የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሂሳብ መጠበቅ እና መበታተን። የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሂሳብ መጠበቅ
የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ከስርጭት ህጎች በተጨማሪ ሊገለጹ ይችላሉ። የቁጥር ባህሪያት .
የሂሳብ መጠበቅየአንድ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ M (x) አማካኝ እሴቱ ይባላል።
የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሒሳብ ጥበቃ በቀመር ይሰላል
የት – የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶች ፣ ገጽ እኔ -ዕድላቸው.
የሒሳብ ጥበቃ ባህሪያትን አስቡባቸው፡-
1. የቋሚው የሂሳብ መጠበቅ ከቋሚው ጋር እኩል ነው
2. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በተወሰነ ቁጥር k ቢባዛ፣ የሒሳብ ጥበቃው በተመሳሳይ ቁጥር ይባዛል።
M (kx) = ኪሜ (x)
3. የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር ሒሳባዊ ጥበቃ ከሒሳባቸው ከሚጠበቁት ድምር ጋር እኩል ነው።
M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)
4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)
5. ለገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች x 1፣ x 2፣ … x n የምርቱ የሂሳብ ግምት ከሂሳብ ከሚጠበቁት ውጤት ጋር እኩል ነው።
M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)
6. M (x - M (x)) \u003d ኤም (x) - ኤም (ኤም (x)) \u003d መ (x) - መ (x) \u003d 0
በዘፈቀደ ተለዋዋጭ ያለውን የሂሳብ ግምት ከምሳሌ 11 እናሰላ።
መ(x)== 
.
ምሳሌ 12.የዘፈቀደ ተለዋዋጮች x 1፣ x 2 እንደየቅደም ተከተላቸው በስርጭት ህጎች ይሰጡ፡
x 1 ሠንጠረዥ 2
x 2 ሠንጠረዥ 3
M (x 1) እና M (x 2) አስላ
M (x 1) \u003d (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 \u003d 0
M (x 2) \u003d (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 \u003d 0
የሁለቱም የዘፈቀደ ተለዋዋጮች የሂሳብ ግምቶች አንድ ናቸው - ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው። ሆኖም ስርጭታቸው የተለየ ነው። የ x 1 እሴቶች ከሂሳብ ከሚጠበቁት ትንሽ የሚለያዩ ከሆነ የ x 2 እሴቶች ከሂሳብ ከሚጠበቁት መጠን በእጅጉ ይለያያሉ እና የእንደዚህ ዓይነቶቹ ልዩነቶች እድሎች ትንሽ አይደሉም። እነዚህ ምሳሌዎች እንደሚያሳዩት ከእሱ ምን ልዩነቶች ወደላይ እና ወደ ታች እንደሚከሰቱ ከአማካይ እሴቱ ለመወሰን የማይቻል ነው. በመሆኑም በሁለት አጥቢያዎች ተመሳሳይ አማካይ ዓመታዊ የዝናብ መጠን ሲኖር፣ እነዚህ አካባቢዎች ለግብርና ሥራ ምቹ ናቸው ማለት አይቻልም። በተመሳሳይም በአማካኝ የደመወዝ አመልካች ከፍተኛ እና ዝቅተኛ ደመወዝ ያላቸው ሰራተኞችን መጠን መወሰን አይቻልም. ስለዚህ, የቁጥር ባህሪ አስተዋውቋል - መበታተንዲ(x) , የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከአማካይ እሴቱ መዛባት ያለውን ደረጃ የሚለይ፡-
D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)
መበተን የአንድ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በካሬ መዛባት ከሒሳብ ጥበቃው የሒሳብ ጥበቃ ነው። ለተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ፣ ልዩነቱ በቀመር ይሰላል፡-
D(x)= 
= 
(3)
ከልዩነት ትርጉም D (x) 0 ይከተላል።
የመበታተን ባህሪያት;
1. የቋሚው መበታተን ዜሮ ነው
2. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በተወሰነ ቁጥር k ቢባዛ፣ ልዩነቱ በዚህ ቁጥር ካሬ ተባዝቷል።
D (kx) = k 2 ዲ (x)
3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)
4. ለጥንድ አቅጣጫ ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች x 1፣ x 2፣ … x n የድምሩ ልዩነት ከልዩነቶች ድምር ጋር እኩል ነው።
መ (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)
ለነሲብ ተለዋዋጭ ልዩነቱን ከምሳሌ 11 እናሰላው።
የሒሳብ ጥበቃ M (x) = 1. ስለዚህ በቀመር (3) መሠረት አለን።
D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2
ንብረት 3 ን ከተጠቀምን ልዩነቱን ማስላት ቀላል እንደሆነ ልብ ይበሉ፡-
D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).
