c)

መልስ፡ | አ ዩ ለ| = 4

13. የ B (P) U B (Q) ስብስብ ካርዲናል ቁጥር ያግኙ, የት

P = (a, b, c); ጥ = (b, c, d)

መልስ፡ |B(P) U B(Q)| = |B(P U Q)| = |B(a, b, c, d)| = 2 4 = 16

14. የ B (K) U B (M) ስብስብ ካርዲናል ቁጥር ያግኙ, የት

K = ( x / x እኩል የሆነ የተፈጥሮ ቁጥር ነው, x ≤ 8);

M = ( x / x ያልተለመደ የተፈጥሮ ቁጥር ነው፣ x< 6}.

15. ስብስቡ ስንት ትክክለኛ ንዑስ ስብስቦች አሉት፣ A = A 1 U A 2 U… U A n፣

ከሆነ A 1 ፣ A 2 ፣… ፣ A n —ጥንድ ጥምር እኩል ያልሆኑ ነጠላ ቶን?

በስብስቦች ላይ የሚደረግ ቀዶ ጥገና ህግ ነው, በዚህም ምክንያት, ከተሰጡት ስብስቦች, አንዳንድ አዲስ ስብስቦች በተለየ ሁኔታ ይገኛሉ.

የዘፈቀደ አሰራርን በ * ያመልክቱ። ከተሰጡት ስብስቦች የተገኘው ስብስብ A እና Bበቅጹ ላይ ተጽፏል አ*ቢ.የተገኘው ስብስብ እና ክዋኔው ራሱ አንድ ቃል ይባላሉ.

አስተያየት.ለመሠረታዊ የቁጥር ስራዎች, ሁለት ቃላት ጥቅም ላይ ይውላሉ-አንዱ ቀዶ ጥገናውን እራሱን እንደ አንድ ድርጊት, ሌላኛው - ድርጊቱ ከተፈጸመ በኋላ የተገኘው ቁጥር. ለምሳሌ, በ + የተወከለው ቀዶ ጥገና መደመር ይባላል, እና በመደመር ምክንያት የተገኘው ቁጥር የቁጥሮች ድምር ይባላል. በተመሳሳይም የማባዛት ክዋኔው ምልክት እና ውጤቱ እና ለ -የቁጥሮች ምርት ሀ እና ለ.ሆኖም ፣ ብዙ ጊዜ ይህ ልዩነት ከግምት ውስጥ አይገቡም እና “የቁጥሮችን ድምር ግምት ውስጥ ያስገቡ” ይላሉ ፣ ማለትም የተወሰነ ውጤት አይደለም ፣ ግን ክዋኔው ራሱ።

የማቋረጫ አሠራር.የ A እና B ስብስቦች መገናኛ አግልቪ, ሁሉንም እቃዎች ያካተተ, እያንዳንዳቸው የሁለቱም ስብስቦች ናቸው ግንእና አትበአንድ ጊዜ.

በሌላ ቃል, ASV -የሁሉም ስብስብ ስብስብ ነው ሄኤእና ሄው፡

የማህበር ስራ.የ A እና B ስብስብየተወከለው ስብስብ ይባላል ኤ እና ቢ ፣ሁሉንም እቃዎች ያካተተ, እያንዳንዳቸው ቢያንስ አንድ ስብስብ ናቸው ግንወይም አት.

የማህበሩ ስራ አንዳንድ ጊዜ በ+ ምልክት ይገለጻል እና ስብስብ መደመር ይባላል።

የልዩነት ስራዎች.የ A እና B ስብስቦች ልዩነትየተወከለው ስብስብ ይባላል AB, ሁሉንም እቃዎች ያቀፈ, እያንዳንዱም በውስጡ ይተኛል ግን፣ግን መዋሸት አይደለም አት.

አገላለጽ አፕቪአንብብ "ግንጋር መገናኛ ውስጥ አት», AkjB- "እና ከ ጋር በማያያዝ ቢ ፣ AB - "ኤያለ AT"

ምሳሌ 7.1.1.ይሁን ግን = {1, 3,4, 5, 8,9}, አት = {2,4, 6, 8}.

ከዚያም AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), አሲቢ=( 4,8}, AB= (1.3, 5, 9), YL = (2.6)."

በእነዚህ ክዋኔዎች ላይ በመመስረት, ሁለት ተጨማሪ አስፈላጊ ስራዎች ሊገለጹ ይችላሉ.

የመደመር አሠራር.ይሁን AqS ከዚያም ልዩነቱ ኤስ.ኤተብሎ ይጠራል ስብስብን ከ A እስከ ኤስ ማሟላትእና ተጠቁሟል አ ኤስ.

ከግምት ውስጥ ያለ ማንኛውም ስብስብ የአንዳንድ ስብስቦች ንዑስ ስብስብ ይሁን ዩ.ለእንደዚህ ዓይነቱ ቋሚ (አንድ የተወሰነ ችግር በመፍታት አውድ ውስጥ) ስብስብ ማሟያ ዩበቀላሉ አመልክት። ግን. ስያሜዎቹም ጥቅም ላይ ይውላሉ ኤስኤ፣ጋር ኤ፣ ኤ".

