የ 5 ኛ ዲግሪ ሥር ስሌት. nth root calculator

የኃይል ቀመሮችውስብስብ መግለጫዎችን በመቀነስ እና በማቃለል ሂደት ውስጥ, እኩልታዎችን እና እኩልነትን በመፍታት ላይ ጥቅም ላይ ይውላል.

ቁጥር ሐነው n- የቁጥር ኃይል ሀመቼ፡-

በዲግሪዎች የሚሰሩ ስራዎች.

1. ዲግሪዎችን በተመሳሳይ መሠረት ማባዛት ፣ አመላካቾቻቸው ይጨምራሉ-

ኤምa n = a m + n .

2. ከተመሳሳይ መሠረት ጋር በዲግሪዎች ክፍፍል ውስጥ, አመላካቾች ተቀንሰዋል.

3. የ 2 ወይም ከዚያ በላይ ምክንያቶች የምርት ደረጃ ከእነዚህ ምክንያቶች የዲግሪዎች ምርት ጋር እኩል ነው።

(abc…) n = a n b n c n…

4. የክፍልፋይ ደረጃ ከክፍፍሉ እና ከአከፋፋዩ ዲግሪ ጥምርታ ጋር እኩል ነው።

(a/b) n = a n / b n .

5. ሃይልን ወደ ሃይል ማሳደግ፣ ገላጭዎቹ ተባዝተዋል፡-

(am) n = a m n .

ከላይ ያለው እያንዳንዱ ቀመር ከግራ ወደ ቀኝ እና በተቃራኒው አቅጣጫ ትክክል ነው.

ለምሳሌ. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

ክዋኔዎች ከሥሮች ጋር.

1. የበርካታ ምክንያቶች ምርት ሥር የእነዚህ ምክንያቶች ሥሮች ውጤት ጋር እኩል ነው.

2. የሬሾው ሥር ከተከፋፈለው እና ከሥሮቹ አካፋይ ጥምርታ ጋር እኩል ነው።

3. ሥርን ወደ ሃይል ሲያሳድጉ የስር ቁጥሩን ወደዚህ ሃይል ማሳደግ በቂ ነው፡-

4. በ ውስጥ ሥር ያለውን ደረጃ ከጨመርን nአንድ ጊዜ እና በተመሳሳይ ጊዜ ወደ ላይ ከፍ ያድርጉ nኃይሉ የስር ቁጥር ነው፣ ከዚያ የሥሩ ዋጋ አይለወጥም።

5. የስሩን ደረጃ በ ውስጥ ከቀነስን nሥር በተመሳሳይ ጊዜ nከራዲካል ቁጥሩ ኛ ዲግሪ፣ ከዚያ የስርዎ ዋጋ አይቀየርም

ዲግሪ ከአሉታዊ ገላጭ ጋር።የአንድ የተወሰነ ቁጥር ደረጃ ከአዎንታዊ ያልሆነ (ኢንቲጀር) አርቢ ፍፁም እሴት ጋር እኩል በሆነ ቁጥር የተከፋፈለ ነው፡

ፎርሙላ ኤም: a n = a m - nለ ብቻ ሳይሆን ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል ኤም> n, ግን ደግሞ በ ኤም< n.

ለምሳሌ. ሀ4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

ወደ ቀመር ኤም: a n = a m - nላይ ፍትሃዊ ሆነ m=n, የዜሮ ዲግሪ መኖር ያስፈልግዎታል.

ዲግሪ ከዜሮ ገላጭ ጋር።የማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ቁጥር ከዜሮ ገላጭ ጋር ያለው ኃይል ከአንድ ጋር እኩል ነው።

ለምሳሌ. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

ዲግሪ ከክፍልፋይ አርቢ ጋር።እውነተኛ ቁጥር ለመጨመር ሀበተወሰነ ደረጃ m/n, ሥሩን ማውጣት ያስፈልግዎታል nኛ ዲግሪ የ ኤምየዚህ ቁጥር ኃይል ሀ.

ብዙውን ጊዜ የሂሳብ መግለጫዎችን መለወጥ እና ማቃለል ከሥሮች ወደ ኃይሎች እና በተቃራኒው ሽግግርን ይጠይቃል። ይህ ጽሑፍ ሥሩን ወደ ኃይል እንዴት መለወጥ እንደሚቻል እና በተቃራኒው ይናገራል. ጽንሰ-ሐሳቡ, ተግባራዊ ምሳሌዎች እና በጣም የተለመዱ ስህተቶች ግምት ውስጥ ይገባል.

ክፍልፋይ ገላጭ ካላቸው ኃይሎች ወደ ሥሩ መሸጋገር

ተራ ክፍልፋይ መልክ አርቢ ጋር ቁጥር አለን እንበል - a m n. እንዲህ ዓይነቱን አገላለጽ እንደ ሥር እንዴት መጻፍ እንደሚቻል?

መልሱ ከዲግሪ ፍቺው ይከተላል!

ፍቺ

ወደ ኃይሉ ከፍ ያለ አዎንታዊ ቁጥር m n የ n-th ሥር ነው.

በዚህ ሁኔታ, የሚከተለው ቅድመ ሁኔታ መሟላት አለበት.

ሀ > 0 m ∈ ℤ; n ∈ ℕ

የዜሮ ቁጥር ክፍልፋይ ኃይል በተመሳሳይ ሁኔታ ይገለጻል ፣ ሆኖም ፣ በዚህ ሁኔታ ፣ ቁጥሩ እንደ ኢንቲጀር አይደለም ፣ ግን እንደ ተፈጥሯዊ ቁጥር ነው ፣ ስለሆነም በ 0 መከፋፈል አይከሰትም ።

0 ሜትር n = 0 ሜትር n = 0.

እንደ ፍቺው, ኃይል a m n እንደ ሥር ሊወከል ይችላል m n .

