ፖሊጎኖች ምስላዊ መመሪያ (2019)

በዚህ ትምህርት ውስጥ, አዲስ ርዕስ እንጀምራለን እና ለእኛ አዲስ ጽንሰ-ሐሳብ - "ፖሊጎን". ከፖሊጎኖች ጋር የተያያዙትን መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦችን እንመለከታለን: ጎኖች, ጫፎች, ማዕዘኖች, ሾጣጣ እና የማይዛባ. ከዚያም በጣም አስፈላጊ የሆኑትን እውነታዎች እናረጋግጣለን, ለምሳሌ በፖሊጎን ውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር ላይ ያለው ቲዎሪ, የ polygon ውጫዊ ማዕዘኖች ድምር ላይ. በውጤቱም, የ polygons ልዩ ጉዳዮችን ለማጥናት እንቀርባለን, ይህም ለወደፊቱ ትምህርቶች ግምት ውስጥ ይገባል.

ጭብጥ፡ አራት ማዕዘኖች

ትምህርት: ፖሊጎኖች

በጂኦሜትሪ ሂደት ውስጥ, የጂኦሜትሪክ ቅርጾችን ባህሪያት እናጠናለን እና አስቀድመን በጣም ቀላል የሆኑትን ማለትም ትሪያንግሎች እና ክበቦችን እንመለከታለን. በተመሳሳይ ጊዜ ስለእነዚህ አሃዞች እንደ ቀኝ-አንግል ፣ ኢሶሴልስ እና መደበኛ ትሪያንግሎች ያሉ ልዩ ልዩ ጉዳዮችን ተወያይተናል ። ስለ አጠቃላይ እና ውስብስብ ቅርጾች ለመነጋገር ጊዜው አሁን ነው - ፖሊጎኖች.

ከልዩ ጉዳይ ጋር ፖሊጎኖችእኛ ቀድሞውኑ እናውቃለን - ይህ ሶስት ማዕዘን ነው (ምስል 1 ይመልከቱ)።

ሩዝ. 1. ትሪያንግል

ስሙ ራሱ ቀድሞውኑ አጽንዖት ይሰጣል, ይህ ሦስት ማዕዘኖች ያሉት ምስል ነው. ስለዚህ ፣ በ ባለብዙ ጎንብዙዎቹ ሊኖሩ ይችላሉ, ማለትም. ከሶስት በላይ. ለምሳሌ, ፔንታጎን እንሳል (ምሥል 2 ይመልከቱ), ማለትም. አምስት ማዕዘኖች ያሉት ምስል.

ሩዝ. 2. ፔንታጎን. ኮንቬክስ ፖሊጎን

ፍቺፖሊጎን- በርካታ ነጥቦችን (ከሁለት በላይ) እና በተከታታይ የሚያገናኙትን ተጓዳኝ ክፍሎችን የያዘ ምስል። እነዚህ ነጥቦች ይባላሉ ጫፎችፖሊጎን እና ክፍሎች - ፓርቲዎች. በዚህ ሁኔታ, ሁለት ተጓዳኝ ጎኖች በአንድ ቀጥተኛ መስመር ላይ አይተኛም እና ሁለት ተያያዥ ያልሆኑ ጎኖች አይገናኙም.

ፍቺመደበኛ ፖሊጎንሁሉም ጎኖች እና ማዕዘኖች እኩል የሆኑበት ኮንቬክስ ፖሊጎን ነው።

ማንኛውም ባለብዙ ጎንአውሮፕላኑን በሁለት ክልሎች ይከፍላል: ውስጣዊ እና ውጫዊ. የውስጠኛው ክፍል እንዲሁ ተብሎ ይጠራል ባለብዙ ጎን.

በሌላ አገላለጽ፣ ለምሳሌ፣ ስለ ፔንታጎን ሲናገሩ፣ ሁለቱንም ውስጣዊ ክልል እና ድንበሩን ማለታቸው ነው። እና የውስጠኛው ክፍል በተጨማሪ በፖሊጎን ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ነጥቦች ያጠቃልላል ፣ ማለትም። ነጥቡም የፔንታጎን ነው (ምሥል 2 ይመልከቱ)።

ፖሊጎኖች አንዳንድ ጊዜ n-gons ተብለው ይጠራሉ ይህም አጠቃላይ አንዳንድ ያልታወቁ የማዕዘን ቁጥራቸው (n ቁርጥራጭ) እንዲኖራቸው እየተደረገ ነው።

ፍቺ ፖሊጎን ፔሪሜትርየፖሊጎን ጎኖች ርዝመት ድምር ነው.

አሁን ከ polygons ዓይነቶች ጋር መተዋወቅ አለብን። እነሱ የተከፋፈሉ ናቸው ኮንቬክስእና ግልጽ ያልሆነ. ለምሳሌ, በምስል ላይ የሚታየው ፖሊጎን. 2 convex ነው፣ እና በስእል። 3 ያልተወሳሰበ።

ሩዝ. 3. ኮንቬክስ ያልሆነ ፖሊጎን

ፍቺ 1. ፖሊጎንተብሎ ይጠራል ኮንቬክስ, በየትኛውም ጎኖቹ በኩል ቀጥ ያለ መስመር ሲሳል, ሙሉውን ባለብዙ ጎንበዚህ መስመር በአንድ በኩል ብቻ ይተኛል. ግልጽ ያልሆነየቀሩት ናቸው። ፖሊጎኖች.

በስእል ውስጥ የትኛውንም የፔንታጎን ጎን ሲዘረጋ መገመት ቀላል ነው. 2 ሁሉም በዚህ ቀጥተኛ መስመር በአንድ በኩል ይሆናል, ማለትም. እሱ ኮንቬክስ ነው. ነገር ግን በአራት ማዕዘኑ በኩል ቀጥ ያለ መስመር ሲሳል በምስል. 3 አስቀድመን እንዳየነው በሁለት ክፍሎች እንደሚከፍለው፣ ማለትም. እሱ ግልጽ ያልሆነ ነው.