ይህንን ቀመር በመጠቀም ከምሳሌ 12 የነሲብ ተለዋዋጮች ልዩነቶችን x 1፣ x 2 እናሰላ። የሁለቱም የዘፈቀደ ተለዋዋጮች የሂሳብ ግምቶች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው።
መ (x 1) \u003d 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1
መ (x 2) \u003d (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 \u003d 240 +20 \u003d 260
የተበታተነ እሴቱ ወደ ዜሮ በተጠጋ መጠን ከአማካይ እሴቱ አንጻር የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት አነስተኛ ነው።
እሴቱ ይባላል ስታንዳርድ ደቪአትዖን. የዘፈቀደ ፋሽን x የተለየ ዓይነት ኤም.ዲከከፍተኛው ዕድል ጋር የሚዛመደው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴት ነው።
የዘፈቀደ ፋሽን x ቀጣይነት ያለው ዓይነት ኤም.ዲ፣ የእውነታው ቁጥር እንደ ከፍተኛው የፕሮባቢሊቲ ማከፋፈያ ጥግግት f(x) ይገለጻል።
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ መካከለኛ x ቀጣይነት ያለው ዓይነት Mnቀመርን የሚያረካ ትክክለኛ ቁጥር ነው።
ተግባር 1.የስንዴ ዘሮች የመብቀል እድሉ 0.9 ነው. ከተዘሩት አራት ዘሮች ውስጥ ቢያንስ ሦስቱ ሊበቅሉ የሚችሉበት ዕድል ምን ያህል ነው?
ውሳኔ. ክስተቱ ይሁን ግን- ከ 4 ዘሮች ቢያንስ 3 ዘሮች ይበቅላሉ; ክስተት አት- ከ 4 ዘሮች 3 ዘሮች ይበቅላሉ; ክስተት ጋርከ 4 ዘሮች 4 ዘሮች ይበቅላሉ. እንደ ዕድል የመደመር ቲዎሬም
ሊሆኑ የሚችሉ ነገሮች 
እና 
በሚከተለው ጉዳይ ላይ ጥቅም ላይ የዋለውን በበርኑሊ ቀመር እንወስናለን. ተከታታይ ይሂድ ፒገለልተኛ ሙከራዎች ፣ በእያንዳንዳቸው ውስጥ የአንድ ክስተት የመከሰቱ ዕድል ቋሚ እና እኩል ነው። አር, እና የዚህ ክስተት ያለመከሰቱ እድል እኩል ነው 
. ከዚያ የዝግጅቱ ዕድል ግንውስጥ ፒፈተናዎች በትክክል ይታያሉ 
ጊዜያት፣ በበርኑሊ ቀመር ይሰላል
,
የት 
- የጥምረቶች ብዛት ፒንጥረ ነገሮች በ 
. ከዚያም
የሚፈለግ ዕድል
ተግባር 2.የስንዴ ዘሮች የመብቀል እድሉ 0.9 ነው. ከተዘሩት 400 ዘሮች ውስጥ 350 ዘሮች የመብቀል እድል ይፈልጉ።
ውሳኔ. የሚፈለገውን ዕድል አስሉ 
በበርኑሊ ቀመር መሠረት በስሌቶቹ ውስብስብነት ምክንያት አስቸጋሪ ነው። ስለዚህ፣ የአካባቢውን የላፕላስ ቲዎረም የሚገልጽ ግምታዊ ቀመር እንተገብራለን፡-
,
የት 
እና 
.
ከችግር መግለጫው. ከዚያም
.
ከመተግበሪያዎች ሠንጠረዥ 1 እናገኛለን. የሚፈለገው ዕድል እኩል ነው።
ተግባር 3.ከስንዴ ዘሮች መካከል 0.02% አረም. በዘፈቀደ የ10,000 ዘሮች ምርጫ 6 የአረም ዘሮችን የመግለጥ እድሉ ምን ያህል ነው?
ውሳኔ. በዝቅተኛ ዕድል ምክንያት የአካባቢያዊ የላፕላስ ቲዎሬም አተገባበር 
ከትክክለኛው እሴት ወደ ከፍተኛ ልዩነት ያመራል 
. ስለዚህ, ለአነስተኛ እሴቶች አርለማስላት 
አሲምፕቶቲክ የፖይሰን ቀመር ይተግብሩ
፣ የት።
ይህ ቀመር ጥቅም ላይ የሚውለው መቼ ነው 
, እና ያነሰ አርየበለጠ ፒ, ውጤቱ የበለጠ ትክክለኛ ነው.
በተግባሩ መሰረት 
;
. ከዚያም
ተግባር 4.የስንዴ ዘሮች የመብቀል መቶኛ 90% ነው. ከ 500 ዘሮች ከተዘራ ከ 400 እስከ 440 ዘሮች የመብቀል እድል ይፈልጉ.
ውሳኔ. አንድ ክስተት የመከሰቱ ዕድል ከሆነ ግንበእያንዳንዱ ውስጥ ፒፈተናዎች ቋሚ እና እኩል ናቸው አር, ከዚያም ዕድሉ 
ክስተት መሆኑን ግንበእንደዚህ ዓይነት ፈተናዎች ውስጥ ቢያንስ ቢያንስ ይሆናል 
አንዴ እና ምንም ተጨማሪ 
ጊዜዎች የሚወሰኑት በላፕላስ አጠቃላይ ንድፈ ሐሳብ በሚከተለው ቀመር ነው።
፣ የት
, 
.