ለምሳሌ፡- 3 2 5 = 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4 .

ሆኖም, ቀደም ሲል እንደተጠቀሰው, ስለ ሁኔታዎቹ መርሳት የለብንም: a > 0; m ∈ ℤ; n ∈ ℕ

ስለዚህ, አገላለጹ - 8 1 3 እንደ - 8 1 3 ሊወከል አይችልም, ከአስተያየቱ ጀምሮ - 8 1 3 በቀላሉ ትርጉም አይሰጥም - የአሉታዊ ቁጥሮች ደረጃ አልተገለጸም በተመሳሳይ ጊዜ, ሥሩ ራሱ - 8 1 3 ትርጉም ይሰጣል።

በመሠረቱ እና ክፍልፋይ አመልካቾች ውስጥ ከዲግሪዎች መግለጫዎች ጋር የሚደረግ ሽግግር በተመሳሳይ መልኩ በዲግሪው መሠረት ላይ ባሉት የመጀመሪያዎቹ አገላለጾች ተቀባይነት ያላቸው እሴቶች (ከዚህ በኋላ ODZ ተብሎ የሚጠራው) በተመሳሳይ መልኩ ይከናወናል።

ለምሳሌ x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 የሚለው አገላለጽ እንደ ካሬ ሥር x 2 + 2 x + 1 - 4 ሊወከል ይችላል። አገላለጽ x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 ለሁሉም x ፣ y ፣ z ከተሰጠው አገላለጽ ODZ።

ሥሮቹን በዲግሪ መተካት ፣ ከሥሩ አገላለጽ ይልቅ ፣ ዲግሪ ያለው አገላለጽ ሲጻፍ እንዲሁ ይቻላል ። ከቀዳሚው አንቀፅ ጋር ያለውን እኩልነት ይቀይሩ እና የሚከተለውን ያግኙ።

እንደገና፣ ሽግግሩ ለአዎንታዊ ቁጥሮች ግልጽ ነው። ለምሳሌ, 7 6 4 = 7 6 4, ወይም 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3 .

ለአሉታዊ ሀ, ሥሮቹ ትርጉም አላቸው. ለምሳሌ - 4 2 6 , - 2 3 . ነገር ግን፣ እነዚህን ሥረ-ሥሮች እንደ ኃይል መወከል አይቻልም - 4 2 6 እና - 2 1 3።

እንደነዚህ ያሉትን አገላለጾች በኃይል መለወጥ እንኳን ይቻላል? አዎ፣ አንዳንድ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን ካደረጉ። እስቲ የትኞቹን እንይ.

የዲግሪዎችን ባህሪያት በመጠቀም የገለፃውን ለውጦችን ማድረግ ይችላሉ - 4 2 6 .

4 2 6 = - 1 2 4 2 6 = 4 2 6 .

ከ 4> 0 ጀምሮ, እኛ መጻፍ እንችላለን:

ያልተለመደ የአሉታዊ ቁጥር ሥር ከሆነ፣ እኛ መጻፍ እንችላለን፡-

A 2 m + 1 = - a 2 m + 1 .

ከዚያ መግለጫው - 2 3 ቅጹን ይወስዳል-

2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .

መግለጫዎቹ የተካተቱበት ሥሮቹ እንዴት በሥሩ ላይ እነዚህን መግለጫዎች በያዙ ዲግሪዎች እንዴት እንደሚተኩ አሁን እንረዳ።

ጥቂት አገላለጽ በፊደል አመልክት። ይሁን እንጂ A m n እንደ A m n ለመወከል አንቸኩል። እዚህ ምን ማለት እንደሆነ እናብራራለን. ለምሳሌ, x - 3 2 3 የሚለው አገላለጽ, ከመጀመሪያው አንቀጽ እኩልነት ላይ በመመስረት, እንደ x - 3 2 3 መወከል ይፈልጋል. እንዲህ ዓይነቱ መተካት የሚቻለው ለ x - 3 ≥ 0 ብቻ ነው, እና ለቀሪው x ከ ODZ ተስማሚ አይደለም, ምክንያቱም ለአሉታዊ ሀ ቀመር m n = a m n ትርጉም አይሰጥም.

ስለዚህም በተጠቀሰው ምሳሌ የ A m n = A m n ቅፅ ለውጥ ODZ ን የሚያጠብ ለውጥ ነው, እና በቀመር A m n = A m n ትክክለኛ አተገባበር ምክንያት ብዙ ጊዜ ስህተቶች ይከሰታሉ.

በትክክል ከ A m n ወደ ዲግሪ A m n ለመንቀሳቀስ ብዙ ነጥቦች መታየት አለባቸው:

• ቁጥሩ m ኢንቲጀር እና ጎዶሎ ከሆነ እና n የተፈጥሮ ቁጥር እና እኩል ከሆነ፣ ፎርሙላ A m n = A m n ለጠቅላላው ODZ ተለዋዋጮች የሚሰራ ነው።
• m ኢንቲጀር እና ጎዶሎ ከሆነ እና n ተፈጥሯዊ እና እንግዳ ከሆነ፣ ኤ m n የሚለው አገላለጽ ሊተካ ይችላል፡-
  - በ A m n ላይ ለሁሉም የተለዋዋጮች እሴቶች A ≥ 0;
  - ላይ - - A m n ለሁሉም የተለዋዋጮች እሴቶች ሀ< 0 ;
• m ኢንቲጀር እና እኩል ከሆነ እና n ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ከሆነ, A m n በ A m n ሊተካ ይችላል.

እነዚህን ሁሉ ደንቦች በሰንጠረዥ ውስጥ እናጠቃልላቸው እና ስለ አጠቃቀማቸው አንዳንድ ምሳሌዎችን እንስጥ.