ነገር ግን የባለብዙ ጎን ውሱንነት ሌላ ፍቺ አለ.

ፍቺ 2. ፖሊጎንተብሎ ይጠራል ኮንቬክስማናቸውንም ሁለቱን የውስጥ ነጥቦቹን ሲመርጡ እና ከክፍል ጋር ሲያገናኙ ሁሉም የክፍሉ ነጥቦች የፖሊጎን ውስጣዊ ነጥቦች ናቸው።

የዚህን ፍቺ አጠቃቀም ማሳያ በምስል ውስጥ ክፍሎችን በመገንባት ምሳሌ ላይ ማየት ይቻላል. 2 እና 3.

ፍቺ ሰያፍፖሊጎን ሁለት ተያያዥ ያልሆኑ ጫፎችን የሚያገናኝ ማንኛውም ክፍል ነው።

የፖሊጎን ባህሪያትን ለመግለጽ ስለ ማዕዘኖቻቸው ሁለት በጣም አስፈላጊ ንድፈ ሐሳቦች አሉ. ኮንቬክስ ፖሊጎን የውስጥ አንግል ድምር ቲዎረምእና ኮንቬክስ ፖሊጎን ውጫዊ አንግል ድምር ቲዎረም. እስቲ እንመልከታቸው።

ቲዎረም. በኮንቬክስ ፖሊጎን ውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር ላይ (n-ጎን)።

የእሱ ማዕዘኖች (ጎኖች) ቁጥር ​​የት አለ?

ማረጋገጫ 1. በስእል ውስጥ እናሳይ. 4 convex n-gon.

ሩዝ. 4. ኮንቬክስ n-ጎን

ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ሰያፎችን ከጫፍ ላይ ይሳሉ። n-gonን ወደ ትሪያንግል ይከፋፍሏቸዋል, ምክንያቱም እያንዳንዱ የፖሊጎን ጎኖች ከጫፉ አጠገብ ካሉት ጎኖች በስተቀር ትሪያንግል ይመሰርታሉ። የእነዚህ ሁሉ ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር ከ n-gon ውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር ጋር እኩል እንደሚሆን ከሥዕሉ ለመረዳት ቀላል ነው። የማንኛውም ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር ስለሆነ የ n-gon የውስጥ ማዕዘኖች ድምር የሚከተለው ነው፡-

ጥ.ኢ.ዲ.

ማረጋገጫ 2. የዚህ ቲዎሬም ሌላ ማረጋገጫም ይቻላል. በስእል ውስጥ ተመሳሳይ n-gon እንሳል. 5 እና ማንኛውንም የውስጥ ነጥቦቹን ከሁሉም ጫፎች ጋር ያገናኙ።

ሩዝ. 5.

የ n-gon ክፍልፍል ወደ n ትሪያንግል አግኝተናል (ስንት ጎኖች፣ ብዙ ትሪያንግሎች)። የሁሉም ማዕዘኖቻቸው ድምር ከፖሊጎን ውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር እና በውስጠኛው ነጥብ ላይ ካለው ማዕዘኖች ድምር ጋር እኩል ነው ፣ እና ይህ አንግል ነው። እና አለነ:

ጥ.ኢ.ዲ.

የተረጋገጠ

በተረጋገጠው ቲዎሪ መሠረት የ n-gon ማዕዘኖች ድምር በጎኖቹ ቁጥር (በ n) ላይ እንደሚመረኮዝ ማየት ይቻላል. ለምሳሌ, በሶስት ማዕዘን ውስጥ, እና የማዕዘኖቹ ድምር ነው. በአራት ማዕዘን, እና የማዕዘን ድምር - ወዘተ.

ቲዎረም. በኮንቬክስ ፖሊጎን ውጫዊ ማዕዘኖች ድምር ላይ (n-ጎን)።

የማዕዘኖቹ ቁጥር (ጎኖቹ) የት አለ ፣ እና ፣ ... ፣ ውጫዊ ማዕዘኖች ናቸው።

ማረጋገጫ። በስእል ውስጥ ኮንቬክስ n-ጎን እንሳል. 6 እና ውስጣዊ እና ውጫዊ ማዕዘኖቹን ያመለክታሉ.

ሩዝ. 6. ኮንቬክስ n-ጎን ምልክት የተደረገባቸው ውጫዊ ማዕዘኖች

ምክንያቱም የውጪው ጥግ ከውስጣዊው ጋር እንደ ተጓዳኝ, ከዚያም እና በተመሳሳይ መልኩ ለሌሎች ውጫዊ ማዕዘኖች. ከዚያም፡-

በለውጦቹ ወቅት፣ በ n-gon ውስጣዊ ማዕዘናት ድምር ላይ ቀደም ሲል የተረጋገጠውን ቲዎሬም ተጠቀምን።

የተረጋገጠ

ከተረጋገጠው ንድፈ ሐሳብ የኮንቬክስ n-ጎን ውጫዊ ማዕዘኖች ድምር አንድ አስገራሚ እውነታ ይከተላል. በእሱ ማዕዘኖች (ጎኖች) ቁጥር ​​ላይ. በነገራችን ላይ ከውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር በተለየ.

መጽሃፍ ቅዱስ

1. አሌክሳንድሮቭ ኤ.ዲ. ወዘተ ጂኦሜትሪ፣ 8ኛ ክፍል። - ኤም.: ትምህርት, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. ጂኦሜትሪ, 8 ኛ ክፍል. - ኤም.: ትምህርት, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. ጂኦሜትሪ, 8 ኛ ክፍል. - ኤም.: ቬንታና-ግራፍ, 2009.

