ቤት » የተመጣጠነ ምግብ » እየጨመረ የሂሳብ. ለአርቲሜቲክ እድገት ድምር የተግባር ምሳሌዎች

እየጨመረ የሂሳብ. ለአርቲሜቲክ እድገት ድምር የተግባር ምሳሌዎች

ለመወሰን ከመጀመራችን በፊት የሂሳብ እድገት ችግሮች፣ የቁጥር ቅደም ተከተል ምን እንደሆነ አስቡ ፣ ምክንያቱም የሂሳብ እድገት የቁጥር ቅደም ተከተል ልዩ ጉዳይ ነው።

የቁጥር ቅደም ተከተል የቁጥር ስብስብ ነው, እያንዳንዱ ንጥረ ነገር የራሱ የሆነ መለያ ቁጥር አለው. የዚህ ስብስብ ንጥረ ነገሮች በቅደም ተከተል አባላት ይባላሉ. የተከታታይ ኤለመንት መደበኛ ቁጥር በመረጃ ጠቋሚ ይገለጻል፡-

የቅደም ተከተል የመጀመሪያ አካል;

በቅደም ተከተል አምስተኛው አካል;

- "nth" የተከታታይ ኤለመንት, i.e. ኤለመንት "በወረፋው ላይ ቆሞ" በቁጥር n.

በተከታታይ ኤለመንት እሴት እና በመደበኛ ቁጥሩ መካከል ጥገኝነት አለ። ስለዚህ፣ ቅደም ተከተሎችን እንደ ተግባር ልንመለከተው እንችላለን፣ ክርክሩ የሥርዓተ-ነገሮች ተራ ቁጥር ነው። በሌላ አነጋገር አንድ ሰው እንዲህ ማለት ይችላል ቅደም ተከተል የተፈጥሮ ክርክር ተግባር ነው፡-

ቅደም ተከተል በሦስት መንገዶች ሊገለጽ ይችላል-

1 . ቅደም ተከተል ሠንጠረዥን በመጠቀም ሊገለጽ ይችላል.በዚህ ሁኔታ, የእያንዳንዱን ተከታታይ አባል ዋጋ በቀላሉ እናዘጋጃለን.

ለምሳሌ, አንድ ሰው በሳምንቱ ውስጥ በ VKontakte ላይ ምን ያህል ጊዜ እንደሚያጠፋ ለማስላት የግል ጊዜ አስተዳደርን ለመሥራት ወሰነ, እና ለመጀመር. ሰዓቱን በሰንጠረዥ ውስጥ በመፃፍ ሰባት አካላትን ያካተተ ቅደም ተከተል ያገኛል-

የሠንጠረዡ የመጀመሪያ መስመር የሳምንቱን ቀን ቁጥር ይይዛል, ሁለተኛው - በደቂቃዎች ውስጥ ያለው ጊዜ. እናያለን ፣ ማለትም ፣ ሰኞ ላይ አንድ ሰው በ VKontakte ላይ 125 ደቂቃዎችን ፣ ማለትም ፣ ሐሙስ - 248 ደቂቃዎችን ፣ እና ማለትም ፣ አርብ ፣ 15 ብቻ።

2 . የ nth አባል ቀመር በመጠቀም ቅደም ተከተል ሊገለጽ ይችላል.

በዚህ ሁኔታ, የአንድ ተከታታይ ንጥረ ነገር ዋጋ በቁጥር ላይ ያለው ጥገኛ በቀጥታ እንደ ቀመር ይገለጻል.

ለምሳሌ ፣ ከሆነ ፣ ከዚያ

የተከታታይ ኤለመንት ዋጋን ከተሰጠው ቁጥር ጋር ለማግኘት፣ የኤለመንቱን ቁጥር ወደ nth አባል በቀመር እንተካለን።

የክርክሩ ዋጋ የሚታወቅ ከሆነ የአንድ ተግባር ዋጋ መፈለግ ካስፈለገን ተመሳሳይ ነገር እናደርጋለን። በተግባሩ እኩልነት ምትክ የክርክሩን ዋጋ እንተካለን፡-

ለምሳሌ ከሆነ. , ከዚያም

በድጋሚ, በቅደም ተከተል, ከዘፈቀደ የቁጥር ተግባር በተቃራኒው, የተፈጥሮ ቁጥር ብቻ ክርክር ሊሆን እንደሚችል አስተውያለሁ.

3 . ቅደም ተከተላቸው በቀደሙት አባላት ዋጋ ላይ ቁጥር n ያለው የአባል እሴት ጥገኝነት የሚገልጽ ቀመር በመጠቀም ሊገለጽ ይችላል. በዚህ ሁኔታ, ዋጋውን ለማግኘት የአንድን ተከታታይ አባል ቁጥር ብቻ ማወቅ በቂ አይደለም. የመጀመሪያዎቹን አባላት ወይም የመጀመሪያዎቹን ጥቂት አባላት መግለጽ አለብን።

ለምሳሌ, ቅደም ተከተሎችን ተመልከት ,

የተከታታይ አባላትን እሴቶች ማግኘት እንችላለን በቅደም ተከተልከሦስተኛው ጀምሮ፡-

ማለትም ፣ በቅደም ተከተል የ nth አባል እሴት ለማግኘት በእያንዳንዱ ጊዜ ፣ ወደ ቀደሙት ሁለት እንመለሳለን። ይህ የቅደም ተከተል መንገድ ይባላል ተደጋጋሚ, ከላቲን ቃል ተደጋጋሚ- ተመልሰዉ ይምጡ.

አሁን የሂሳብ እድገትን መግለፅ እንችላለን። የሂሳብ እድገት የቁጥር ቅደም ተከተል ቀላል ልዩ ጉዳይ ነው።

አርቲሜቲክ እድገት የቁጥር ቅደም ተከተል ይባላል, እያንዳንዱ አባል ከሁለተኛው ጀምሮ, ከቀዳሚው ጋር እኩል ነው, በተመሳሳይ ቁጥር የተጨመረው.

ቁጥሩ ተጠርቷል። የሂሳብ እድገት ልዩነት. የሒሳብ ዕድገት ልዩነት አወንታዊ፣ አሉታዊ ወይም ዜሮ ሊሆን ይችላል።

ርዕስ="(!LANG:d>0 ከሆነ">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} እየጨመረ ነው።.

ለምሳሌ 2; 5; ስምት; አስራ አንድ;...

ከሆነ፣ እያንዳንዱ የሂሳብ ግስጋሴ ቃል ከቀዳሚው ያነሰ ነው፣ እና እድገቱ ነው። እየቀነሰ.

ለምሳሌ 2; -አንድ; -4; -7፤...

ከሆነ ፣ ሁሉም የሂደቱ አባላት ከተመሳሳይ ቁጥር ጋር እኩል ናቸው ፣ እና እድገቱ ነው። የማይንቀሳቀስ.

ለምሳሌ፣ 2፣2፣2፣2፣...

የሂሳብ እድገት ዋና ንብረት፡-

ምስሉን እንይ።

ያንን እናያለን

, እና በተመሳሳይ ጊዜ

እነዚህን ሁለት እኩልነቶች ስንጨምር፡-

የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች በ 2 ይከፋፍሏቸው፡

ስለዚህ ፣ እያንዳንዱ የሂሳብ እድገት አባል ፣ ከሁለተኛው ጀምሮ ፣ ከሁለት ጎረቤቶች የሂሳብ አማካኝ ጋር እኩል ነው።

ከዚህም በላይ, ጀምሮ

, እና በተመሳሳይ ጊዜ

, ከዚያም

, እና ስለዚህ

እያንዳንዱ የሒሳብ እድገት አባል በርዕስ = "(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

ኛ አባል ቀመር.

ለሂሳብ እድገት አባላት የሚከተሉት ግንኙነቶች እንደተያዙ እናያለን፡-

እና በመጨረሻም

አግኝተናል የ nth ቃል ቀመር.

አስፈላጊ!ማንኛውም የሂሳብ እድገት አባል በ እና አንፃር ሊገለጽ ይችላል። የመጀመሪያውን ቃል እና የሂሳብ ግስጋሴን ልዩነት ማወቅ, ማንኛውንም አባላቱን ማግኘት ይችላሉ.

የአርቲሜቲክ እድገት አባላት ድምር።

በዘፈቀደ የሂሳብ ግስጋሴ፣ ከጽንፈኞቹ እኩል የተራራቁ የቃላቶች ድምር እርስ በርሳቸው እኩል ናቸው።

ከ n አባላት ጋር የሂሳብ እድገትን አስቡበት። የዚህ እድገት አባላት ድምር እኩል ይሁን።

የሂደቱን ውሎች በመጀመሪያ ወደ ሽቅብ የቁጥሮች ቅደም ተከተል እና ከዚያ በሚወርድ ቅደም ተከተል ያዘጋጁ፡

እናጣምረው፡-

በእያንዳንዱ ቅንፍ ውስጥ ያለው ድምር ነው, ጥንድ ቁጥር n ነው.

እናገኛለን፡-

ስለዚህ፣ የ n አባላት ድምር የሂሳብ ግስጋሴ ቀመሮችን በመጠቀም ማግኘት ይቻላል፡-

አስቡበት የሂሳብ እድገት ችግሮችን መፍታት.

1 . ቅደም ተከተል የሚሰጠው በ nth አባል ቀመር ነው፡- . ይህ ቅደም ተከተል የሂሳብ እድገት መሆኑን ያረጋግጡ።

በቅደም ተከተል በሁለት ተያያዥ አባላት መካከል ያለው ልዩነት ከተመሳሳይ ቁጥር ጋር እኩል መሆኑን እናረጋግጥ.

የተከታታይ ሁለት ተያያዥ አባላት ልዩነት በቁጥራቸው ላይ እንደማይመሰረት እና ቋሚ መሆኑን ደርሰናል. ስለዚህ, በትርጓሜ, ይህ ቅደም ተከተል የሂሳብ እድገት ነው.

2 . የሒሳብ እድገት ተሰጥቷል -31; -27፤...

ሀ) የሂደቱን 31 ውሎች ይፈልጉ።

ለ) ቁጥሩ 41 በዚህ ሂደት ውስጥ መካተቱን ይወስኑ።

ሀ)እናያለን;

ለዕድገታችን የኛ ቃል ቀመር እንጻፍ።

በአጠቃላይ

በእኛ ሁኔታ , ለዛ ነው

እናገኛለን፡-

ለ)ቁጥር 41 የተከታታይ አባል ነው እንበል። የእሱን ቁጥር እንፈልግ. ይህንን ለማድረግ ቀመርን እንፈታዋለን-

የ n ተፈጥሯዊ እሴት አግኝተናል, ስለዚህ, አዎ, ቁጥር 41 የሂደቱ አባል ነው. የተገኘው የ n እሴት የተፈጥሮ ቁጥር ካልሆነ፣ ቁጥር 41 የሂደቱ አባል አይደለም ብለን እንመልሳለን።

3 . ሀ) በቁጥር 2 እና 8 መካከል ፣ ከተሰጡት ቁጥሮች ጋር ፣ የሂሳብ እድገትን እንዲፈጥሩ 4 ቁጥሮችን ያስገቡ።

ለ) የተገኘውን የእድገት ውል ድምርን ያግኙ.

ሀ)በቁጥር 2 እና 8 መካከል አራት ቁጥሮችን እናስገባ፡-

6 ቃላት ያሉት የሂሳብ እድገት አግኝተናል።

የዚህን እድገት ልዩነት እንፈልግ. ይህንን ለማድረግ ለ n ኛው ቃል ቀመር እንጠቀማለን-

አሁን የቁጥሮችን እሴቶች ማግኘት ቀላል ነው-

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

ለ)

መልስ፡ ሀ) አዎ; ለ) 30

4. የጭነት መኪናው 240 ቶን የሚመዝን የተፈጨ ድንጋይ በማጓጓዝ በየቀኑ የትራንስፖርት መጠኑን በተመሳሳይ ቁጥር ይጨምራል። በመጀመሪያው ቀን 2 ቶን ፍርስራሾች መጓዛቸው ታውቋል። ሁሉም ሥራ በ 15 ቀናት ውስጥ ከተጠናቀቀ በአሥራ ሁለተኛው ቀን ምን ያህል ቶን የተፈጨ ድንጋይ እንደተጓጓዘ ይወስኑ.