ወደ x - 3 2 3 አባባል እንመለስ። እዚህ m = 2 ኢንቲጀር እና እኩል ቁጥር ነው, እና n = 3 የተፈጥሮ ቁጥር ነው. ስለዚህ፣ x - 3 2 3 የሚለው አገላለጽ በትክክል እንደሚከተለው ይጻፋል፡-

x - 3 2 3 = x - 3 2 3 .

ከሥሮች እና ኃይሎች ጋር ሌላ ምሳሌ ይኸውና.

ለምሳሌ. ሥርን ወደ ኃይል መለወጥ

x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5 ፣ x > - 5 - - x - 5 - 3 5 ፣ x< - 5

በሰንጠረዡ ውስጥ የተሰጡትን ውጤቶች እናረጋግጥ. ቁጥሩ m ኢንቲጀር እና ጎዶሎ ከሆነ እና n አዎንታዊ ኢንቲጀር እና እንዲያውም ከ ODZ ሁሉም ተለዋዋጮች በ A m n የ A እሴቱ አወንታዊ ወይም አሉታዊ (ለ m> 0) ነው. ለዚህም ነው A m n = A m n .

በሁለተኛው ጉዳይ m ኢንቲጀር ፣ አወንታዊ እና ጎዶሎ ፣ እና n ተፈጥሯዊ እና ያልተለመደ ሲሆን ፣ የ A m n እሴቶች ተለያይተዋል። ከ ODZ ለተለዋዋጮች A አሉታዊ ያልሆነ, A m n = A m n = A m n . ለተለዋዋጮች ሀ ኔጌቲቭ, A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n እናገኛለን.

በተመሳሳይ ሁኔታ, m ኢንቲጀር እና እኩል በሚሆንበት ጊዜ, እና n ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር በሚሆንበት ጊዜ የሚከተለውን ሁኔታ አስቡበት. የ A እሴቱ አወንታዊ ወይም አሉታዊ ካልሆነ, ለእንደዚህ አይነት ተለዋዋጮች ከ ODZ A m n = A m n = A m n. ለአሉታዊ A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n እናገኛለን.

ስለዚህ, በሦስተኛው ሁኔታ, ከ ODZ ለሁሉም ተለዋዋጮች, A m n = A m n መፃፍ እንችላለን.

በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን

የምህንድስና ካልኩሌተር በመስመር ላይ

ነፃ የምህንድስና ካልኩሌተር ለሁሉም ለማቅረብ እንቸኩላለን። በእሱ አማካኝነት ማንኛውም ተማሪ በፍጥነት እና ከሁሉም በላይ ደግሞ በመስመር ላይ የተለያዩ የሂሳብ ስሌቶችን በቀላሉ ማከናወን ይችላል።

ካልኩሌተሩ ከጣቢያው የተወሰደ ነው - ድር 2.0 ሳይንሳዊ ካልኩሌተር

ቀላል እና ለአጠቃቀም ቀላል የሆነ የምህንድስና ካልኩሌተር የማይታወቅ እና ሊታወቅ የሚችል በይነገጽ በጣም ሰፊ ለሆኑ የበይነመረብ ተጠቃሚዎች በእውነት ጠቃሚ ይሆናል። አሁን፣ ካልኩሌተር ሲፈልጉ ድህረ ገፃችንን ይጎብኙ እና ነፃውን የምህንድስና ካልኩሌተር ይጠቀሙ።

የምህንድስና ካልኩሌተር ሁለቱንም ቀላል የሂሳብ ስራዎች እና ይልቁንም ውስብስብ የሂሳብ ስሌቶችን ማከናወን ይችላል።

Web20calc እጅግ በጣም ብዙ ተግባራት ያለው የምህንድስና ካልኩሌተር ነው ፣ ለምሳሌ ሁሉንም የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራት እንዴት ማስላት እንደሚቻል። ካልኩሌተሩ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን፣ ማትሪክስን፣ ሎጋሪዝምን እና ሌላው ቀርቶ ማቀድን ይደግፋል።

ያለምንም ጥርጥር፣ Web20calc ቀላል መፍትሄዎችን በመፈለግ በፍለጋ ሞተሮች ውስጥ ጥያቄን ለሚተይቡ የሰዎች ቡድን ፍላጎት ይኖረዋል፡የመስመር ላይ የሂሳብ ስሌት። የነጻው ዌብ አፕሊኬሽን የማንኛውንም የሂሳብ አገላለጽ ውጤት በቅጽበት ለማስላት ይረዳሃል፡ ለምሳሌ፡ መቀነስ፡ መደመር፡ መከፋፈል፡ ሥሩን ማውጣት፡ ወደ ሃይል ማሳደግ ወዘተ።

በገለፃው ውስጥ የአብነት, የመደመር, የመቀነስ, የማባዛት, የማካፈል, መቶኛ, የ PI ቋሚ ስራዎችን መጠቀም ይችላሉ. ቅንጅቶች ለተወሳሰቡ ስሌቶች ጥቅም ላይ መዋል አለባቸው.

የምህንድስና ካልኩሌተር ባህሪዎች

1. መሰረታዊ የሂሳብ ስራዎች;
2. በመደበኛ ቅፅ ከቁጥሮች ጋር መሥራት;
3. የትሪግኖሜትሪክ ስሮች, ተግባራት, ሎጋሪዝም, ገላጭነት ስሌት;
4. ስታቲስቲካዊ ስሌቶች: መደመር, የሂሳብ አማካኝ ወይም መደበኛ ልዩነት;
5. የማህደረ ትውስታ ሕዋስ እና የ 2 ተለዋዋጮች የተጠቃሚ ተግባራት አተገባበር;
6. በራዲያን እና በዲግሪ መለኪያዎች ውስጥ ከማእዘኖች ጋር መስራት.

