የአንድ ቀመር የሂሳብ እድገት ባህሪዎች። ውሎች እና መግለጫ

የቀመርው ይዘት ምንድን ነው?

ይህ ቀመር እንዲያገኙ ያስችልዎታል ማንኛውም በእሱ ቁጥር" n" .

እርግጥ ነው, የመጀመሪያውን ቃል ማወቅ ያስፈልግዎታል ሀ 1እና የእድገት ልዩነት መ, ደህና, ያለ እነዚህ መለኪያዎች, የተወሰነ እድገትን መጻፍ አይችሉም.

ይህንን ቀመር ማስታወስ (ወይም ማጭበርበር) በቂ አይደለም. የእሱን ማንነት በማዋሃድ እና በተለያዩ ችግሮች ውስጥ ቀመሩን ተግባራዊ ማድረግ አስፈላጊ ነው. አዎን, እና በትክክለኛው ጊዜ አይረሱ, አዎ ...) እንዴት አትርሳ- አላውቅም. እና እዚህ እንዴት ማስታወስ እንደሚቻልካስፈለገ ፍንጭ እሰጣችኋለሁ። ትምህርቱን እስከ መጨረሻው ለሚያካሂዱ።)

እንግዲያው፣ የሂሳብ ግስጋሴውን የ n-th አባል ቀመርን እንይ።

በአጠቃላይ ቀመር ምንድን ነው - እኛ እናስባለን.) የሂሳብ እድገት ምን ማለት ነው, የአባል ቁጥር, የእድገት ልዩነት - ባለፈው ትምህርት ውስጥ በግልፅ ተቀምጧል. ካላነበብክ ተመልከት። እዚያ ሁሉም ነገር ቀላል ነው. ምን እንደሆነ ለማወቅ ይቀራል n ኛ አባል.

በአጠቃላይ ግስጋሴው እንደ ተከታታይ ቁጥሮች ሊፃፍ ይችላል፡-

ሀ 1 ፣ ሀ 2 ፣ ሀ 3 ፣ ሀ 4 ፣ 5 ፣ ......

ሀ 1- የሂሳብ እድገትን የመጀመሪያ ቃል ያሳያል ፣ ሀ 3- ሦስተኛው አባል ሀ 4- አራተኛ, ወዘተ. ለአምስተኛው ጊዜ ፍላጎት ካለን, አብረን እየሠራን ነው እንበል ሀ 5, አንድ መቶ ሃያኛ ከሆነ - ከ አንድ 120.

በአጠቃላይ እንዴት እንደሚገለጽ ማንኛውምየሂሳብ እድገት አባል፣ ኤስ ማንኛውምቁጥር? በጣም ቀላል! ልክ እንደዚህ:

አንድ n

ያ ነው ነገሩ n-th የአርቲሜቲክ እድገት አባል።በደብዳቤው n ሁሉም የአባላት ቁጥሮች በአንድ ጊዜ ተደብቀዋል: 1, 2, 3, 4, ወዘተ.

እና እንደዚህ ያለ መዝገብ ምን ይሰጠናል? እስቲ አስበው፣ ከቁጥር ይልቅ፣ ደብዳቤ ፃፉ…

ይህ ማስታወሻ ከሂሳብ እድገቶች ጋር ለመስራት ኃይለኛ መሳሪያ ይሰጠናል. ማስታወሻውን በመጠቀም አንድ n, በፍጥነት ማግኘት እንችላለን ማንኛውምአባል ማንኛውምየሂሳብ እድገት. እና በሂደት ለመፍታት ብዙ ስራዎች። ተጨማሪ ታያለህ።

በአሪቲሜቲክ እድገት የ n ኛው አባል ቀመር ውስጥ፡-

a n = a 1 + (n-1)d

ሀ 1- የሂሳብ እድገት የመጀመሪያ አባል;

n- የአባል ቁጥር.

ቀመሩ የማንኛውም እድገት ቁልፍ መለኪያዎችን ያገናኛል፡- አንድ n; ሀ 1 ; መእና n. በእነዚህ መመዘኛዎች ዙሪያ፣ ሁሉም እንቆቅልሾች በሂደት ይሽከረከራሉ።

Nኛው ቃል ቀመር የተወሰነ እድገትን ለመጻፍም ሊያገለግል ይችላል። ለምሳሌ በችግሩ ውስጥ እድገቱ የሚሰጠው በሁኔታው ነው ሊባል ይችላል፡-

a n = 5 + (n-1) 2.

እንዲህ ዓይነቱ ችግር ግራ መጋባትም ይችላል ... ምንም ተከታታይ የለም, ምንም ልዩነት የለም ... ነገር ግን ሁኔታውን ከቀመር ጋር በማነፃፀር, በዚህ እድገት ውስጥ መኖሩን ማወቅ ቀላል ነው. a 1 \u003d 5 እና d \u003d 2.

እና የበለጠ ቁጣ ሊሆን ይችላል!) ተመሳሳይ ሁኔታ ከወሰድን: a n = 5 + (n-1) 2፣አዎ፣ ቅንፎችን ይክፈቱ እና ተመሳሳይ የሆኑትን ይስጡ? አዲስ ቀመር እናገኛለን፡-

አንድ = 3 + 2n.

ይሄ አጠቃላይ ብቻ አይደለም ፣ ግን ለተወሰነ እድገት። ጥፋቱ ያለው እዚህ ላይ ነው። አንዳንድ ሰዎች የመጀመሪያው ቃል ሦስት ነው ብለው ያስባሉ። ምንም እንኳን በእውነቱ የመጀመሪያው አባል አምስት ነው ... ትንሽ ዝቅ ብለን እንደዚህ ባለው የተሻሻለ ቀመር እንሰራለን ።

በእድገት ተግባራት ውስጥ ፣ ሌላ ማስታወሻ አለ - a n+1. ይህ እርስዎ እንደገመቱት የሂደቱ "n plus the first" ቃል ነው። ትርጉሙ ቀላል እና ምንም ጉዳት የሌለው ነው.) ይህ የእድገት አባል ነው, ቁጥሩ ከቁጥር n በአንድ ይበልጣል. ለምሳሌ, በአንዳንድ ችግሮች ውስጥ የምንወስድ ከሆነ አንድ nአምስተኛው ዘመን, ከዚያም a n+1ስድስተኛው አባል ይሆናል. ወዘተ.

ብዙውን ጊዜ ስያሜው a n+1በተደጋጋሚ ቀመሮች ውስጥ ይከሰታል. ይህን አስፈሪ ቃል አትፍሩ!) ይህ የሂሳብ እድገትን ቃል መግለጽ ብቻ ነው. በቀድሞው በኩል.ተደጋጋሚውን ቀመር በመጠቀም በዚህ ቅጽ የሂሳብ እድገት ተሰጥቶናል እንበል፡-

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

አራተኛው - በሦስተኛው, በአምስተኛው - በአራተኛው, ወዘተ. እና እንዴት ወዲያውኑ መቁጠር እንደሚቻል, ሃያኛው ቃል ይናገሩ, አንድ 20? ግን ምንም መንገድ!) 19 ኛው ቃል ባይታወቅም, 20 ኛው ሊቆጠር አይችልም. ይህ በሪከርሲቭ ፎርሙላ እና በ n ኛው ቃል ቀመር መካከል ያለው መሠረታዊ ልዩነት ነው። ሪከርሲቭ የሚሠራው በእሱ በኩል ብቻ ነው። ያለፈውቃል, እና nth ቃል ቀመር - በኩል አንደኛእና ይፈቅዳል ወዲያውኑማንኛውንም አባል በቁጥር ያግኙ። ሁሉንም ተከታታይ ቁጥሮች በቅደም ተከተል አለመቁጠር.

በሂሳብ ግስጋሴ፣ ተደጋጋሚ ቀመር በቀላሉ ወደ መደበኛው ሊቀየር ይችላል። ተከታታይ ቃላትን ጥንድ ይቁጠሩ, ልዩነቱን ያሰሉ መ፣አስፈላጊ ከሆነ የመጀመሪያውን ቃል ያግኙ ሀ 1, በተለመደው ቅፅ ውስጥ ቀመሩን ይፃፉ እና ከእሱ ጋር ይስሩ. በጂአይኤ ውስጥ እንደዚህ ያሉ ተግባራት ብዙ ጊዜ ይገኛሉ.

የአንድ የሂሳብ እድገት የ n-th አባል ቀመር አተገባበር።

በመጀመሪያ, የቀመርውን ቀጥተኛ አተገባበር እንመልከት. ባለፈው ትምህርት መጨረሻ ላይ አንድ ችግር ነበር.

የሒሳብ እድገት (a n) ተሰጥቶታል። 1 =3 እና d=1/6 ከሆነ 121 ያግኙ።

ይህ ችግር ያለ ምንም ቀመሮች ሊፈታ ይችላል, በቀላሉ በሂሳብ እድገት ትርጉም ላይ በመመስረት. ጨምር፣ አዎ ጨምር… አንድ ወይም ሁለት ሰዓት።)

እና በቀመርው መሰረት, መፍትሄው ከአንድ ደቂቃ ያነሰ ጊዜ ይወስዳል. ጊዜ ሊያደርጉት ይችላሉ.) እኛ እንወስናለን.

ሁኔታዎቹ ቀመሩን ለመጠቀም ሁሉንም መረጃዎች ይሰጣሉ፡- a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.ምን እንደሆነ ለማየት ይቀራል n.ችግር የለም! ማግኘት አለብን አ 121. እዚ እንጽሓፎ፡

እባክዎ ልብ ይበሉ! ከመረጃ ጠቋሚ ይልቅ nየተወሰነ ቁጥር ታየ፡ 121. የትኛው በጣም ምክንያታዊ ነው.) ለሂሳብ እድገት አባል ፍላጎት አለን. ቁጥር አንድ መቶ ሃያ አንድ.ይህ የእኛ ይሆናል n.ይህ ትርጉም ነው። n= 121 በቅንፍ ውስጥ ተጨማሪ ወደ ቀመር እንተካለን። በቀመሩ ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ቁጥሮች ይተኩ እና ያሰሉ፡-

ሀ 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

ያ ብቻ ነው። ልክ አንድ ሰው በፍጥነት አምስት መቶ አስረኛውን, እና ሺህ ሶስተኛውን, ማንኛውንም ማግኘት ይችላል. በምትኩ አስቀምጠናል nበደብዳቤው ጠቋሚ ውስጥ የሚፈለገው ቁጥር" ሀ"እና በቅንፍ ውስጥ, እና እንመለከታለን.

ዋናውን ነገር ላስታውስህ፡ ይህ ቀመር እንድታገኝ ይፈቅድልሃል ማንኛውምየሂሳብ እድገት ጊዜ በእሱ ቁጥር" n" .

ችግሩን በዘዴ እንፈታው። የሚከተለው ችግር አለብን እንበል።

የሂሳብ ግስጋሴውን የመጀመሪያ ቃል ያግኙ (a n) ከ 17 = -2; d=-0.5.