ተግባር 
የላፕላስ ተግባር ይባላል። ተጨማሪዎች (ሠንጠረዥ 2) የዚህን ተግባር እሴቶች ይሰጣሉ 
. በ 
ተግባር 
. ለአሉታዊ እሴቶች Xበላፕላስ አሠራር እንግዳነት ምክንያት 
. የላፕላስ ተግባርን በመጠቀም፡-
በተግባሩ መሰረት. ከላይ ያሉትን ቀመሮች በመጠቀም, እናገኛለን 
እና 
:
ተግባር 5.የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት ህግ ተሰጥቷል። X:
አግኝ: 1) የሂሳብ መጠበቅ; 2) መበታተን; 3) መደበኛ መዛባት.
ውሳኔ. 1) የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት ህግ በሠንጠረዥ ከተሰጠ
|
| ||||||
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ x ዋጋዎች በመጀመሪያው መስመር ላይ ከተሰጡ እና የእነዚህ እሴቶች እድሎች በሁለተኛው መስመር ላይ ከተሰጡ ፣ ከዚያ የሂሳብ ጥበቃው በቀመሩ ይሰላል።
2) መበታተን 
discrete የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xተብሎ የሚጠራው የአንድ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከሂሳባዊ ጥበቃው መዛባት የካሬው የሂሳብ መጠበቅ፣ ማለትም
ይህ ዋጋ የካሬው ልዩነት የሚጠበቀውን አማካይ እሴት ያሳያል Xከ 
. ከመጨረሻው ቀመር እኛ አለን
መበታተን 
በሚከተለው ንብረቱ ላይ በመመስረት በሌላ መንገድ ሊገኝ ይችላል-ልዩነት 
በዘፈቀደ ተለዋዋጭ ካሬው የሂሳብ ጥበቃ መካከል ካለው ልዩነት ጋር እኩል ነው። Xእና የሒሳብ ጥበቃው ካሬ 
፣ ማለትም እ.ኤ.አ
ለማስላት 
የሚከተለውን የብዛቱን ስርጭት ህግ አዘጋጅተናል 
:
3) በአማካኝ እሴቱ ዙሪያ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች መበታተንን ለመለየት ፣ መደበኛው መዛባት አስተዋወቀ። 
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X, ከቫሪሪያው ካሬ ሥር ጋር እኩል ነው 
፣ ማለትም እ.ኤ.አ
.
ከዚህ ቀመር እኛ አለን: 
ተግባር 6.ቀጣይነት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xበተዋሃደ የስርጭት ተግባር የተሰጠው
አግኝ: 1) ልዩነት ስርጭት ተግባር 
; 2) የሂሳብ መጠበቅ 
; 3) መበታተን 
.
ውሳኔ. 1) ልዩነት ስርጭት ተግባር 
ቀጣይነት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xየአጠቃላዩ ስርጭት ተግባር ተወላጅ ይባላል 
፣ ማለትም እ.ኤ.አ
.
የሚፈለገው ልዩነት ተግባር የሚከተለው ቅጽ አለው:
2) ቀጣይነት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከሆነ Xበተግባሩ የተሰጠው 
, ከዚያም የሂሳብ ጥበቃው በቀመር ይወሰናል
ከተግባሩ ጀምሮ 
በ 
እና በ 
ከዜሮ ጋር እኩል ነው, ከዚያም ከመጨረሻው ቀመር እኛ አለን
.
3) መበታተን 
በቀመር ይግለጹ
ተግባር 7.የክፍሉ ርዝመት በመደበኛነት የተከፋፈለ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሲሆን በሒሳብ የሚጠበቀው 40 ሚሜ እና መደበኛ የ3 ሚሜ ልዩነት ነው። አግኝ: 1) የዘፈቀደ ክፍል ርዝመት ከ 34 ሚሜ በላይ እና ከ 43 ሚሜ ያነሰ የመሆን እድሉ; 2) የክፍሉ ርዝማኔ ከ 1.5 ሚሊ ሜትር ያልበለጠ የሂሳብ ጥበቃው የመቀየር እድሉ.
ውሳኔ. 1) ፍቀድ X- የክፍሉ ርዝመት. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከሆነ Xበልዩነት ተግባር የተሰጠው 
፣ ከዚያ የመሆኑ እድሉ Xየክፍሉ ንብረት የሆኑትን እሴቶች ይወስዳል 
, በቀመር ይወሰናል
.
ጥብቅ እኩልነትን የማሟላት እድል 
በተመሳሳይ ቀመር ይወሰናል. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከሆነ Xበተለመደው ህግ መሰረት ተከፋፍሏል, ከዚያ
, (1)
የት 
የላፕላስ ተግባር ነው 
.
ተግባር ውስጥ። ከዚያም
2) በችግሩ ሁኔታ, የት 
. ወደ (1) በመተካት አለን።
. (2)
ከቀመር (2) አለን።
የሒሳብ ጥበቃው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ አማካኝ ዋጋ ነው።የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሂሳብ ጥበቃ የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶቹ እና እድላቸው አጠቃላይ ምርቶች ድምር ነው።
ለምሳሌ.
X -4 6 10
ገጽ 0.2 0.3 0.5
መፍትሄው: የሒሳብ ጥበቃው የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የ X እሴቶች እና እድላቸው ድምር ውጤት ጋር እኩል ነው።
ኤም (ኤክስ) \u003d 4 * 0.2 + 6 * 0.3 + 10 * 0.5 \u003d 6.