የምህንድስና ካልኩሌተር የተለያዩ የሂሳብ ተግባራትን መጠቀም ያስችላል፡-

ሥሮቹን ማውጣት (ካሬ ሥር, ኩብ ሥር, እንዲሁም የ n-th ዲግሪ ሥር);
ምሳሌ (ሠ እስከ x ኃይል), ገላጭ;
ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት: ሳይን - ኃጢአት, ኮሳይን - ኮስ, ታንጀንት - ታን;
የተገላቢጦሽ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት-arcsine - sin-1,arccosine - cos-1, arctangent - tan-1;
ሃይፐርቦሊክ ተግባራት: ሳይን - ሲንህ, ኮሳይን - ኮሽ, ታንጀንት - ታንክ;
ሎጋሪዝም፡ ቤዝ ሁለት ሁለትዮሽ ሎጋሪዝም ሎጋሪዝም ሎግ2x ነው፣ ቤዝ አስር መሰረት አስር ሎጋሪዝም ሎግ ነው፣ የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ln ነው።

ይህ የምህንድስና ካልኩሌተር ለተለያዩ የመለኪያ ሥርዓቶች - የኮምፒተር ክፍሎች ፣ ርቀት ፣ ክብደት ፣ ጊዜ ፣ ​​ወዘተ. በዚህ ተግባር ማይሎችን ወደ ኪሎሜትሮች፣ ፓውንድ ወደ ኪሎ ግራም፣ ሰከንድ ወደ ሰአታት፣ ወዘተ በፍጥነት መቀየር ይችላሉ።

የሂሳብ ስሌቶችን ለመስራት በመጀመሪያ በተገቢው መስክ ውስጥ የሂሳብ አገላለጾችን በቅደም ተከተል ያስገቡ እና ከዚያ በእኩል ምልክት ላይ ጠቅ ያድርጉ እና ውጤቱን ይመልከቱ። ከቁልፍ ሰሌዳው በቀጥታ እሴቶችን ማስገባት ይችላሉ (ለዚህ, የሂሳብ ማሽን አካባቢ ንቁ መሆን አለበት, ስለዚህ ጠቋሚውን በግቤት መስኩ ውስጥ ማስገባት ጠቃሚ ይሆናል). ከሌሎች ነገሮች በተጨማሪ, በራሱ የሂሳብ ማሽን አዝራሮችን በመጠቀም መረጃን ማስገባት ይቻላል.

በግቤት መስኩ ውስጥ ግራፎችን ለመስራት በምሳሌው መስክ ላይ እንደተገለጸው ተግባሩን ይፃፉ ወይም ለዚሁ ተብሎ የተነደፈውን የመሳሪያ አሞሌ ይጠቀሙ (ወደ እሱ ለመሄድ በግራፍ መልክ ባለው አዶ ላይ ያለውን ቁልፍ ጠቅ ያድርጉ)። እሴቶችን ለመለወጥ ዩኒት ን ይጫኑ, ከማትሪክስ ጋር ለመስራት - ማትሪክስ.

በተሳካ ሁኔታ ሥሩን የማውጣትን አሠራር በተግባር ለመጠቀም, ከዚህ አሠራር ባህሪያት ጋር መተዋወቅ አለብዎት.
ሁሉም ንብረቶች የተቀመሩ እና የተረጋገጡት በስር ምልክቶች ስር ለተካተቱት ተለዋዋጮች አሉታዊ ያልሆኑ እሴቶች ብቻ ነው።

ቲዎሪ 1. የሁለት አሉታዊ ያልሆኑ ቺፕሴትስ ምርት nth ስር (n=2፣ 3፣ 4፣...) የእነዚህ ቁጥሮች nth ሥሮች ምርት ጋር እኩል ነው።

አስተያየት፡-

1. ጽንፈኛው አገላለጽ ከሁለት በላይ አሉታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ውጤት በሚሆንበት ጊዜ ቲዎረም 1 ለጉዳዩ የሚቆይ ይሆናል።

ቲዎሪ 2.ከሆነ, እና n የተፈጥሮ ቁጥር ከ 1 ይበልጣል, ከዚያም እኩልነት

አጭር(ትክክል ባይሆንም) በተግባር ለመጠቀም የበለጠ ምቹ የሆነ አጻጻፍ: የክፋዩ ሥር ከሥሩ ክፍልፋይ ጋር እኩል ነው.

ቲዎረም 1 ኤም ለማባዛት ያስችለናል ተመሳሳይ ዲግሪ ያላቸው ሥሮች ብቻ ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ተመሳሳይ ገላጭ ያላቸው ሥሮች ብቻ.

ቲዎረም 3. ከሆነ ,k የተፈጥሮ ቁጥር ነው እና n የተፈጥሮ ቁጥር ከ 1 ይበልጣል, ከዚያም እኩልነት ነው

በሌላ አነጋገር ሥሩን ወደ ተፈጥሯዊ ኃይል ለማንሳት ሥሩን ወደዚህ ኃይል ማሳደግ በቂ ነው.
ይህ የቲዎሬም ውጤት ነው 1. በእርግጥ, ለምሳሌ, ለ k = 3 እናገኛለን

ቲዮረም 4. ከሆነ ,k, n የተፈጥሮ ቁጥሮች ከ 1 በላይ ናቸው, ከዚያም እኩልነት

በሌላ አገላለጽ ሥሩን ከሥሩ ለማውጣት ሥሮቹን ገላጭ ማባዛት በቂ ነው.
ለምሳሌ,

ተጥንቀቅ!አራት ኦፕሬሽኖች በሥሮች ላይ ሊደረጉ እንደሚችሉ ተምረናል፡- ማባዛት፣ ማካፈል፣ ገላጭነት እና ሥሩን (ከሥሩ) ማውጣት። ግን ስለ ሥሩ መጨመር እና መቀነስስ? በጭራሽ.
ለምሳሌ ፣ በእውነቱ ምትክ መጻፍ አይችሉም ፣ ግን ይህ ግልፅ ነው።

ቲዎረም 5. ከሆነ የስር እና የስር አገላለጽ አመላካቾችን ማባዛት ወይም መከፋፈል በተመሳሳይ የተፈጥሮ ቁጥር, ከዚያም የስርወቱ ዋጋ አይለወጥም, ማለትም.