ማንኛውም ችግሮች ካጋጠሙዎት, የመጀመሪያውን እርምጃ እጠቁማለሁ. የሂሳብ እድገትን n ኛ ቃል ቀመር ይፃፉ!አዎ አዎ. በእጅዎ ይፃፉ፣ ልክ በማስታወሻ ደብተርዎ ውስጥ፡-

a n = a 1 + (n-1)d

እና አሁን, የቀመርውን ፊደሎች ስንመለከት, ምን ውሂብ እንዳለን እና ምን እንደሚጎድል እንረዳለን? ይገኛል። d=-0.5,አሥራ ሰባተኛው አባል አለ ... ሁሉም ነገር? ያ ብቻ ነው ብለው ካሰቡ ችግሩን መፍታት አይችሉም ፣ አዎ ...

ቁጥርም አለን። n! ሁኔታ ውስጥ ሀ 17 = -2ተደብቋል ሁለት አማራጮች.ይህ ሁለቱም የአስራ ሰባተኛው አባል (-2) እና ቁጥሩ (17) ዋጋ ነው። እነዚያ። n=17.ይህ "ትንሽ ነገር" ብዙውን ጊዜ ከጭንቅላቱ ውስጥ ይንሸራተታል, እና ያለሱ, (ያለ "ትንሽ ነገር", ጭንቅላት ሳይሆን!) ችግሩ ሊፈታ አይችልም. ምንም እንኳን ... እና ያለ ጭንቅላት እንዲሁ.)

አሁን የእኛን መረጃ በሞኝነት ወደ ቀመር መተካት እንችላለን-

ሀ 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

ኦ --- አወ, አ 17እንደሆነ እናውቃለን -2. እሺ፣ እናስቀምጠው፡-

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

በመሰረቱ ያ ብቻ ነው። የሂሳብ ግስጋሴውን የመጀመሪያውን ቃል ከቀመሩ ውስጥ ለመግለጽ እና ለማስላት ይቀራል። መልሱን ያገኛሉ፡- ሀ 1 = 6

እንዲህ ዓይነቱ ዘዴ - ቀመር መጻፍ እና በቀላሉ የታወቁ መረጃዎችን መተካት - በቀላል ተግባራት ውስጥ በጣም ይረዳል. ደህና ፣ በእርግጥ ፣ ተለዋዋጭን ከአንድ ቀመር መግለጽ መቻል አለብዎት ፣ ግን ምን ማድረግ አለብዎት!? ያለዚህ ክህሎት ሂሳብ በጭራሽ ሊጠና አይችልም…

ሌላ ታዋቂ ችግር:

የሒሳብ ግስጋሴ (a n) 1 =2 ከሆነ ያለውን ልዩነት ይፈልጉ; ሀ 15 = 12

ምን እየሰራን ነው? ትገረማለህ ፣ ቀመሩን እንጽፋለን!)

a n = a 1 + (n-1)d

የምናውቀውን እንመልከት፡- ሀ 1 = 2; ሀ 15 =12; እና (ልዩ ድምቀት!) n=15. በቀመር ውስጥ ለመተካት ነፃነት ይሰማህ፡-

12=2 + (15-1) መ

አርቲሜቲክን እንስራ።)

12=2 + 14 ቀ

መ=10/14 = 5/7

ትክክለኛው መልስ ይህ ነው።

ስለዚህ, ተግባራት a n, a 1እና መወስኗል። ቁጥሩን እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ ለማወቅ ይቀራል-

ቁጥር 99 የሂሳብ እድገት (a n) አባል ሲሆን 1 = 12; d=3. የዚህን አባል ቁጥር ያግኙ።

የታወቁትን መጠኖች በ nኛው ቃል ቀመር እንተካለን፡-

a n = 12 + (n-1) 3

በመጀመሪያ እይታ፣ እዚህ ሁለት የማይታወቁ መጠኖች አሉ፡ a n እና n.ግን አንድ nከቁጥር ጋር የተወሰነ የእድገት አባል ነው። n... እና እኛ የምናውቀው ይህ የእድገት አባል! 99. ቁጥሩን አናውቅም። n፣ስለዚህ ይህ ቁጥር እንዲሁ መፈለግ አለበት። የሂደት ቃል 99ን ወደ ቀመር ይተኩ፡-

99 = 12 + (n-1) 3

ከቀመርው እንገልጻለን። n, እናስባለን. መልሱን እናገኛለን፡- n=30.

እና አሁን በተመሳሳይ ርዕስ ላይ ችግር አለ ፣ ግን የበለጠ ፈጠራ)

ቁጥሩ 117 የሂሳብ እድገት አባል መሆን አለመሆኑን ይወስኑ (a n)፡-

-3,6; -2,4; -1,2 ...

ቀመሩን እንደገና እንፃፍ። ምን ፣ ምንም አማራጮች የሉም? እም... ለምንድነው አይን የምንፈልገው?) የእድገቱን የመጀመሪያ አባል እናያለን? እናያለን. ይህ -3.6. በደህና መጻፍ ይችላሉ- አንድ 1 \u003d -3.6.ልዩነት መከተከታታዩ ሊታወቅ ይችላል? የሒሳብ እድገት ልዩነት ምን እንደሆነ ካወቁ ቀላል ነው፡-

መ = -2.4 - (-3.6) = 1.2

አዎን, እኛ በጣም ቀላል የሆነውን ነገር አደረግን. ከማይታወቅ ቁጥር ጋር ለመገናኘት ይቀራል nእና ለመረዳት የማያስቸግር ቁጥር 117. በቀድሞው ችግር, ቢያንስ የተሰጠው የእድገት ቃል እንደሆነ ይታወቃል. እዚህ ግን ያንን እንኳን አናውቅም ... እንዴት መሆን እንደሚቻል!? ደህና ፣ እንዴት መሆን ፣ እንዴት መሆን እንደሚቻል… የመፍጠር ችሎታዎን ያብሩ!)

እኛ እንበልያ 117፣ ከሁሉም በላይ፣ የእድገታችን አባል ነው። ከማይታወቅ ቁጥር ጋር n. እና ልክ እንደ ቀድሞው ችግር, ይህን ቁጥር ለማግኘት እንሞክር. እነዚያ። ቀመሩን እንጽፋለን (አዎ-አዎ!)) እና ቁጥራችንን እንተካለን።

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

በድጋሚ ከቀመርው እንገልፃለንnእኛ እንቆጥራለን እና እናገኛለን:

ውይ! ቁጥሩ ወጣ ክፍልፋይ!አንድ መቶ አንድ ተኩል. እና ክፍልፋይ ቁጥሮች በሂደት ላይ ሊሆን አይችልም.ምን መደምደሚያ ላይ ደርሰናል? አዎ! ቁጥር 117 አይደለምየእድገታችን አባል ። በ101ኛው እና በ102ኛው አባል መካከል ያለ ቦታ ነው። ቁጥሩ ተፈጥሯዊ ሆኖ ከተገኘ, ማለትም. አዎንታዊ ኢንቲጀር፣ ከዚያ ቁጥሩ ከተገኘው ቁጥር ጋር የሂደቱ አባል ይሆናል። እና በእኛ ሁኔታ ለችግሩ መልሱ እንደሚከተለው ይሆናል- አይ.

በእውነተኛው የጂአይኤ ስሪት ላይ የተመሰረተ ተግባር፡-

የሂሳብ ግስጋሴው በሁኔታዎች ይሰጣል፡-

a n \u003d -4 + 6.8n

የሂደቱን የመጀመሪያ እና አሥረኛ ውሎች ያግኙ።

እዚህ እድገቱ ባልተለመደ መንገድ ተዘጋጅቷል. አንድ ዓይነት ቀመር ... ይከሰታል.) ሆኖም, ይህ ቀመር (ከላይ እንደጻፍኩት) - እንዲሁም የሂሳብ እድገት የ n-th አባል ቀመር!እሷም ትፈቅዳለች የሂደቱን ማንኛውንም አባል በእሱ ቁጥር ያግኙ።

የመጀመሪያውን አባል እየፈለግን ነው. የሚያስብ። የመጀመሪያው ቃል ከአራት ሲቀነስ፣ በሞት የሚለይ ስህተት ነው!) ምክንያቱም በችግሩ ውስጥ ያለው ቀመር ተስተካክሏል። በእሱ ውስጥ የሂሳብ እድገት የመጀመሪያ ቃል ተደብቋል።ምንም፣ አሁን እናገኘዋለን።)

ልክ እንደ ቀድሞዎቹ ተግባራት, እንተካለን n=1በዚህ ቀመር ውስጥ፡-

ሀ 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

እዚህ! የመጀመሪያው ቃል 2.8 እንጂ -4 አይደለም!

በተመሳሳይ፣ አሥረኛውን ቃል እየፈለግን ነው፡-

ሀ 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

ያ ብቻ ነው።

እና አሁን፣ እስከ እነዚህ መስመሮች ድረስ ላነበቡ፣ የተገባው ጉርሻ።)

በጂአይኤ ወይም የተዋሃደ የስቴት ፈተና አስቸጋሪ የውጊያ ሁኔታ ውስጥ፣ የሂሳብ እድገትን n-ኛ አባል ጠቃሚ ቀመር ረስተዋል እንበል። የሆነ ነገር ወደ አእምሯችን ይመጣል፣ ግን በሆነ መንገድ በእርግጠኝነት ባልታወቀ ሁኔታ ... ይሁን nእዚያ, ወይም n+1፣ ወይም n-1...እንዴት መሆን!?

ተረጋጋ! ይህ ቀመር በቀላሉ ማግኘት ይቻላል. በጣም ጥብቅ አይደለም, ነገር ግን በእርግጠኝነት ለመተማመን እና ለትክክለኛው ውሳኔ በቂ ነው!) ለማጠቃለያ, የሂሳብ እድገትን የመጀመሪያ ደረጃ ትርጉሙን ማስታወስ እና ለሁለት ደቂቃዎች ያህል በቂ ነው. ስዕል መሳል ብቻ ያስፈልግዎታል. ግልፅ ለማድረግ።

የቁጥር ዘንግ እንሳል እና የመጀመሪያውን በላዩ ላይ ምልክት እናደርጋለን። ሁለተኛ, ሦስተኛ, ወዘተ. አባላት. እና ልዩነቱን አስተውል መበአባላት መካከል. ልክ እንደዚህ:

ስዕሉን እንመለከታለን እና እናስባለን-ሁለተኛው ቃል ከምን ጋር እኩል ነው? ሁለተኛ አንድ መ:

ሀ 2 =ሀ 1+ 1 መ

ሦስተኛው ቃል ምንድን ነው? ሶስተኛውቃል የመጀመሪያ ቃል ፕላስ ጋር እኩል ነው። ሁለት መ.

ሀ 3 =ሀ 1+ 2 መ

ገባህ? አንዳንድ ቃላትን ለከንቱ አላስቀምጥም። እሺ፣ አንድ ተጨማሪ እርምጃ።)

አራተኛው ቃል ምንድን ነው? አራተኛቃል የመጀመሪያ ቃል ፕላስ ጋር እኩል ነው። ሶስት መ.