እንደ ችግሩ ሁኔታ፣ መኪናው የሚያጓጉዘው የተፈጨ ድንጋይ በየቀኑ በተመሳሳይ ቁጥር ይጨምራል። ስለዚህ፣ ከሂሳብ እድገት ጋር እየተገናኘን ነው።

ይህንን ችግር የምንቀርፀው ከሂሳብ እድገት አንፃር ነው።

በመጀመሪያው ቀን 2 ቶን የተቀጠቀጠ ድንጋይ: a_1=2.

ሁሉም ሥራ በ15 ቀናት ውስጥ ተጠናቀቀ።

መኪናው 240 ቶን የሚመዝን የተቀጠቀጠ ድንጋይ ያጓጉዛል፡-

ማግኘት አለብን።

በመጀመሪያ ደረጃ, የሂደቱን ልዩነት እንፈልግ. ፎርሙላውን ለዕድገቱ አባላት ድምር እንጠቀም።

በእኛ ሁኔታ፡-

ወይም አርቲሜቲክ - ይህ የታዘዘ የቁጥር ቅደም ተከተል አይነት ነው, ባህሪያቶቹ በት / ቤት አልጀብራ ኮርስ ውስጥ ይማራሉ. ይህ ጽሑፍ የሂሳብ እድገትን ድምር እንዴት ማግኘት እንደሚቻል የሚለውን ጥያቄ በዝርዝር ያብራራል.

ይህ እድገት ምንድን ነው?

ወደ ጥያቄው ግምት ከመቀጠልዎ በፊት (የሂሳብ እድገት ድምርን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል) ምን እንደሚብራራ መረዳት ጠቃሚ ነው.

ከቀደምት ቁጥሮች የተወሰነ እሴት በመጨመር (በመቀነስ) የሚገኝ ማንኛውም የእውነተኛ ቁጥሮች ቅደም ተከተል አልጀብራ (የሂሳብ) እድገት ይባላል። ይህ ትርጉም፣ ወደ ሂሳብ ቋንቋ የተተረጎመ፣ መልኩን ይወስዳል፡-

እዚህ እኔ የተከታታይ a i ንጥረ ነገር ተራ ቁጥር ነው። ስለዚህ, አንድ የመጀመሪያ ቁጥር ብቻ ማወቅ, ሁሉንም ተከታታይ በቀላሉ ወደነበሩበት መመለስ ይችላሉ. በቀመር ውስጥ ያለው መለኪያ d የእድገት ልዩነት ይባላል።

ለሚታዩ ተከታታይ ቁጥሮች የሚከተለው እኩልነት እንደሚይዝ በቀላሉ ማሳየት ይቻላል፡-

a n \u003d a 1 + d * (n - 1)።

ማለትም የ n-th ኤለመንቱን ዋጋ በቅደም ተከተል ለማግኘት ፣ ልዩነቱን d ወደ መጀመሪያው አካል 1 n-1 ጊዜ ይጨምሩ።

የአርቲሜቲክ እድገት ድምር ምንድነው፡ ቀመር

ለተጠቀሰው መጠን ቀመር ከመስጠቱ በፊት, አንድ ቀላል ልዩ ጉዳይ ግምት ውስጥ ማስገባት ጠቃሚ ነው. ከ 1 እስከ 10 ባለው የተፈጥሮ ቁጥሮች እድገት ፣ ድምርቸውን ማግኘት ያስፈልግዎታል። በእድገት (10) ውስጥ ጥቂት ቃላቶች ስለሌለ ችግሩን ፊት ለፊት መፍታት ይቻላል, ማለትም ሁሉንም ንጥረ ነገሮች በቅደም ተከተል ማጠቃለል.

ኤስ 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

አንድ አስደሳች ነገር ግምት ውስጥ ማስገባት ተገቢ ነው-እያንዳንዱ ቃል ከሚቀጥለው ተመሳሳይ እሴት ይለያያል d \u003d 1, ከዚያም ጥንድ ጥምር ማጠቃለያ የመጀመሪያው ከአሥረኛው ጋር, ሁለተኛው ከዘጠነኛው እና ወዘተ ጋር ተመሳሳይ ውጤት ያስገኛል. . በእውነት፡-

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

እንደሚመለከቱት ፣ ከእነዚህ ድምሮች ውስጥ 5 ብቻ ናቸው ፣ ማለትም ፣ ከተከታታዩ ንጥረ ነገሮች ብዛት በትክክል ሁለት እጥፍ ያነሱ። ከዚያም የድምሩ (5) ቁጥርን በእያንዳንዱ ድምር ውጤት (11) በማባዛት በመጀመሪያው ምሳሌ ላይ ወደተገኘው ውጤት ይመጣሉ.

እነዚህን ነጋሪ እሴቶች ካጠቃለልን የሚከተለውን አገላለጽ መፃፍ እንችላለን።

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

ይህ አገላለጽ በአንድ ረድፍ ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ንጥረ ነገሮች ማጠቃለል አስፈላጊ እንዳልሆነ ያሳያል, የመጀመሪያውን a 1 እና የመጨረሻውን ዋጋ ማወቅ በቂ ነው n , እንዲሁም የቃላቶች ጠቅላላ ቁጥር.

ጋውስ በመጀመሪያ በትምህርት ቤት መምህሩ ለተነሳው ችግር መፍትሄ ሲፈልግ ይህንን እኩልነት እንዳሰበ ይታመናል-የመጀመሪያዎቹን 100 ኢንቲጀሮች ለማጠቃለል።

የንጥረ ነገሮች ድምር ከ m እስከ n፡ ቀመር

በቀደመው አንቀፅ ውስጥ የተሰጠው ቀመር የሂሳብ እድገትን (የመጀመሪያዎቹን ንጥረ ነገሮች) ድምር እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ለሚለው ጥያቄ መልስ ይሰጣል ፣ ግን ብዙውን ጊዜ በተግባሮች ውስጥ በሂደቱ መካከል ያሉ ተከታታይ ቁጥሮችን ማጠቃለል ያስፈልጋል ። እንዴት ማድረግ ይቻላል?

ይህንን ጥያቄ ለመመለስ ቀላሉ መንገድ የሚከተለውን ምሳሌ ግምት ውስጥ በማስገባት ነው-ከ mth እስከ nth ያለውን የቃላት ድምር ማግኘት አስፈላጊ ነው. ችግሩን ለመፍታት ከ m እስከ n ያለው የእድገት ክፍል እንደ አዲስ የቁጥር ተከታታይ መወከል አለበት. በዚህ ውክልና, m-th አባል a m የመጀመሪያው ይሆናል, እና a n ቁጥር n- (m-1) ይሆናል. በዚህ ሁኔታ, ለድምሩ መደበኛውን ቀመር በመተግበር, የሚከተለው አገላለጽ ይገኛል.

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

ቀመሮችን የመጠቀም ምሳሌ

የሂሳብ እድገት ድምርን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ማወቅ, ከላይ ያሉትን ቀመሮች በመጠቀም ቀላል ምሳሌን ማጤን ተገቢ ነው.

ከዚህ በታች የቁጥር ቅደም ተከተል አለ ፣ ከ 5 ኛ ጀምሮ እና በ 12 ኛው የሚያበቃውን የአባላቱን ድምር ማግኘት አለብህ።

የተሰጡት ቁጥሮች የሚያመለክቱት ልዩነቱ d ከ 3 ጋር እኩል ነው. ለ nth ኤለመንት አገላለጽ በመጠቀም የ 5 ኛ እና 12 ኛ የሂደቱን ዋጋዎች ማግኘት ይችላሉ. እንዲህ ይሆናል፡-

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

በተገመተው የአልጀብራ ግስጋሴ መጨረሻ ላይ ያሉትን የቁጥሮች እሴቶችን ማወቅ እና እንዲሁም በተከታታዩ ውስጥ ምን ቁጥሮች እንደሚይዙ ማወቅ በቀደመው አንቀፅ ውስጥ የተገኘውን ድምር ቀመር መጠቀም ይችላሉ። አግኝ፡

ኤስ 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

ይህ ዋጋ በተለየ መንገድ ሊገኝ እንደሚችል ልብ ሊባል የሚገባው ነው፡ በመጀመሪያ ደረጃውን የጠበቀ ፎርሙላ በመጠቀም የመጀመሪያዎቹን 12 ንጥረ ነገሮች ድምርን ይፈልጉ ከዚያም የመጀመርያዎቹን 4 ንጥረ ነገሮች በተመሳሳይ ቀመር ያሰሉ እና ሁለተኛውን ከመጀመሪያው ድምር ይቀንሱ. .

አዎ፣ አዎ፡ የሂሳብ እድገት ለእርስዎ መጫወቻ አይደለም :)

ደህና ፣ ጓደኞች ፣ ይህንን ጽሑፍ እያነበብክ ከሆነ ፣ የውስጥ ቆብ ማስረጃው አሁንም የሂሳብ እድገት ምን እንደሆነ አታውቅም ፣ ግን በእርግጥ (አይ ፣ እንደዚህ ያለ፡ SOOOOO!) ማወቅ ትፈልጋለህ። ስለዚህ, በረዥም መግቢያዎች አላሰቃየዎትም እና ወዲያውኑ ወደ ንግድ ስራ እወርዳለሁ.

ለመጀመር፣ ሁለት ምሳሌዎች። በርካታ የቁጥር ስብስቦችን አስቡባቸው፡-

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2)፤\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

እነዚህ ሁሉ ስብስቦች ምን የሚያመሳስላቸው ነገር አለ? በመጀመሪያ ሲታይ ምንም የለም. ግን በእውነቱ የሆነ ነገር አለ. ይኸውም፡- እያንዳንዱ ቀጣይ ንጥረ ነገር ከቀዳሚው ጋር በተመሳሳይ ቁጥር ይለያያል.

ለራስህ ፍረድ። የመጀመሪያው ስብስብ ተከታታይ ቁጥሮች ብቻ ነው, እያንዳንዳቸው ከቀዳሚው የበለጠ. በሁለተኛው ሁኔታ, በአጠገብ ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ቀድሞውኑ ከአምስት ጋር እኩል ነው, ነገር ግን ይህ ልዩነት አሁንም ቋሚ ነው. በሦስተኛው ጉዳይ ላይ በአጠቃላይ ሥሮች አሉ. ነገር ግን፣ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$፣ $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$፣ ማለትም። በዚህ ሁኔታ እያንዳንዱ ቀጣይ ንጥረ ነገር በቀላሉ በ$\sqrt(2)$ ይጨምራል (እና ይህ ቁጥር ምክንያታዊ አይደለም ብላችሁ አትፍሩ)።

ስለዚህ: ሁሉም እንደዚህ ያሉ ቅደም ተከተሎች ብቻ የሂሳብ እድገቶች ይባላሉ. ጥብቅ ፍቺ እንስጥ፡-

ፍቺ እያንዳንዱ ተከታይ ከቀዳሚው በትክክል በተመሳሳይ መጠን የሚለይበት የቁጥሮች ቅደም ተከተል የሂሳብ ግስጋሴ ይባላል። ቁጥሮቹ የሚለያዩበት መጠን የሂደት ልዩነት ይባላል እና ብዙ ጊዜ በ$d$ ፊደል ይገለጻል።

ማስታወሻ፡$\ግራ(((a)__(n)) \ቀኝ)$ እድገት እራሱ ነው፣$d$ ልዩነቱ ነው።

እና ጥቂት አስፈላጊ አስተያየቶች ብቻ። በመጀመሪያ ደረጃ, እድገት ብቻ ነው የሚወሰደው ሥርዓታማየቁጥሮች ቅደም ተከተል: በተፃፉበት ቅደም ተከተል በጥብቅ እንዲነበቡ ይፈቀድላቸዋል - እና ሌላ ምንም አይደለም. ቁጥሮችን ማስተካከል ወይም መቀየር አይችሉም።

በሁለተኛ ደረጃ, ቅደም ተከተል እራሱ ማለቂያ ወይም ማለቂያ የሌለው ሊሆን ይችላል. ለምሳሌ፣ ስብስብ (1፤ 2፤ 3) ግልጽ የሆነ የመጨረሻ የሂሳብ እድገት ነው። ግን እንደ (1; 2; 3; 4; ...) የሆነ ነገር ከጻፉ - ይህ አስቀድሞ ማለቂያ የሌለው እድገት ነው። ከአራቱ በኋላ ያለው ellipsis ልክ እንደዚያው ፣ ብዙ ቁጥሮች የበለጠ እንደሚሄዱ ይጠቁማል። ማለቂያ የሌለው ብዙ፣ ለምሳሌ :)

በተጨማሪም እድገቶች እየጨመሩ እና እየቀነሱ መሆናቸውን ማስተዋል እፈልጋለሁ. እየጨመሩ ያሉትን አይተናል - ተመሳሳይ ስብስብ (1; 2; 3; 4; ...). እድገቶችን የመቀነስ ምሳሌዎች እዚህ አሉ

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\\sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

እሺ፣ እሺ፡ የመጨረሻው ምሳሌ ከመጠን በላይ የተወሳሰበ ሊመስል ይችላል። የቀረው ግን የገባችሁ ይመስለኛል። ስለዚህ፣ አዲስ ትርጓሜዎችን እናስተዋውቃለን፡-

ፍቺ የሒሳብ እድገት ይባላል፡-

እያንዳንዱ ቀጣይ ንጥረ ነገር ከቀዳሚው የበለጠ ከሆነ መጨመር;

እየቀነሰ, በተቃራኒው, እያንዳንዱ ተከታይ አካል ከቀዳሚው ያነሰ ከሆነ.