የችግር አፈታት ምሳሌዎች

ምሳሌ 1አስላ

ውሳኔ.የሥሮቹን የመጀመሪያ ንብረት (ቲዎረም 1) በመጠቀም የሚከተሉትን እናገኛለን

ምሳሌ 2አስላ
ውሳኔ.የተደባለቀውን ቁጥር ወደ ተገቢ ያልሆነ ክፍልፋይ ይለውጡ።
ሁለተኛውን የሥሮቹን ንብረት እንጠቀማለን ( ቲዎሪ 2 ), እናገኛለን:

ምሳሌ 3አስላ፡

ውሳኔ.በአልጀብራ ውስጥ ያለ ማንኛውም ቀመር እርስዎ እንደሚያውቁት "ከግራ ወደ ቀኝ" ብቻ ሳይሆን "ከቀኝ ወደ ግራ" ጭምር ጥቅም ላይ ይውላል. ስለዚህ, የስርወቹ የመጀመሪያ ንብረት ማለት እንደ ሊወክል እና በተቃራኒው በገለፃው ሊተካ ይችላል. ለሁለተኛው የዝርያዎች ንብረትም ተመሳሳይ ነው. ይህን በአእምሯችን ይዘን፣ ስሌቶቹን እናድርግ።

ለመበተን ጊዜው አሁን ነው። ሥር ማውጣት ዘዴዎች. እነሱ በሥሮቹ ባህሪያት ላይ የተመሰረቱ ናቸው, በተለይም በእኩልነት ላይ, ለማንኛውም አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር እውነት ነው.

ከዚህ በታች በተራው ደግሞ ሥሮችን የማውጣት ዋና ዘዴዎችን እንመለከታለን.

በጣም ቀላል በሆነው ጉዳይ እንጀምር - ከተፈጥሯዊ ቁጥሮች ሥሮቹን ማውጣት የካሬዎች ሰንጠረዥ, የኩባዎች ጠረጴዛ, ወዘተ.

የካሬዎች, ኪዩቦች, ወዘተ ጠረጴዛዎች ካሉ. በእጅ ላይ አይደለም, ሥሩን የማውጣት ዘዴን መጠቀም ምክንያታዊ ነው, ይህም የስር ቁጥሩን ወደ ቀላል ምክንያቶች መበስበስን ያካትታል.

በተናጥል ፣ በላዩ ላይ መቀመጥ ተገቢ ነው ፣ ይህም ያልተለመዱ ገላጭ ለሆኑ ሥሮች የሚቻል ነው።

በመጨረሻም የሥሩ ዋጋ ያላቸውን አሃዞች በቅደም ተከተል ለማግኘት የሚያስችል ዘዴን አስቡበት.

እንጀምር.

የካሬዎች ጠረጴዛ, የኩባዎች ጠረጴዛ, ወዘተ በመጠቀም.

በጣም ቀላል በሆኑ ጉዳዮች ላይ, የካሬዎች, የኩብ, ወዘተ ጠረጴዛዎች ሥሮቹን ለማውጣት ይፈቅዳሉ. እነዚህ ጠረጴዛዎች ምንድን ናቸው?

የኢንቲጀር ካሬዎች ሰንጠረዥ ከ 0 እስከ 99 አካታች (ከታች የሚታየው) ሁለት ዞኖችን ያቀፈ ነው። የሠንጠረዡ የመጀመሪያ ዞን በግራጫ ጀርባ ላይ ይገኛል, የተወሰነ ረድፍ እና የተወሰነ አምድ በመምረጥ ከ 0 ወደ 99 ቁጥር እንዲሰሩ ያስችልዎታል. ለምሳሌ, የ 8 አስር ረድፎችን እና የ 3 ክፍሎች አምድ እንመርጥ, በዚህ ቁጥር 83 አስተካክለናል. ሁለተኛው ዞን የቀረውን ጠረጴዛ ይይዛል. እያንዳንዱ ሴሎቹ በአንድ ረድፍ እና በአንድ አምድ መገናኛ ላይ ይገኛሉ, እና ከ 0 እስከ 99 ያለውን ተዛማጅ ቁጥር ካሬ ይይዛል. በመረጥነው ረድፍ 8 አስር እና የአንዱ አምድ 3 መገናኛ ላይ ቁጥሩ 6889 ያለው ሕዋስ አለ ይህም የ83 ቁጥር ካሬ ነው።

የኩብ ሰንጠረዦች, ከ 0 እስከ 99 ያሉት የቁጥር አራተኛ ኃይል ሠንጠረዦች እና ከካሬዎች ሰንጠረዥ ጋር ተመሳሳይ ናቸው, በሁለተኛው ዞን ውስጥ ኪዩቦች, አራተኛ ኃይሎች, ወዘተ ብቻ ይይዛሉ. ተጓዳኝ ቁጥሮች.

የካሬዎች ጠረጴዛዎች, ኪዩቦች, አራተኛ ኃይሎች, ወዘተ. ካሬ ሥሮችን ፣ የኩብ ሥሮችን ፣ አራተኛውን ሥሮች ፣ ወዘተ እንዲያወጡ ይፈቅድልዎታል ። በእነዚህ ሠንጠረዦች ውስጥ ካሉት ቁጥሮች በቅደም ተከተል. ሥሮቹን በማውጣት የእነርሱን አተገባበር መርህ እናብራራ.