ምሳሌ 7.1.2.የሁሉም የአስርዮሽ አሃዞች ስብስብ (1 ፣ 3 ፣ 4 ፣ 5 ፣ 8 ፣ 9) ማሟያ (0 ፣ 2 ፣ 6 ፣ 7) ነው።

የስብስብ Q ወደ ስብስቡ ማሟያ አርብዙ አሉ 1.

የካሬዎች ስብስብ ወደ አራት ማዕዘኖች ስብስብ ማሟያ እኩል ያልሆኑ የጎን ጎኖች ያሉት የሁሉም አራት ማዕዘኖች ስብስብ ነው።

የማህበር፣ የመገጣጠም እና የስብስብ መደመር ስራዎች ከመነጣጠል፣ ከግንኙነት እና ከንግግራቸው አመክንዮአዊ ስራዎች ጋር እንደሚዛመዱ እናያለን።

የሲሜትሪክ ልዩነት አሠራር.የስብስብ A እና B ሲሜትሪክ ልዩነትየተወከለው ስብስብ ይባላል አ®ቢ, ሁሉንም እቃዎች ያቀፈ, እያንዳንዳቸው በትክክል ከአንዱ ስብስቦች ውስጥ ናቸው A እና B፡

የሲሜትሪክ ልዩነት የሁለት ስብስቦች አንድነት መሆኑን ለመረዳት ቀላል ነው ABእና ቪ.ኤ.ተመሳሳይ ስብስብ በመጀመሪያ ስብስቦችን በማጣመር ማግኘት ይቻላል ግንእና አት፣እና ከዚያ የተለመዱ ንጥረ ነገሮችን ከስብስቡ ያስወግዱ.

ምሳሌ 7.1.3. እውነተኛ ቁጥሮች ይሰጡ እና ከዚያ ለተዛማጅ የቁጥር ክፍተቶች አሉን-

ከክፍሉ ጀምሮ ልብ ይበሉ [ሀ; ለ]ቁጥር ይዟል ሐ >እና ክፍተቱ (ሐ; መ)ነጥብ ጋርቁጥሩን አልያዘም ጋርልዩነት ውስጥ ነው [ሀ; ለ]ያለ [ጋር; ዝ.ነገር ግን ልዩነቱ, ለምሳሌ, (2; 5), ቁጥር 3 አልያዘም, በክፍሉ ውስጥ ስለሚገኝ. አለን (2;5)=(2;3)።

የተበታተኑ ስብስቦች ይሰጡ ግንእና አት. n የመስቀለኛ መንገድ ኦፕሬሽን ምልክት ስለሆነ, ማስታወሻው አ(ቢቢትክክል አይደለም ስብስቦች መገናኛ የላቸውም ማለትም ትክክል አይደለም። መገናኛው ሁል ጊዜ አለ, ለማንኛውም ስብስቦች ይገለጻል. ስብስቦቹ የማይገናኙ መሆናቸው መገናኛቸው ባዶ ነው ማለት ነው (ይህም የተጠቀሰውን ቀዶ ጥገና ካደረግን በኋላ ባዶ ስብስብ እናገኛለን). ስብስቦቹ እርስ በርስ ከተጣመሩ, መገናኛቸው ባዶ አይደለም. እንቋጨዋለን፡-

ከሁለት በላይ ስብስቦች በሚኖሩበት ጊዜ የመገናኛ ዩኒየን ስራዎችን ወደ ጉዳዩ እናጠቃልለው.

ስርዓቱ ይፍቀድ ለስብስቦች. የአንድ የተወሰነ ስርዓት ስብስቦች መገናኛ የሁሉም ንጥረ ነገሮች ስብስብ ነው, እያንዳንዱም በሁሉም ስብስቦች ውስጥ ይገኛል. ለ.

የአንድ የተወሰነ ስርዓት ስብስቦች ጥምረት የሁሉንም ንጥረ ነገሮች ስብስብ ነው, እያንዳንዳቸው ቢያንስ በአንድ ስብስብ ውስጥ ይገኛሉ. ለ.

የስርዓቱን ስብስቦች ይፍቀዱ ለበአንዳንድ የኢንዴክሶች ቤተሰብ አባላት የተቆጠሩ ናቸው። ከዚያ ማንኛውም ስብስብ ለተብሎ ሊሰየም ይችላል። ግን,-,የት ኢል.ስብስቡ ውሱን ከሆነ, የመጀመሪያዎቹ የተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስብ (1,2, ..., u) እንደ / ጥቅም ላይ ይውላል. በአጠቃላይ, / ማለቂያ የሌለው ሊሆን ይችላል.

ከዚያም በአጠቃላይ ሁኔታ, ስብስቦች አንድነት ግንለሁሉም ኢልአመልክት (ጄ ግን(, እና መገናኛው -f] አ i.

ስብስቡን እናድርገው ለየመጨረሻ, እንግዲህ K=በዚህ ጉዳይ ላይ

ጻፍ AyjA 2 v...KjA"እና AG4 2 (^---G4p-

ምሳሌ 7.1.4. የቁጥር መስመር A|ን ክፍተቶች ግምት ውስጥ ያስገቡ \u003d [-oo; 2], L 2 \u003d H °; 3]፣ L 3 =)