ሀ 4 =ሀ 1+ 3 መ

የክፍተቶች ብዛት ፣ ማለትም ፣ ማለትም ፣ ለመገንዘብ ጊዜው አሁን ነው። መ፣ ሁል ጊዜ እርስዎ ከሚፈልጉት አባል ቁጥር ያነሰ አንድ n. ማለትም እስከ ቁጥሩ ድረስ n, ክፍተቶች ብዛትያደርጋል n-1.ስለዚህ ፣ ቀመሩ ይሆናል (አማራጮች የሉም!):

a n = a 1 + (n-1)d

በአጠቃላይ የእይታ ምስሎች በሂሳብ ውስጥ ብዙ ችግሮችን ለመፍታት በጣም ይረዳሉ። ስዕሎቹን ችላ አትበል. ነገር ግን ስዕል ለመሳል አስቸጋሪ ከሆነ, ከዚያ ... ቀመር ብቻ!) በተጨማሪም, የ nth ቃል ቀመር ሙሉውን ኃይለኛ የሂሳብ መሣሪያን ከመፍትሔው ጋር ለማገናኘት ያስችልዎታል - እኩልታዎች, እኩልነቶች, ስርዓቶች, ወዘተ. ምስልን በቀመር ውስጥ ማስቀመጥ አይችሉም...

ገለልተኛ ውሳኔ ለማድረግ ተግባራት.

ለማሞቅ;

1. በሂሳብ እድገት (a n) a 2 =3; ሀ 5 \u003d 5.1. አንድ 3 ያግኙ.

ፍንጭ: በሥዕሉ መሠረት ችግሩ በ 20 ሰከንድ ውስጥ ተፈትቷል ... በቀመርው መሠረት, የበለጠ አስቸጋሪ ይሆናል. ነገር ግን ቀመሩን ለመቆጣጠር የበለጠ ጠቃሚ ነው.) በክፍል 555, ይህ ችግር በምስሉ እና በቀመርው ተፈትቷል. ልዩነቱን ይወቁ!)

እና ይህ ከአሁን በኋላ ማሞቂያ አይደለም.)

2. በሂሳብ እድገት (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. 3 አግኝ.

ምን, ስዕል ለመሳል አለመፈለግ?) አሁንም! በቀመር ውስጥ የተሻለ ነው፣ አዎ...

3. የአሪቲሜቲክ እድገት የሚሰጠው በሁኔታው ነው፡-አንድ 1 \u003d -5.5; a n+1 = a n +0.5. የዚህን እድገት መቶ ሀያ አምስተኛውን ቃል ያግኙ።

በዚህ ተግባር ውስጥ እድገቱ በተደጋጋሚ መንገድ ይሰጣል. ግን እስከ አንድ መቶ ሃያ አምስተኛው የሥልጣን ዘመን ድረስ በመቁጠር... ሁሉም ሰው እንዲህ ዓይነት ሥራ መሥራት አይችልም.) ግን የኛ ቃል ቀመር በሁሉም ሰው ኃይል ውስጥ ነው!

4. በሂሳብ እድገት (a n) ላይ፡-

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

የሂደቱን ትንሹን አወንታዊ ቃል ቁጥር ይፈልጉ።

5. በተግባሩ 4 ሁኔታ መሰረት, ትንሹን አወንታዊ እና ትልቁን የሂደቱን አሉታዊ አባላት ድምር ያግኙ.

6. እየጨመረ ያለው የሂሳብ እድገት የአምስተኛው እና አስራ ሁለተኛው ቃላቶች ውጤት -2.5, እና የሶስተኛው እና የአስራ አንደኛው ቃላት ድምር ዜሮ ነው. 14 ያግኙ.

በጣም ቀላሉ ተግባር አይደለም, አዎ ...) እዚህ "በጣቶቹ ላይ" የሚለው ዘዴ አይሰራም. ቀመሮችን መጻፍ እና እኩልታዎችን መፍታት አለብዎት.

መልሶች (በተዘበራረቀ)

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

ተከስቷል? ይህ ጥሩ ነው!)

ሁሉም ነገር አይሰራም? ያጋጥማል. በነገራችን ላይ, በመጨረሻው ተግባር ውስጥ አንድ ስውር ነጥብ አለ. ችግሩን በሚያነቡበት ጊዜ ትኩረት መስጠት ያስፈልጋል. እና ሎጂክ።

ለእነዚህ ሁሉ ችግሮች መፍትሄው በክፍል 555 ውስጥ በዝርዝር ተብራርቷል እና ለአራተኛው ምናባዊ አካል ፣ እና ለስድስተኛው ስውር ቅጽበት ፣ እና ለ nth ቃል ቀመር ማንኛውንም ችግር ለመፍታት አጠቃላይ አቀራረቦች - ሁሉም ነገር የተቀባ ነው። ይመክራል።

ይህን ጣቢያ ከወደዱት...

በነገራችን ላይ ለአንተ ይበልጥ አስደሳች የሆኑ ሁለት ጣቢያዎች አሉኝ።)

ምሳሌዎችን የመፍታት ልምምድ ማድረግ እና ደረጃዎን ማወቅ ይችላሉ. በቅጽበት ማረጋገጫ በመሞከር ላይ። መማር - በፍላጎት!)

ከተግባሮች እና ተዋጽኦዎች ጋር መተዋወቅ ይችላሉ።

የመጀመሪያ ደረጃ

አርቲሜቲክ እድገት. ዝርዝር ፅንሰ-ሀሳብ ከምሳሌዎች ጋር (2019)

የቁጥር ቅደም ተከተል

ስለዚህ ቁጭ ብለን አንዳንድ ቁጥሮችን መፃፍ እንጀምር። ለምሳሌ:
ማንኛውንም ቁጥሮች መጻፍ ይችላሉ, እና የፈለጉትን ያህል ሊኖሩ ይችላሉ (በእኛ ሁኔታ, እነሱ). ምንም ያህል ቁጥሮች ብንጽፍ ሁልጊዜ ከመካከላቸው የትኛው የመጀመሪያው ነው, የትኛው ሁለተኛ ነው, እና እስከ መጨረሻው ድረስ, ማለትም, ልንቆጥራቸው እንችላለን. ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል ምሳሌ ነው።

የቁጥር ቅደም ተከተል
ለምሳሌ ለኛ ቅደም ተከተል፡-

የተመደበው ቁጥር ለአንድ ተከታታይ ቁጥር ብቻ የተወሰነ ነው። በሌላ አነጋገር, በቅደም ተከተል ውስጥ ምንም ሶስት ሰከንድ ቁጥሮች የሉም. ሁለተኛው ቁጥር (እንደ -th ቁጥር) ሁልጊዜ ተመሳሳይ ነው.
ቁጥሩ ያለው ቁጥር በቅደም ተከተል -th አባል ይባላል.

እኛ አብዛኛውን ጊዜ መላውን ቅደም ተከተል አንዳንድ ፊደል እንጠራዋለን (ለምሳሌ ያህል,), እና እያንዳንዱ የዚህ ተከታታይ አባል - የዚህ አባል ቁጥር ጋር እኩል የሆነ ኢንዴክስ ጋር ተመሳሳይ ፊደል:.

በእኛ ሁኔታ፡-

በአጠገብ ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ተመሳሳይ እና እኩል የሆነበት የቁጥር ቅደም ተከተል አለን እንበል።
ለምሳሌ:

ወዘተ.
እንዲህ ዓይነቱ የቁጥር ቅደም ተከተል የሂሳብ እድገት ተብሎ ይጠራል.
“እድገት” የሚለው ቃል በሮማዊው ደራሲ ቦቲየስ በ 6 ኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ላይ አስተዋወቀ እና ሰፋ ባለ መልኩ ማለቂያ የሌለው የቁጥር ቅደም ተከተል ተረድቷል። "ሒሳብ" የሚለው ስም የጥንት ግሪኮች ከተሰማሩበት ያልተቋረጠ ምጣኔ ንድፈ ሐሳብ ተላልፏል.

ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል ነው, እያንዳንዱ አባል ከቀዳሚው ጋር እኩል ነው, በተመሳሳይ ቁጥር የተጨመረው. ይህ ቁጥር የሒሳብ ዕድገት ልዩነት ይባላል እና ይገለጻል።

የትኞቹ የቁጥር ቅደም ተከተሎች የሂሳብ ግስጋሴ እንደሆኑ እና የትኞቹ እንዳልሆኑ ለመወሰን ይሞክሩ፡

ሀ)
ለ)
ሐ)
መ)

ገባኝ? የእኛን መልሶች አወዳድር፡-
ነውየሂሳብ እድገት - b, c.
አይደለምየሂሳብ እድገት - a, d.

ወደ ተሰጠን እድገት () እንመለስ እና የአባልነቱን ዋጋ ለማግኘት እንሞክር። አለ። ሁለትለማግኘት መንገድ.

1. ዘዴ

የሂደቱ ኛ ቃል እስክንደርስ ድረስ ወደ ቀዳሚው የሂደት ቁጥር መጨመር እንችላለን። ለማጠቃለል ብዙ ባይኖረን ጥሩ ነው - ሶስት እሴቶች ብቻ።

ስለዚህ ፣ የተገለፀው የሂሳብ እድገት አባል - ኛ እኩል ነው።

2. ዘዴ

የሂደቱን የ ኛ ቃል ዋጋ መፈለግ ብንፈልግስ? ማጠቃለያው ከአንድ ሰአት በላይ ሊወስድብን ይችል ነበር፣ እና ቁጥሩን ስንጨምር ስህተት አንሰራም ነበር የሚለው ሀቅ አይደለም።
እርግጥ ነው፣ የሂሳብ ሊቃውንት የሒሳብ ዕድገት ልዩነትን ወደ ቀድሞው እሴት ማከል የማያስፈልግበት መንገድ ፈጥረዋል። የተሳለውን ሥዕል በቅርበት ተመልከት...በእርግጥ አንድ የተወሰነ ንድፍ አስተውለሃል፣ እሱም፡-

ለምሳሌ፣ የዚህ የሂሳብ ግስጋሴ አባል የ-th አባል ዋጋ ምን እንደሆነ እንይ፡-


በሌላ ቃል:

የዚህን የሂሳብ ግስጋሴ አባል ዋጋ በዚህ መንገድ በግል ለማግኘት ይሞክሩ።

ይሰላል? ግቤቶችዎን ከመልሱ ጋር ያወዳድሩ፡-

የሂሳብ እድገት አባላትን በተከታታይ ወደ ቀድሞው እሴት ስንጨምር ልክ በቀደመው ዘዴ ልክ ተመሳሳይ ቁጥር እንዳገኙ ትኩረት ይስጡ።
ይህንን ቀመር "ከግል ለማላቀቅ" እንሞክር - ወደ አጠቃላይ ቅፅ እናመጣለን እና እናገኛለን:

የአሪቲሜቲክ እድገት እኩልታ.

አርቲሜቲክ እድገቶች እየጨመረ ወይም እየቀነሱ ናቸው.