የ nth ዲግሪውን ሥር ከቁጥር ሀ ማውጣት አለብን እንበል ሀ ቁጥር ግን በ nth ዲግሪ ሠንጠረዥ ውስጥ ይገኛል። በዚህ ሰንጠረዥ መሰረት, ቁጥር b እንደ a=b n እናገኛለን. ከዚያም ስለዚህ, ቁጥሩ b የሚፈለገው የ nth ዲግሪ ሥር ይሆናል.

ለምሳሌ የ 19683 የኩብ ሥር እንዴት የኩብ ጠረጴዛን በመጠቀም እንደሚወጣ እናሳይ። ቁጥር 19 683 በኩብስ ሰንጠረዥ ውስጥ እናገኛለን, ከእሱ ይህ ቁጥር የቁጥር 27 ኩብ ነው, ስለዚህም .

ሥር በሚወጣበት ጊዜ የ n-th ዲግሪዎች ጠረጴዛዎች በጣም ምቹ እንደሆኑ ግልጽ ነው. ሆኖም ግን, ብዙውን ጊዜ በእጃቸው ላይ አይደሉም, እና የእነሱ ስብስብ የተወሰነ ጊዜ ይጠይቃል. ከዚህም በላይ ብዙውን ጊዜ በተመጣጣኝ ሠንጠረዦች ውስጥ ከሌሉ ቁጥሮች ሥሮቹን ማውጣት አስፈላጊ ነው. በእነዚህ አጋጣሚዎች አንድ ሰው ሥሮቹን ለማውጣት ሌሎች ዘዴዎችን መጠቀም ይኖርበታል.

የስር ቁጥርን ወደ ዋና ምክንያቶች መበስበስ

ሥሩን ከተፈጥሮ ቁጥር ለማውጣት በጣም አመቺው መንገድ (በእርግጥ ሥሩ ከተቀዳ) የስር ቁጥሩን ወደ ዋና ምክንያቶች መበስበስ ነው። የእሱ ዋናው ነገር እንደሚከተለው ነው።: ከተፈለገው አመልካች ጋር እንደ ዲግሪ ለመወከል በጣም ቀላል ከሆነ በኋላ, ይህም የስር ዋጋን እንዲያገኙ ያስችልዎታል. ይህን ነጥብ እንግለጽ።

የ Nth ዲግሪ ሥር ከተፈጥሮ ቁጥር ሀ ይውጣ, እና ዋጋው ከ ለ ጋር እኩል ነው. በዚህ ሁኔታ፣ እኩልነት a=b n እውነት ነው። ቁጥር ለ እንደ ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር የሁሉም ዋና ዋና ምክንያቶች ውጤት ነው p 1, p 2, ..., pm በቅጹ p 1 p 2 pm እና በዚህ ጉዳይ ላይ የስር ቁጥር a እንደ (ገጽ 1) ይወከላል (ገጽ 1). ገጽ 2 ... ፒ ሜትር) n. የቁጥሩ መበስበስ ወደ ዋና ምክንያቶች ልዩ ስለሆነ የስር ቁጥር a ወደ ዋና ምክንያቶች (p 1 ·p 2 ·…·p m) ይመስላል ፣ ይህም የሥሩ ዋጋን እንደሚከተለው ለማስላት ያስችላል ። .

የስር ቁጥር ሀ ፋክተራይዜሽን በቅጹ ሊወከል የማይችል ከሆነ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , ከዚያም የ nth ዲግሪው ሥር ከእንደዚህ ዓይነት ሀ ሙሉ በሙሉ አልተወጣም.

ምሳሌዎችን በምንፈታበት ጊዜ ይህንን እንይ።

ለምሳሌ.

የ 144 ስኩዌር ሥር ይውሰዱ.

ውሳኔ.

በቀደመው አንቀፅ ላይ ወደተገለጸው የካሬዎች ሰንጠረዥ ብንዞር 144=12 2 በግልፅ ይታያል ከዚም የ144 ካሬ ስር 12 መሆኑ ግልፅ ነው።

ነገር ግን ከዚህ ነጥብ አንጻር የሥሩ ቁጥር 144ን ወደ ዋና ምክንያቶች በመበስበስ ሥሩ እንዴት እንደሚወጣ ለማወቅ እንፈልጋለን። እስቲ ይህንን መፍትሔ እንመልከት።

እንበሰብስ ከ 144 እስከ ዋና ምክንያቶች

ማለትም፡ 144=2 2 2 2 3 3 . በተፈጠረው መበስበስ ላይ በመመስረት, የሚከተሉት ለውጦች ሊደረጉ ይችላሉ. 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 =12 2. ስለዚህም እ.ኤ.አ. .

የሥሮቹን የዲግሪ እና ባህሪያት ባህሪያት በመጠቀም, መፍትሄው ትንሽ በተለየ መንገድ ሊዘጋጅ ይችላል.

መልስ፡-

ቁሳቁሱን ለማጠናከር, የሁለት ተጨማሪ ምሳሌዎችን መፍትሄዎች ግምት ውስጥ ያስገቡ.

ለምሳሌ.

የስር ዋጋውን አስሉ.

ውሳኔ.

ዋናው የስር ቁጥር 243 243 = 3 5 ነው. ስለዚህም .

መልስ፡-

ለምሳሌ.

የስር ዋጋው ኢንቲጀር ነው?

ውሳኔ.

ለዚህ ጥያቄ መልስ ለመስጠት የስር ቁጥሩን ወደ ዋና ምክንያቶች እንከፋፍለው እና እንደ ኢንቲጀር ኩብ መወከል ይቻል እንደሆነ እንይ።

285 768=2 3 3 6 7 2 አለን። የዋና ፋክተር 7 ደረጃ የሶስት ብዜት ስላልሆነ የተፈጠረው መበስበስ እንደ ኢንቲጀር ኩብ አይወክልም። ስለዚህ የ 285,768 ኩብ ሥር ሙሉ በሙሉ አልተወሰደም.