1. Profmeter.com.ua ()
2. Narod.ru ()
3. Xvatit.com()

የቤት ስራ

የእርስዎ ግላዊነት ለእኛ አስፈላጊ ነው። በዚህ ምክንያት፣ የእርስዎን መረጃ እንዴት እንደምንጠቀም እና እንደምናከማች የሚገልጽ የግላዊነት ፖሊሲ አዘጋጅተናል። እባኮትን የግላዊነት መመሪያችንን ያንብቡ እና ማንኛውም አይነት ጥያቄ ካለዎት ያሳውቁን።

የግል መረጃ መሰብሰብ እና መጠቀም

የግል መረጃ አንድን የተወሰነ ሰው ለመለየት ወይም እሱን ለማግኘት የሚያገለግል ውሂብን ያመለክታል።

እኛን በሚያገኙበት በማንኛውም ጊዜ የግል መረጃዎን እንዲያቀርቡ ሊጠየቁ ይችላሉ።

የሚከተሉት ልንሰበስብ የምንችላቸው የግል መረጃ ዓይነቶች እና እንደዚህ ያለውን መረጃ እንዴት መጠቀም እንደምንችል አንዳንድ ምሳሌዎች ናቸው።

የምንሰበስበው ምን ዓይነት የግል መረጃ ነው፡-

• በድረ-ገጹ ላይ ማመልከቻ ሲያስገቡ፣ የእርስዎን ስም፣ ስልክ ቁጥር፣ ኢሜይል አድራሻ፣ ወዘተ ጨምሮ የተለያዩ መረጃዎችን ልንሰበስብ እንችላለን።

የእርስዎን የግል መረጃ እንዴት እንደምንጠቀም፡-

• የምንሰበስበው የግል መረጃ እርስዎን እንድናገኝ እና ስለ ልዩ ቅናሾች፣ ማስተዋወቂያዎች እና ሌሎች ዝግጅቶች እና መጪ ክስተቶች ለእርስዎ ለማሳወቅ ያስችለናል።
• ከጊዜ ወደ ጊዜ፣ አስፈላጊ ማስታወቂያዎችን እና ግንኙነቶችን ለእርስዎ ለመላክ የእርስዎን የግል መረጃ ልንጠቀም እንችላለን።
• የምንሰጣቸውን አገልግሎቶች ለማሻሻል እና አገልግሎቶቻችንን በተመለከቱ ምክሮችን ለመስጠት የግል መረጃን ለውስጣዊ ዓላማዎች ለምሳሌ ኦዲት ማድረግን፣ የመረጃ ትንተናዎችን እና የተለያዩ ጥናቶችን ልንጠቀም እንችላለን።
• የሽልማት ዕጣ፣ ውድድር ወይም ተመሳሳይ ማበረታቻ ካስገቡ፣ ያቀረቡትን መረጃ መሰል ፕሮግራሞችን ለማስተዳደር ልንጠቀምበት እንችላለን።

ለሶስተኛ ወገኖች ይፋ ማድረግ

ከእርስዎ የተቀበለውን መረጃ ለሶስተኛ ወገኖች አንገልጽም.

ልዩ ሁኔታዎች፡-

• አስፈላጊ ሆኖ ሲገኝ - በህግ, በፍትህ ስርዓት, በህግ ሂደቶች እና / ወይም በሩሲያ ፌዴሬሽን ግዛት ውስጥ ባሉ የመንግስት አካላት የህዝብ ጥያቄዎች ወይም ጥያቄዎች ላይ በመመስረት - የግል መረጃዎን ይፋ ማድረግ. እንዲህ ዓይነቱን ይፋ ማድረግ ለደህንነት፣ ለህግ አስከባሪ አካላት ወይም ለሌሎች የህዝብ ጥቅም ዓላማዎች አስፈላጊ ወይም ተገቢ መሆኑን ከወሰንን ስለእርስዎ መረጃ ልንገልጽ እንችላለን።
• መልሶ ማደራጀት፣ ውህደት ወይም ሽያጭ በሚደረግበት ጊዜ የምንሰበስበውን የግል መረጃ ለሚመለከተው የሶስተኛ ወገን ተተኪ ልናስተላልፍ እንችላለን።

የግል መረጃ ጥበቃ

የእርስዎን ግላዊ መረጃ ከመጥፋት፣ ስርቆት እና አላግባብ መጠቀም እንዲሁም ያልተፈቀደ መዳረሻ፣ ይፋ ከማድረግ፣ ከመቀየር እና ከመበላሸት ለመጠበቅ አስተዳደራዊ፣ ቴክኒካል እና አካላዊ ጨምሮ ጥንቃቄዎችን እናደርጋለን።

በኩባንያ ደረጃ የእርስዎን ግላዊነት መጠበቅ

የእርስዎ የግል መረጃ ደህንነቱ የተጠበቀ መሆኑን ለማረጋገጥ፣ የግላዊነት እና የደህንነት ልማዶችን ለሰራተኞቻችን እናስተላልፋለን እና የግላዊነት ልማዶችን በጥብቅ እናስፈጽማለን።

ባለብዙ ጎን ባህሪያት

ፖሊጎን የጂኦሜትሪክ ምስል ነው፣ ብዙውን ጊዜ የራስ-አካላት ሳይኖር እንደ ዝግ ፖሊላይን ይገለጻል (ቀላል ፖሊጎን (ምስል 1 ሀ)) ፣ ግን አንዳንድ ጊዜ የራስ መጋጠሚያዎች ይፈቀዳሉ (ከዚያ ፖሊጎን ቀላል አይደለም)።

የፖሊላይን ጫፎች የ polygon ጫፎች ይባላሉ, እና ክፍሎቹ የፖሊጎን ጎኖች ይባላሉ. የአንድ ፖሊጎን ጫፎች የአንዱ ጎኖቹ ጫፎች ከሆኑ ጎረቤቶች ይባላሉ። ባለ ብዙ ጎን አጎራባች ያልሆኑ ጫፎችን የሚያገናኙ የመስመር ክፍሎች ሰያፍ ይባላሉ።

በተሰየመ ወርድ ላይ ያለው የኮንቬክስ ፖሊጎን አንግል (ወይም ውስጣዊ አንግል) ጎኖቹ በዚህ ወርድ ላይ በመገጣጠም የተሰራው አንግል ሲሆን ማዕዘኑ ከፖሊጎን ጎን ይቆጠራል። በተለይም ፖሊጎን ኮንቬክስ ካልሆነ አንግል ከ 180 ° ሊበልጥ ይችላል.