እየጨመረ ነው።- እያንዳንዱ ቀጣይ የቃላቶች ዋጋ ከቀዳሚው የሚበልጥባቸው እድገቶች።
ለምሳሌ:

መውረድ- እያንዳንዱ ቀጣይ የውሎቹ ዋጋ ከቀዳሚው ያነሰባቸው እድገቶች።
ለምሳሌ:

የተገኘው ቀመር የቃላት ስሌት ውስጥ ጥቅም ላይ የሚውለው በማደግ እና በመቀነስ የሂሳብ እድገት ቃላቶች ነው።
በተግባር እንፈትሽው።
የሚከተሉትን ቁጥሮች የያዘ የሂሳብ እድገት ተሰጥቶናል፡-

ከዛን ጊዜ ጀምሮ:

ስለዚህም ቀመሩ የሚሠራው በመቀነስ እና በሒሳብ እድገት ላይ መሆኑን እርግጠኞች ነበርን።
የዚህን የሂሳብ እድገት -th እና -th አባላትን በራስዎ ለማግኘት ይሞክሩ።

ውጤቱን እናወዳድር፡-

አርቲሜቲክ እድገት ንብረት

ስራውን እናወሳስበው - የሒሳብ እድገትን ንብረት እናገኛለን።
የሚከተለው ሁኔታ ተሰጥቶናል እንበል።
- የሂሳብ እድገት ፣ እሴቱን ይፈልጉ።
ቀላል ነው ትላለህ እና ባወቅከው ቀመር መሰረት መቁጠር ጀምር፡

እንግዲያውስ፡-

ፍጹም ትክክል። መጀመሪያ ያገኘነው ከዚያም ወደ መጀመሪያው ቁጥር ጨምረን የምንፈልገውን አግኝተናል። እድገቱ በጥቃቅን እሴቶች ከተወከለ, ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም, ነገር ግን በሁኔታው ውስጥ ቁጥሮች ከተሰጠን? እስማማለሁ, በስሌቶቹ ውስጥ ስህተት የመሥራት እድል አለ.
አሁን አስቡ, ማንኛውንም ቀመር በመጠቀም ይህንን ችግር በአንድ ደረጃ መፍታት ይቻላል? በእርግጥ አዎ, እና አሁን ለማውጣት እንሞክራለን.

የሚፈለገውን የሂሳብ ግስጋሴ ቃል እንደምናውቀው ፣ እሱን ለማግኘት ቀመሩን እናውቃለን - ይህ በመጀመሪያ ላይ ያመጣነው ተመሳሳይ ቀመር ነው-
ከዚያም፡-

• የሂደቱ የቀድሞ አባል፡-
• የሚቀጥለው የእድገት ጊዜ የሚከተለው ነው-

የቀደመውን እና ቀጣዩን የሂደቱን አባላት እናጠቃልል።

የቀደሙት እና ተከታይ የሂደቱ አባላት ድምር በመካከላቸው ካለው የእድገት አባል እሴት ሁለት እጥፍ ነው ። በሌላ አገላለጽ የታወቁ የቀድሞ እና ተከታታይ እሴቶች ያለው የእድገት አባል እሴት ለማግኘት እነሱን ማከል እና መከፋፈል ያስፈልጋል።

ልክ ነው, ተመሳሳይ ቁጥር አግኝተናል. ቁሳቁሱን እናስተካክለው. ለእድገት ዋጋውን እራስዎ ያሰሉ, ምክንያቱም በጭራሽ አስቸጋሪ አይደለም.

ጥሩ ስራ! ስለ እድገት ሁሉንም ነገር ታውቃለህ! አንድ ቀመር ብቻ ለማወቅ ይቀራል, እሱም በአፈ ታሪክ መሰረት, ከየትኛውም ጊዜ ታላላቅ የሂሳብ ሊቃውንት አንዱ, "የሂሳብ ሊቃውንት ንጉስ" - ካርል ጋውስ, በቀላሉ ለራሱ የተወሰደ ...

ካርል ጋውስ የ9 አመት ልጅ ሳለ መምህሩ ከሌሎች ክፍሎች የተማሩትን ተማሪዎች ስራ በመመርመር ተጠምዶ በትምህርቱ ላይ የሚከተለውን ተግባር ጠየቀ፡- “የሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ድምርን እስከ (እንደሌሎች ምንጮች እስከ) አካታች ድረስ አስላ። " ከተማሪዎቹ አንዱ (ካርል ጋውስ ነበር) ከደቂቃ በኋላ ለተግባሩ ትክክለኛውን መልስ ሲሰጥ መምህሩ ምን ያስገረመው ነገር ነበር ፣ አብዛኛው የድፍረቱም ክፍል ተማሪዎች ከረዥም ስሌት በኋላ የተሳሳተ ውጤት ሲያገኙ ...

ወጣቱ ካርል ጋውስ በቀላሉ ሊያስተውሉት የሚችሉትን ንድፍ ተመልክቷል።
የ -ti አባላትን ያካተተ የሂሳብ እድገት አለን እንበል፡ የተሰጡትን የሂሳብ እድገት አባላት ድምር ማግኘት አለብን። እርግጥ ነው, ሁሉንም እሴቶችን በእጃችን ማጠቃለል እንችላለን, ነገር ግን ጋውስ ሲፈልግ የቃላቶቹን ድምር በስራው ውስጥ ማግኘት ብንፈልግስ?

የተሰጠንን እድገት እናሳይ። የደመቁትን ቁጥሮች በቅርበት ይመልከቱ እና ከእነሱ ጋር የተለያዩ የሂሳብ ስራዎችን ለመስራት ይሞክሩ።


ሞክረዋል? ምን አስተዋልክ? በትክክል! ድምራቸው እኩል ነው።

አሁን መልሱ ፣ በተሰጠን እድገት ውስጥ ስንት እንደዚህ ያሉ ጥንዶች ይኖራሉ? እርግጥ ነው, በትክክል የሁሉም ቁጥሮች ግማሽ ማለትም.
የሁለት ቃላት ድምር የሂሳብ ግስጋሴ እኩል እና ተመሳሳይ እኩል ጥንዶች በመሆናቸው አጠቃላይ ድምር እኩል መሆኑን እናገኛለን፡-
.
ስለዚህ የማንኛውም የሂሳብ ግስጋሴ የመጀመሪያ ቃላት ድምር ቀመር የሚከተለው ይሆናል፡-

በአንዳንድ ችግሮች፣ የኛን ቃል አናውቅም፣ ነገር ግን የእድገት ልዩነቱን እናውቃለን። በድምር ቀመር ውስጥ ለመተካት ይሞክሩ ፣ የ th አባል ቀመር።
ምን አገኘህ?

ጥሩ ስራ! አሁን ወደ ካርል ጋውስ ወደተሰጠው ችግር እንመለስ፡ ከ -th የሚጀምሩት የቁጥሮች ድምር ምን እንደሆነ እና ከ -th የሚጀምሩት የቁጥሮች ድምር ምን እንደሆነ ለራስዎ አስላ።

ምን ያህል አገኘህ?
ጋውስ የቃላቶቹ ድምር እኩል እና የውሎቹ ድምር መሆኑን ገልጿል። እንደዚያ ነው የወሰንከው?

በእርግጥ፣ የሒሳብ እድገት አባላት ድምር ቀመር በጥንታዊው ግሪክ ሳይንቲስት ዲዮፋንተስ በ3ኛው ክፍለ ዘመን የተረጋገጠ ሲሆን በዚህ ጊዜ ውስጥ ጠንቋዮች የሂሳብ ግስጋሴን ባህሪያት በሃይል እና በዋና ይጠቀሙ ነበር።
ለምሳሌ, የጥንቷን ግብፅ እና የዚያን ጊዜ ትልቁ የግንባታ ቦታ - የፒራሚድ ግንባታ ... ምስሉ አንድ ጎን ያሳያል.

እዚህ የምትናገረው እድገት የት አለ? በጥንቃቄ ይመልከቱ እና በእያንዳንዱ ረድፍ የፒራሚድ ግድግዳ ላይ የአሸዋ ብሎኮችን ቁጥር ይፈልጉ።


ለምን የሂሳብ እድገት አይሆንም? የማገጃ ጡቦች በመሠረቱ ላይ ከተቀመጡ አንድ ግድግዳ ለመሥራት ስንት ብሎኮች እንደሚያስፈልግ ይቁጠሩ። ጣትዎን በተቆጣጣሪው ላይ በማንቀሳቀስ እንደማይቆጥሩ ተስፋ አደርጋለሁ ፣ የመጨረሻውን ቀመር እና ስለ የሂሳብ እድገት የተናገርነውን ሁሉ ያስታውሳሉ?

በዚህ ሁኔታ, እድገቱ እንደዚህ ይመስላል:
የሂሳብ እድገት ልዩነት.
የሒሳብ እድገት አባላት ብዛት።
የእኛን መረጃ በመጨረሻዎቹ ቀመሮች እንተካው (የብሎኮችን ቁጥር በ 2 መንገዶች እንቆጥራለን)።

ዘዴ 1.

ዘዴ 2.

እና አሁን በተቆጣጣሪው ላይ ማስላት ይችላሉ-የተገኙትን እሴቶች በእኛ ፒራሚድ ውስጥ ካሉት ብሎኮች ብዛት ጋር ያወዳድሩ። ተስማምቷል? መልካም፣ የሒሳብ ግስጋሴን የኛን ውሎች ድምር ተክተሃል።
እርግጥ ነው, በመሠረቱ ላይ ከሚገኙት ብሎኮች ፒራሚድ መገንባት አይችሉም, ግን ከ? በዚህ ሁኔታ ግድግዳ ለመገንባት ምን ያህል የአሸዋ ጡቦች እንደሚያስፈልግ ለማስላት ይሞክሩ.
አስተዳድረዋል?
ትክክለኛው መልስ ብሎኮች ነው-

ይሠራል

ተግባራት፡-

1. ማሻ ለበጋው ቅርፅ እያገኘ ነው. በየቀኑ የቁንጮዎችን ቁጥር ይጨምራል. በመጀመሪያው የአካል ብቃት እንቅስቃሴ ላይ ስኩዊቶችን ካደረገች ማሻ በሳምንታት ውስጥ ምን ያህል ጊዜ ይንጠባጠባል።
2. በውስጡ ያሉት ሁሉም ያልተለመዱ ቁጥሮች ድምር ምንድነው?
3. እንጨቶችን በሚያከማቹበት ጊዜ እያንዳንዱ የላይኛው ሽፋን ከቀዳሚው አንድ ያነሰ ሎግ እንዲይዝ በሚያስችል መንገድ ይቆልላቸዋል። በአንድ ግንበኝነት ውስጥ ስንት ምዝግብ ማስታወሻዎች አሉ, የግንበኛ መሠረት ግንዶች ከሆነ.

መልሶች፡-

1. የአርቲሜቲክ ግስጋሴውን መለኪያዎች እንገልፃለን. በዚህ ጉዳይ ላይ
   (ሳምንት = ቀናት)።

   መልስ፡-በሁለት ሳምንታት ውስጥ ማሻ በቀን አንድ ጊዜ መጨፍለቅ አለበት.