መልስ፡-

አይ.

ከክፍልፋይ ቁጥሮች ሥሮችን ማውጣት

ሥሩ ከክፍልፋይ ቁጥር እንዴት እንደሚወጣ ለማወቅ ጊዜው አሁን ነው። ክፍልፋይ ሥር ቁጥሩ p/q ተብሎ ይጻፍ። በንብረቱ መሰረት, የሚከተለው እኩልነት እውነት ነው. ከዚህ እኩልነት ይከተላል ክፍልፋይ ሥር ደንብ: የክፍልፋይ ስር የቁጥር ስርን በዲኖሚነተር ስር ለመከፋፈል ከቁጥር ጋር እኩል ነው።

ሥርን ከክፍልፋይ የማውጣትን ምሳሌ እንመልከት።

ለምሳሌ.

የጋራ ክፍልፋይ 25/169 ካሬ ሥር ምንድን ነው?

ውሳኔ.

በካሬዎች ሠንጠረዥ መሠረት የዋናው ክፍልፋይ የቁጥር ስሩ 5 ሲሆን የዲኖሚነተሩ ካሬ ሥር 13 ሆኖ እናገኘዋለን። ከዚያም . ይህ ሥሩን ከተራ ክፍልፋይ 25/169 ማውጣቱን ያጠናቅቃል።

መልስ፡-

የአስርዮሽ ክፍልፋይ ወይም የተቀላቀለ ቁጥር ስር የሚወጣው የስር ቁጥሮችን በተራ ክፍልፋዮች ከተተካ በኋላ ነው።

ለምሳሌ.

የአስርዮሽ 474.552 ኪዩብ ስር ይውሰዱ።

ውሳኔ.

ዋናውን አስርዮሽ እንደ የጋራ ክፍልፋይ እንወክል፡ 474.552=474552/1000 . ከዚያም . በተፈጠረው ክፍልፋይ አሃዛዊ እና መጠን ውስጥ ያሉትን የኩብ ሥሮች ለማውጣት ይቀራል። እንደ 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 እና 1 000=10 3፣ ከዚያ እና . ስሌቶቹን ለማጠናቀቅ ብቻ ይቀራል .

መልስ፡-

.

የአሉታዊ ቁጥርን ሥር ማውጣት

በተናጥል ፣ ሥሮቹን ከአሉታዊ ቁጥሮች በማውጣት ላይ ማተኮር ተገቢ ነው። ሥሮችን ስናጠና የስሩ ገላጭ ቁጥር ያልተለመደ ቁጥር ሲሆን አሉታዊ ቁጥር በስሩ ምልክት ስር ሊሆን ይችላል ብለናል። ለእንደዚህ ዓይነቶቹ ማስታወሻዎች የሚከተለውን ትርጉም ሰጥተናል-ለአሉታዊ ቁጥር -a እና ለሥሩ 2 n-1 ያልተለመደ ገላጭ ፣ እኛ አለን ። . ይህ እኩልነት ይሰጣል ያልተለመዱ ሥሮችን ከአሉታዊ ቁጥሮች ለማውጣት ደንብ: የአሉታዊ ቁጥርን ሥር ለማውጣት ተቃራኒውን አወንታዊ ቁጥር ሥሩ ማውጣት ያስፈልግዎታል እና በውጤቱ ፊት የመቀነስ ምልክት ያድርጉ።

አንድ ምሳሌ መፍትሄ እንመልከት.

ለምሳሌ.

የስር እሴቱን ያግኙ።

ውሳኔ.

አወንታዊ ቁጥር ከስር ምልክቱ ስር እንዲታይ ዋናውን አገላለጽ እንለውጠው፡- . አሁን የተደባለቀውን ቁጥር በተለመደው ክፍልፋይ እንተካለን- . ሥሩን ከተራ ክፍልፋይ የማውጣት ደንቡን እንተገብራለን- . በውጤቱ ክፍልፋይ አሃዛዊ እና አከፋፋይ ውስጥ ያሉትን ሥሮች ለማስላት ይቀራል። .

የመፍትሔው ማጠቃለያ ይኸውና፡- .

መልስ፡-

.

Bitwise የ root እሴትን መፈለግ

በአጠቃላይ ፣ ከሥሩ ስር ፣ ከላይ የተገለጹትን ቴክኒኮች በመጠቀም ፣ የማንኛውም ቁጥር nth ኃይል ሆኖ ሊወከል የማይችል ቁጥር አለ። ግን በተመሳሳይ ጊዜ, ቢያንስ እስከ አንድ ምልክት ድረስ የተሰጠውን ሥር ዋጋ ማወቅ ያስፈልጋል. በዚህ አጋጣሚ ሥሩን ለማውጣት፣ የሚፈለገውን ቁጥር አሃዞች በቂ ቁጥር ያላቸውን እሴቶች በተከታታይ እንድታገኙ የሚያስችል ስልተ ቀመር መጠቀም ትችላለህ።

የዚህ ስልተ-ቀመር የመጀመሪያ እርምጃ ከስር እሴት ውስጥ በጣም አስፈላጊ የሆነውን ምን እንደሆነ ማወቅ ነው. ይህንን ለማድረግ, ቁጥሮች 0, 10, 100, ... በተከታታይ ወደ ኃይል ይነሳሉ n ከሥሩ ቁጥር የሚበልጥ ቁጥር እስኪገኝ ድረስ. ከዚያም በቀደመው ደረጃ ላይ ወደ n ኃይል ያነሳነው ቁጥር ተጓዳኝ ከፍተኛ ቅደም ተከተል ያሳያል.