የሂሳብ ጥበቃን ለማስላት በ Excel ውስጥ (በተለይ ብዙ ውሂብ በሚኖርበት ጊዜ) ስሌቶችን ለማካሄድ ምቹ ነው, ዝግጁ የሆነ አብነት () እንዲጠቀሙ እንመክራለን.
ለገለልተኛ መፍትሄ ምሳሌ (ካልኩሌተር መጠቀም ይችላሉ).
በስርጭት ሕጉ የተሰጠውን የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X ሒሳባዊ ጥበቃ ይፈልጉ፡-
X 0.21 0.54 0.61
ገጽ 0.1 0.5 0.4
የሂሳብ ጥበቃ የሚከተሉትን ባህሪያት አሉት.
ንብረት 1. ቋሚ እሴት ያለው የሂሳብ መጠበቅ ከቋሚው ጋር እኩል ነው: М (С) = С.
ንብረት 2. የማያቋርጥ ምክንያት ከተጠበቀው ምልክት ሊወጣ ይችላል: М (СХ) = СМ (Х).
ንብረት 3. እርስ በርስ የሚደጋገፉ የነሲብ ተለዋዋጮች ምርት የሒሳብ ጥበቃ ከሁኔታዎች የሂሳብ ጥበቃዎች ውጤት M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) * ጋር እኩል ነው። ..*M(Xn)
ንብረት 4. የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር ሒሳባዊ ጥበቃ ከቃላቶቹ የሂሳብ ግምቶች ድምር ጋር እኩል ነው፡ М(Хг + Х2+...+ኤን) = М(Хг)+M(Х2)+…+M (ኤን)
ችግር 189. የሂሳብ የሚጠበቁ X እና Y የሚታወቁ ከሆነ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Z የሂሳብ ጥበቃን ይፈልጉ: Z = X+2Y, M (X) = 5, M (Y) = 3;
መፍትሔው፡ የሒሳብ ጥበቃ ባህሪያትን በመጠቀም (የድምሩ ሒሳባዊ ጥበቃ ከቃላቶቹ ሒሳባዊ የሚጠበቁ ድምር ጋር እኩል ነው፣ ቋሚው ምክንያት ከሒሳብ ጥበቃ ምልክት ሊወጣ ይችላል)፣ M(Z) = እናገኛለን። ኤም(ኤክስ + 2ይ)=ኤም(ኤክስ) +ኤም(2ይ)=ኤም (ኤክስ) + 2ሜ(ዋይ)= 5 + 2*3 = 11።
190. የሒሳብ ጥበቃ ባህሪያትን በመጠቀም, አረጋግጡ: a) M (X - Y) = M (X)-M (Y); ለ) የኤክስኤም (ኤክስ) መዛባት የሒሳብ ጥበቃው ዜሮ ነው።
191. የተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X ሶስት ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶችን ይወስዳል፡ x1= 4 ከፕሮባቢሊቲ p1 = 0.5; x3 = 6 ከፕሮባቢሊቲ P2 = 0.3 እና x3 ከፕሮባቢሊቲ p3 ጋር። ኤም(X)=8 መሆኑን በማወቅ x3 እና p3 ያግኙ።
192. የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች ዝርዝር ተሰጥቷል-x1 \u003d -1 ፣ x2 \u003d 0 ፣ x3 \u003d 1 ፣ የዚህ መጠን እና የካሬው የሂሳብ ተስፋዎች እንዲሁ ይታወቃሉ-M (X) ) \u003d 0.1, M (X ^ 2) \u003d 0, ዘጠኝ. ሊሆኑ ከሚችሉ እሴቶች p1 ፣ p2 ፣ p3 ጋር የሚዛመዱ ፕሮባቢሊቲዎችን ይፈልጉ xi
194. የ 10 ክፍሎች ስብስብ ሶስት መደበኛ ያልሆኑ ክፍሎችን ይይዛል. ሁለት እቃዎች በዘፈቀደ ተመርጠዋል። የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X የሂሳብ መጠበቅን ይፈልጉ - በሁለት በተመረጡት መካከል መደበኛ ያልሆኑ ክፍሎች ብዛት።
196. እንደዚህ ያሉ አምስት ዳይስ የሚጣሉ የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X-ቁጥር የሒሳብ ጥበቃን ይፈልጉ ፣ በእያንዳንዱ ውስጥ አንድ ነጥብ በሁለት ዳይስ ላይ ይታያል ፣ የወረወረው አጠቃላይ ቁጥር ሃያ ከሆነ።
የሁለትዮሽ ስርጭቱ ሒሳባዊ ጥበቃ ከሙከራዎች ብዛት እና በአንድ ሙከራ ውስጥ የመከሰቱ አጋጣሚ ውጤት ጋር እኩል ነው።
የልዩ እና ቀጣይነት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጮች መሰረታዊ አሃዛዊ ባህሪያት፡የሒሳብ ጥበቃ፣ ልዩነት እና መደበኛ መዛባት። የእነሱ ባህሪያት እና ምሳሌዎች.