2. የመጀመሪያው ያልተለመደ ቁጥር ፣ የመጨረሻ ቁጥር።
   የሂሳብ እድገት ልዩነት.
   በ ውስጥ ያሉ ያልተለመዱ ቁጥሮች ብዛት - ግማሹ ፣ ሆኖም ፣ የሂሳብ እድገት -th አባል ለማግኘት ቀመሩን በመጠቀም ይህንን እውነታ ያረጋግጡ።

   ቁጥሮቹ ያልተለመዱ ቁጥሮች ይይዛሉ።
   ያለውን መረጃ በቀመር እንተካለን፡-

   መልስ፡-በውስጡ ያሉት ሁሉም ያልተለመዱ ቁጥሮች ድምር እኩል ነው።

3. ስለ ፒራሚዶች ያለውን ችግር አስታውስ። በእኛ ሁኔታ ሀ , እያንዳንዱ የላይኛው ሽፋን በአንድ ሎግ ስለሚቀንስ, የንብርብሮች ስብስብ ብቻ ነው, ማለትም.
   በቀመር ውስጥ ያለውን ውሂብ ይተኩ፡-

   መልስ፡-በግንበኛው ውስጥ የምዝግብ ማስታወሻዎች አሉ.

ማጠቃለል

1. - በአጠገብ ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ተመሳሳይ እና እኩል የሆነበት የቁጥር ቅደም ተከተል። እየጨመረ እና እየቀነሰ ይሄዳል.
2. ቀመር ማግኘትየሒሳብ ግስጋሴ አባል በቀመር የተጻፈው - , በሂደቱ ውስጥ ያሉት የቁጥሮች ብዛት የት ነው.
3. የሂሳብ እድገት አባላት ንብረት- የት - በሂደቱ ውስጥ ያሉት የቁጥሮች ብዛት።
4. የሒሳብ እድገት አባላት ድምርበሁለት መንገዶች ሊገኝ ይችላል-
   
   , የእሴቶቹ ብዛት የት ነው.

አርቲሜቲክ እድገት. መካከለኛ ደረጃ

የቁጥር ቅደም ተከተል

እስቲ ቁጭ ብለን አንዳንድ ቁጥሮችን መፃፍ እንጀምር። ለምሳሌ:

ማንኛውንም ቁጥሮች መጻፍ ይችላሉ, እና የፈለጉትን ያህል ሊኖሩ ይችላሉ. ነገር ግን ሁልጊዜ ከመካከላቸው የትኛው የመጀመሪያው እንደሆነ, የትኛው ሁለተኛው እንደሆነ, እና ወዘተ, ማለትም, ልንቆጥራቸው እንችላለን. ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል ምሳሌ ነው።

የቁጥር ቅደም ተከተልየቁጥሮች ስብስብ ነው, እያንዳንዱም ልዩ ቁጥር ሊመደብ ይችላል.

በሌላ አነጋገር, እያንዳንዱ ቁጥር ከተወሰነ የተፈጥሮ ቁጥር ጋር ሊዛመድ ይችላል, እና አንድ ብቻ. እና ይህን ቁጥር ከዚህ ስብስብ ወደ ሌላ ቁጥር አንሰጥም።

ቁጥሩ ያለው ቁጥር በቅደም ተከተል -th አባል ይባላል.

እኛ አብዛኛውን ጊዜ መላውን ቅደም ተከተል አንዳንድ ፊደል እንጠራዋለን (ለምሳሌ ያህል,), እና እያንዳንዱ የዚህ ተከታታይ አባል - የዚህ አባል ቁጥር ጋር እኩል የሆነ ኢንዴክስ ጋር ተመሳሳይ ፊደል:.

በቅደም ተከተል -th አባል በሆነ ቀመር ሊሰጥ የሚችል ከሆነ በጣም ምቹ ነው. ለምሳሌ, ቀመር

ቅደም ተከተል ያስቀምጣል:

እና ቀመሩ የሚከተለው ቅደም ተከተል ነው.

ለምሳሌ ፣ የሂሳብ እድገት ቅደም ተከተል ነው (የመጀመሪያው ቃል እዚህ እኩል ነው ፣ እና ልዩነቱ)። ወይም (, ልዩነት).

n ኛ ቃል ቀመር

ተደጋጋሚ ቀመር ብለን እንጠራዋለን ፣ ይህም -th የሚለውን ቃል ለማወቅ ቀዳሚውን ወይም ብዙ ቀዳሚዎችን ማወቅ ያስፈልግዎታል።

እንደዚህ አይነት ቀመር በመጠቀም የሂደቱን ኛ ቃል ለማግኘት, ለምሳሌ, የቀደመውን ዘጠኙን ማስላት አለብን. ለምሳሌ, እናድርግ. ከዚያም፡-

ደህና ፣ አሁን ቀመሩ ምን እንደሆነ ግልፅ ነው?

በእያንዳንዱ መስመር ላይ በአንዳንድ ቁጥሮች ተባዝተን እንጨምራለን. ለምንድነው? በጣም ቀላል፡ ይህ የአሁን አባል ቁጥር ሲቀነስ ነው፡

አሁን የበለጠ ምቹ ፣ አይደል? እኛ እንፈትሻለን፡-

ለራስዎ ይወስኑ፡-

በሂሳብ ግስጋሴ፣ የ nኛው ቃል ቀመር ይፈልጉ እና መቶኛውን ቃል ይፈልጉ።

ውሳኔ፡-

የመጀመሪያው ቃል እኩል ነው. እና ልዩነቱ ምንድን ነው? እና ምን እንደሆነ እነሆ፡-

(ከሁሉም በኋላ, ልዩነቱ ተብሎ ይጠራል, ምክንያቱም ከእድገት ተከታታይ አባላት ልዩነት ጋር እኩል ነው).

ስለዚህ ቀመሩ፡-

ከዚያ መቶኛው ቃል የሚከተለው ነው-

የሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ድምር ከ እስከ ስንት ነው?

በአፈ ታሪክ መሰረት ታላቁ የሂሣብ ሊቅ ካርል ጋውስ የ 9 አመት ልጅ በመሆኑ ይህንን መጠን በጥቂት ደቂቃዎች ውስጥ ያሰላል. የፊተኛውና የመጨረሻው ቁጥር ድምር እኩል መሆኑን፣ የሁለተኛው እና የመጨረሻው ድምር አንድ፣ የሦስተኛውና የመጨረሻው 3ኛው ድምር አንድ ነው፣ ወዘተ. ስንት እንደዚህ ያሉ ጥንዶች አሉ? ልክ ነው፣ በትክክል የሁሉም ቁጥሮች ግማሽ ቁጥር፣ ማለትም። ስለዚህ፣

የማንኛውም የሂሳብ ግስጋሴ የመጀመሪያ ቃላት ድምር አጠቃላይ ቀመር የሚከተለው ይሆናል፡-

ለምሳሌ:
የሁሉም ባለ ሁለት አሃዝ ብዜቶች ድምርን ያግኙ።

ውሳኔ፡-

የመጀመሪያው እንደዚህ ያለ ቁጥር ይህ ነው. እያንዳንዱ ቀጣይ የሚገኘው ወደ ቀዳሚው ቁጥር በመጨመር ነው። ስለዚህ, ለእኛ ፍላጎት ያላቸው ቁጥሮች ከመጀመሪያው ቃል እና ልዩነት ጋር የሂሳብ እድገትን ይመሰርታሉ.

የዚህ እድገት የሁለተኛው ቃል ቀመር፡-

ሁሉም ሁለት አሃዝ መሆን ካለባቸው በሂደቱ ውስጥ ስንት ቃላት አሉ?

በጣም ቀላል: .

የሂደቱ የመጨረሻ ቃል እኩል ይሆናል. ከዚያም ድምር:

መልስ፡.

አሁን ለራስዎ ይወስኑ:

1. በየቀኑ አትሌቱ ካለፈው ቀን በ1 ሜትር ይበልጣል። በመጀመሪያው ቀን ኪሜ ሜትር ቢሮጥ በሳምንታት ውስጥ ስንት ኪሎ ሜትር ይሮጣል?
2. አንድ ብስክሌተኛ በየቀኑ ከቀዳሚው የበለጠ ኪሎ ሜትሮች ይጋልባል። በመጀመሪያው ቀን ኪ.ሜ ተጉዟል. አንድ ኪሎ ሜትር ለመንዳት ስንት ቀን መንዳት አለበት? በጉዞው የመጨረሻ ቀን ስንት ኪሎ ሜትር ይጓዛል?
3. በመደብሩ ውስጥ ያለው የማቀዝቀዣ ዋጋ በየዓመቱ በተመሳሳይ መጠን ይቀንሳል. የፍሪጅ ዋጋ በየአመቱ ምን ያህል እንደሚቀንስ ይወስኑ, ለሩብል የሚሸጥ ከሆነ, ከስድስት አመት በኋላ በሩብል ከተሸጠ.

መልሶች፡-

1. እዚህ በጣም አስፈላጊው ነገር የሂሳብ እድገትን ማወቅ እና ግቤቶችን መወሰን ነው. በዚህ ሁኔታ, (ሳምንት = ቀናት). የዚህ እድገት የመጀመሪያ ውሎች ድምርን መወሰን ያስፈልግዎታል
   .
   መልስ፡-
2. እዚህ ተሰጥቷል:, መፈለግ አስፈላጊ ነው.
   እንደቀድሞው ችግር ተመሳሳይ ድምር ቀመር መጠቀም እንደሚያስፈልግ ግልጽ ነው።
   .
   እሴቶቹን ይተኩ፡

   ሥሩ በትክክል አይጣጣምም, ስለዚህ መልሱ.
   የ -th ቃል ቀመርን በመጠቀም በመጨረሻው ቀን የተጓዝንበትን ርቀት እናሰላል።
   (ኪሜ)
   መልስ፡-

3. የተሰጠው፡. ማግኘት: .
   ቀላል አይሆንም፡-
   (ማሸት)።
   መልስ፡-

አርቲሜቲክ እድገት. ስለ ዋናው ነገር በአጭሩ

ይህ በአጠገብ ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ተመሳሳይ እና እኩል የሆነበት የቁጥር ቅደም ተከተል ነው።

አርቲሜቲክ እድገት እየጨመረ ነው () እና እየቀነሰ ()።

ለምሳሌ:

የሂሳብ እድገትን n-th አባል ለማግኘት ቀመር

እንደ ቀመር ነው የተጻፈው, በሂደቱ ውስጥ ያሉት የቁጥሮች ቁጥር የት አለ.

የሂሳብ እድገት አባላት ንብረት

የአጎራባች አባላቶቹ የሚታወቁ ከሆነ የሂደቱን አባል ማግኘት ቀላል ያደርገዋል - በሂደቱ ውስጥ ያሉት የቁጥሮች ብዛት የት አለ ።

የሒሳብ እድገት አባላት ድምር

ድምርን ለማግኘት ሁለት መንገዶች አሉ-

የእሴቶቹ ብዛት የት ነው።

የእሴቶቹ ብዛት የት ነው።

ወይም አርቲሜቲክ - ይህ የታዘዘ የቁጥር ቅደም ተከተል አይነት ነው, ባህሪያቶቹ በአልጀብራ ትምህርት ቤት ውስጥ ይማራሉ. ይህ ጽሑፍ የሂሳብ እድገትን ድምር እንዴት ማግኘት እንደሚቻል የሚለውን ጥያቄ በዝርዝር ያብራራል.

ይህ እድገት ምንድን ነው?