በተጨማሪም, "ቋሚ" የሚባሉት ቅደም ተከተሎች አሉ - እነሱ ተመሳሳይ ተደጋጋሚ ቁጥር ያካትታሉ. ለምሳሌ (3፤ 3፤ 3፤ ...)።

አንድ ጥያቄ ብቻ ይቀራል: እየጨመረ ያለውን እድገትን ከሚቀንስ እንዴት እንደሚለይ? እንደ እድል ሆኖ, እዚህ ሁሉም ነገር የሚወሰነው በ $ d$ ቁጥር ምልክት ላይ ብቻ ነው, ማለትም. የእድገት ልዩነቶች;

$d \gt 0$ ከሆነ, እድገቱ እየጨመረ ነው;
$d \lt 0$ ከሆነ ፣እድገቱ በግልጽ እየቀነሰ ነው።
በመጨረሻም, ጉዳዩ $ d = 0 $ አለ - በዚህ ሁኔታ አጠቃላይ እድገቱ ወደ ቋሚ ተመሳሳይ ቁጥሮች ቅደም ተከተል ይቀንሳል: (1; 1; 1; 1; ...), ወዘተ.

ከላይ ላሉ ሶስት እየቀነሱ ያሉ እድገቶች የ$d$ን ልዩነት ለማስላት እንሞክር። ይህንን ለማድረግ ማንኛውንም ሁለት ተያያዥ ንጥረ ነገሮችን (ለምሳሌ የመጀመሪያው እና ሁለተኛ) መውሰድ እና በግራ በኩል ያለውን ቁጥር በቀኝ በኩል ካለው ቁጥር መቀነስ በቂ ነው. ይህን ይመስላል።

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

እንደሚመለከቱት ፣ በሦስቱም ጉዳዮች ልዩነቱ በእውነቱ አሉታዊ ሆነ ። እና አሁን ብዙ ወይም ባነሰ ትርጉሞቹን ስላወቅን፣ እድገቶች እንዴት እንደሚገለጹ እና ምን ንብረቶች እንዳሉ ለማወቅ ጊዜው አሁን ነው።

የሂደቱ አባላት እና ተደጋጋሚ ቀመር

የእኛ ቅደም ተከተሎች አካላት ሊለዋወጡ ስለማይችሉ በቁጥር ሊቆጠሩ ይችላሉ፡-

\[\ግራ(((a)__(n)) \ቀኝ)=\ግራ$(ሀ)__(1))\ )),... \ቀኝ$\]

የዚህ ስብስብ ግለሰባዊ አካላት የሂደቱ አባላት ይባላሉ። በዚህ መንገድ የሚያመለክቱት በቁጥር እርዳታ ነው-የመጀመሪያው አባል, ሁለተኛው አባል, ወዘተ.

በተጨማሪም ፣ አስቀድመን እንደምናውቀው ፣ የእድገት ጎረቤት አባላት በቀመሩ ይዛመዳሉ-

\[(((a)_(n)))-((a)_(n-1))=d\ቀኝ ቀስት ((a)__(n))=((a)_(n-1))+d \]

በአጭሩ፣ የሂደቱን $n$th ቃል ለማግኘት የ$n-1$th ቃልን እና የ$d$ን ልዩነት ማወቅ አለቦት። እንዲህ ዓይነቱ ቀመር ተደጋጋሚ ተብሎ ይጠራል, ምክንያቱም በእሱ እርዳታ ማንኛውንም ቁጥር ማግኘት ይችላሉ, የቀደመውን (እና በእውነቱ, ሁሉም ቀዳሚዎች) ብቻ በማወቅ. ይህ በጣም የማይመች ነው፣ ስለዚህ ማንኛውንም ስሌት ወደ መጀመሪያው ቃል የሚቀንስ እና ልዩነቱን የሚቀንስ ተንኮለኛ ቀመር አለ።

\[(((a)__(n))=((ሀ)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ) d\]

ይህን ቀመር ከዚህ ቀደም አጋጥመውት ይሆናል። በሁሉም ዓይነት የማመሳከሪያ መጽሃፍቶች እና reshebniks ውስጥ መስጠት ይወዳሉ. እና በማቲማቲክስ ላይ በማንኛውም ምክንያታዊ የመማሪያ መጽሐፍ ውስጥ, ከመጀመሪያዎቹ አንዱ ነው.

ሆኖም ግን, ትንሽ እንዲለማመዱ እመክርዎታለሁ.

ተግባር ቁጥር 1. የመጀመሪያዎቹን ሶስት የሒሳብ እድገት ውሎች $\ግራ(((a)__(n)) \ቀኝ)$ ከ$((a)__(1))=8,d=-5$ ይፃፉ።

ውሳኔ. ስለዚህ፣ የመጀመሪያውን ቃል $((a)__(1))=8$ እና የእድገት ልዩነት $d=-5$ እናውቃለን። አሁን የተሰጠውን ቀመር እንጠቀም እና $n=1$፣ $n=2$ እና $n=3$ እንተካ።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ)d; \\ & (((ሀ)__(1))=(((ሀ)__(1))+\ግራ(1-1 \ቀኝ) d=((ሀ)__(1))=8; \\ & (((ሀ)__(2))=(((ሀ)__(1))+\ግራ(2-1 \ቀኝ) d=((a)__(1))+d=8-5= 3; \\ & (((ሀ)__(3))=(((ሀ)__(1))+\ግራ(3-1 \ቀኝ) d=((ሀ)__(1))+2d=8-10= -2. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

መልስ፡ (8፤ 3፤ -2)

ይኼው ነው! እድገታችን እየቀነሰ መሆኑን አስተውል.

በእርግጥ $n=1$ ሊተካ አይችልም - የመጀመሪያውን ቃል አስቀድመን አውቀናል:: ነገር ግን ክፍሉን በመተካት ቀመራችን ለመጀመሪያ ጊዜ እንኳን እንደሚሰራ አረጋግጠናል። በሌሎች ሁኔታዎች፣ ሁሉም ነገር ወደ ባናል አርቲሜቲክ ወርዷል።

ተግባር ቁጥር 2. ሰባተኛው ቃል -40 እና አስራ ሰባተኛው ቃል -50 ከሆነ የመጀመሪያዎቹን ሶስት የሒሳብ ሂደቶች ይጻፉ።

ውሳኔ. የችግሩን ሁኔታ በተለመደው ሁኔታ እንጽፋለን-

\[(((ሀ)__(7))=-40፤\quad ((a)__(17))=-50።\]

\[\ግራ\( \ጀማሪ(አሰላለፍ)&((a)__(7))=((a)__(1))+6d \\ & (((ሀ)_(17))=((ሀ) _(1))+16d \\\መጨረሻ(አሰላለፍ) \ቀኝ\]

\[\ግራ\( \\ጀማሪ(አሰላለፍ)&((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\\መጨረሻ(align) \ቀኝ.\]

የስርዓቱን ምልክት አስቀምጫለሁ ምክንያቱም እነዚህ መስፈርቶች በአንድ ጊዜ መሟላት አለባቸው. እና አሁን የመጀመሪያውን እኩልታ ከሁለተኛው እኩልታ ካነሳን (ይህን ለማድረግ መብት አለን ፣ ምክንያቱም ስርዓት ስላለን) ይህንን እናገኛለን ።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)_(1))+16d-\ግራ(((a)__(1))+6d \ቀኝ=-50-\ግራ(-40 \ቀኝ); \\ & (((ሀ)__(1))+16d-((ሀ)__(1))) -6መ=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ልክ እንደዛ, የእድገት ልዩነቱን አገኘን! በማናቸውም የስርዓቱ እኩልታዎች የተገኘውን ቁጥር ለመተካት ይቀራል. ለምሳሌ በመጀመሪያ፡-

\[\ጀማሪ (ማትሪክስ) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \ታች \\ ((ሀ)_(1)) -6=-40; \\ ((ሀ)__(1))=-40+6=-34። \\\መጨረሻ(ማትሪክስ)\]

አሁን፣ የመጀመሪያውን ቃል እና ልዩነቱን በማወቅ፣ ሁለተኛውን እና ሦስተኛውን ቃል ለማግኘት ይቀራል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(2))=((ሀ)__(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((ሀ)__(3))=((ሀ)__(1))+2d=-34-2=-36። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ዝግጁ! ችግሩ ተፈቷል.

መልስ፡ (-34; -35; -36)

ያገኘነውን የሂደቱን የማወቅ ጉጉ ንብረት ትኩረት ይስጡ፡ የ$n$th እና $m$th ውሎችን ወስደን እርስ በእርስ ከተቀነስን የሂደቱን ልዩነት በ$n-m$ ቁጥር ተባዝቶ እናገኛለን፡

\[(((a)__(n))((a)__(m))=d\cdot \ግራ(n-m \ቀኝ)\]

በእርግጠኝነት ማወቅ ያለብዎት ቀላል ግን በጣም ጠቃሚ ንብረት - በእሱ እርዳታ ብዙ የእድገት ችግሮችን በከፍተኛ ሁኔታ ማፋጠን ይችላሉ። የዚህ ዋና ምሳሌ ይኸውና፡-

ተግባር ቁጥር 3. የአርቲሜቲክ እድገት አምስተኛው ቃል 8.4 ነው, እና አሥረኛው ጊዜ 14.4 ነው. የዚህን እድገት አስራ አምስተኛውን ቃል ይፈልጉ።

ውሳኔ. ከ$(((a)__(5))=8.4$፣ $((a)_(10))=14.4$ ጀምሮ፣ እና $(((a)_(15))$$ን ማግኘት ስላለብን የሚከተለውን እናስተውላለን

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(15))-((ሀ)__(10))=5d; \\ & ((ሀ)__(10))-((ሀ)__(5))=5መ. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ነገር ግን በሁኔታ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$፣ስለዚህ $5d=6$፣ከየት ነው ያለነው፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(15)) -14,4=6; \\ & ((ሀ)__(15)=6+14.4=20.4. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

መልስ፡ 20.4

ይኼው ነው! ምንም አይነት የእኩልታዎች ስርዓቶችን መስራት እና የመጀመሪያውን ቃል እና ልዩነቱን ማስላት አያስፈልገንም - ሁሉም ነገር በሁለት መስመሮች ብቻ ተወስኗል.