የኮንቬክስ ፖሊጎን ውጫዊ አንግል በተሰጠው ወርድ ላይ ካለው የፖሊጎን ውስጠኛ ማዕዘን አጠገብ ያለው አንግል ነው። በአጠቃላይ, የውጭው አንግል በ 180 ° እና በውስጣዊው አንግል መካከል ያለው ልዩነት ነው. ከእያንዳንዱ የ -gon ጫፍ ለ> 3 ፣ 3 ዲያግኖች አሉ ፣ ስለሆነም የ -gon አጠቃላይ የዲያግራኖች ብዛት እኩል ነው።

ባለ ሶስት እርከኖች ያሉት ፖሊጎን ትሪያንግል ይባላል, ከአራት - አራት ማዕዘን, ከአምስት - ባለ አምስት ጎን, ወዘተ.

ፖሊጎን ከ ጋር nጫፎች ተጠርተዋል n -ካሬ.

ጠፍጣፋ ፖሊጎን አንድ ፖሊጎን እና በእሱ የታሰረውን የአከባቢውን የመጨረሻ ክፍል ያቀፈ ምስል ነው።

ከሚከተሉት (ተመጣጣኝ) ሁኔታዎች ውስጥ አንዱ ከተሟላ ፖሊጎን ኮንቬክስ ይባላል።

• 1. የአጎራባች ጫፎችን በማገናኘት ከማንኛውም ቀጥተኛ መስመር በአንዱ በኩል ይተኛል. (ማለትም የአንድ ፖሊጎን የጎን ማራዘሚያዎች ሌሎች ጎኖቹን አያቋርጡም);
• 2. የበርካታ ግማሽ አውሮፕላኖች መገናኛ (ማለትም የጋራ ክፍል) ነው;
• 3. የፖሊጎኑ ክፍሎች ላይ ጫፍ ያለው ማንኛውም ክፍል ሙሉ በሙሉ የእሱ ነው።

ኮንቬክስ ፖሊጎን መደበኛ ተብሎ የሚጠራው ሁሉም ጎኖች እኩል ከሆኑ እና ሁሉም ማዕዘኖች እኩል ከሆኑ ለምሳሌ እኩልዮሽ ትሪያንግል፣ ካሬ እና ባለ አምስት ጎን ነው።

ሾጣጣ ፖሊጎን ስለ አንድ ክበብ ተጽፎአል ይባላል ሁሉም ጎኖቹ ከአንዳንድ ክብ ጋር የሚጣመሩ ከሆነ

መደበኛ ፖሊጎን ሁሉም ማዕዘኖች እና ሁሉም ጎኖች እኩል የሆኑበት ፖሊጎን ነው።

ባለብዙ ጎን ባህሪያት:

1 እያንዳንዱ የኮንቬክስ -ጎን ዲያግናል፣>3፣ ወደ ሁለት ኮንቬክስ ፖሊጎኖች ያበላሸዋል።

2 የሁሉም የኮንቬክስ -ጎን ማዕዘኖች ድምር እኩል ነው።

D-in፡ ቲዎሪውን በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ እናረጋግጥ። ለ = 3 ግልጽ ነው. ንድፈ ሃሳቡ እውነት ነው ለ -gon ፣ የት <, እና ለ -ጎን አረጋግጥ.

ፖሊጎን እንስጥ። የዚህን ፖሊጎን ዲያግናል ይሳሉ። በቲዎሬም 3, ፖሊጎን ወደ ትሪያንግል እና ኮንቬክስ -ጎን (ምስል 5) ተበላሽቷል. በኢንደክሽን መላምት. በሌላ በኩል, . እነዚህን እኩልነቶች በመጨመር እና ያንን ግምት ውስጥ ማስገባት (- የውስጥ ጨረር አንግል ) እና (- የውስጥ ጨረር አንግል ), እናገኛለን፡ ስናገኝ፡.

3 ስለማንኛውም መደበኛ ፖሊጎን ክብ መግለጽ ይቻላል, እና በተጨማሪ, አንድ ብቻ.

D-in: አንድ መደበኛ ፖሊጎን እናድርግ, እና እና የማዕዘኖቹ ብስክሌቶች ይሁኑ, እና (ምስል 150). ጀምሮ, ስለዚህ, * 180 °< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке ኦ.ይህን እናረጋግጥ ኦ = ኦ.ኤ 2 = ኦ =… = ኦ.ኤ ፒ . ትሪያንግል ኦ isosceles, ስለዚህ ኦ= ኦ. ለስላሴዎች እኩልነት በሁለተኛው መስፈርት መሰረት, ስለዚህ, ኦ = ኦ. በተመሳሳይ ሁኔታም ተረጋግጧል ኦ = ኦወዘተ. ስለዚህ ነጥቡ ኦከሁሉም የፖሊጎን ጫፎች እኩል የሆነ, ስለዚህ ክብ ከመሃል ጋር ኦራዲየስ ኦበፖሊጎን ዙሪያ የተከበበ ነው።

አሁን አንድ የተከበበ ክበብ ብቻ እንዳለ እናረጋግጥ። የአንድ ፖሊጎን አንዳንድ ሶስት ጫፎችን ተመልከት፣ ለምሳሌ፡- ግን 2 , . አንድ ክበብ ብቻ በእነዚህ ነጥቦች ውስጥ ስለሚያልፍ, ከዚያም ስለ ፖሊጎን … ከአንድ በላይ ክብ መግለጽ አይችሉም።