ወደ ጥያቄው ግምት ከመቀጠልዎ በፊት (የሂሳብ እድገት ድምርን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል) ምን እንደሚብራራ መረዳት ጠቃሚ ነው.

ከቀደምት ቁጥሮች የተወሰነ እሴት በመጨመር (በመቀነስ) የሚገኝ ማንኛውም የእውነተኛ ቁጥሮች ቅደም ተከተል አልጀብራ (የሂሳብ) እድገት ይባላል። ይህ ትርጉም፣ ወደ ሂሳብ ቋንቋ የተተረጎመ፣ መልኩን ይወስዳል፡-

እዚህ እኔ የተከታታይ a i ንጥረ ነገር ተራ ቁጥር ነው። ስለዚህ, አንድ የመጀመሪያ ቁጥር ብቻ ማወቅ, ሁሉንም ተከታታይ በቀላሉ ወደነበሩበት መመለስ ይችላሉ. በቀመር ውስጥ ያለው መለኪያ d የእድገት ልዩነት ይባላል።

ለተገመቱት ተከታታይ ቁጥሮች የሚከተለው እኩልነት እንደሚይዝ በቀላሉ ማሳየት ይቻላል፡-

a n \u003d a 1 + d * (n - 1)።

ያም ማለት የ n-th ኤለመንቱን ዋጋ በቅደም ተከተል ለማግኘት, ልዩነቱን d ወደ መጀመሪያው አካል 1 n-1 ጊዜ ይጨምሩ.

የአርቲሜቲክ እድገት ድምር ምንድነው፡ ቀመር

ለተጠቀሰው መጠን ቀመር ከመስጠቱ በፊት, አንድ ቀላል ልዩ ጉዳይ ግምት ውስጥ ማስገባት ተገቢ ነው. ከ 1 እስከ 10 ባለው የተፈጥሮ ቁጥሮች እድገት ፣ ድምርቸውን ማግኘት ያስፈልግዎታል። በእድገት (10) ውስጥ ጥቂት ቃላቶች ስለሌለ ችግሩን ፊት ለፊት መፍታት ይቻላል, ማለትም ሁሉንም ንጥረ ነገሮች በቅደም ተከተል ማጠቃለል.

ኤስ 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

አንድ አስደሳች ነገር ግምት ውስጥ ማስገባት ተገቢ ነው-እያንዳንዱ ቃል ከሚቀጥለው ተመሳሳይ እሴት ይለያያል d \u003d 1, ከዚያም ጥንድ ጥምር ማጠቃለያ የመጀመሪያው ከአሥረኛው ጋር, ሁለተኛው ከዘጠነኛው እና ወዘተ ጋር ተመሳሳይ ውጤት ያስገኛል. . በእውነት፡-

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

እንደሚመለከቱት ፣ ከእነዚህ ድምሮች ውስጥ 5 ብቻ ናቸው ፣ ማለትም ፣ ከተከታታዩ ንጥረ ነገሮች ብዛት በትክክል ሁለት እጥፍ ያነሱ። ከዚያም የድምሩ (5) ቁጥርን በእያንዳንዱ ድምር ውጤት (11) በማባዛት በመጀመሪያው ምሳሌ ላይ ወደተገኘው ውጤት ይመጣሉ.

እነዚህን ነጋሪ እሴቶች ካጠቃለልን የሚከተለውን አገላለጽ መፃፍ እንችላለን።

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

ይህ አገላለጽ በአንድ ረድፍ ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ንጥረ ነገሮች ማጠቃለል አስፈላጊ እንዳልሆነ ያሳያል, የመጀመሪያውን a 1 እና የመጨረሻውን ዋጋ ማወቅ በቂ ነው n , እንዲሁም የቃላቶች ጠቅላላ ቁጥር.

ጋውስ በመጀመሪያ በትምህርት ቤት መምህሩ ለተነሳው ችግር መፍትሄ ሲፈልግ ይህንን እኩልነት እንዳሰበ ይታመናል-የመጀመሪያዎቹን 100 ኢንቲጀር ለማጠቃለል።

የንጥረ ነገሮች ድምር ከ m እስከ n፡ ቀመር

በቀደመው አንቀፅ ውስጥ የተሰጠው ቀመር የሂሳብ እድገትን (የመጀመሪያዎቹን ንጥረ ነገሮች) ድምር እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ለሚለው ጥያቄ መልስ ይሰጣል ፣ ግን ብዙውን ጊዜ በተግባሮች ውስጥ በሂደቱ መካከል ያሉ ተከታታይ ቁጥሮችን ማጠቃለል ያስፈልጋል ። እንዴት ማድረግ ይቻላል?

ይህንን ጥያቄ ለመመለስ ቀላሉ መንገድ የሚከተለውን ምሳሌ ግምት ውስጥ በማስገባት ነው-ከ mth እስከ nth ያለውን የቃላት ድምር ማግኘት አስፈላጊ ነው. ችግሩን ለመፍታት ከ m እስከ n ያለው የእድገት ክፍል እንደ አዲስ የቁጥር ተከታታይ መወከል አለበት. በዚህ ውክልና, m-th አባል a m የመጀመሪያው ይሆናል, እና a n ቁጥር n- (m-1) ይሆናል. በዚህ ሁኔታ, ለድምሩ መደበኛውን ቀመር በመተግበር, የሚከተለው አገላለጽ ይገኛል.

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

ቀመሮችን የመጠቀም ምሳሌ

የሂሳብ እድገት ድምርን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ማወቅ, ከላይ ያሉትን ቀመሮች በመጠቀም ቀላል ምሳሌን ማጤን ተገቢ ነው.

ከዚህ በታች የቁጥር ቅደም ተከተል አለ ፣ ከ 5 ኛ ጀምሮ እና በ 12 ኛው የሚያበቃውን የአባላቱን ድምር ማግኘት አለብህ።

የተሰጡት ቁጥሮች የሚያመለክቱት ልዩነቱ d ከ 3 ጋር እኩል ነው. ለ nth ኤለመንት አገላለጽ በመጠቀም የ 5 ኛ እና 12 ኛ የሂደቱን ዋጋዎች ማግኘት ይችላሉ. እንዲህ ይሆናል፡-

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

በተገመተው የአልጀብራ ግስጋሴ መጨረሻ ላይ ያሉትን የቁጥሮች እሴቶችን ማወቅ እና እንዲሁም በተከታታዩ ውስጥ ምን ቁጥሮች እንደሚይዙ ማወቅ በቀደመው አንቀፅ ውስጥ የተገኘውን ድምር ቀመር መጠቀም ይችላሉ። አግኝ፡

ኤስ 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

ይህ ዋጋ በተለየ መንገድ ሊገኝ እንደሚችል ልብ ሊባል የሚገባው ነው፡ በመጀመሪያ ደረጃውን የጠበቀ ፎርሙላ በመጠቀም የመጀመሪያዎቹን 12 ንጥረ ነገሮች ድምርን ይፈልጉ ከዚያም የመጀመርያዎቹን 4 ንጥረ ነገሮች በተመሳሳይ ቀመር ያሰሉ እና ሁለተኛውን ከመጀመሪያው ድምር ይቀንሱ. .

የሒሳብ እድገት ድምር።

የሒሳብ ዕድገት ድምር ቀላል ነገር ነው። ሁለቱም በትርጉም እና በቀመር። ግን በዚህ ርዕስ ላይ ሁሉም አይነት ስራዎች አሉ. ከአንደኛ ደረጃ እስከ ጠንካራ።

በመጀመሪያ፣ የድምሩ ትርጉምና ቀመር እንይ። እና ከዚያ እንወስናለን. ለራስህ ደስታ።) የድምሩ ትርጉም ልክ እንደ ዝቅ ማለት ነው። የሒሳብ እድገት ድምርን ለማግኘት ሁሉንም አባላቱን በጥንቃቄ ማከል ብቻ ያስፈልግዎታል። እነዚህ ውሎች ጥቂት ከሆኑ ያለ ምንም ቀመሮች ማከል ይችላሉ። ነገር ግን ብዙ ወይም ብዙ ከሆነ ... መደመር ያናድዳል.) በዚህ ሁኔታ, ቀመሩ ያድናል.

የድምር ቀመር ቀላል ነው፡-

በቀመሩ ውስጥ ምን ዓይነት ፊደሎች እንደሚካተቱ እንወቅ። ይህ ብዙ ያጸዳል.

ኤስ n የሒሳብ ዕድገት ድምር ነው። የመደመር ውጤት ሁሉምአባላት, ጋር አንደኛላይ የመጨረሻው.አስፈላጊ ነው. በትክክል ይደምሩ ሁሉምበተከታታይ አባላት, ያለ ክፍተቶች እና መዝለሎች. እና በትክክል ፣ ከ አንደኛ.እንደ የሶስተኛው እና ስምንተኛው ቃላት ድምር፣ ወይም ከአምስት እስከ ሃያኛ ቃላት ድምር ማግኘት ባሉ ችግሮች ውስጥ፣ የቀመሩን ቀጥታ መተግበር ተስፋ አስቆራጭ ይሆናል።)

ሀ 1 - አንደኛየእድገት አባል. እዚህ ሁሉም ነገር ግልጽ ነው, ቀላል ነው አንደኛየረድፍ ቁጥር.

አንድ n- የመጨረሻውየእድገት አባል. የረድፉ የመጨረሻ ቁጥር. በጣም የታወቀ ስም አይደለም, ነገር ግን, በመጠን ላይ ሲተገበር, በጣም ተስማሚ ነው. ከዚያ እራስዎ ያያሉ.

n የመጨረሻው አባል ቁጥር ነው. በቀመር ውስጥ ይህን ቁጥር መረዳት አስፈላጊ ነው ከተጨመሩ አባላት ብዛት ጋር ይዛመዳል.

ጽንሰ-ሐሳቡን እንግለጽ የመጨረሻውአባል አንድ n. የመሙያ ጥያቄ: ምን ዓይነት አባል ይሆናል የመጨረሻ፣ከተሰጠ ማለቂያ የሌለውየሂሳብ እድገት?

ለሚተማመን መልስ፣ የሂሳብ እድገትን አንደኛ ደረጃ ትርጉም መረዳት አለቦት እና ... ስራውን በጥንቃቄ ያንብቡ!)

የሂሳብ እድገት ድምርን የማግኘት ተግባር ውስጥ ፣ የመጨረሻው ቃል ሁል ጊዜ ይታያል (በቀጥታ ወይም በተዘዋዋሪ) ፣ መገደብ ያለበት.ያለበለዚያ ፣ የተወሰነ ፣ የተወሰነ መጠን ብቻ የለም።ለመፍትሄው, ምንም አይነት እድገት ቢሰጥ ምንም ለውጥ አያመጣም: ውሱን ወይም ማለቂያ የሌለው. እንዴት እንደሚሰጥ ምንም ለውጥ አያመጣም: በተከታታይ ቁጥሮች ወይም በ nth አባል ቀመር.