አሁን ሌላ ዓይነት ችግርን እንመልከት - የእድገቱን አሉታዊ እና አወንታዊ አባላት ፍለጋ. እድገቱ ከጨመረ ፣ የመጀመሪያ ቃሉ አሉታዊ ቢሆንም ፣ ፈጥኖም ሆነ ዘግይቶ አዎንታዊ ቃላት በእሱ ውስጥ እንደሚታዩ ምስጢር አይደለም። እና በተገላቢጦሽ፡ የመቀነስ እድገት ውሎች ይዋል ይደር እንጂ አሉታዊ ይሆናሉ።

በተመሳሳይ ጊዜ ፣ ይህን ቅጽበት “ግንባሩ ላይ” ለማግኘት ሁል ጊዜም በጣም ሩቅ ነው ፣ በቅደም ተከተል በንጥረ ነገሮች ውስጥ መደርደር። ብዙውን ጊዜ ተግባራት የሚዘጋጁት ቀመሮቹን ሳያውቅ ስሌቶች ብዙ አንሶላዎችን ይወስዳሉ - መልሱን እስክናገኝ ድረስ በቀላሉ እንተኛለን። ስለዚህ, እነዚህን ችግሮች በፍጥነት ለመፍታት እንሞክራለን.

ተግባር ቁጥር 4. በሂሳብ እድገት ውስጥ ስንት አሉታዊ ቃላት -38.5; -35.8; …?

ውሳኔ. ስለዚህ, $ ((a) __ (1)) = -38.5$, $(((a)_(2))=-35.8$, ወዲያውኑ ልዩነቱን እናገኛለን:

ልዩነቱ አዎንታዊ መሆኑን ልብ ይበሉ, ስለዚህ እድገቱ እየጨመረ ነው. የመጀመሪያው ቃል አሉታዊ ነው, ስለዚህ በተወሰነ ጊዜ በአዎንታዊ ቁጥሮች ላይ እንሰናከላለን. ብቸኛው ጥያቄ ይህ የሚሆነው መቼ ነው.

ለማወቅ እንሞክር፡ ለምን ያህል ጊዜ (ማለትም፣ እስከ ምን ያህል የተፈጥሮ ቁጥር $n$) የቃላቶቹ አሉታዊነት ተጠብቆ ይቆያል፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(n)) \lt 0\ቀኝ ቀስት ((a)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ) d \lt 0; \\ & -38.5+\ግራ(n-1 \ቀኝ)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \ left| \cdot 10 \ ትክክል። \\ & -385+27\cdot \ግራ(n-1 \ቀኝ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\ቀኝ ቀስት ((n)__(\max))=15። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የመጨረሻው መስመር ማብራሪያ ያስፈልገዋል. ስለዚህ $n \lt 15\frac(7)(27)$ መሆኑን እናውቃለን። በሌላ በኩል፣ የቁጥሩ ኢንቲጀር እሴቶች ብቻ ይስማማናል (በተጨማሪም: $n\in \mathbb(N)$)፣ ስለዚህ የሚፈቀደው ትልቁ ቁጥር በትክክል $n=15$ ነው፣ እና በምንም አይነት ሁኔታ 16 ነው።

ተግባር ቁጥር 5. በሂሳብ እድገት $(()_(5))=-150፣(()__(6))=-147$። የዚህን እድገት የመጀመሪያ አወንታዊ ቃል ቁጥር ያግኙ።

ይህ በትክክል ከቀዳሚው ችግር ጋር ተመሳሳይ ነው፣ ነገር ግን $((a)__(1))$ን አናውቅም። ግን የአጎራባች ቃላቶች ይታወቃሉ፡$((a)__(5))$ እና $((a)__(6))$፣ስለዚህ የእድገት ልዩነቱን በቀላሉ ማግኘት እንችላለን፡-

በተጨማሪም አምስተኛውን ቃል ከአንደኛው አንፃር እና ልዩነቱን መደበኛውን ቀመር በመጠቀም ለመግለጽ እንሞክር፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(n))=((a)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ)\cdot d; \\ & (((ሀ)__(5))=((ሀ)__(1))+4d; \\ & -150=((ሀ)__(1))+4\cdot 3; \\ & ((ሀ)__(1))=-150-12=-162። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

አሁን ከቀዳሚው ችግር ጋር በማመሳሰል እንቀጥላለን. በእኛ ቅደም ተከተል አወንታዊ ቁጥሮች በየትኛው ነጥብ ላይ እንደሚገኙ እናገኛለን-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(n))=-162+\ግራ(n-1 \ቀኝ)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\ቀኝ ቀስት ((n)__(\min))=56. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የዚህ እኩልነት ዝቅተኛው የኢንቲጀር መፍትሔ ቁጥር 56 ነው።

እባክዎን በመጨረሻው ተግባር ሁሉም ነገር ወደ ጥብቅ እኩልነት ተቀንሷል ፣ ስለዚህ $n=55$ አማራጭ ለእኛ አይስማማንም።

አሁን ቀላል ችግሮችን እንዴት መፍታት እንዳለብን ተምረናል, ወደ ውስብስብ ችግሮች እንሂድ. ግን በመጀመሪያ ፣ ለወደፊቱ ብዙ ጊዜ እና እኩል ያልሆኑ ህዋሶችን የሚቆጥብ የሂሳብ እድገትን ሌላ በጣም ጠቃሚ ንብረት እንማር። :)

አርቲሜቲክ አማካኝ እና እኩል ገባዎች

እየጨመረ ያለውን የሂሳብ እድገት $\ግራ(((a)__(n)) \ቀኝ)$ በርካታ ተከታታይ ቃላትን አስቡበት። በቁጥር መስመር ላይ ምልክት ለማድረግ እንሞክር፡-

በቁጥር መስመር ላይ የአሪቲሜቲክ እድገት አባላት

እኔ በተለይ የዘፈቀደ አባላትን $((a)_(n-3))፣...፣(((a)_(n+3))$፣ እና የትኛውንም $((a)_(1)) አይደለም፣ \ ((ሀ)__(2))፣\ ((ሀ)__(3))$ ወዘተ ምክንያቱም አሁን የምነግርዎት ደንቡ ለማንኛውም "ክፍሎች" ተመሳሳይ ነው የሚሰራው.

እና ደንቡ በጣም ቀላል ነው. ተደጋጋሚ ቀመሩን እናስታውስ እና ለሁሉም ምልክት የተደረገባቸው አባላት እንፃፍ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n-2))=((a)__(n-3))+d; \\ & (((a)__(n-1))=(((a)__(n-2))+d; \\ & (((a)__(n))=((a)__(n-1))+d; \\ & (((a)__(n+1))=(((a)__(n))+d; \\ & (((a)__(n+2))=(((a)__(n+1))+d; \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ሆኖም፣ እነዚህ እኩልነቶች በተለየ መንገድ እንደገና ሊፃፉ ይችላሉ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n-1))=(((a)__(n))) -መ; \\ & (((ሀ)__(n-2))=(((ሀ)__(n)))) -2መ; \\ & (((ሀ)__(n-3))=(((ሀ)__(n)))) -3d; \\ & (((a)__(n+1))=(((a)__(n))+d; \\ & (((a)__(n+2))=(((a)__(n))+2d; \\ & (((a)__(n+3))=(((a)__(n))+3d; \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ደህና፣ ታዲያ ምን? ነገር ግን $((a)_(n-1))$ እና $((a)__(n+1))$ የሚዋሹት ከ$(((a)_(n)))$ በተመሳሳይ ርቀት ላይ መሆኑ ነው። . እና ይህ ርቀት ከ $d$ ጋር እኩል ነው. ስለ $((a)_(n-2))$ እና $((a)__(n+2))$ ስለ ቃላቶቹም ተመሳሳይ ሊባል ይችላል - እንዲሁም ከ$((a)_(n) ተወግደዋል። )$ በተመሳሳይ ርቀት ከ$2d$ ጋር እኩል ነው። ላልተወሰነ ጊዜ መቀጠል ትችላለህ, ነገር ግን ስዕሉ ትርጉሙን በደንብ ያሳያል

የሂደቱ አባላት ከማዕከሉ ተመሳሳይ ርቀት ላይ ይተኛሉ

ይህ ለእኛ ምን ማለት ነው? ይህ ማለት የአጎራባች ቁጥሮች የሚታወቁ ከሆነ $((a)_(n))$ ማግኘት ይችላሉ፡-

\[(((ሀ)__(n))=\frac((((a)__(n-1))+(((a)__(n+1))))(2)\]

አስደናቂ መግለጫ አውጥተናል፡ እያንዳንዱ የሂሳብ እድገት አባል ከጎረቤት አባላት የሂሳብ አማካኝ ጋር እኩል ነው! በተጨማሪም ከ$((a)__(n))$ ወደ ግራ እና ቀኝ በአንድ እርምጃ ሳይሆን በ$k$ እርምጃዎች ማፈንገጥ እንችላለን - እና አሁንም ቀመሩ ትክክል ይሆናል።

\[(((a)__(n))=\frac((((a)__(n-k))+(((a)__(n+k))))(2)\]

እነዚያ። $((a)__(100))$ እና $(((a)__(200))$$ ካወቅን በቀላሉ አንዳንድ $(((ሀ)_(150))$ ማግኘት እንችላለን፣ ምክንያቱም $(((ሀ)))$ (150))=\frac(((ሀ)__(100))+((ሀ)__(200)))(2)$ በመጀመሪያ ሲታይ, ይህ እውነታ ምንም ጠቃሚ ነገር የማይሰጠን ሊመስል ይችላል. ነገር ግን፣ በተግባር፣ ብዙ ሥራዎች በተለይ ለሒሳብ አማካኝ አጠቃቀም “የተሳለ” ናቸው። ተመልከት:

ተግባር ቁጥር 6. የ$-6((x)^(2))$፣ $x+1$ እና $14+4((x)^(2))$ ተከታታይ አባላት እስከሆኑ ድረስ ሁሉንም የ$x$ ዋጋዎችን ያግኙ። የሂሳብ እድገት (በተጠቀሰው ቅደም ተከተል)።

ውሳኔ. እነዚህ ቁጥሮች የእድገት አባላት በመሆናቸው የሂሳብ አማካይ ሁኔታ ለእነሱ ረክቷል፡ ማዕከላዊው ንጥረ ነገር $ x+1$ በአጎራባች አካላት ሊገለጽ ይችላል፡

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ውጤቱ ክላሲክ ኳድራቲክ እኩልታ ነው። ሥሩ፡- $x=2$ እና $x=-3$ መልሶች ናቸው።

መልስ፡-3; 2.

ተግባር ቁጥር 7. የ$$ እሴቶችን ይፈልጉ እና ቁጥሮች $-1;4-3;(()^(2))+1$ የሂሳብ እድገት ይመሰርታሉ (በዚያው ቅደም ተከተል)።

ውሳኔ. እንደገና፣ መካከለኛውን ቃል በአጎራባች ቃላቶች ስሌት አማካኝ እንገልፃለን።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac((((x)^(2))+x)(2);\quad \ ግራ| \cdot 2\ቀኝ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ሌላ ኳድራቲክ እኩልታ። እና እንደገና ሁለት ሥሮች: $ x = 6 $ እና $ x = 1 $.

መልስ፡ 1; 6.

ችግርን በመፍታት ሂደት ውስጥ አንዳንድ ጭካኔ የተሞላባቸው ቁጥሮች ካገኙ ወይም ለተገኙት መልሶች ትክክለኛነት ሙሉ በሙሉ እርግጠኛ ካልሆኑ ታዲያ እርስዎ እንዲፈትሹ የሚያስችልዎ አስደናቂ ዘዴ አለ ችግሩን በትክክል ፈታነው?

