የእኩልነት ምሳሌዎች ገላጭ ተግባር። ገላጭ እኩልታዎችን እና አለመመጣጠን መፍታት

ቤልጎሮድ ስቴት ዩኒቨርሲቲ

ወንበር አልጀብራ፣ የቁጥር ቲዎሪ እና ጂኦሜትሪ

የስራ ጭብጥ፡- ገላጭ-የኃይል እኩልታዎች እና አለመመጣጠን።

የድህረ ምረቃ ስራየፊዚክስ እና የሂሳብ ፋኩልቲ ተማሪ

ተቆጣጣሪ፡-

______________________________

ገምጋሚ፡ _________________________________

________________________

ቤልጎሮድ በ2006 ዓ.ም

መግቢያ			3
ርዕሰ ጉዳይ አይ.	በምርምር ርዕስ ላይ የስነ-ጽሑፍ ትንተና.
ርዕሰ ጉዳይ II.	ገላጭ-ኃይል እኩልታዎችን እና አለመመጣጠንን ለመፍታት የሚያገለግሉ ተግባራት እና ንብረቶቻቸው።
	I.1.	የኃይል ተግባር እና ባህሪያቱ.
	I.2.	ገላጭ ተግባሩ እና ባህሪያቱ.
ርዕሰ ጉዳይ III.	የአርቢ-ኃይል እኩልታዎች፣ ስልተ ቀመር እና ምሳሌዎች መፍትሄ።
ርዕሰ ጉዳይ IV.	የአብነት-ኃይል አለመመጣጠን፣ የመፍትሄ እቅድ እና ምሳሌዎችን መፍታት።
ርዕሰ ጉዳይ ቁ.	በርዕሱ ላይ ከት / ቤት ልጆች ጋር ክፍሎችን የማካሄድ ልምድ: "የአርቢ-ኃይል እኩልታዎች እና አለመመጣጠን መፍትሄ."
ቁ. 1.	የማስተማሪያ ቁሳቁስ.
ቁ. 2.	ለገለልተኛ መፍትሄ ተግባራት.
ማጠቃለያ	መደምደሚያዎች እና ቅናሾች.
መጽሃፍ ቅዱስ።
መተግበሪያዎች

መግቢያ።

"...የማየት እና የመረዳት ደስታ..."

አ. አንስታይን

በዚህ ሥራ ውስጥ የሂሣብ መምህርነት ልምዴን ለማስተላለፍ ሞከርኩ ፣ ቢያንስ በተወሰነ ደረጃ ፣ እሱን ለማስተማር ያለኝን አመለካከት ለማስተላለፍ - የሂሳብ ሳይንስ ፣ ትምህርታዊ ፣ ትምህርታዊ ፣ ሥነ ልቦና እና ፍልስፍና እንኳን በሚያስደንቅ ሁኔታ የሚደነቁበት የሰው ጉዳይ ነው። የተጠላለፈ.

ከልጆች እና ከተመራቂዎች ጋር የመሥራት እድል ነበረኝ, ልጆች በአእምሮ እድገት ምሰሶዎች ላይ ቆመው: በስነ-አእምሮ ሐኪም የተመዘገቡ እና በሂሳብ ላይ በጣም የሚስቡ.

ብዙ ዘዴያዊ ችግሮችን መፍታት ነበረብኝ. መፍታት የቻልኩትን ለማውራት እሞክራለሁ። ግን የበለጠ - ይህ የማይቻል ነበር, እና መፍትሄ በሚመስሉ, አዳዲስ ጥያቄዎች ይታያሉ.

ነገር ግን ከተሞክሮው የበለጠ አስፈላጊው የመምህሩ ነጸብራቅ እና ጥርጣሬዎች ናቸው: ለምን በትክክል እንደዚህ ነው, ይህ ልምድ?

እና ክረምቱ አሁን የተለየ ነው, እና የትምህርቱ መዞር የበለጠ አስደሳች ሆኗል. "በጁፒተር ስር" ዛሬ "ሁሉንም እና ሁሉንም ነገር" ለማስተማር አፈ ታሪካዊ ምርጥ ስርዓት ፍለጋ አይደለም, ነገር ግን ህጻኑ ራሱ ነው. ግን ከዚያ - በግድ - እና መምህሩ.