በጣም አስፈላጊው ነገር ቀመሩ ከመጀመሪያው የእድገት ቃል እስከ ቁጥሩ ድረስ እንደሚሰራ መረዳት ነው n.በእውነቱ ፣ የቀመርው ሙሉ ስም ይህንን ይመስላል። የሂሳብ እድገት የመጀመሪያ n ውሎች ድምር።የእነዚህ በጣም የመጀመሪያ አባላት ቁጥር, ማለትም. n, የሚወሰነው በተግባሩ ብቻ ነው. በስራው ውስጥ ፣ እነዚህ ሁሉ ጠቃሚ መረጃዎች ብዙውን ጊዜ ኢንክሪፕት የተደረጉ ናቸው ፣ አዎ… ግን ምንም ፣ ከዚህ በታች ባሉት ምሳሌዎች ውስጥ እነዚህን ምስጢሮች እናሳያለን ።)

ለአርቲሜቲክ እድገት ድምር የተግባር ምሳሌዎች።

በመጀመሪያ ደረጃ ጠቃሚ መረጃ፡-

ለአርቲሜቲክ እድገት ድምር በተግባሮች ውስጥ ዋነኛው ችግር የቀመሩ ንጥረ ነገሮች ትክክለኛ ውሳኔ ነው።

የምደባው ደራሲዎች እነዚህን አካላት ወሰን በሌለው ምናብ ያመሰጥሩታል።) እዚህ ያለው ዋናው ነገር መፍራት አይደለም። የንጥረ ነገሮችን ምንነት በመረዳት እነሱን ለመፍታት ብቻ በቂ ነው። ጥቂት ምሳሌዎችን በዝርዝር እንመልከት። በእውነተኛ ጂአይኤ ላይ በተመሰረተ ተግባር እንጀምር።

1. የሂሳብ ግስጋሴው በሁኔታው ይሰጣል-a n = 2n-3.5. የመጀመሪያዎቹን 10 ውሎች ድምር ያግኙ።

ጥሩ ስራ. ቀላል.) በቀመርው መሰረት መጠኑን ለመወሰን, ምን ማወቅ አለብን? የመጀመሪያ አባል ሀ 1፣ የመጨረሻ ጊዜ አንድ n, አዎ የመጨረሻው ቃል ቁጥር n.

የመጨረሻውን የአባል ቁጥር የት እንደሚያገኙ n? አዎ, በተመሳሳይ ቦታ, በሁኔታው! ድምርን ፈልግ ይላል። የመጀመሪያዎቹ 10 አባላት.ደህና, ምን ያህል ቁጥር ይሆናል የመጨረሻ፣አሥረኛው አባል?) አያምኑም, የእሱ ቁጥር አሥረኛ ነው!) ስለዚህ, በምትኩ አንድ nበቀመር ውስጥ እንተካለን። አንድ 10ይልቁንም n- አስር. እንደገና, የመጨረሻው አባል ቁጥር ከአባላት ቁጥር ጋር ተመሳሳይ ነው.

ለመወሰን ይቀራል ሀ 1እና አንድ 10. ይህ በችግር መግለጫው ውስጥ በተጠቀሰው የ nth ቃል ቀመር በቀላሉ ይሰላል. እንዴት ማድረግ እንዳለብዎት አታውቁም? ያለፈውን ትምህርት ይጎብኙ, ያለዚህ - ምንም.

ሀ 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

አንድ 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

ኤስ n = ኤስ 10.

የሒሳብ ግስጋሴ ድምር የሁሉንም ንጥረ ነገሮች ትርጉም አግኝተናል። እነሱን ለመተካት እና ለመቁጠር ይቀራል፡-

ያ ብቻ ነው። መልስ፡- 75

በጂአይኤ ላይ የተመሰረተ ሌላ ተግባር. ትንሽ የበለጠ የተወሳሰበ፡-

2. የሂሳብ እድገትን (a n) ከተሰጠው, ልዩነቱ 3.7; ሀ 1 \u003d 2.3. የመጀመሪያዎቹን 15 ውሎች ድምር ያግኙ።

ወዲያውኑ ድምርን ቀመር እንጽፋለን-

ይህ ቀመር የማንኛውንም አባል ዋጋ በቁጥር እንድናገኝ ያስችለናል። ቀላል ምትክ እየፈለግን ነው፡-

ሀ 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

በቀመር ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ንጥረ ነገሮች የሂሳብ እድገት ድምርን ለመተካት እና መልሱን ለማስላት ይቀራል፡-

መልስ፡- 423.

በነገራችን ላይ, በምትኩ ድምር ቀመር ውስጥ ከሆነ አንድ nየ Nth term ፎርሙላውን ብቻ በመተካት የሚከተለውን እናገኛለን፡-

ተመሳሳይ የሆኑትን እንሰጣለን ፣ ለሂሳብ እድገት አባላት ድምር አዲስ ቀመር እናገኛለን

እንደሚመለከቱት, nth term እዚህ አያስፈልግም. አንድ n. በአንዳንድ ተግባራት, ይህ ቀመር በጣም ይረዳል, አዎ ... ይህን ቀመር ማስታወስ ይችላሉ. እና ልክ እንደ እዚህ በትክክለኛው ጊዜ ማውጣት ይችላሉ። ለነገሩ የድምር ቀመር እና የ nth term ፎርሙላ በሁሉም መንገድ መታወስ አለበት።)

አሁን ተግባሩ በአጭር ምስጠራ መልክ፡-

3. የሶስት ብዜቶች የሆኑትን ሁሉንም አዎንታዊ ባለ ሁለት አሃዞች ድምር ያግኙ።

እንዴት! የመጀመሪያ አባል የለም፣ የመጨረሻ የለም፣ እድገት የለም... እንዴት መኖር ይቻላል?

በጭንቅላታችሁ ማሰብ እና ከሁኔታው ሁሉንም የሂሳብ ግስጋሴ ድምር ንጥረ ነገሮችን ማውጣት ይኖርብዎታል። ባለ ሁለት አሃዝ ቁጥሮች ምንድን ናቸው - እናውቃለን። ሁለት ቁጥሮችን ያቀፉ ናቸው.) ምን ባለ ሁለት አሃዝ ቁጥር ይኖረዋል አንደኛ? 10፣ የሚገመተው።) የመጨረሻው ነገርባለ ሁለት አሃዝ ቁጥር? 99 በእርግጥ! ባለ ሶስት አሃዝ ተከትለውት ይሄዳሉ...

ብዙ የሶስት... ሀም... እነዚህ ቁጥሮች በሦስት እኩል የሚካፈሉ ናቸው፣ እዚህ! አስሩ በሶስት አይካፈልም 11 አይከፋፈልም... 12... ይከፋፈላል! ስለዚህ, የሆነ ነገር ብቅ አለ. እንደ ችግሩ ሁኔታ አስቀድመው ተከታታይ መጻፍ ይችላሉ-

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

ይህ ተከታታይ የሂሳብ እድገት ይሆናል? በእርግጠኝነት! እያንዳንዱ ቃል ከቀዳሚው በጥብቅ በሦስት ይለያል። 2 ወይም 4, ወደ ቃሉ ከተጨመሩ, ውጤቱን ይበሉ, ማለትም. አዲስ ቁጥር ከአሁን በኋላ በ 3 አይከፈልም. ወዲያውኑ የሂሳብ ግስጋሴውን ወደ ክምር ልዩነት መወሰን ይችላሉ. መ = 3.ጠቃሚ!)

ስለዚህ ፣ አንዳንድ የእድገት መለኪያዎችን በደህና መፃፍ እንችላለን-

ቁጥሩ ምን ይሆናል nየመጨረሻው አባል? ማንም ሰው 99 ገዳይ ተሳስቷል ብሎ የሚያስብ ሰው ... ቁጥሮች - ሁልጊዜ በተከታታይ ይሄዳሉ, እና አባሎቻችን ከሶስቱ በላይ ዘለሉ. አይዛመዱም።

እዚህ ሁለት መፍትሄዎች አሉ. አንዱ መንገድ ልዕለ ታታሪው ነው። እድገቱን, ሙሉውን ተከታታይ ቁጥሮችን መቀባት እና የቃላቶቹን ቁጥር በጣትዎ መቁጠር ይችላሉ.) ሁለተኛው መንገድ ለአሳቢዎች ነው. ለ Nth ቃል ቀመር ማስታወስ ያስፈልግዎታል. ቀመሩ በችግራችን ላይ ከተተገበረ 99 የሂደቱ ሰላሳ አባል እንደሆነ እናገኛለን። እነዚያ። n = 30

የሒሳብ ዕድገት ድምር ቀመርን እንመለከታለን፡-

እንመለከታለን እና ደስ ይለናል.) መጠኑን ከችግሩ ሁኔታ ለማስላት አስፈላጊውን ሁሉ አውጥተናል.

ሀ 1= 12.

አንድ 30= 99.

ኤስ n = ኤስ 30.

የቀረው ኤሌሜንታሪ አርቲሜቲክ ነው። በቀመሩ ውስጥ ያሉትን ቁጥሮች ይተኩ እና ያሰሉ፡-

መልስ፡- 1665

ሌላ ዓይነት ታዋቂ እንቆቅልሾች፡-

4. የሂሳብ እድገት ተሰጥቷል፡-

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

ከሃያኛው እስከ ሠላሳ አራተኛ ያለውን የቃላት ድምር ያግኙ።

ድምር ቀመሩን እናያለን እና ... ተበሳጨን.) ቀመሩ, ላስታውስዎት, ድምርን ያሰላል ከመጀመሪያውአባል. እና በችግሩ ውስጥ ድምርን ማስላት ያስፈልግዎታል ከሃያኛው...ቀመሩ አይሰራም።

አንተ እርግጥ ነው, አንድ ረድፍ ውስጥ መላውን እድገት ለመቀባት, እና አባላቱን ከ 20 ወደ 34 ማስቀመጥ ይችላሉ. ነገር ግን ... በሆነ መንገድ ደደብ እና ለረጅም ጊዜ ይሆናል, አይደል?)

ይበልጥ የሚያምር መፍትሄ አለ. ተከታታዮቻችንን በሁለት ከፍለን እንየው። የመጀመሪያው ክፍል ይሆናል ከመጀመሪያው ቃል እስከ አስራ ዘጠነኛው.ሁለተኛ ክፍል፡- ከሃያ እስከ ሠላሳ አራት.የመጀመሪያውን ክፍል ውሎች ድምርን ካሰላን ግልጽ ነው ኤስ 1-19፣ ወደ ሁለተኛው ክፍል አባላት ድምር እንጨምር ኤስ 20-34, ከመጀመሪያው ቃል እስከ ሠላሳ አራተኛ ያለውን የእድገት ድምር እናገኛለን ኤስ 1-34. ልክ እንደዚህ:

ኤስ 1-19 + ኤስ 20-34 = ኤስ 1-34

ይህ የሚያሳየው ድምርን ለማግኘት ነው። ኤስ 20-34በቀላል ቅነሳ ማድረግ ይቻላል

ኤስ 20-34 = ኤስ 1-34 - ኤስ 1-19

በቀኝ በኩል ያሉት ሁለቱም ድምሮች ግምት ውስጥ ይገባል ከመጀመሪያውአባል፣ ማለትም እ.ኤ.አ. መደበኛ ድምር ቀመር ለእነሱ በጣም ተፈጻሚ ነው. እየጀመርን ነው?