በችግር 6 ላይ መልስ አግኝተናል እንበል -3 እና 2. እነዚህ መልሶች ትክክል መሆናቸውን እንዴት ማረጋገጥ እንችላለን? ወደ መጀመሪያው ሁኔታ ብቻ እንሰካቸው እና ምን እንደሚፈጠር እንይ። ሶስት ቁጥሮች እንዳለን ላስታውስህ ($-6(()^(2))$፣ $+1$ እና $14+4()^(2))$) እነዚህም የሂሳብ እድገት መፍጠር አለባቸው። ምትክ $x=-3$:

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x=-3\ቀኝ ቀስት \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50። \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ቁጥሮቹን አገኘን -54; -2; በ 52 የሚለየው 50 ምንም ጥርጥር የለውም የሂሳብ እድገት። በ$x=2$ ተመሳሳይ ነገር ይከሰታል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x=2\ቀኝ ቀስት \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30። \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

እንደገና እድገት, ግን ከ 27 ልዩነት ጋር, ችግሩ በትክክል ተፈቷል. የሚፈልጉት ሁለተኛውን ተግባር በራሳቸው ማረጋገጥ ይችላሉ, ነገር ግን ወዲያውኑ እናገራለሁ: እዚያም ሁሉም ነገር ትክክል ነው.

በአጠቃላይ፣ የመጨረሻዎቹን ችግሮች እየፈታን ሳለን፣ ሌላም ሊታወስ የሚገባው አንድ አስደሳች እውነታ ላይ ተሰናክለናል፡-

ሶስት ቁጥሮች ከሆነ ሁለተኛው የመጀመሪያው እና የመጨረሻው አማካኝ ከሆነ, እነዚህ ቁጥሮች የሂሳብ እድገት ይመሰርታሉ.

ለወደፊቱ, ይህንን መግለጫ መረዳቱ በችግሩ ሁኔታ ላይ ተመስርተው አስፈላጊ የሆኑትን እድገቶች በትክክል "እንዲገነቡ" ያስችለናል. ነገር ግን በእንደዚህ ዓይነት "ግንባታ" ውስጥ ከመሳተፋችን በፊት ለአንድ ተጨማሪ እውነታ ትኩረት መስጠት አለብን, እሱም አስቀድሞ ከተገመተው በቀጥታ ይከተላል.

የንጥረ ነገሮች ስብስብ እና ድምር

እንደገና ወደ ቁጥር መስመር እንመለስ። እዚያ በርካታ የሂደቱን አባላት እናስተውላለን ፣ በመካከላቸው ፣ ምናልባትም። ለብዙ ሌሎች አባላት ዋጋ ያለው:

በቁጥር መስመር ላይ ምልክት የተደረገባቸው 6 ንጥረ ነገሮች

"የግራ ጭራ"ን በ$((a)__(n))$ እና $d$፣ እና "ቀኝ ጅራት" በ$(((a)_(k))$ እና $ ለመግለፅ እንሞክር። d$ በጣም ቀላል ነው፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n+1))=(((a)__(n))+d; \\ & (((a)__(n+2))=(((a)__(n))+2d; \\ & (((ሀ)__(k-1))=(((ሀ)__(k)))) -d; \\ & (((ሀ)__(k-2))=(((ሀ)__(k))-2መ. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

አሁን የሚከተሉት ድምሮች እኩል መሆናቸውን ልብ ይበሉ:

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n))+((ሀ)__(k))=S; \\ & ((((a)__(n+1)))+((((a)__(k-1)))=(((a)__(n))+d+((ሀ)__(k)))-d= ኤስ; \\ & ((((a)_(n+2)))+((((a)__(k-2)))=(((a)__(n))+2d+((ሀ)__(k)))))-2d= ኤስ. \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በቀላል አነጋገር የሂደቱን ሁለት አካላት እንደ ጅምር ከተመለከትን በጠቅላላው ከአንዳንድ ቁጥር $S$ ጋር እኩል ናቸው እና ከዚያ ከእነዚህ ንጥረ ነገሮች በተቃራኒ አቅጣጫ መሄድ እንጀምራለን (እርስ በርስ ወደ አንዱ ወይም በተቃራኒው ለመራቅ)። ከዚያም የምንሰናከልባቸው ንጥረ ነገሮች ድምርም እኩል ይሆናል።$S$ ይህ በተሻለ በግራፊክ ሊወከል ይችላል፡-

ተመሳሳይ ገባዎች እኩል ድምር ይሰጣሉ

ይህንን እውነታ መረዳታችን ከላይ ከጠቀስናቸው ችግሮች በመሠረታዊ ደረጃ ከፍ ያለ ውስብስብ ችግሮችን ለመፍታት ያስችለናል ። ለምሳሌ እነዚህ፡-

ተግባር ቁጥር 8. የመጀመሪያው ቃል 66 የሆነበትን የሂሳብ እድገት ልዩነት ይወስኑ ፣ እና የሁለተኛው እና የአስራ ሁለተኛው ቃላት ውጤት በጣም ትንሹ ነው።

ውሳኔ. የምናውቀውን ሁሉ እንጻፍ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(1))=66; \\&d=? \\ & (((ሀ)__(2))\cdot ((ሀ)__(12))=\min . \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ስለዚህ፣ የሂደቱን የ$d$ ልዩነት አናውቅም። ምርቱ $(((a)__(2))\cdot((a)_(12))$$ በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊፃፍ ስለሚችል፣ በእውነቱ፣ ሙሉው መፍትሄ በልዩነቱ ዙሪያ ይገነባል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(2))=((ሀ)__(1))+d=66+d; \\ & (((ሀ)__(12))=((ሀ)__(1))+11d=66+11d; \\ & ((((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\ግራ(66+d \ቀኝ)\cdot \ግራ(66+11d \ቀኝ)= \\ & =11 \cdot \ግራ(d+66 \ቀኝ)\cdot \ግራ(d+6 \ቀኝ)። \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በማጠራቀሚያው ውስጥ ላሉት፡- ከሁለተኛው ቅንፍ ውስጥ 11 ኛውን የጋራ ሁኔታ ወስጃለሁ። ስለዚህ, የሚፈለገው ምርት ከተለዋዋጭ $d$ አንጻር አራት ማዕዘን ተግባር ነው. ስለዚህ $f\ግራ(መ \ቀኝ)=11\ግራ(d+66 \ቀኝ)\ግራ(d+6 \ቀኝ)$ የሚለውን ተግባር አስቡበት - ግራፉ ቅርንጫፎቹን ከፍ አድርጎ የሚያሳይ ምሳሌ ይሆናል ፣ ምክንያቱም ቅንፎችን ከከፈትን, እናገኛለን:

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & f\ግራ(መ \ቀኝ)=11\ግራ(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11((((መ)^(2)) d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

እንደሚመለከቱት ፣ ከፍተኛው ቃል ያለው ቅንጅት 11 ነው - ይህ አወንታዊ ቁጥር ነው ፣ ስለሆነም እኛ ከቅርንጫፎች ጋር ከፓራቦላ ጋር እየተገናኘን ነው-

የኳድራቲክ ተግባር ግራፍ - ፓራቦላ
እባክዎን ያስተውሉ፡ ይህ ፓራቦላ ዝቅተኛ እሴቱን በአከርካሪው ላይ ከ abcissa $((መ)_(0))$ ጋር ይወስዳል። እርግጥ ነው፣ ይህንን አቢሲሳ በመደበኛው ዕቅድ መሠረት ማስላት እንችላለን (ቀመር $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) አለ)፣ ግን የበለጠ ምክንያታዊ ይሆናል የሚፈለገው ጫፍ በፓራቦላ ዘንግ ሲምሜትሪ ላይ እንደሚገኝ ልብ ይበሉ፣ ስለዚህ ነጥቡ $((መ)_(0))$ ከቀመር $f\ግራ(መ \ቀኝ)=0$ ሥረወቶች ጋር እኩል ነው ።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & f\ግራ(መ\ቀኝ)=0; \\ & 11\cdot \ግራ(d+66 \ቀኝ)\cdot \ግራ(d+6 \ቀኝ)=0; \\ & ((መ)__(1))=-66፤\quad ((መ)__(2))=-6። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ለዚያም ነው ቅንፎችን ለመክፈት አልቸኮለውም-በመጀመሪያው መልክ ሥሮቹ በጣም በጣም ቀላል ነበሩ. ስለዚህ፣ abcissa ከቁጥሮች -66 እና -6 የሂሳብ አማካኝ ጋር እኩል ነው።

\[((መ)__(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

የተገኘውን ቁጥር ምን ይሰጠናል? በእሱ አማካኝነት የሚፈለገው ምርት አነስተኛውን ዋጋ ይወስዳል (በነገራችን ላይ $((y)_(\min))$ አላሰላንም - ይህ ከእኛ የሚፈለግ አይደለም። በተመሳሳይ ጊዜ, ይህ ቁጥር የመነሻ እድገት ልዩነት ነው, ማለትም. መልሱን አግኝተናል። :)

መልስ፡-36

ተግባር ቁጥር 9. በ$ -\frac(1)(2)$ እና $-\frac(1)(6)$ ቁጥሮች መካከል ሶስት ቁጥሮችን አስገባ ከተሰጡት ቁጥሮች ጋር አንድ ላይ የሂሳብ እድገት ይመሰርታሉ።

ውሳኔ. እንደ እውነቱ ከሆነ, የአምስት ቁጥሮችን ቅደም ተከተል ማድረግ አለብን, ከመጀመሪያው እና የመጨረሻው ቁጥር አስቀድሞ ይታወቃል. የጎደሉትን ቁጥሮች በተለዋዋጭዎቹ $x$፣ $y$ እና $z$ አመልክት፡-

\[\ግራ(((a)_(n)) \ቀኝ)=\ግራ\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \ቀኝ\" )\]

$y$ ቁጥር የእኛ ቅደም ተከተል "መካከለኛ" መሆኑን ልብ ይበሉ - ከቁጥሮች $ x$ እና $z$, እና ከቁጥሮች $ -\ frac (1) (2)$ እና $ -\frac ቁጥሮች ጋር እኩል ነው. (1) (6)$ እና በአሁኑ ጊዜ ከ $ x$ እና $z$ ቁጥሮች $ y$ ማግኘት ካልቻልን ፣ ከዚያ ሁኔታው ከሂደቱ መጨረሻዎች የተለየ ነው። የሂሳብ ትርጉምን አስታውስ፡-

አሁን, $y$ን በማወቅ, የተቀሩትን ቁጥሮች እናገኛለን. $x$ በ$-\frac(1)(2)$ እና $y=-\frac(1)(3)$ መካከል እንዳለ ልብ ይበሉ። ስለዚህ

በተመሳሳይ ስንከራከር፣ የቀረውን ቁጥር እናገኛለን፡-

ዝግጁ! ሦስቱንም ቁጥሮች አገኘን. በመጀመሪያዎቹ ቁጥሮች መካከል ማስገባት ያለባቸውን በቅደም ተከተል በመልሱ ውስጥ እንጽፋቸው።

መልስ፡- $-\frac(5)(12)፤\ -\frac(1)(3));

ተግባር ቁጥር 10. በቁጥር 2 እና 42 መካከል የገቡት ቁጥሮች የመጀመሪያ፣ ሁለተኛ እና የመጨረሻ ድምር 56 መሆኑ ከታወቀ ከተሰጡት ቁጥሮች ጋር አንድ ላይ የሂሳብ እድገትን የሚፈጥሩ በርካታ ቁጥሮችን አስገባ።

ውሳኔ. የበለጠ ከባድ ስራ ፣ ሆኖም ፣ እንደ ቀደሙት በተመሳሳይ መንገድ - በሂሳብ ስሌት። ችግሩ ምን ያህል ቁጥሮች እንደምናስገባ በትክክል አለማወቃችን ነው። ስለዚህ, በእርግጠኝነት, እኛ ካስገባን በኋላ በትክክል $n$ ቁጥሮች ይኖራሉ ብለን እናስባለን, እና የመጀመሪያው 2 ነው, እና የመጨረሻው 42 ነው. በዚህ ሁኔታ, የሚፈለገው የሂሳብ እድገት እንደሚከተለው ሊወከል ይችላል.

\[\ግራ(((a)_(n)) \ቀኝ)=\ግራ$ 2;(((a)__(2));((ሀ)__(3));...;(( ሀ)_(n-1));42 \ቀኝ$\]

\[((ሀ)__(2))+((ሀ)__(3))+(((ሀ)__(n-1))=56\]