የስርጭት ህጉ (የስርጭት ተግባር እና የስርጭት ተከታታዮች ወይም ፕሮባቢሊቲ ጥግግት) የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ባህሪን ሙሉ በሙሉ ይገልፃል። ነገር ግን በበርካታ ችግሮች ውስጥ ለተነሳው ጥያቄ መልስ ለመስጠት በጥናት ላይ ያለውን መጠን አንዳንድ የቁጥር ባህሪያትን ማወቅ በቂ ነው (ለምሳሌ ፣ አማካኝ እሴቱ እና ከእሱ ሊመጣ የሚችለው ልዩነት)። የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ዋና ዋና የቁጥር ባህሪያትን አስቡባቸው።
ፍቺ 7.1.የሂሳብ መጠበቅየተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የእሴቶቹ ምርቶች ድምር እና የእነሱ ተዛማጅ እድሎች ድምር ነው።
ኤም(X) = X 1 አር 1 + X 2 አር 2 + … + x p r p(7.1)
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች ብዛት ማለቂያ የሌለው ከሆነ ፣ የተገኘው ተከታታይ ሙሉ በሙሉ ከተጣመረ።
አስተያየት 1.የሒሳብ ጥበቃው አንዳንዴ ይባላል ክብደት ያለው አማካይለብዙ ሙከራዎች የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከተመለከቱት እሴቶች የሂሳብ አማካኝ ጋር በግምት እኩል ስለሆነ።
አስተያየት 2.ከሒሳብ መጠበቅ ፍቺ፣ እሴቱ ከትንሹ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴት ያነሰ እና ከትልቁ የማይበልጥ መሆኑን ይከተላል።
አስተያየት 3.የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሒሳባዊ ጥበቃ ነው። በዘፈቀደ ያልሆነ(ቋሚ. በኋላ ላይ ለተከታታይ የዘፈቀደ ተለዋዋጮችም ተመሳሳይ መሆኑን እንመለከታለን።
ምሳሌ 1. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሂሳብ ጥበቃን ይፈልጉ X- ከ 10 ክፍሎች ከተመረጡት ሶስት መካከል የመደበኛ ክፍሎች ብዛት ፣ 2 ጉድለት ያለበት። የስርጭት ተከታታዮችን እናዘጋጅ X. ከችግሩ ሁኔታ ቀጥሎ ነው Xእሴቶቹን መውሰድ ይችላል 1, 2, 3. ከዚያ
ምሳሌ 2. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሂሳብ ጥበቃን ይግለጹ X- የጦር ቀሚስ መጀመሪያ እስኪታይ ድረስ የሳንቲሞች ብዛት. ይህ መጠን ማለቂያ የሌለው የእሴቶች ብዛት ሊወስድ ይችላል (የእሴቶቹ ስብስብ የተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስብ ነው)። የስርጭቱ ተከታታይ ቅፅ አለው፡-
| X | … | ፒ | … | ||
| አር | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)ፒ | … |
+ (በሚሰላበት ጊዜ፣ ማለቂያ በሌለው መልኩ እየቀነሰ ላለው የጂኦሜትሪክ እድገት ድምር ቀመር ሁለት ጊዜ ጥቅም ላይ ውሏል፡ ከየት )።
የሒሳብ ጥበቃ ባህሪያት.
1) የቋሚ የሂሳብ ግምት ከቋሚው ጋር እኩል ነው፡-
ኤም(ጋር) = ጋር።(7.2)
ማረጋገጫ። ብናስብበት ጋርአንድ እሴት ብቻ የሚወስድ እንደ ተለዋዋጭ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ጋርከፕሮባቢሊቲ ጋር አር= 1, ከዚያም ኤም(ጋር) = ጋር?1 = ጋር.
2) የማያቋርጥ ምክንያት ከተጠበቀው ምልክት ውስጥ ሊወጣ ይችላል-
ኤም(SH) = ሲ.ኤም(X). (7.3)
ማረጋገጫ። የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከሆነ Xበስርጭት ተከታታይ የተሰጠ
ከዚያም ኤም(SH) = Cx 1 አር 1 + Cx 2 አር 2 + … + ሲክስ ፒ አር ፒ = ጋር(X 1 አር 1 + X 2 አር 2 + … + x p r p) = ሲ.ኤም(X).
ፍቺ 7.2.ሁለት የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ይባላሉ ገለልተኛየአንደኛው የስርጭት ህግ ሌላው በወሰደው እሴት ላይ የማይመሰረት ከሆነ። አለበለዚያ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ጥገኛ.
ፍቺ 7.3.እንጥራ ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ምርት Xእና ዋይ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ XYሊሆኑ የሚችሉ እሴቶቹ ከሁሉም ሊሆኑ ከሚችሉ እሴቶች ምርቶች ጋር እኩል ናቸው። Xለሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች ዋይ, እና ከእነሱ ጋር የሚዛመዱ እድሎች ከምክንያቶቹ እድሎች ምርቶች ጋር እኩል ናቸው.