• 4 በማንኛውም መደበኛ ባለ ብዙ ጎን ክብ መፃፍ እና በተጨማሪ አንድ ብቻ።
• 5 በመደበኛ ፖሊጎን ውስጥ የተቀረጸ ክበብ በመሃከለኛ ነጥቦቻቸው ላይ የፖሊጎኑን ጎኖቹን ይነካል።
• 6 መደበኛ ፖሊጎን የሚገለበጥ የክበብ መሃል በተመሳሳይ ፖሊጎን ውስጥ ከተቀረጸው የክበብ መሃል ጋር ይገጣጠማል።
• 7 ሲሜትሪ፡

ይህን ምስል ወደ ራሱ የሚቀይር እንቅስቃሴ ካለ (ተመሳሳይ ያልሆነ) አንድ አሃዝ ሲምሜትሪክ (ሲሜትሪክ) ይባላል።

• 7.1. አጠቃላይ ትሪያንግል ምንም መጥረቢያ ወይም የሲሜትሪ ማዕከሎች የሉትም, የተመጣጠነ አይደለም. ኢሶሴሌስ (ነገር ግን ተመጣጣኝ ያልሆነ) ትሪያንግል አንድ የሲሜትሪ ዘንግ አለው፡ ከሥሩ ጋር ያለው ቀጥ ያለ ቢሴክተር።
• 7.2. ተመጣጣኝ ትሪያንግል ሶስት የሲሜትሪ መጥረቢያዎች (በጎኖቹ ላይ ቀጥ ያለ ቢሴክተሮች) እና ስለ መሃሉ በ120° የመዞሪያ አንግል ያለው ተዘዋዋሪ ሲሜትሪ አለው።

7.3 ማንኛውም መደበኛ n-ጎን የሲሜትሪ መጥረቢያዎች አሉት፣ ሁሉም በማዕከሉ ውስጥ ያልፋሉ። ስለ መሃሉ የማዞሪያ አንግል ያለው ተዘዋዋሪ ሲሜትሪም አለው።

እንኳን nአንዳንድ የሲሜትሪ መጥረቢያዎች በተቃራኒ ጫፎች በኩል ያልፋሉ ፣ ሌሎች ደግሞ በተቃራኒ ጎኖች መሃል ላይ።

ለአጋጣሚ nእያንዳንዱ ዘንግ በተቃራኒው በኩል ባለው ጫፍ እና መካከለኛ ነጥብ በኩል ያልፋል.

የቋሚ ፖሊጎን መሃል እኩል ቁጥር ያላቸው ጎኖች ያሉት የሲሜትሪ ማእከል ነው። ያልተለመደ የጎን ብዛት ያለው መደበኛ ፖሊጎን ምንም የተመጣጠነ መሃከል የለውም።

8 ተመሳሳይነት፡-

በተመሳሳይ ሁኔታ እና -ጎን ወደ -ጎን ፣ ግማሽ-አውሮፕላን - ወደ ግማሽ-አይሮፕላን ይገባል ፣ ስለሆነም convex n- ጎን convex ይሆናል n- ጎን.

ቲዎረም፡- የኮንቬክስ ፖሊጎኖች ጎኖች እና ማዕዘኖች እና እኩልነቶችን ካሟሉ፡

የመድረክ ኮፊሸን የት አለ

ከዚያ እነዚህ ፖሊጎኖች ተመሳሳይ ናቸው.

• 8.1 የሁለት ተመሳሳይ ፖሊጎኖች ፔሪሜትር ጥምርታ ከተመሳሳይነት ጋር እኩል ነው።
• 8.2. የሁለት ኮንቬክስ ተመሳሳይ ፖሊጎኖች አከባቢዎች ጥምርታ ከተመሳሳይነት Coefficient ካሬ ጋር እኩል ነው።

ባለብዙ ጎን ትሪያንግል ፔሪሜትር ቲዎረም

ትሪያንግል ፣ ካሬ ፣ ሄክሳጎን - እነዚህ አሃዞች ለሁሉም ማለት ይቻላል ይታወቃሉ። ነገር ግን መደበኛ ፖሊጎን ምን እንደሆነ ሁሉም ሰው አያውቅም. ግን ይህ ሁሉም ተመሳሳይ ነው መደበኛ ፖሊጎን እኩል ማዕዘኖች እና ጎኖች ያሉት ይባላል። ብዙ እንደዚህ ያሉ አሃዞች አሉ, ግን ሁሉም ተመሳሳይ ባህሪያት አላቸው, እና ተመሳሳይ ቀመሮች በእነሱ ላይ ይሠራሉ.

የመደበኛ ፖሊጎኖች ባህሪያት

ማንኛውም መደበኛ ፖሊጎን ፣ ካሬ ወይም ስምንት ጎን ፣ በክበብ ውስጥ ሊቀረጽ ይችላል። ይህ መሰረታዊ ንብረት ብዙውን ጊዜ ምስልን በሚገነባበት ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል. በተጨማሪም አንድ ክበብ በፖሊጎን ውስጥ ሊቀረጽ ይችላል. በዚህ ሁኔታ የግንኙነት ነጥቦች ቁጥር ከጎኖቹ ቁጥር ጋር እኩል ይሆናል. በመደበኛ ፖሊጎን ውስጥ የተቀረጸ ክበብ ከእሱ ጋር የጋራ ማእከል እንዲኖረው አስፈላጊ ነው. እነዚህ የጂኦሜትሪክ አሃዞች ለተመሳሳይ ንድፈ ሃሳቦች ተገዢ ናቸው. ማንኛውም የመደበኛ n-ጎን ጎን በዙሪያው ከተከበበው ክበብ ራዲየስ R ጋር የተያያዘ ነው.ስለዚህ በሚከተለው ቀመር ሊሰላ ይችላል: a = 2R ∙ sin180°. በአንተ በኩል ጎኖቹን ብቻ ሳይሆን የፖሊጎን ፔሪሜትርንም ማግኘት ትችላለህ.