በአልጀብራ ትምህርት ቤት እና በመተንተን መጀመሪያ ከ 10 - 11 ኛ ክፍል ፣ ለሁለተኛ ደረጃ ትምህርት እና ወደ ዩኒቨርሲቲዎች መግቢያ ፈተናዎች ሲፈተኑ ፣ በመሠረቱ እና አርቢዎቹ ላይ የማይታወቁ እኩልታዎች እና ልዩነቶች አሉ - እነዚህ ገላጭ ናቸው። - የኃይል እኩልታዎች እና አለመመጣጠን።

በትምህርት ቤት ለእነሱ ትንሽ ትኩረት አይሰጣቸውም, በመማሪያ መጽሀፍቶች ውስጥ በዚህ ርዕስ ላይ በተግባር ምንም ተግባራት የሉም. ይሁን እንጂ እነሱን ለመፍታት ዘዴን ማወቅ, ለእኔ በጣም ጠቃሚ ነው የሚመስለው: የተማሪዎችን አእምሯዊ እና የፈጠራ ችሎታዎች ይጨምራል, ሙሉ በሙሉ አዲስ አድማስ በፊታችን ይከፈታል. ችግሮችን በሚፈቱበት ጊዜ, ተማሪዎች የምርምር ስራ የመጀመሪያ ክህሎቶችን ያገኛሉ, የሂሳብ ባህላቸው የበለፀገ እና ምክንያታዊ በሆነ መልኩ የማሰብ ችሎታ ያዳብራል. የትምህርት ቤት ልጆች እንደ ዓላማ, ግብ ማውጣት, በራስ የመመራት ባህሪያትን ያዳብራሉ, ይህም በኋለኛው ህይወት ውስጥ ለእነሱ ጠቃሚ ይሆናል. እና ደግሞ የትምህርት ቁሳቁስ መደጋገም፣ መስፋፋት እና ጥልቅ ውህደት አለ።

በዚህ የቲሲስ ምርምር ርዕስ ላይ የቃል ወረቀት በመጻፍ መስራት ጀመርኩ. በዚህ ርዕስ ላይ የሒሳብ ጽሑፎችን በጥልቀት ባጠናሁበት እና በመረመርኩበት ሂደት፣ የአብነት-ኃይል እኩልታዎችን እና እኩልነትን ለመፍታት በጣም ተገቢውን ዘዴ ለይቻለሁ።

እሱ የሚያመለክተው-ኃይል እኩልታዎችን በሚፈታበት ጊዜ በአጠቃላይ ተቀባይነት ካለው አቀራረብ በተጨማሪ (መሰረቱ ከ 0 በላይ ይወሰዳል) እና ተመሳሳይ እኩልነቶችን በሚፈታበት ጊዜ (መሰረቱ ከ 1 በላይ ወይም ከ 0 በላይ ይወሰዳል ፣ ግን ያነሰ ነው) 1) ፣ መሠረቶቹ አሉታዊ ሲሆኑ 0 እና 1 ጉዳዮችም ግምት ውስጥ ይገባሉ።

የተማሪዎችን የጽሁፍ ፈተና ወረቀቶች ትንተና እንደሚያሳየው በት / ቤት የመማሪያ መጽሀፍቶች ውስጥ የአብነት-ኃይል ተግባር ክርክር አሉታዊ እሴት ጉዳይ ሽፋን አለመኖሩ ብዙ ችግሮችን ያስከትላል እና ወደ ስህተቶች ይመራል. እና በተገኘው ውጤት ስርዓት ስርዓት ደረጃ ላይ ችግሮች ያጋጥሟቸዋል ፣ ወደ እኩልነት በሚሸጋገርበት ጊዜ - መዘዝ ወይም እኩልነት - መዘዝ ፣ ውጫዊ ሥሮች ሊታዩ ይችላሉ። ስህተቶችን ለማስወገድ በዋናው እኩልታ ወይም እኩልነት ቼክ እና የአርቢ-ኃይል እኩልታዎችን ለመፍታት ስልተ-ቀመር ወይም የአብነት-ኃይል እኩልነቶችን ለመፍታት እቅድ እንጠቀማለን።

ተማሪዎች የማጠናቀቂያ እና የመግቢያ ፈተናዎችን በተሳካ ሁኔታ እንዲያልፉ፣ በክፍል ውስጥ፣ ወይም በተጨማሪ በምርጫ እና በክበቦች ውስጥ ያሉ የአብነት-ኃይል እኩልታዎችን እና አለመመጣጠን ለመፍታት የበለጠ ትኩረት መስጠት አስፈላጊ ይመስለኛል።

ስለዚህም ርዕሰ ጉዳይ የእኔ ተሲስ እንደሚከተለው ይገለጻል፡- “Exponential-power equations and inequalities”።

ግቦች ከእነዚህ ሥራዎች መካከል፡-

1. በዚህ ርዕስ ላይ ጽሑፎችን ይተንትኑ.