ነገር ግን $((a)__(2))$ እና $((a)__(n-1))$ ቁጥሮች የሚገኙት ከቁጥር 2 እና 42 በጠርዙ ላይ ከቆሙት ቁጥሮች አንድ እርምጃ ወደ አንዱ አቅጣጫ መሆኑን ልብ ይበሉ። , ማለትም. ወደ ቅደም ተከተል መሃል. እና ይሄ ማለት ነው።

\[((ሀ)__(2))+((ሀ)__(n-1))=2+42=44\]

ግን ከዚህ በላይ ያለው አገላለጽ እንደሚከተለው እንደገና ሊፃፍ ይችላል-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(2))+((ሀ)__(3))+((ሀ)__(n-1))=56; \\ & \ግራ(((ሀ)__(2))+((ሀ)__(n-1)) \ቀኝ)+((ሀ)__(3))=56; \\ & 44+((ሀ)__(3))=56; \\ & ((ሀ)__(3))=56-44=12። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

$((a)__(3))$ እና $(((a)__(1))$$ን በማወቅ የሂደቱን ልዩነት በቀላሉ ማግኘት እንችላለን፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(3))-((ሀ)__(1))=12-2=10; \\ & (((ሀ)__(3))-((ሀ)__(1))=\ግራ(3-1 \ቀኝ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\ቀኝ ቀስት d=5። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የቀሩትን አባላት ለማግኘት ብቻ ይቀራል፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(1))=2; \\ & ((ሀ)__(2))=2+5=7; \\ & ((ሀ)__(3))=12; \\ & (((ሀ)__(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & (((ሀ)__(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & (((ሀ)__(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & (((ሀ)__(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & (((ሀ)__(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & (((ሀ)__(9))=2+8\cdot 5=42; \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ስለዚህ, ቀድሞውኑ በ 9 ኛው ደረጃ ወደ ቅደም ተከተል ወደ ግራ ጫፍ እንመጣለን - ቁጥር 42. በአጠቃላይ, 7 ቁጥሮች ብቻ ማስገባት ነበረባቸው: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

መልስ፡ 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

የጽሑፍ ስራዎች ከሂደቶች ጋር

ለማጠቃለል ያህል በአንጻራዊነት ቀላል የሆኑ ሁለት ችግሮችን ግምት ውስጥ ማስገባት እፈልጋለሁ. ደህና ፣ እንደ ቀላል ፣ ለአብዛኛው ተማሪዎች በትምህርት ቤት የሂሳብ ትምህርት ለሚማሩ እና ከላይ የተጻፈውን ያላነበቡ ፣ እነዚህ ተግባራት የእጅ ምልክት ሊመስሉ ይችላሉ። ቢሆንም፣ በ OGE እና USE ውስጥ በሂሳብ ውስጥ የሚያጋጥሟቸው በትክክል እንደዚህ አይነት ስራዎች ናቸው፣ ስለዚህ እራስዎን በደንብ እንዲያውቁዋቸው እመክራለሁ።

ተግባር ቁጥር 11. ቡድኑ በጥር ወር 62 ክፍሎችን ያመረተ ሲሆን በየቀጣዩ ወር ከቀዳሚው 14 ተጨማሪ ክፍሎችን አምርቷል። ብርጌዱ በህዳር ምን ያህል ክፍሎች አመረተ?

ውሳኔ. በወር ቀለም የተቀባው የክፍሎች ብዛት እየጨመረ የሚሄድ የሂሳብ እድገት እንደሚሆን ግልጽ ነው። እና፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(1))=62;\quad d=14; \\ & (((a)__(n))=62+\ግራ(n-1 \በቀኝ)\cdot 14. \\\መጨረሻ(align)\]

ህዳር የአመቱ 11ኛ ወር ነው፣ስለዚህ $((a)__(11))$ ማግኘት አለብን፡

\[((ሀ)__(11))=62+10\cdot 14=202\]

ስለዚህ 202 ክፍሎች በህዳር ውስጥ ይመረታሉ.

ተግባር ቁጥር 12. የመጽሃፍ ማሰሪያው አውደ ጥናት በጥር ወር 216 መጽሃፎችን ያሰረ ሲሆን በእያንዳንዱ ወር ውስጥ ካለፈው መጽሃፍ የበለጠ 4 መጽሃፎችን አስሯል። ወርክሾፑ በታህሳስ ወር ስንት መጽሃፎችን አሳሰረ?

ውሳኔ. ሁሉም ተመሳሳይ:

$\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(1))=216፤\quad d=4; \\ & (((a)__(n))=216+\ግራ(n-1 \በቀኝ)\cdot 4. \\\መጨረሻ(align)$

ዲሴምበር የዓመቱ የመጨረሻ፣ የ12ኛው ወር ነው፣ስለዚህ እኛ የምንፈልገው $((a)__(12))$፡

\[((ሀ)__(12))=216+11\cdot 4=260\]

መልሱ ይህ ነው - በታህሳስ ወር 260 መጽሐፍት ይታሰራሉ።

ደህና፣ ይህን እስካሁን ካነበብክ፣ እንኳን ደስ ለማለት ቸኩያለሁ፡ በሂሳብ እድገቶች ውስጥ “የወጣቱን ተዋጊ ኮርስ” በተሳካ ሁኔታ አጠናቅቀሃል። ወደ ቀጣዩ ትምህርት በደህና መሄድ እንችላለን, የእድገት ድምር ቀመርን, እንዲሁም ጠቃሚ እና በጣም ጠቃሚ ውጤቶችን ወደምናጠናበት.

የሒሳብ እድገት ድምር።

የሒሳብ ዕድገት ድምር ቀላል ነገር ነው። ሁለቱም በትርጉም እና በቀመር። ግን በዚህ ርዕስ ላይ ሁሉም አይነት ስራዎች አሉ. ከአንደኛ ደረጃ እስከ ጠንካራ።

በመጀመሪያ፣ የድምሩ ትርጉምና ቀመር እንይ። እና ከዚያ እንወስናለን. ለራስህ ደስታ።) የድምሩ ትርጉም ልክ እንደ ዝቅ ማለት ነው። የሒሳብ እድገት ድምርን ለማግኘት ሁሉንም አባላቱን በጥንቃቄ ማከል ብቻ ያስፈልግዎታል። እነዚህ ውሎች ጥቂት ከሆኑ ያለ ምንም ቀመሮች ማከል ይችላሉ። ነገር ግን ብዙ ወይም ብዙ ከሆነ ... መደመር ያናድዳል.) በዚህ ሁኔታ, ቀመሩ ያድናል.

የድምር ቀመር ቀላል ነው፡-

በቀመሩ ውስጥ ምን ዓይነት ፊደሎች እንደሚካተቱ እንወቅ። ይህ ብዙ ያጸዳል.

ኤስ n የሒሳብ ዕድገት ድምር ነው። የመደመር ውጤት ሁሉምአባላት, ጋር አንደኛላይ የመጨረሻው.አስፈላጊ ነው. በትክክል ይደምሩ ሁሉምበተከታታይ አባላት, ያለ ክፍተቶች እና መዝለሎች. እና በትክክል ፣ ከ አንደኛ.እንደ የሶስተኛው እና ስምንተኛው ቃላት ድምር፣ ወይም ከአምስት እስከ ሃያኛ ቃላት ድምር በመሳሰሉ ችግሮች ውስጥ፣ የቀመሩን ቀጥታ መተግበር ተስፋ አስቆራጭ ይሆናል።)

ሀ 1 - አንደኛየእድገት አባል. እዚህ ሁሉም ነገር ግልጽ ነው, ቀላል ነው አንደኛየረድፍ ቁጥር.

አንድ n- የመጨረሻውየእድገት አባል. የረድፉ የመጨረሻ ቁጥር. በጣም የታወቀ ስም አይደለም, ነገር ግን, በመጠን ላይ ሲተገበር, በጣም ተስማሚ ነው. ከዚያ እራስዎ ያያሉ.

n የመጨረሻው አባል ቁጥር ነው. በቀመር ውስጥ ይህን ቁጥር መረዳት አስፈላጊ ነው ከተጨመሩ አባላት ብዛት ጋር ይዛመዳል.

ጽንሰ-ሐሳቡን እንግለጽ የመጨረሻውአባል አንድ n. የመሙያ ጥያቄ: ምን ዓይነት አባል ይሆናል የመጨረሻ፣ከተሰጠ ማለቂያ የሌለውየሂሳብ እድገት?

ለሚተማመን መልስ፣ የሂሳብ እድገትን አንደኛ ደረጃ ትርጉም መረዳት አለቦት እና ... ስራውን በጥንቃቄ ያንብቡ!)

የሂሳብ እድገት ድምርን የማግኘት ተግባር ውስጥ ፣ የመጨረሻው ቃል ሁል ጊዜ ይታያል (በቀጥታ ወይም በተዘዋዋሪ) ፣ መገደብ ያለበት.ያለበለዚያ ፣ የተወሰነ ፣ የተወሰነ መጠን ብቻ የለም።ለመፍትሄው, ምንም አይነት እድገት ቢሰጥ ምንም ለውጥ አያመጣም: ውሱን ወይም ማለቂያ የሌለው. እንዴት እንደሚሰጥ ምንም ለውጥ አያመጣም: በተከታታይ ቁጥሮች ወይም በ nth አባል ቀመር.

በጣም አስፈላጊው ነገር ቀመሩ ከመጀመሪያው የእድገት ቃል እስከ ቁጥሩ ድረስ እንደሚሰራ መረዳት ነው n.በእውነቱ ፣ የቀመርው ሙሉ ስም ይህንን ይመስላል። የሂሳብ እድገት የመጀመሪያ n ውሎች ድምር።የእነዚህ በጣም የመጀመሪያ አባላት ቁጥር, ማለትም. n, የሚወሰነው በተግባሩ ብቻ ነው. በስራው ውስጥ ፣ እነዚህ ሁሉ ጠቃሚ መረጃዎች ብዙውን ጊዜ ኢንክሪፕት የተደረጉ ናቸው ፣ አዎ… ግን ምንም ፣ ከዚህ በታች ባሉት ምሳሌዎች ውስጥ እነዚህን ምስጢሮች እናሳያለን ።)

ለአርቲሜቲክ እድገት ድምር የተግባር ምሳሌዎች።

በመጀመሪያ ደረጃ ጠቃሚ መረጃ፡-

ለአርቲሜቲክ እድገት ድምር በተግባሮች ውስጥ ዋነኛው ችግር የቀመሩ ንጥረ ነገሮች ትክክለኛ ውሳኔ ነው።

የምደባው ደራሲዎች እነዚህን አካላት ወሰን በሌለው ምናብ ያመሰጥሩታል።) እዚህ ያለው ዋናው ነገር መፍራት አይደለም። የንጥረ ነገሮችን ምንነት በመረዳት እነሱን ለመፍታት ብቻ በቂ ነው። ጥቂት ምሳሌዎችን በዝርዝር እንመልከት። በእውነተኛ ጂአይኤ ላይ በተመሰረተ ተግባር እንጀምር።

1. የሂሳብ ግስጋሴው በሁኔታው ይሰጣል-a n = 2n-3.5. የመጀመሪያዎቹን 10 ውሎች ድምር ያግኙ።

ጥሩ ስራ. ቀላል.) በቀመርው መሰረት መጠኑን ለመወሰን, ምን ማወቅ አለብን? የመጀመሪያ አባል ሀ 1፣ የመጨረሻ ጊዜ አንድ n, አዎ የመጨረሻው ቃል ቁጥር n.

የመጨረሻውን የአባል ቁጥር የት እንደሚያገኙ n? አዎ, በተመሳሳይ ቦታ, በሁኔታው! ድምርን ፈልግ ይላል። የመጀመሪያዎቹ 10 አባላት.ደህና, ምን ያህል ቁጥር ይሆናል የመጨረሻ፣አሥረኛው አባል?) አያምኑም, የእሱ ቁጥር አሥረኛ ነው!) ስለዚህ, በምትኩ አንድ nበቀመር ውስጥ እንተካለን። አንድ 10ይልቁንም n- አስር. እንደገና, የመጨረሻው አባል ቁጥር ከአባላት ቁጥር ጋር ተመሳሳይ ነው.