የአንድ መደበኛ ፖሊጎን የጎን ብዛት እንዴት እንደሚገኝ

ማንኛቸውም አንዳቸው ከሌላው ጋር እኩል የሆኑ የተወሰኑ ክፍሎችን ያቀፈ ነው, እሱም ሲገናኝ, የተዘጋ መስመር ይመሰርታል. በዚህ ሁኔታ, ሁሉም የተሰራው ቅርጽ ማዕዘኖች ተመሳሳይ ዋጋ አላቸው. ፖሊጎኖች ወደ ቀላል እና ውስብስብ የተከፋፈሉ ናቸው. የመጀመሪያው ቡድን ሶስት ማዕዘን እና ካሬን ያካትታል. ውስብስብ ፖሊጎኖች ብዙ ጎኖች አሏቸው. የኮከብ ቅርጽ ያላቸው ቅርጾችንም ያካትታሉ. ለተወሳሰቡ መደበኛ ፖሊጎኖች, ጎኖቹ በክበብ ውስጥ በመፃፍ ይገኛሉ. ማስረጃ እንስጥ። የዘፈቀደ የጎን ቁጥር ያለው መደበኛ ፖሊጎን ይሳሉ n. በዙሪያው ያለውን ክብ ይግለጹ. ራዲየስ R ይግለጹ. አሁን አንዳንድ n-gon ተሰጥቷል አስቡት. የማዕዘኖቹ ነጥቦች በክበብ ላይ ቢተኛ እና እርስ በእርስ እኩል ከሆኑ ጎኖቹ በቀመርው ሊገኙ ይችላሉ-a = 2R ∙ sina: 2.

የተቀረጸ የቀኝ ትሪያንግል የጎኖች ብዛት መፈለግ

ተመጣጣኝ ትሪያንግል መደበኛ ፖሊጎን ነው። እንደ ካሬ እና n-ጎን ተመሳሳይ ቀመሮች በእሱ ላይ ይተገበራሉ። አንድ ትሪያንግል ተመሳሳይ ርዝመት ያላቸው ጎኖች ካሉት እንደ ትክክለኛ ይቆጠራል. በዚህ ሁኔታ, ማዕዘኖቹ 60⁰ ናቸው. በተሰጠው የጎን ርዝመት ሶስት ማዕዘን ይገንቡ ሀ. መካከለኛውን እና ቁመቱን ማወቅ, የጎኖቹን ዋጋ ማግኘት ይችላሉ. ይህንን ለማድረግ በ \u003d x: cosα ፣ x መካከለኛ ወይም ቁመት በሆነበት ቀመር ውስጥ የመፈለግ ዘዴን እንጠቀማለን። የሶስት ማዕዘኑ ሁሉም ጎኖች እኩል ስለሆኑ a = b = c እናገኛለን. ከዚያም የሚከተለው አባባል እውነት ነው፡ a = b = c = x: cosα. በተመሳሳይም የጎኖቹን ዋጋ በ isosceles triangle ውስጥ ማግኘት ይችላሉ, ግን x የተሰጠው ቁመት ይሆናል. በተመሳሳይ ጊዜ, በምስሉ መሠረት ላይ በጥብቅ መተከል አለበት. ስለዚህ x ቁመቱን በማወቅ የ isosceles triangle ጎን a \u003d b \u003d x: cosα የሚለውን ቀመር በመጠቀም እናገኛለን. የ a ዋጋ ካገኙ በኋላ የመሠረቱን ርዝመት ማስላት ይችላሉ ሐ. የፓይታጎሪያን ቲዎረምን እንጠቀም። የግማሹን መሠረት ሐ፡ 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgαን እንፈልጋለን። ከዚያም c = 2xtanα. እንደዚህ ባለ ቀላል መንገድ የማንኛውንም የተቀረጸ ባለ ብዙ ጎን የጎን ብዛት ማግኘት ይችላሉ።

በክበብ ውስጥ የተቀረጸውን የካሬ ጎኖቹን በማስላት ላይ

እንደ ማንኛውም ሌላ የተቀረጸ መደበኛ ፖሊጎን ፣ ካሬ እኩል ጎኖች እና ማዕዘኖች አሉት። እንደ ትሪያንግል ተመሳሳይ ቀመሮች በእሱ ላይ ይተገበራሉ። የዲያግኖል እሴትን በመጠቀም የአንድን ካሬ ጎኖች ማስላት ይችላሉ. ይህንን ዘዴ በበለጠ ዝርዝር እንመልከት. ዲያግራኑ ማዕዘኑን ለሁለት እንደሚከፍት ይታወቃል። መጀመሪያ ላይ ዋጋው 90 ዲግሪ ነበር. ስለዚህ, ከተከፋፈሉ በኋላ, ሁለት ይመሰረታሉ, በመሠረቱ ላይ ያሉት ማዕዘኖቻቸው ከ 45 ዲግሪ ጋር እኩል ይሆናሉ. በዚህ መሠረት የካሬው እያንዳንዱ ጎን እኩል ይሆናል, ማለትም: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, e የካሬው ዲያግናል ወይም የመሠረቱ መሠረት ነው. ከተከፋፈለ በኋላ የተፈጠረ ትክክለኛው ሶስት ማዕዘን. የካሬውን ጎኖቹን ለማግኘት ይህ ብቸኛው መንገድ አይደለም. ይህን አኃዝ በክበብ ውስጥ እንጽፈው። የዚህን ክበብ ራዲየስ R ማወቅ, የካሬውን ጎን እናገኛለን. እንደሚከተለው እናሰላዋለን a4 = R√2. የመደበኛ ፖሊጎኖች ራዲየስ በቀመር R \u003d a: 2tg (360 o: 2n) ይሰላል, ይህም a የጎን ርዝመት ነው.