ከተግባሩ ሁኔታ የእድገት መለኪያዎችን እናወጣለን-

መ = 1.5.

ሀ 1= -21,5.

የመጀመሪያዎቹን 19 እና የመጀመሪያዎቹ 34 ቃላት ድምርን ለማስላት 19 ኛ እና 34 ኛ ቃላት እንፈልጋለን። እንደ ችግር 2 እንደ nኛው ቃል ቀመር እንቆጥራቸዋለን፡-

አ 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

አ 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

የቀረ ነገር የለም። የ19 ቃላት ድምርን ከ34 ጊዜ ድምር ቀንስ፡-

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

መልስ፡ 262.5

አንድ ጠቃሚ ማስታወሻ! ይህንን ችግር ለመፍታት በጣም ጠቃሚ ባህሪ አለ. በቀጥታ ስሌት ሳይሆን የሚያስፈልግህ (S 20-34)፣ቆጥረን ነበር ምን ፣ የማይፈለግ የሚመስለው - S 1-19እና ከዚያ ወሰኑ ኤስ 20-34, አላስፈላጊውን ከሙሉ ውጤት በማስወገድ. እንዲህ ዓይነቱ "ከጆሮ ጋር ያለው ጌጥ" ብዙውን ጊዜ በክፉ እንቆቅልሾች ውስጥ ያድናል.)

በዚህ ትምህርት፣ የሂሳብ እድገት ድምርን ትርጉም ለመረዳት በቂ የሆነባቸውን ችግሮችን መርምረናል። ደህና፣ ሁለት ቀመሮችን ማወቅ አለብህ።)

ተግባራዊ ምክር፡-

ለአርቲሜቲክ ዕድገት ድምር ማንኛውንም ችግር በሚፈታበት ጊዜ, ከዚህ ርዕስ ውስጥ ሁለቱን ዋና ቀመሮች ወዲያውኑ እንዲጽፉ እመክራለሁ.

የ nth አባል ቀመር፡-

እነዚህ ቀመሮች ወዲያውኑ ምን እንደሚፈልጉ ይነግሩዎታል, ችግሩን ለመፍታት በየትኛው አቅጣጫ እንደሚያስቡ. ይረዳል።

እና አሁን ለገለልተኛ መፍትሄ ስራዎች.

5. ለሶስት የማይከፋፈሉት የሁሉም ባለ ሁለት አሃዝ ቁጥሮች ድምር ያግኙ።

አሪፍ?) ፍንጭው በማስታወሻው ውስጥ ተደብቋል ወደ ችግር 4. ደህና, ችግር 3 ይረዳል.

6. አርቲሜቲክ እድገት በሁኔታው ይሰጣል-a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. የመጀመሪያዎቹን 24 ውሎች ድምር ያግኙ።

ያልተለመደ?) ይህ ተደጋጋሚ ቀመር ነው። በቀደመው ትምህርት ውስጥ ስለ እሱ ማንበብ ይችላሉ. አገናኙን ችላ አትበል, እንደዚህ ያሉ እንቆቅልሾች ብዙ ጊዜ በጂአይኤ ውስጥ ይገኛሉ.

7. ቫስያ ለበዓል የሚሆን ገንዘብ አጠራቅሟል። እስከ 4550 ሩብልስ! እና በጣም የተወደደውን ሰው (ራሴን) ለጥቂት ቀናት ደስታ ለመስጠት ወሰንኩኝ. እራስዎን ምንም ነገር ሳትክዱ በሚያምር ሁኔታ ኑሩ። በመጀመሪያው ቀን 500 ሬብሎችን አውጣ, እና በእያንዳንዱ ቀጣይ ቀን ከቀዳሚው ቀን ይልቅ 50 ሬብሎችን አውጣ! ገንዘቡ እስኪያልቅ ድረስ. ቫሳያ ስንት ቀናት የደስታ ቀን ነበረው?

አስቸጋሪ ነው?) ከተግባር 2 ተጨማሪ ቀመር ይረዳል.

መልሶች (በተዘበራረቀ)፡ 7፣ 3240፣ 6።

ይህን ጣቢያ ከወደዱት...

በነገራችን ላይ ለአንተ ይበልጥ አስደሳች የሆኑ ሁለት ጣቢያዎች አሉኝ።)

ምሳሌዎችን የመፍታት ልምምድ ማድረግ እና ደረጃዎን ማወቅ ይችላሉ. በቅጽበት ማረጋገጫ በመሞከር ላይ። መማር - በፍላጎት!)

ከተግባሮች እና ተዋጽኦዎች ጋር መተዋወቅ ይችላሉ።

የአሪቲሜቲክ እድገት ችግሮች ከጥንት ጀምሮ ነበሩ. እነሱ ቀርበው መፍትሄ ጠየቁ, ምክንያቱም ተግባራዊ ፍላጎት ነበራቸው.

ስለዚህ በጥንቷ ግብፅ ፓፒረስ ውስጥ በአንዱ የሂሳብ ይዘት ያለው - ራይንድ ፓፒረስ (XIX ክፍለ ዘመን ዓክልበ.) - የሚከተለውን ተግባር ይይዛል-በእያንዳንዳቸው መካከል ያለው ልዩነት አንድ እስከሚሆን ድረስ አሥር የዳቦ መለኪያዎችን ወደ አሥር ሰዎች ይከፋፍሉ ። የመጠን ስምንተኛ.

እና በጥንታዊ ግሪኮች የሂሳብ ስራዎች ውስጥ ከሂሳብ እድገት ጋር የተያያዙ የሚያማምሩ ቲዎሬሞች አሉ. ስለዚህ የአሌክሳንድሪያ ሃይፕስክለስ (2ኛው ክፍለ ዘመን ብዙ አስደሳች ችግሮችን አዘጋጅቶ አስራ አራተኛውን መጽሃፍ በዩክሊድ “ኤሌመንትስ” ላይ የጨመረው) ሃሳቡን ቀርጿል፡- “በሂሳብ ስሌት ግስጋሴ ከብዙ አባላት ጋር፣ የ2ኛው አጋማሽ አባላት ድምር ውጤት። በካሬው 1/2 አባላት ከ 1 ኛ አባላት ድምር ይበልጣል።

ቅደም ተከተል አንድ ተጠቁሟል። የተከታታዩ ቁጥሮች አባላቶቹ ይባላሉ እና አብዛኛውን ጊዜ የሚያመለክቱት የዚህን አባል መለያ ቁጥር በሚያመለክቱ ፊደሎች (a1, a2, a3 ... "ሀ 1 ኛ", "አንድ 2 ኛ", "3 ኛ" ይነበባል. ” እና ወዘተ)።

ቅደም ተከተል ማለቂያ የሌለው ወይም ያልተገደበ ሊሆን ይችላል.

የሂሳብ እድገት ምንድን ነው? የቀደመውን ቃል (n) ከተመሳሳይ ቁጥር d ጋር በመጨመር እንደተገኘ መረዳት ነው, ይህም የሂደቱ ልዩነት ነው.

መ ከሆነ<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, ከዚያም እንዲህ ዓይነቱ እድገት እየጨመረ እንደመጣ ይቆጠራል.

ከመጀመሪያዎቹ ቃላቶቹ ጥቂቶቹ ብቻ ከግምት ውስጥ ከገቡ የሂሳብ ግስጋሴ የመጨረሻ ነው ተብሏል። በጣም ብዙ የአባላት ብዛት ያለው፣ ይህ አስቀድሞ ማለቂያ የሌለው እድገት ነው።

ማንኛውም የሂሳብ እድገት በሚከተለው ቀመር ይሰጣል፡-

an =kn+b፣ b እና k አንዳንድ ቁጥሮች ናቸው።

መግለጫው፣ ተቃራኒው፣ ፍፁም እውነት ነው፡ ቅደም ተከተል በተመሳሳዩ ቀመር ከተሰጠ፣ ይህ በትክክል የሂሳብ እድገት ነው፣ እሱም ባህሪያቱ፡-

1. እያንዳንዱ የሂደቱ አባል የቀደመው አባል እና የሚቀጥለው አባል የሂሳብ አማካኝ ነው።
2. ተቃራኒው፡ ከ 2 ኛ ጀምሮ እያንዳንዱ ቃል የቀደመው ቃል እና የሚቀጥለው የሂሳብ አማካኝ ከሆነ ማለትም እ.ኤ.አ. ሁኔታው ከተሟላ, የተሰጠው ቅደም ተከተል የሂሳብ እድገት ነው. ይህ እኩልነት በተመሳሳይ ጊዜ የእድገት ምልክት ነው, ስለዚህ አብዛኛውን ጊዜ የእድገት ባህሪይ ተብሎ ይጠራል.
   በተመሳሳይ ሁኔታ, ይህንን ንብረት የሚያንፀባርቀው ጽንሰ-ሐሳብ እውነት ነው-ቅደም ተከተል የሂሳብ ግስጋሴ ነው ይህ እኩልነት ከ 2 ኛ ጀምሮ ለማንኛውም ተከታታይ አባላት እውነት ከሆነ ብቻ ነው.

የማንኛዉም አራት የሒሳብ ግስጋሴ ባህሪ ባህሪ በቀመር an + am = ak + al if n + m = k + l (m, n, k የሂደቱ ቁጥሮች ናቸው) ሊገለጽ ይችላል።

በሂሳብ ግስጋሴ፣ ማንኛውም አስፈላጊ (Nth) ቃል የሚከተለውን ቀመር በመተግበር ሊገኝ ይችላል።

ለምሳሌ፡ የመጀመርያው ቃል (a1) በሒሳብ ግስጋሴ የተሰጠ እና ሦስት እኩል ነው፣ እና ልዩነቱ (መ) አራት ነው። የዚህን እድገት አርባ አምስተኛውን ቃል ማግኘት ያስፈልግዎታል. a45 = 1+4(45-1)=177

ቀመር an = ak + d(n -k) የሒሳብ እድገትን n-th አባል በየትኛውም የ k-th አባል በኩል እንዲወስኑ ይፈቅድልዎታል፣ ይህም የሚታወቅ ከሆነ።

የሒሳብ እድገት አባላት ድምር (የመጨረሻው ግስጋሴ 1ኛ n አባላትን ግምት ውስጥ በማስገባት) እንደሚከተለው ይሰላል፡-

Sn = (a1+an) n/2.

1 ኛ ቃል እንዲሁ የሚታወቅ ከሆነ ፣ ከዚያ ሌላ ቀመር ለማስላት ምቹ ነው-

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n ቃላትን የያዘው የሂሳብ እድገት ድምር እንደሚከተለው ይሰላል፡-

ለስሌቶች ቀመሮች ምርጫ የሚወሰነው በተግባሮቹ ሁኔታ እና በመነሻ ውሂብ ላይ ነው.

እንደ 1፣2፣3፣...፣n፣... ያሉ የማንኛውም ቁጥሮች ተፈጥሯዊ ተከታታይ የሒሳብ እድገት ቀላሉ ምሳሌ ነው።

ከሂሳብ እድገት በተጨማሪ የራሱ ባህሪያት እና ባህሪያት ያለው ጂኦሜትሪክ አንድም አለ.