2. የአርቢ-ሃይል እኩልታዎች እና እኩልነቶችን መፍትሄ ሙሉ ትንታኔ ይስጡ.

3. በዚህ ርዕስ ላይ በቂ ቁጥር ያላቸውን የተለያዩ ዓይነቶች ምሳሌዎችን ይስጡ.

4. የክፍል፣ የአማራጭ እና የክበብ ክፍሎችን ይመልከቱ የታቀዱት ገላጭ-ኃይል እኩልታዎችን እና አለመመጣጠን እንዴት እንደሚገነዘቡ። ለዚህ ርዕስ ጥናት ተገቢ ምክሮችን ይስጡ.

ርዕሰ ጉዳይ የእኛ ምርምር ገላጭ-ኃይል እኩልታዎችን እና እኩልነትን የመፍታት ዘዴን ማዘጋጀት ነው።

የጥናቱ ዓላማ እና ርዕሰ ጉዳይ ለሚከተሉት ተግባራት መፍትሄ ያስፈልገዋል.

1. በርዕሱ ላይ ጽሑፎችን አጥኑ: "Exponential-power equations and equalities."

2. የአብነት-ኃይል እኩልታዎችን እና አለመመጣጠን የመፍታት ዘዴዎችን ይማሩ።

3. የሥልጠና ቁሳቁሶችን ይምረጡ እና በርዕሱ ላይ በተለያዩ ደረጃዎች የአካል ብቃት እንቅስቃሴዎችን ስርዓት ያዳብሩ: - "የአርቢ-ኃይል እኩልታዎችን እና እኩልነትን መፍታት."

በቲሲስ ጥናት ሂደት ውስጥ የአርቢ-ኃይል እኩልታዎችን እና እኩልነትን ለመፍታት የተለያዩ ዘዴዎችን ተግባራዊ ለማድረግ ከ 20 በላይ ጽሑፎች ተተነተኑ። ከዚህ እናገኛለን።

የቲሲስ እቅድ፡-

መግቢያ።

ምዕራፍ I. በምርምር ርዕስ ላይ ያሉ ጽሑፎችን ትንተና.

ምዕራፍ II. ገላጭ-ኃይል እኩልታዎችን እና አለመመጣጠንን ለመፍታት የሚያገለግሉ ተግባራት እና ንብረቶቻቸው።

II.1. የኃይል ተግባር እና ባህሪያቱ.

II.2. ገላጭ ተግባሩ እና ባህሪያቱ.

ምዕራፍ III. የአርቢ-ኃይል እኩልታዎች፣ ስልተ ቀመር እና ምሳሌዎች መፍትሄ።

ምዕራፍ IV. የአብነት-ኃይል አለመመጣጠን፣ የመፍትሄ እቅድ እና ምሳሌዎችን መፍታት።

ምዕራፍ V. በዚህ ርዕስ ላይ ከትምህርት ቤት ልጆች ጋር ክፍሎችን የመምራት ልምድ።

1. የትምህርት ቁሳቁስ.

2. ለገለልተኛ መፍትሄ ተግባራት.

ማጠቃለያ መደምደሚያዎች እና ቅናሾች.

ያገለገሉ ጽሑፎች ዝርዝር.

በምዕራፍ 1 የተተነተነ ሥነ ጽሑፍ

በርዕሱ ላይ ያለው ትምህርት እና የዝግጅት አቀራረብ፡- "ገላጭ እኩልታዎች እና ገላጭ አለመመጣጠን"

ተጨማሪ ቁሳቁሶች
ውድ ተጠቃሚዎች አስተያየቶችዎን ፣ አስተያየቶችዎን ፣ አስተያየቶችዎን መተውዎን አይርሱ! ሁሉም ቁሳቁሶች በፀረ-ቫይረስ ፕሮግራም የተረጋገጡ ናቸው.

ለ 11 ኛ ክፍል በመስመር ላይ መደብር "ኢንቴግራል" ውስጥ የማስተማሪያ መርጃዎች እና አስመሳይዎች
ከ9-11ኛ ክፍል "ትሪጎኖሜትሪ" በይነተገናኝ መመሪያ
ከ10-11ኛ ክፍል "ሎጋሪዝም" በይነተገናኝ መመሪያ

ገላጭ እኩልታዎች ፍቺ

ሰዎች፣ ገላጭ ተግባራትን አጥንተናል፣ ንብረታቸውን ተምረናል እና ግራፎችን ገንብተናል፣ ገላጭ ተግባራት ያጋጠሙባቸውን የእኩልታ ምሳሌዎችን ገምግመናል። ዛሬ ገላጭ እኩልታዎችን እና እኩልነትን እናጠናለን።