3) የሁለት ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ምርት የሂሳብ ጥበቃ ከሂሳብ ከሚጠበቁት ውጤት ጋር እኩል ነው።
ኤም(XY) = ኤም(X)ኤም(ዋይ). (7.4)
ማረጋገጫ። ስሌቶቹን ለማቃለል, መቼ እራሳችንን ለጉዳዩ እንገድባለን Xእና ዋይሁለት ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶችን ብቻ ይውሰዱ
ስለዚህም እ.ኤ.አ. ኤም(XY) = x 1 y 1 ?ገጽ 1 ሰ 1 + x 2 y 1 ?ገጽ 2 ሰ 1 + x 1 y 2 ?ገጽ 1 ሰ 2 + x 2 y 2 ?ገጽ 2 ሰ 2 = y 1 ሰ 1 (x 1 ገጽ 1 + x 2 ገጽ 2) + + y 2 ሰ 2 (x 1 ገጽ 1 + x 2 ገጽ 2) = (y 1 ሰ 1 + y 2 ሰ 2) (x 1 ገጽ 1 + x 2 ገጽ 2) = ኤም(X)?ኤም(ዋይ).
አስተያየት 1.በተመሳሳይ ፣ አንድ ሰው ይህንን ንብረት ለበለጠ የምክንያቶች እሴቶች ማረጋገጥ ይችላል።
አስተያየት 2.ንብረት 3 ለማንኛውም ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ምርት የሚሰራ ነው፣ይህም በሒሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ የተረጋገጠ ነው።
ፍቺ 7.4.እንግለጽ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር Xእና ዋይ እንደ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X + Yሊሆኑ የሚችሉ እሴቶቹ ከእያንዳንዱ እሴት ድምር ጋር እኩል ናቸው። Xበእያንዳንዱ በተቻለ ዋጋ ዋይ; የእንደዚህ ዓይነቶቹ ድምር እድሎች ከቃላቶቹ እድሎች ምርቶች ጋር እኩል ናቸው (ለጥገኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች - የአንድ ቃል ዕድል ምርቶች በሁለተኛው ሁኔታዊ ዕድል)።
4) የሁለት የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር (ጥገኛ ወይም ገለልተኛ) የሒሳብ ጥበቃ ከቃላቶቹ ሒሳባዊ የሚጠበቁ ድምር ጋር እኩል ነው።
ኤም (X+Y) = ኤም (X) + ኤም (ዋይ). (7.5)
ማረጋገጫ።
በንብረት ማረጋገጫው ውስጥ በተሰጠው የስርጭት ተከታታይ የተሰጡትን የዘፈቀደ ተለዋዋጮች እንደገና አስቡበት 3. ከዚያም ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች X+Yናቸው። X 1 + በ 1 , X 1 + በ 2 , X 2 + በ 1 , X 2 + በ 2. እንደ ቅደም ተከተላቸው ያላቸውን ፕሮባቢሊቲዎች ያመልክቱ አር 11 , አር 12 , አር 21 እና አር 22. እንፈልግ ኤም(X+ዋይ) = (x 1 + y 1)ገጽ 11 + (x 1 + y 2)ገጽ 12 + (x 2 + y 1)ገጽ 21 + (x 2 + y 2)ገጽ 22 =
= x 1 (ገጽ 11 + ገጽ 12) + x 2 (ገጽ 21 + ገጽ 22) + y 1 (ገጽ 11 + ገጽ 21) + y 2 (ገጽ 12 + ገጽ 22).
ይህን እናረጋግጥ አር 11 + አር 22 = አርአንድ . በእርግጥ ፣ ያ ክስተት X+Yእሴቶቹን ይወስዳል X 1 + በ 1 ወይም X 1 + በ 2 እና የማን ሊሆን ይችላል አር 11 + አር 22 ከዝግጅቱ ጋር ይጣጣማል X = X 1 (የእሱ ዕድል ነው። አርአንድ). በተመሳሳይ ሁኔታም ተረጋግጧል ገጽ 21 + ገጽ 22 = አር 2 , ገጽ 11 + ገጽ 21 = ሰ 1 , ገጽ 12 + ገጽ 22 = ሰ 2. ማለት፣
ኤም(X+Y) = x 1 ገጽ 1 + x 2 ገጽ 2 + y 1 ሰ 1 + y 2 ሰ 2 = ኤም (X) + ኤም (ዋይ).
አስተያየት. ንብረት 4 የሚያመለክተው የማንኛውም የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር ከውሎቹ ከሚጠበቀው እሴት ድምር ጋር እኩል ነው።
ለምሳሌ. አምስት ዳይስ በሚጥሉበት ጊዜ የተጠቀለሉትን የነጥቦች ብዛት ድምር የሂሳብ ጥበቃን ያግኙ።
አንዱን ሙት ሲወረውር የወደቁትን የነጥቦች ብዛት የሂሳብ ግምትን እንፈልግ፡-
ኤም(X 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ተመሳሳዩ ቁጥር በማንኛውም ሞት ላይ ከወደቀው የነጥቦች ብዛት የሂሳብ ጥበቃ ጋር እኩል ነው። ስለዚህ በንብረት 4 ኤም(X)=
መበታተን.