ለመወሰን ይቀራል ሀ 1እና አንድ 10. ይህ በችግር መግለጫው ውስጥ በተጠቀሰው የ nth ቃል ቀመር በቀላሉ ይሰላል. እንዴት ማድረግ እንዳለብዎት አታውቁም? ያለፈውን ትምህርት ይጎብኙ, ያለዚህ - ምንም.

ሀ 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

አንድ 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

ኤስ n = ኤስ 10.

የሒሳብ ግስጋሴ ድምር የሁሉንም ንጥረ ነገሮች ትርጉም አግኝተናል። እነሱን ለመተካት እና ለመቁጠር ይቀራል፡-

ያ ብቻ ነው። መልስ፡- 75

በጂአይኤ ላይ የተመሰረተ ሌላ ተግባር. ትንሽ የበለጠ የተወሳሰበ፡-

2. የሂሳብ እድገትን (a n) ከተሰጠው, ልዩነቱ 3.7; ሀ 1 \u003d 2.3. የመጀመሪያዎቹን 15 ውሎች ድምር ያግኙ።

ወዲያውኑ ድምርን ቀመር እንጽፋለን-

ይህ ቀመር የማንኛውንም አባል ዋጋ በቁጥር እንድናገኝ ያስችለናል። ቀላል ምትክ እየፈለግን ነው፡-

ሀ 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

በቀመር ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ንጥረ ነገሮች የሂሳብ እድገት ድምርን ለመተካት እና መልሱን ለማስላት ይቀራል፡-

መልስ፡- 423.

በነገራችን ላይ, በምትኩ ድምር ቀመር ውስጥ ከሆነ አንድ nየ Nth term ፎርሙላውን ብቻ በመተካት የሚከተለውን እናገኛለን፡-

ተመሳሳይ የሆኑትን እንሰጣለን ፣ ለሂሳብ እድገት አባላት ድምር አዲስ ቀመር እናገኛለን

እንደሚመለከቱት, nth term እዚህ አያስፈልግም. አንድ n. በአንዳንድ ተግባራት, ይህ ቀመር በጣም ይረዳል, አዎ ... ይህን ቀመር ማስታወስ ይችላሉ. እና ልክ እንደ እዚህ በትክክለኛው ጊዜ ማውጣት ይችላሉ። ለነገሩ የድምር ቀመር እና የ nth term ፎርሙላ በሁሉም መንገድ መታወስ አለበት።)

አሁን ተግባሩ በአጭር ምስጠራ መልክ፡-

3. የሶስት ብዜቶች የሆኑትን ሁሉንም አዎንታዊ ባለ ሁለት አሃዞች ድምር ያግኙ።

እንዴት! የመጀመሪያ አባል የለም፣ የመጨረሻ የለም፣ እድገት የለም... እንዴት መኖር ይቻላል?

በጭንቅላታችሁ ማሰብ እና ከሁኔታው ሁሉንም የሂሳብ ግስጋሴ ድምር ንጥረ ነገሮችን ማውጣት ይኖርብዎታል። ባለ ሁለት አሃዝ ቁጥሮች ምንድን ናቸው - እናውቃለን። ሁለት ቁጥሮችን ያቀፉ ናቸው.) ምን ባለ ሁለት አሃዝ ቁጥር ይኖረዋል አንደኛ? 10፣ የሚገመተው።) የመጨረሻው ነገርባለ ሁለት አሃዝ ቁጥር? 99 በእርግጥ! ባለ ሶስት አሃዝ ተከትለውት ይሄዳሉ...

ብዙ የሶስት... ሀም... እነዚህ ቁጥሮች በሦስት እኩል የሚካፈሉ ናቸው፣ እዚህ! አስሩ በሶስት አይካፈልም 11 አይከፋፈልም... 12... ይከፋፈላል! ስለዚህ, የሆነ ነገር ብቅ አለ. እንደ ችግሩ ሁኔታ አስቀድመው ተከታታይ መጻፍ ይችላሉ-

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

ይህ ተከታታይ የሂሳብ እድገት ይሆናል? በእርግጠኝነት! እያንዳንዱ ቃል ከቀዳሚው በጥብቅ በሦስት ይለያል። 2 ወይም 4, ወደ ቃሉ ከተጨመሩ, ውጤቱን ይበሉ, ማለትም. አዲስ ቁጥር ከአሁን በኋላ በ 3 አይከፈልም. ወዲያውኑ የሂሳብ ግስጋሴውን ወደ ክምር ልዩነት መወሰን ይችላሉ. መ = 3.ጠቃሚ!)

ስለዚህ ፣ አንዳንድ የእድገት መለኪያዎችን በደህና መፃፍ እንችላለን-

ቁጥሩ ምን ይሆናል nየመጨረሻው አባል? ማንም ሰው 99 ገዳይ ተሳስቷል ብሎ የሚያስብ ሰው ... ቁጥሮች - ሁልጊዜ በተከታታይ ይሄዳሉ, እና አባሎቻችን ከሶስቱ በላይ ዘለሉ. አይዛመዱም።

እዚህ ሁለት መፍትሄዎች አሉ. አንዱ መንገድ ልዕለ ታታሪው ነው። እድገቱን, ሙሉውን ተከታታይ ቁጥሮችን መቀባት እና የቃላቶቹን ቁጥር በጣትዎ መቁጠር ይችላሉ.) ሁለተኛው መንገድ ለአሳቢዎች ነው. ለ Nth ቃል ቀመር ማስታወስ ያስፈልግዎታል. ቀመሩ በችግራችን ላይ ከተተገበረ 99 የሂደቱ ሰላሳ አባል እንደሆነ እናገኛለን። እነዚያ። n = 30

የሒሳብ ዕድገት ድምር ቀመርን እንመለከታለን፡-

እንመለከታለን እና ደስ ይለናል.) መጠኑን ከችግሩ ሁኔታ ለማስላት አስፈላጊውን ሁሉ አውጥተናል.

ሀ 1= 12.

አንድ 30= 99.

ኤስ n = ኤስ 30.

የቀረው ኤሌሜንታሪ አርቲሜቲክ ነው። በቀመሩ ውስጥ ያሉትን ቁጥሮች ይተኩ እና ያሰሉ፡-

መልስ፡- 1665

ሌላ ዓይነት ታዋቂ እንቆቅልሾች፡-

4. የሂሳብ እድገት ተሰጥቷል፡-

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

ከሃያኛው እስከ ሠላሳ አራተኛ ያለውን የቃላት ድምር ያግኙ።

ድምር ቀመሩን እናያለን እና ... ተበሳጨን.) ቀመሩ, ላስታውስዎት, ድምርን ያሰላል ከመጀመሪያውአባል. እና በችግሩ ውስጥ ድምርን ማስላት ያስፈልግዎታል ከሃያኛው...ቀመሩ አይሰራም።

አንተ እርግጥ ነው, አንድ ረድፍ ውስጥ መላውን እድገት ለመቀባት, እና አባላቱን ከ 20 ወደ 34 ማስቀመጥ ይችላሉ. ነገር ግን ... በሆነ መንገድ ደደብ እና ለረጅም ጊዜ ይሆናል, ትክክል?)

ይበልጥ የሚያምር መፍትሄ አለ. ተከታታዮቻችንን በሁለት ከፍለን እንየው። የመጀመሪያው ክፍል ይሆናል ከመጀመሪያው ቃል እስከ አስራ ዘጠነኛው.ሁለተኛ ክፍል፡- ከሃያ እስከ ሠላሳ አራት.የመጀመሪያውን ክፍል ውሎች ድምርን ካሰላን ግልጽ ነው ኤስ 1-19፣ ወደ ሁለተኛው ክፍል አባላት ድምር እንጨምር ኤስ 20-34, ከመጀመሪያው ቃል እስከ ሠላሳ አራተኛ ያለውን የእድገት ድምር እናገኛለን ኤስ 1-34. ልክ እንደዚህ:

ኤስ 1-19 + ኤስ 20-34 = ኤስ 1-34

ይህ የሚያሳየው ድምርን ለማግኘት ነው። ኤስ 20-34በቀላል ቅነሳ ማድረግ ይቻላል

ኤስ 20-34 = ኤስ 1-34 - ኤስ 1-19

በቀኝ በኩል ያሉት ሁለቱም ድምሮች ግምት ውስጥ ይገባል ከመጀመሪያውአባል፣ ማለትም እ.ኤ.አ. መደበኛ ድምር ቀመር ለእነሱ በጣም ተፈጻሚ ነው. እየጀመርን ነው?

ከተግባሩ ሁኔታ የእድገት መለኪያዎችን እናወጣለን-

መ = 1.5.

ሀ 1= -21,5.

የመጀመሪያዎቹን 19 እና የመጀመሪያዎቹ 34 ቃላት ድምርን ለማስላት 19 ኛ እና 34 ኛ ቃላት እንፈልጋለን። እንደ ችግር 2 እንደ nኛው ቃል ቀመር እንቆጥራቸዋለን፡-

አ 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

አ 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

የቀረ ነገር የለም። የ19 ቃላት ድምርን ከ34 ጊዜ ድምር ቀንስ፡-

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

መልስ፡ 262.5

አንድ ጠቃሚ ማስታወሻ! ይህንን ችግር ለመፍታት በጣም ጠቃሚ ባህሪ አለ. በቀጥታ ስሌት ሳይሆን የሚያስፈልግህ (S 20-34)፣ቆጥረን ነበር ምን ፣ የማይፈለግ የሚመስለው - S 1-19እና ከዚያ ወሰኑ ኤስ 20-34, አላስፈላጊውን ከሙሉ ውጤት በማስወገድ. እንዲህ ዓይነቱ "ከጆሮ ጋር ያለው ጌጥ" ብዙውን ጊዜ በክፉ እንቆቅልሾች ውስጥ ያድናል.)

በዚህ ትምህርት፣ የሂሳብ እድገት ድምርን ትርጉም ለመረዳት በቂ የሆነባቸውን ችግሮችን መርምረናል። ደህና፣ ሁለት ቀመሮችን ማወቅ አለብህ።)

ተግባራዊ ምክር፡-

ለአርቲሜቲክ ዕድገት ድምር ማንኛውንም ችግር በሚፈታበት ጊዜ, ከዚህ ርዕስ ውስጥ ሁለቱን ዋና ቀመሮች ወዲያውኑ እንዲጽፉ እመክራለሁ.

የ nኛው ቃል ቀመር፡-

እነዚህ ቀመሮች ወዲያውኑ ምን እንደሚፈልጉ ይነግሩዎታል, ችግሩን ለመፍታት በየትኛው አቅጣጫ እንደሚያስቡ. ይረዳል።

እና አሁን ለገለልተኛ መፍትሄ ስራዎች.

5. ለሶስት የማይከፋፈሉት የሁሉም ባለ ሁለት አሃዝ ቁጥሮች ድምር ያግኙ።

አሪፍ?) ፍንጭው በማስታወሻው ውስጥ ተደብቋል ወደ ችግር 4. ደህና, ችግር 3 ይረዳል.

6. አርቲሜቲክ እድገት በሁኔታው ይሰጣል-a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. የመጀመሪያዎቹን 24 ውሎች ድምር ያግኙ።

ያልተለመደ?) ይህ ተደጋጋሚ ቀመር ነው። በቀደመው ትምህርት ውስጥ ስለ እሱ ማንበብ ይችላሉ. አገናኙን ችላ አትበል, እንደዚህ ያሉ እንቆቅልሾች ብዙ ጊዜ በጂአይኤ ውስጥ ይገኛሉ.

7. ቫስያ ለበዓል የሚሆን ገንዘብ አጠራቅሟል። እስከ 4550 ሩብልስ! እና በጣም የተወደደውን ሰው (ራሴን) ለጥቂት ቀናት ደስታ ለመስጠት ወሰንኩኝ. እራስዎን ምንም ነገር ሳትክዱ በሚያምር ሁኔታ ኑሩ። በመጀመሪያው ቀን 500 ሬብሎችን አውጣ, እና በእያንዳንዱ ቀጣይ ቀን ከቀዳሚው ቀን ይልቅ 50 ሬብሎችን አውጣ! ገንዘቡ እስኪያልቅ ድረስ. ቫሳያ ስንት ቀናት የደስታ ቀን ነበረው?