ፍቺ የቅጹ እኩልታዎች፡- $a^(f(x))=a^(g(x))$፣ $a>0$፣ $a≠1$ ገላጭ እኩልታዎች ይባላሉ።

በርዕሱ "ኤግዚቢሽን ተግባር" ላይ ያጠናናቸውን ንድፈ ሐሳቦች በማስታወስ አዲስ ንድፈ ሐሳብ ማስተዋወቅ እንችላለን፡-
ቲዎረም. አርቢ እኩልታ $a^(f(x))=a^(g(x))$ $.

የገለጻ እኩልታዎች ምሳሌዎች

ለምሳሌ.
እኩልታዎችን ፍታ
ሀ) $3^(3x-3)=27$።
ለ) $ ((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$።
ሐ) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$።
ውሳኔ.
ሀ) $27=3^3$ መሆኑን በደንብ እናውቃለን።
የእኛን እኩልነት እንደገና እንፃፍ፡ $3^(3x-3)=3^3$።
ከላይ ያለውን ንድፈ ሃሳብ በመጠቀም የኛ እኩልታ ወደ $3x-3=3$ ይቀንሳል፣ይህንን እኩልነት በመፍታት፣$x=2$ እናገኛለን።
መልስ፡- $x=2$

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3))))^(\frac(1)(5))$።
ከዚያ የእኛ እኩልነት እንደገና ሊፃፍ ይችላል: $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x+0,2) = ((\frac (2) (3))) ^ (\frac (1) (5) ))=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0.2=$0.2.
$x=0$
መልስ፡- $x=0$

ሐ) የመጀመሪያው እኩልታ ከሒሳብ ጋር እኩል ነው፡- $x^2-6x=-3x+18$።
$x^2-3x-18=0$።
$(x-6)(x+3)=0$።
$x_1=6$ እና $x_2=-3$።
መልስ፡- $x_1=6$ እና $x_2=-3$።

ለምሳሌ.
እኩልታውን ይፍቱ: $ \ frac (((0.25)) ^ (x-0.5)) (\sqrt (4) = 16* ((0.0625)) ^ (x+1) $.
ውሳኔ፡-
በቅደም ተከተል ተከታታይ ድርጊቶችን እናከናውናለን እና ሁለቱንም የእኩልታ ክፍሎቻችንን ወደ ተመሳሳይ መሰረት እናመጣለን.
በግራ በኩል ተከታታይ ስራዎችን እናከናውን:
1) $ ((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$።
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$።
3) $\frac (((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4)=\frac((\frac (1)(4))))^(x-0፣5)) (4^(\frac(1)(2))))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1)) (4)))^x$.
ወደ ቀኝ በኩል እንሂድ፡-
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$።
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x)= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$።
የመጀመሪያው እኩልታ ከሒሳብ ጋር እኩል ነው፡-
$((\frac (1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$።
$x=2x$
$x=0$
መልስ፡- $x=0$

ለምሳሌ.
እኩልታውን ፍታ፡ $9^x+3^(x+2)-36=0$።
ውሳኔ፡-
የእኛን እኩልነት እንደገና እንፃፍ፡- $((3^2))^x+9*3^x-36=0$።
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$።
ተለዋዋጮችን እንቀይር፣ $a=3^x$ እናድርግ።
በአዲሶቹ ተለዋዋጮች ውስጥ፣ እኩልታው ቅጹን ይወስዳል፡$a^2+9a-36=0$።
$(a+12)(a-3)=0$።
$a_1=-12$ እና $a_2=3$።
የተለዋዋጮችን ተገላቢጦሽ ለውጥ እናድርግ፡$3^x=-12$ እና $3^x=3$።
በመጨረሻው ትምህርት, ገላጭ መግለጫዎች አዎንታዊ እሴቶችን ብቻ እንደሚወስዱ ተምረናል, ግራፉን አስታውሱ. ይህ ማለት የመጀመሪያው እኩልታ ምንም መፍትሄዎች የሉትም, ሁለተኛው እኩልታ አንድ መፍትሄ አለው: $ x=1$.
መልስ፡- $x=1$