ስለ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ባህሪ ሀሳብ እንዲኖረን ፣የሂሳቡን መጠበቅ ብቻ በቂ አይደለም። ሁለት የዘፈቀደ ተለዋዋጮችን ተመልከት፡- Xእና ዋይ, በቅጹ ተከታታይ ስርጭት የተሰጠ
| X | |||
| አር | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| ዋይ | ||
| ገጽ | 0,5 | 0,5 |
እንፈልግ ኤም(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, ኤም(ዋይ) \u003d 0? 0.5 + 100? 0.5 \u003d 50. እንደምታዩት የሁለቱም መጠኖች ሒሳባዊ ተስፋዎች እኩል ናቸው ፣ ግን ለ ኤች.ኤም(X) የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ባህሪን በደንብ ይገልፃል ፣ እሱ በጣም ሊሆን የሚችል እሴቱ ነው (በተጨማሪ ፣ የተቀሩት እሴቶች ከ 50 ትንሽ ይለያያሉ) ፣ ከዚያ እሴቶቹ ዋይጉልህ ያፈነግጡ ኤም(ዋይ). ስለዚህ ፣ ከሂሳብ ጥበቃው ጋር ፣ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶች ምን ያህል ከእሱ እንደሚለያዩ ማወቅ ጥሩ ነው። ይህንን አመላካች ለመለየት መበታተን ጥቅም ላይ ይውላል.
ፍቺ 7.5.መበታተን (መበታተን)የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከሒሳብ ጥበቃው ያፈነገጠ የካሬው የሂሳብ ጥበቃ ተብሎ ይጠራል።
ዲ(X) = ኤም (ኤክስ-ኤም(X))² (7.6)
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ልዩነት ይፈልጉ X(ከተመረጡት መካከል የመደበኛ ክፍሎች ብዛት) በዚህ ትምህርት ምሳሌ 1 ውስጥ. የእያንዳንዱን እሴት ካሬ ልዩነት ከሂሳብ ጥበቃው እሴት እናሰላለን
(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. ስለዚህም እ.ኤ.አ.
አስተያየት 1.በተለዋዋጭነት ፍቺ ውስጥ, ከራሱ አማካኝ ልዩነት አይደለም የሚገመገመው, ግን ካሬው ነው. ይህ የሚደረገው የተለያዩ ምልክቶች ልዩነት እርስ በርስ እንዳይካካስ ነው.
አስተያየት 2.ይህ መጠን አሉታዊ ያልሆኑ እሴቶችን ብቻ እንደሚወስድ ከተበታተነው ፍቺው ይከተላል።
አስተያየት 3.ልዩነቱን ለማስላት የበለጠ ምቹ ቀመር አለ ፣ የእሱ ትክክለኛነት በሚከተለው ንድፈ ሀሳብ ውስጥ የተረጋገጠ ነው ።
ቲዎረም 7.1.ዲ(X) = ኤም(X²) - ኤም²( X). (7.7)
ማረጋገጫ።
ምንን በመጠቀም ኤም(Xቋሚ እሴት ነው ፣ እና የሂሳብ ጥበቃ ባህሪዎች ፣ ቀመሩን (7.6) ወደ ቅጹ እንለውጣለን
ዲ(X) = ኤም(ኤክስ-ኤም(X))² = ኤም(X² - 2 X?M(X) + ኤም²( X)) = ኤም(X²) - 2 ኤም(X)?ኤም(X) + ኤም²( X) =
= ኤም(X²) - 2 ኤም²( X) + ኤም²( X) = ኤም(X²) - ኤም²( X), ይህም መረጋገጥ ነበረበት.
ለምሳሌ. የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ልዩነቶችን እናሰላለን። Xእና ዋይበዚህ ክፍል መጀመሪያ ላይ ተብራርቷል. ኤም(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
ኤም(ዋይ) \u003d (0 2? 0.5 + 100²? 0.5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. ስለዚህ የሁለተኛው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት ከመጀመሪያው መበታተን በብዙ ሺህ እጥፍ ይበልጣል። ስለዚህ ፣ የእነዚህን መጠኖች ስርጭት ህጎችን ሳያውቅ ፣ እንደ መበታተን በሚታወቁ እሴቶች መሠረት ፣ እኛ ልንገልጽ እንችላለን Xከሒሳብ ጥበቃው ትንሽ ያፈነግጣል፣ ለ ዋይይህ መዛባት በጣም ጉልህ ነው።
የተበታተነ ባህሪያት.
1) የማያቋርጥ ስርጭት ጋርከዜሮ ጋር እኩል ነው፡-
ዲ (ሲ) = 0. (7.8)
ማረጋገጫ። ዲ(ሲ) = ኤም((ሲ-ኤም(ሲ))²) = ኤም((ሲ-ሲ)²) = ኤም(0) = 0.
2) ቋሚው ምክንያት ከተበታተነ ምልክት ውስጥ በማንጠፍለቅ ሊወጣ ይችላል-
ዲ(ሲኤክስ) = ሲ² ዲ(X). (7.9)
ማረጋገጫ። ዲ(ሲኤክስ) = ኤም((ሲኤክስ-ኤም(ሲኤክስ))²) = ኤም((CX-CM(X))²) = ኤም(ሲ²( ኤክስ-ኤም(X))²) =
= ሲ² ዲ(X).