የ n-gon ፔሪሜትር እንዴት እንደሚሰላ

የ n-gon ፔሪሜትር የሁሉም ጎኖቹ ድምር ነው። እሱን ለማስላት ቀላል ነው። ይህንን ለማድረግ የሁሉንም ጎኖች እሴቶች ማወቅ ያስፈልግዎታል. ለአንዳንድ የ polygons ዓይነቶች, ልዩ ቀመሮች አሉ. ፔሪሜትር በጣም በፍጥነት እንዲያገኙ ያስችሉዎታል. ማንኛውም መደበኛ ፖሊጎን እኩል ጎኖች እንዳሉት ይታወቃል. ስለዚህ, ዙሪያውን ለማስላት, ቢያንስ አንዱን ማወቅ በቂ ነው. ቀመሩ በምስሉ ጎኖች ብዛት ላይ ይወሰናል. በአጠቃላይ, እንደዚህ ይመስላል: P \u003d an, a የጎን እሴት ነው, እና n የማዕዘን ቁጥር ነው. ለምሳሌ, ከ 3 ሴ.ሜ ጎን ያለው የመደበኛ ኦክታጎን ፔሪሜትር ለማግኘት በ 8 ማባዛት ያስፈልግዎታል P = 3 ∙ 8 = 24 ሴ.ሜ. ከ 5 ሴ.ሜ ጎን ላለው ባለ ስድስት ጎን, እናሰላለን. እንደሚከተለው: P = 5 ∙ 6 = 30 ሴሜ እና ስለዚህ ለእያንዳንዱ ፖሊጎን.

ትይዩ, ካሬ እና ራምቡስ ፔሪሜትር ማግኘት

አንድ መደበኛ ፖሊጎን ምን ያህል ጎኖች እንዳሉት በመወሰን, ፔሪሜትር ይሰላል. ይህ ስራውን በጣም ቀላል ያደርገዋል. በእርግጥ, እንደ ሌሎች አሃዞች, በዚህ ጉዳይ ላይ ሁሉንም ጎኖቹን መፈለግ አስፈላጊ አይደለም, አንድ ብቻ በቂ ነው. በተመሳሳዩ መርህ, አራት ማዕዘን ቅርጾችን ማለትም ካሬ እና ራምቡስ ዙሪያውን እናገኛለን. ምንም እንኳን እነዚህ የተለያዩ አሃዞች ቢሆኑም, ለእነሱ ያለው ቀመር ተመሳሳይ P = 4a ነው, ይህም ጎን ነው. አንድ ምሳሌ እንውሰድ። የ rhombus ወይም ካሬ ጎን 6 ሴ.ሜ ከሆነ ፣ ከዚያ ዙሪያውን እንደሚከተለው እናገኛለን P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 ሴ.ሜ. ትይዩ ተቃራኒ ጎኖች ብቻ አሉት። ስለዚህ, ፔሪሜትር በተለየ ዘዴ በመጠቀም ይገኛል. ስለዚህ, የምስሉን ርዝመት a እና ስፋት ለ ማወቅ አለብን. ከዚያም ቀመር P \u003d (a + c) እንጠቀማለን ∙ 2. ትይዩ, ሁሉም ጎኖች እና ማዕዘኖች በመካከላቸው እኩል ናቸው, rhombus ይባላል.

የአንድ እኩል እና የቀኝ ትሪያንግል ፔሪሜትር ማግኘት

የትክክለኛው ፔሪሜትር በቀመር P \u003d 3a ሊገኝ ይችላል, ይህም a የጎን ርዝመት ነው. የማይታወቅ ከሆነ በሜዲያን በኩል ሊገኝ ይችላል. በቀኝ ሶስት ማዕዘን ውስጥ ሁለት ጎኖች ብቻ እኩል ናቸው. መሰረቱን በፓይታጎሪያን ቲዎሬም በኩል ማግኘት ይቻላል. የሶስቱም ጎኖች ዋጋዎች ከታወቁ በኋላ, ፔሪሜትር እናሰላለን. ፎርሙላውን P\u003d a + b + c በመተግበር ሊገኝ ይችላል, a እና b እኩል ጎኖች ሲሆኑ, እና ሐ መሠረት ነው. በ isosceles triangle a \u003d b \u003d a, ስለዚህ, a + b \u003d 2a, ከዚያም P \u003d 2a + c ያስታውሱ. ለምሳሌ ፣ የ isosceles ትሪያንግል ጎን 4 ሴ.ሜ ነው ፣ መሠረቱን እና ዙሪያውን ይፈልጉ። የ hypotenuse ዋጋን በ Pythagorean theorem ሐ \u003d √a 2 + በ 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5.65 ሴ.ሜ መሠረት እናሰላለን ። አሁን ፔሪሜትር P \u003d \u003d 5 4 + 2 u003d 13.65 ሴሜ.