ገላጭ እኩልታዎችን ለመፍታት መንገዶችን ማስታወሻ እንሥራ፡-
1. የግራፊክ ዘዴ.ሁለቱንም የእኩልታ ክፍሎች እንደ ተግባራት እንወክላለን እና ግራፎችን እንገነባለን ፣ የግራፎቹን መገናኛ ነጥቦችን ይፈልጉ። (ይህን ዘዴ ባለፈው ትምህርት ውስጥ ተጠቅመንበታል).
2. የአመላካቾች እኩልነት መርህ.መርሆው የተመሰረተው የእነዚህ መሰረቶች ዲግሪዎች (ኤክስፖነሮች) እኩል ከሆኑ እና ተመሳሳይ መሰረት ያላቸው ሁለት መግለጫዎች እኩል ናቸው በሚለው እውነታ ላይ ነው. $a^(f(x))=a^(g(x))$$f(x)=g(x)$።
3. የተለዋዋጮች ዘዴ ለውጥ.ይህ ዘዴ ጥቅም ላይ የሚውለው እኩልታ, ተለዋዋጭ ለውጦችን በሚቀይርበት ጊዜ, ቅርጹን ቀላል ካደረገ እና ለመፍታት በጣም ቀላል ከሆነ ነው.

ለምሳሌ.
የእኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ፡ $\ጀማሪ (ጉዳይ) (27)^y*3^x=1፣ \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12። መጨረሻ(ጉዳይ)$
ውሳኔ.
ሁለቱንም የስርዓቱን እኩልታዎች ለየብቻ አስቡባቸው፡-
$27^y*3^x=1$።
$3^(3ይ)*3^x=3^0$።
$3^(3y+x)=3^0$።
$x+3y=0$
ሁለተኛውን ስሌት አስቡበት፡-
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$።
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$።
የተለዋዋጮችን ለውጥ ዘዴ እንጠቀም፣ $y=2^(x+y)$ ይሁን።
ከዚያ ቀመር ቅጹን ይወስዳል-
$y^2-y-12=0$።
$(y-4)(y+3)=0$።
$y_1=4$ እና $y_2=-3$።
ወደ መጀመሪያዎቹ ተለዋዋጮች እንሂድ፣ ከመጀመሪያው እኩልታ $x+y=2$ እናገኛለን። ሁለተኛው እኩልታ ምንም መፍትሄዎች የሉትም. ከዚያ የእኛ የመጀመርያ የእኩልታ ስርዓታችን ከስርአቱ ጋር እኩል ነው፡ $\ጀማሪ (cases) x+3y=0፣ \\ x+y=2። መጨረሻ(ጉዳይ)$
ከመጀመሪያው እኩልታ ሁለተኛውን እኩልታ ቀንስ: $\ጀማሪ (ጉዳይ) 2y=-2, \\ x+y=2 እናገኛለን. መጨረሻ(ጉዳይ)$
$\ጀማሪ (ጉዳይ) y=-1፣ \\ x=3። መጨረሻ(ጉዳይ)$
መልስ፡- $(3;-1)$

ገላጭ አለመመጣጠን

ወደ እኩልነት እንሂድ። እኩልነትን በሚፈታበት ጊዜ ለዲግሪው መሠረት ትኩረት መስጠት ያስፈልጋል. አለመመጣጠን በሚፈታበት ጊዜ ለክስተቶች እድገት ሁለት ሊሆኑ የሚችሉ ሁኔታዎች አሉ።

ቲዎረም. $a>1$ ከሆነ፣ የረቢው አለመመጣጠን $a^(f(x))>a^(g(x))$ ከ$f(x)>g(x)$ እኩልነት ጋር እኩል ነው።
$0 ከሆነ a^(g(x))$ ከ$f(x) ጋር እኩል ነው።

ለምሳሌ.
አለመመጣጠን መፍታት፡-
ሀ) $3^(2x+3)>81$
ለ) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) ሐ) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
ውሳኔ.
ሀ) $3^(2x+3)>81$
$3^(2x+3)>3^4$።
የእኛ አለመመጣጠን ከእኩልነት ጋር እኩል ነው፡-
$2x+3>4$
$2x>1$
$x>0.5$

B) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) $ ((\frac (1) (4))) ^ (2x-4) በእኛ እኩልታ ፣ መሠረቱ ከዲግሪ ያነሰ ነው ከ 1 በላይ, ከዚያም እኩልነትን በተመጣጣኝ በሚተካበት ጊዜ, ምልክቱን መቀየር አስፈላጊ ነው.
$2x-4>2$
$x>3$

ሐ) የእኛ አለመመጣጠን ከእኩልነት ጋር እኩል ነው።
$x^2+6x≥4x+15$።
$x^2+2x-15≥0$
$(x-3)(x+5)≥0$
የጊዜ ክፍተት የመፍትሄ ዘዴን እንጠቀም፡-
መልስ፡- $(-∞;-5]U)