3) የሁለት ነጻ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር ልዩነት ከልዩነታቸው ድምር ጋር እኩል ነው።
ዲ(X+Y) = ዲ(X) + ዲ(ዋይ). (7.10)
ማረጋገጫ። ዲ(X+Y) = ኤም(X² + 2 XY + ዋይ²) - ( ኤም(X) + ኤም(ዋይ))² = ኤም(X²) + 2 ኤም(X)ኤም(ዋይ) +
+ ኤም(ዋይ²) - ኤም²( X) - 2ኤም(X)ኤም(ዋይ) - ኤም²( ዋይ) = (ኤም(X²) - ኤም²( X)) + (ኤም(ዋይ²) - ኤም²( ዋይ)) = ዲ(X) + ዲ(ዋይ).
ውጤት 1.የበርካታ እርስ በርስ ነጻ የሆኑ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር ልዩነት ከልዩነታቸው ድምር ጋር እኩል ነው።
ውጤት 2.የቋሚ እና የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ድምር ልዩነት ከዘፈቀደ ተለዋዋጭ ልዩነት ጋር እኩል ነው።
4) የሁለት ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ልዩነት ከልዩነታቸው ድምር ጋር እኩል ነው።
ዲ(X-Y) = ዲ(X) + ዲ(ዋይ). (7.11)
ማረጋገጫ። ዲ(X-Y) = ዲ(X) + ዲ(-ዋይ) = ዲ(X) + (-1)² ዲ(ዋይ) = ዲ(X) + ዲ(X).
ልዩነቱ ከአማካይ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የካሬ ልዩነት አማካኝ እሴት ይሰጣል። ልዩነትን በራሱ ለመገምገም መደበኛ ልዩነት ተብሎ የሚጠራ ዋጋ ነው.
ፍቺ 7.6.ስታንዳርድ ደቪአትዖንσ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xየልዩነቱ ካሬ ሥር ይባላል፡-
ለምሳሌ. በቀድሞው ምሳሌ, መደበኛ ልዩነቶች Xእና ዋይእኩል በቅደም ተከተል
የሒሳብ ጥበቃው ፍቺው ነው።
ምንት መጠበቅ ነው።በሂሳብ ስታቲስቲክስ እና ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ በጣም አስፈላጊ ከሆኑት ጽንሰ-ሀሳቦች አንዱ ፣ የእሴቶችን ስርጭት ወይም ዕድሎችየዘፈቀደ ተለዋዋጭ. ብዙውን ጊዜ እንደ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ መለኪያዎች እንደ አማካኝ ይገለጻል። በቴክኒካዊ ትንተና, የቁጥር ተከታታይ ጥናት, ተከታታይ እና የረጅም ጊዜ ሂደቶችን በማጥናት በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላል. በፋይናንሺያል ገበያዎች ውስጥ ሲገበያዩ የዋጋ አመላካቾችን በመተንበይ አደጋዎችን በመገምገም እና በጨዋታ ስልቶች እና ስልቶች ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል ። የቁማር ቲዎሪ.
አረጋጋጭ እየጠበቀ ነው።- ይህየዘፈቀደ ተለዋዋጭ አማካይ ዋጋ ፣ ስርጭት ዕድሎችየዘፈቀደ ተለዋዋጭ በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ይቆጠራል።
ምንት መጠበቅ ነው።በአጋጣሚ ንድፈ ሐሳብ ውስጥ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ አማካኝ ዋጋ መለካት። የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሂሳብ መጠበቅ xተጠቁሟል ኤም(x).
የሒሳብ ጥበቃ (የሕዝብ አማካይ) ነው።
ምንት መጠበቅ ነው።
ምንት መጠበቅ ነው።በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ፣ ይህ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሊወስዳቸው የሚችላቸው የሁሉም እሴቶች አማካኝ።
ምንት መጠበቅ ነው።የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች ምርቶች ድምር በእነዚህ እሴቶች እድሎች።
የሒሳብ ጥበቃ (የሕዝብ አማካይ) ነው።
ምንት መጠበቅ ነው።ከተወሰነ ውሳኔ አማካኝ ጥቅም, እንዲህ ዓይነቱ ውሳኔ በትልቅ ቁጥሮች ንድፈ ሃሳብ ማዕቀፍ ውስጥ እና ረጅም ርቀት ሊታሰብበት ይችላል.
ምንት መጠበቅ ነው።በቁማር ንድፈ ሃሳብ አንድ ግምታዊ ሰው የሚያገኘው ወይም የሚያጣው የድል መጠን በአማካይ ለእያንዳንዱ ውርርድ። በቁማር ቋንቋ speculatorsይህ አንዳንድ ጊዜ "ጥቅም" ተብሎ ይጠራል ግምታዊ"(ለአስማሚው አወንታዊ ከሆነ) ወይም "የቤት ጠርዝ" (ለግማሹ አሉታዊ ከሆነ).
የሒሳብ ጥበቃ (የሕዝብ አማካይ) ነው።
Wir verwenden ኩኪዎች für die beste Präsentation unserer ድህረ ገጽ። Wenn Sie diese ድር ጣቢያ weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. እሺ