የመደበኛ ፖሊጎን ማዕዘኖችን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል

አንድ መደበኛ ፖሊጎን በየቀኑ በህይወታችን ውስጥ ይከሰታል, ለምሳሌ, ተራ ካሬ, ትሪያንግል, ስምንት ማዕዘን. ይህንን ምስል እራስዎ ከመገንባት የበለጠ ቀላል ነገር ያለ አይመስልም። ግን ይህ በአንደኛው እይታ ብቻ ነው. ማንኛውንም n-gon ለመገንባት, የእሱን ማዕዘኖች ዋጋ ማወቅ ያስፈልግዎታል. ግን እንዴት ታገኛቸዋለህ? በጥንት ዘመን የነበሩ ሳይንቲስቶች እንኳን መደበኛ ፖሊጎኖች ለመሥራት ሞክረዋል. በክበቦች ውስጥ እንደሚገጥሟቸው ገምተዋል። እና ከዚያም አስፈላጊዎቹ ነጥቦች በላዩ ላይ ምልክት ተደርጎባቸዋል, ቀጥታ መስመሮች ተያይዘዋል. ለቀላል አሃዞች የግንባታ ችግር ተፈትቷል. ቀመሮች እና ቲዎሬሞች ተገኝተዋል. ለምሳሌ, ዩክሊድ በታዋቂው ሥራው "መጀመሪያው" ለ 3-, 4-, 5-, 6- እና 15-gons ችግሮችን በመፍታት ላይ ተሰማርቷል. እነሱን ለመገንባት እና ማዕዘኖችን ለማግኘት መንገዶችን አገኘ። ለ 15-ጎን ይህንን እንዴት ማድረግ እንደሚቻል እንይ. በመጀመሪያ የውስጣዊ ማዕዘኖቹን ድምር ማስላት ያስፈልግዎታል. ቀመሩን S = 180⁰(n-2) መጠቀም ያስፈልጋል። ስለዚህ 15-ጎን ተሰጥቶናል ይህም ማለት n ቁጥሩ 15 ነው. እኛ የምናውቀውን መረጃ በቀመር ውስጥ በመተካት S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰ እናገኛለን. የ15-ጎን የሁሉንም የውስጥ ማዕዘኖች ድምር አግኝተናል። አሁን የእያንዳንዳቸውን ዋጋ ማግኘት አለብን. በጠቅላላው 15 ማዕዘኖች አሉ 2340⁰ 15 = 156 ሒሳቡን እንሰራለን. ይህ ማለት እያንዳንዱ ውስጣዊ ማዕዘን 156⁰ ነው, አሁን ገዢ እና ኮምፓስ በመጠቀም, መደበኛ ባለ 15-ጎን መገንባት ይችላሉ. ግን የበለጠ ውስብስብ ስለ n-gonsስ? ለብዙ መቶ ዘመናት ሳይንቲስቶች ይህንን ችግር ለመፍታት ሲታገሉ ቆይተዋል. በ 18 ኛው ክፍለ ዘመን በካርል ፍሬድሪክ ጋውስ ብቻ ተገኝቷል. 65537-ጎን መገንባት ችሏል. ከዚያን ጊዜ ጀምሮ ችግሩ በይፋ ሙሉ በሙሉ እንደተፈታ ይቆጠራል.

በራዲያን ውስጥ የ n-gons ማዕዘኖች ስሌት

እርግጥ ነው, የ polygons ማዕዘኖችን ለማግኘት ብዙ መንገዶች አሉ. ብዙውን ጊዜ በዲግሪዎች ይሰላሉ. ነገር ግን በራዲያን ውስጥ እነሱን መግለጽም ይችላሉ. እንዴት ማድረግ ይቻላል? እንደሚከተለው መቀጠል አስፈላጊ ነው. በመጀመሪያ ፣ የአንድ መደበኛ ፖሊጎን የጎን ብዛት እናገኛለን ፣ ከዚያ 2 ን እንቀንሳለን ። ስለዚህ ፣ እሴቱን እናገኛለን: n - 2. የተገኘውን ልዩነት በቁጥር n (“pi” \u003d 3.14) ማባዛት። አሁን የተገኘውን ምርት በ n-gon ውስጥ ባሉ ማዕዘኖች ብዛት ለመከፋፈል ብቻ ይቀራል። ተመሳሳዩን የአስራ አምስት ጎን ምሳሌ በመጠቀም እነዚህን ስሌቶች አስቡባቸው. ስለዚህ, n ቁጥሩ 15 ነው. ቀመር S = p (n - 2) : n = 3.14 (15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72 እንጠቀም. በራዲያን ውስጥ አንግልን ለማስላት ይህ ብቸኛው መንገድ አይደለም ። በቀላሉ የማዕዘን መጠንን በዲግሪዎች በቁጥር 57.3 መከፋፈል ይችላሉ. ከሁሉም በላይ, ያ ብዙ ዲግሪዎች ከአንድ ራዲያን ጋር እኩል ናቸው.

የማዕዘን እሴት በዲግሪዎች ስሌት

ከዲግሪዎች እና ራዲያን በተጨማሪ በመደበኛ ፖሊጎን ማዕዘኖች በግሬድ ውስጥ ዋጋ ለማግኘት መሞከር ይችላሉ. ይህ በሚከተለው መንገድ ይከናወናል. ከጠቅላላው የማዕዘን ቁጥር 2 ን ይቀንሱ, የተገኘውን ልዩነት በመደበኛ ፖሊጎን ቁጥር ይከፋፍሉት. የተገኘውን ውጤት በ 200 እናባዛለን. በነገራችን ላይ እንዲህ ዓይነቱ የማዕዘን መለኪያ እንደ ዲግሪዎች በተግባር ጥቅም ላይ አይውልም.

የ n-gons ውጫዊ ማዕዘኖች ስሌት

ለማንኛውም መደበኛ ፖሊጎን, ከውስጣዊው በተጨማሪ, ውጫዊውን አንግል ማስላት ይችላሉ. የእሱ ዋጋ ልክ እንደ ሌሎች አሃዞች በተመሳሳይ መንገድ ይገኛል. ስለዚህ, የመደበኛ ፖሊጎን ውጫዊ ማዕዘን ለማግኘት, የውስጣዊውን ዋጋ ማወቅ ያስፈልግዎታል. በተጨማሪም, የእነዚህ ሁለት ማዕዘኖች ድምር ሁልጊዜ 180 ዲግሪ እንደሆነ እናውቃለን. ስለዚህ, ስሌቶቹን እንደሚከተለው እናደርጋለን-180⁰ የውስጣዊው አንግል ዋጋ ሲቀነስ. ልዩነቱን እናገኛለን። ከእሱ አጠገብ ካለው አንግል ዋጋ ጋር እኩል ይሆናል. ለምሳሌ የአንድ ካሬ ውስጠኛ ማዕዘን 90 ዲግሪ ነው, ስለዚህ ውጫዊው አንግል 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ ይሆናል. እንደምናየው, እሱን ለማግኘት አስቸጋሪ አይደለም. ውጫዊው አንግል ከ +180⁰ ወደ, በቅደም, -180⁰ እሴት ሊወስድ ይችላል.