አስቸጋሪ ነው?) ከተግባር 2 ተጨማሪ ቀመር ይረዳል.

መልሶች (በተዘበራረቀ)፡ 7፣ 3240፣ 6።

ይህን ጣቢያ ከወደዱት...

በነገራችን ላይ ለአንተ ይበልጥ አስደሳች የሆኑ ሁለት ጣቢያዎች አሉኝ።)

ምሳሌዎችን የመፍታት ልምምድ ማድረግ እና ደረጃዎን ማወቅ ይችላሉ. በፈጣን ማረጋገጫ መሞከር። መማር - በፍላጎት!)

ከተግባሮች እና ተዋጽኦዎች ጋር መተዋወቅ ይችላሉ።

IV Yakovlev | በሂሳብ ላይ ያሉ ቁሳቁሶች | MathUs.ru

አርቲሜቲክ እድገት

የሒሳብ እድገት ልዩ ዓይነት ቅደም ተከተል ነው። ስለዚህ፣ የሂሳብ (ከዚያም ጂኦሜትሪክ) ግስጋሴን ከመግለጽዎ በፊት፣ ስለ አንድ የቁጥር ቅደም ተከተል አስፈላጊ ጽንሰ-ሀሳብ በአጭሩ መወያየት አለብን።

ተከታይ

የተወሰኑ ቁጥሮች እርስ በእርሳቸው የሚታዩበት በስክሪኑ ላይ ያለ መሣሪያን በዓይነ ሕሊናህ ይታይህ። 2 እንበል; 7; አስራ ሶስት; አንድ; 6; 0; 3; :: እንዲህ አይነት የቁጥር ስብስብ የቅደም ተከተል ምሳሌ ነው።

ፍቺ የቁጥር ቅደም ተከተል እያንዳንዱ ቁጥር ልዩ የሆነ ቁጥር ሊመደብበት የሚችልበት የቁጥሮች ስብስብ ነው (ይህም ከአንድ የተፈጥሮ ቁጥር ጋር በደብዳቤ ማስቀመጥ) 1. ቁጥር n ያለው ቁጥር በቅደም ተከተል nth አባል ይባላል።

ስለዚህ, ከላይ ባለው ምሳሌ, የመጀመሪያው ቁጥር ቁጥር 2 አለው, እሱም በቅደም ተከተል የመጀመሪያ አባል ነው, እሱም በ a1 ሊገለጽ ይችላል; አምስት ቁጥር ያለው ቁጥር 6 ሲሆን ይህም በቅደም ተከተል አምስተኛው አባል ነው, እሱም a5 ሊያመለክት ይችላል. በአጠቃላይ፣ በቅደም ተከተል ያለው nth አባል በ (ወይም bn፣ cn፣ ወዘተ.) ይገለጻል።

በጣም ምቹ ሁኔታ በቅደም ተከተል ያለው nth አባል በአንዳንድ ቀመር ሊገለጽ በሚችልበት ጊዜ ነው. ለምሳሌ, ቀመር a = 2n 3 ቅደም ተከተሎችን ይገልጻል: 1; አንድ; 3; 5; 7; : : : ቀመር a = (1) n ቅደም ተከተልን ይገልፃል: 1; አንድ; አንድ; አንድ; ::

እያንዳንዱ የቁጥሮች ስብስብ ቅደም ተከተል አይደለም. ስለዚህ, አንድ ክፍል ቅደም ተከተል አይደለም; እንደገና ለመቆጠር ¾በጣም ብዙ ቁጥሮችን ይዟል። የሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ R እንዲሁ ተከታታይ አይደለም። እነዚህ እውነታዎች በሂሳብ ትንተና ሂደት ውስጥ ተረጋግጠዋል.

የሂሳብ እድገት፡ መሰረታዊ ፍቺዎች

አሁን የሂሳብ እድገትን ለመግለጽ ዝግጁ ነን።

ፍቺ የሂሳብ ግስጋሴ እያንዳንዱ ቃል (ከሁለተኛው ጀምሮ) ከቀዳሚው ቃል ድምር እና የተወሰነ የተወሰነ ቁጥር (የሂሳብ ግስጋሴ ልዩነት ተብሎ የሚጠራው) ጋር እኩል የሆነበት ቅደም ተከተል ነው።

ለምሳሌ, ቅደም ተከተል 2; 5; ስምት; አስራ አንድ; : :: የመጀመሪያ ቃል 2 እና ልዩነት ያለው የሂሳብ እድገት ነው 3. ቅደም ተከተል 7; 2; 3; ስምት; :: የመጀመሪያ ቃል 7 እና ልዩነት ያለው የሂሳብ እድገት ነው 5. ቅደም ተከተል 3; 3; 3; :: የዜሮ ልዩነት ያለው የሂሳብ እድገት ነው።

ተመጣጣኝ ፍቺ፡- ተከታታዩ an+1 an ልዩነቱ ቋሚ ከሆነ (በ n ላይ ያልተመሰረተ) ከሆነ የሂሳብ ግስጋሴ ይባላል።

የሒሳብ ግስጋሴው ልዩነቱ አዎንታዊ ከሆነ እየጨመረ፣ ልዩነቱ አሉታዊ ከሆነ ደግሞ እየቀነሰ ነው ይባላል።

1 እና እዚህ የበለጠ አጭር ፍቺ አለ፡- ቅደም ተከተል በተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስብ ላይ የተገለጸ ተግባር ነው። ለምሳሌ የእውነተኛ ቁጥሮች ቅደም ተከተል ተግባር f: N! አር.

በነባሪ፣ ቅደም ተከተሎች ማለቂያ እንደሌላቸው ይቆጠራሉ፣ ማለትም፣ ማለቂያ የሌለው የቁጥሮች ብዛት። ግን ማንም ሰው የመጨረሻ ቅደም ተከተሎችን ግምት ውስጥ ማስገባት አይጨነቅም; በእውነቱ, ማንኛውም የተገደበ የቁጥሮች ስብስብ የመጨረሻ ቅደም ተከተል ተብሎ ሊጠራ ይችላል. ለምሳሌ, የመጨረሻው ቅደም ተከተል 1; 2; 3; 4; 5 አምስት ቁጥሮችን ያካትታል.

የአርቲሜቲክ እድገት የ nth አባል ቀመር

አንድ የሂሳብ እድገት ሙሉ በሙሉ በሁለት ቁጥሮች እንደሚወሰን ለመረዳት ቀላል ነው-የመጀመሪያው ቃል እና ልዩነት. ስለዚህ, ጥያቄው የሚነሳው-የመጀመሪያውን ቃል እና ልዩነቱን በማወቅ, የሂሳብ እድገትን የዘፈቀደ ቃል እንዴት ማግኘት እንደሚቻል?

የተፈለገውን ፎርሙላ ለማግኘት አስቸጋሪ አይደለም ለ nth term of a arthmetic progress. እስቲ አንድ

የሒሳብ እድገት በልዩነት መ. እና አለነ:
an+1 = an +d (n = 1; 2; ::):
በተለይም እኛ እንጽፋለን-
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
እና አሁን የ ፎርሙላ ቀመር የሚከተለው እንደሆነ ግልጽ ይሆናል-
an = a1 + (n 1)d፡

ተግባር 1. በሂሳብ እድገት 2; 5; ስምት; አስራ አንድ; : :: የ nth term ፎርሙላ ፈልግ እና መቶኛውን አስላ።

ውሳኔ. በቀመር (1) መሠረት አለን።

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1፡

a100 = 3 100 1 = 299፡

ንብረት እና የሂሳብ እድገት ምልክት

የሂሳብ እድገት ንብረት. በሂሳብ እድገት ውስጥ ለማንኛውም

በሌላ አነጋገር፣ እያንዳንዱ የሂሳብ ግስጋሴ አባል (ከሁለተኛው ጀምሮ) የአጎራባች አባላት የሂሳብ አማካኝ ነው።

	ማረጋገጫ። እና አለነ:
	a n 1+ a n+1		(አንድ መ) + (አንድ + መ)

የሚፈለገው ነበር.

በአጠቃላይ፣ የሒሳብ ዕድገት እኩልነትን ያሟላል።

a n = a n k+ a n+k

ለማንኛውም n> 2 እና ለማንኛውም የተፈጥሮ k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

ፎርሙላ (2) አስፈላጊ ብቻ ሳይሆን ለአንድ ተከታታይ የሂሳብ ግስጋሴም በቂ ቅድመ ሁኔታ ነው።

የሂሳብ እድገት ምልክት። እኩልነት (2) ለሁሉም n> 2 የሚይዝ ከሆነ፣ ቅደም ተከተል an የሂሳብ እድገት ነው።

ማረጋገጫ። ቀመሩን (2) እንደሚከተለው እንጽፈው፡-

a na n 1= a n+1a n፡

ይህ የሚያሳየው የ a+1 a ልዩነት በ n ላይ የተመሰረተ አይደለም፣ እና ይህ ማለት ቅደም ተከተል ኤ የሂሳብ ግስጋሴ ነው።

የሂሳብ እድገት ንብረት እና ምልክት እንደ አንድ መግለጫ ሊቀረጽ ይችላል; ለመመቻቸት, ይህንን ለሶስት ቁጥሮች እናደርጋለን (ይህ ብዙውን ጊዜ በችግሮች ውስጥ የሚከሰት ሁኔታ ነው).

የሒሳብ እድገት ባህሪ። ሶስት ቁጥሮች a, b, c 2b = a + c ከሆነ እና ብቻ ከሆነ የሂሳብ እድገት ይመሰርታሉ.

ችግር 2. (የሞስኮ ስቴት ዩኒቨርሲቲ, የኢኮኖሚክስ ፋኩልቲ, 2007) ሶስት ቁጥሮች 8x, 3 x2 እና 4 በተጠቀሰው ቅደም ተከተል ውስጥ እየቀነሰ የሂሳብ እድገት ይመሰርታሉ. x ፈልግ እና የዚህን እድገት ልዩነት ጻፍ።

ውሳኔ. በሂሳብ እድገት ንብረት፣ እኛ አለን፦

2 (3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5፡

x = 1 ከሆነ ፣ ከዚያ የ 8 ፣ 2 ፣ 4 እየቀነሰ ግስጋሴ በ 6 ልዩነት ተገኝቷል። ይህ ጉዳይ አይሰራም.

መልስ: x = 1, ልዩነቱ 6 ነው.

የሂሳብ እድገት የመጀመሪያ n ውሎች ድምር

አፈ ታሪኩ አንድ ጊዜ መምህሩ ልጆቹን ከ 1 እስከ 100 ቁጥሮችን እንዲፈልጉ ነገራቸው እና ጋዜጣውን በጸጥታ ለማንበብ ተቀምጠዋል. ይሁን እንጂ በጥቂት ደቂቃዎች ውስጥ አንድ ልጅ ችግሩን እንደፈታሁ ተናገረ። የ9 ዓመቱ ካርል ፍሬድሪች ጋውስ ነበር፣ በኋላም በታሪክ ውስጥ ካሉት ታላላቅ የሂሳብ ሊቃውንት አንዱ።

የትንሿ ጋውስ ሀሳብ ይሄ ነበር። ይሁን

S = 1 + 2 + 3 + ::: + 98 + 99 + 100

ይህንን ድምር በተገላቢጦሽ እንፃፍ፡-

S = 100 + 99 + 98 + ፡ ፡ : + 3 + 2 + 1;

እና እነዚህን ሁለት ቀመሮች ያክሉ።

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +::

በቅንፍ ውስጥ ያለው እያንዳንዱ ቃል 101 እኩል ነው፣ እና በአጠቃላይ 100 እንደዚህ ያሉ ቃላት አሉ።

2S = 101 100 = 10100;

ይህንን ሃሳብ የምንጠቀመው የድምር ቀመርን ለማግኘት ነው።

S = a1 + a2 +:: + an + a n: (3)

የቀመር (3) ጠቃሚ ማሻሻያ የሚገኘው በ nth ቃል an = a1 + (n 1) d ውስጥ ያለውን ቀመር በመተካት ነው፡-