ለምሳሌ፣ የአምስት ስኩዌር ስር ሲያወጡ ይህን የአልጎሪዝም ደረጃ ግምት ውስጥ ያስገቡ። ቁጥሮችን 0, 10, 100, ... እንወስዳለን እና ከ 5 በላይ የሆነ ቁጥር እስክናገኝ ድረስ እናሳያቸዋለን. 0 2 =0 አለን።<5 , 10 2 =100>5, ይህም ማለት በጣም አስፈላጊው አሃዝ የአሃዶች አሃዝ ይሆናል. የዚህ ቢት ዋጋ, እንዲሁም ዝቅተኛዎቹ, በሚቀጥሉት የስር ማውጣቱ ስልተ ቀመር ውስጥ ይገኛሉ.

ሁሉም የሚከተሉት የአልጎሪዝም ደረጃዎች ከከፍተኛው ጀምሮ እና ወደ ዝቅተኛው በመሸጋገር የሚፈለጉት የሥሩ እሴት ቀጣይ አሃዞች በመገኘታቸው የሥሩን እሴት በተከታታይ ለማሻሻል የታለሙ ናቸው። . ለምሳሌ, በመጀመሪያው ደረጃ ላይ ያለው የስር ዋጋ 2 ነው, በሁለተኛው - 2.2, በሦስተኛው - 2.23, እና በ 2.236067977 .... የቢቶች እሴቶች እንዴት እንደሚገኙ እንግለጽ።

ቢትን መፈለግ የሚቻለው 0, 1, 2, ..., 9 እሴቶቻቸውን በመቁጠር ነው. በዚህ ሁኔታ, የተዛማጅ ቁጥሮች nth ሃይሎች በትይዩ ይሰላሉ, እና ከስር ቁጥሩ ጋር ይነጻጸራሉ. በተወሰነ ደረጃ የዲግሪው ዋጋ ከጨረር ቁጥር በላይ ከሆነ ፣ ከዚያ ከቀዳሚው እሴት ጋር የሚዛመደው አሃዝ እሴት እንደተገኘ ይቆጠራል ፣ እና ይህ ካልሆነ ወደ ቀጣዩ የስር ማውጣት ስልተ-ቀመር ሽግግር ይከናወናል ፣ ከዚያ የዚህ አሃዝ ዋጋ 9 ነው.

እነዚህን ሁሉ ነጥቦች የአምስት ስኩዌር ሥር ለማውጣት ተመሳሳይ ምሳሌን በመጠቀም እናብራራ.

በመጀመሪያ, የአሃዶችን አሃዝ ዋጋ ያግኙ. 0, 1, 2, …, 9, በቅደም ተከተል 0 2, 1 2, ..., 9 2 በማስላት 0, 1, 2, ..., 9 2 ከ 5 ከ ራዲካል ቁጥር የሚበልጥ እሴት እስክናገኝ ድረስ እንደጋግማለን. እነዚህ ሁሉ ስሌቶች በሚመች ሁኔታ በሠንጠረዥ መልክ ቀርበዋል-

ስለዚህ የአሃዶች አሃዝ ዋጋ 2 ነው (ምክንያቱም 2 2<5 , а 2 3 >5 . የአሥረኛውን ቦታ ዋጋ ወደ መፈለግ እንሂድ። በዚህ ሁኔታ የተገኙትን እሴቶች ከሥሩ ቁጥር 5 ጋር በማነፃፀር ቁጥሮቹን 2.0 ፣ 2.1 ፣ 2.2 ፣ ... ፣ 2.9 እናስከብራለን ።

ከ 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, ከዚያም የአሥረኛው ቦታ ዋጋ 2 ነው. የመቶኛውን ቦታ ዋጋ ለማግኘት መቀጠል ይችላሉ፡-

ስለዚህ የአምስቱ ሥር የሚቀጥለው እሴት ተገኝቷል, ከ 2.23 ጋር እኩል ነው. እና ስለዚህ ተጨማሪ እሴቶችን ማግኘቱን መቀጠል ይችላሉ- 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

ቁሳቁሱን ለማጠናከር የታሰበውን ስልተ ቀመር በመጠቀም የስር መውጣቱን በመቶኛዎች ትክክለኛነት እንመረምራለን ።

በመጀመሪያ, ከፍተኛውን አሃዝ እንገልፃለን. ይህንን ለማድረግ, ቁጥሮችን 0, 10, 100, ወዘተ. ከ 2,151.186 በላይ የሆነ ቁጥር እስክናገኝ ድረስ. 0 3 =0 አለን።<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, ስለዚህ በጣም አስፈላጊው አሃዝ አስር አሃዝ ነው.

ዋጋውን እንግለጽ።

ከ 10 3 ጀምሮ<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186, ከዚያም የአስር አሃዞች ዋጋ 1 ነው. ወደ ክፍሎች እንሂድ።

ስለዚህ, የነዚያ ቦታ ዋጋ 2 ነው. ወደ አስር እንለፍ።

12.9 3 እንኳን ከጽንፈኛው ቁጥር 2 151.186 ያነሰ ስለሆነ፣ የአሥረኛው ቦታ ዋጋ 9 ነው። የአልጎሪዝም የመጨረሻውን ደረጃ ለማከናወን ይቀራል, አስፈላጊ ከሆነው ትክክለኛነት ጋር ሥሩን ዋጋ ይሰጠናል.

በዚህ ደረጃ ፣ የሥሩ ዋጋ እስከ መቶኛ ድረስ ይገኛል ። .

በዚህ ጽሑፍ ማጠቃለያ, ሥሮችን ለማውጣት ብዙ ሌሎች መንገዶች እንዳሉ መናገር እፈልጋለሁ. ግን ለአብዛኛዎቹ ተግባራት, ከላይ ያጠናቸው በቂ ናቸው.

መጽሃፍ ቅዱስ።

• ማካሪቼቭ ዩ.ኤን., ሚንዲዩክ ኤን.ጂ., ኔሽኮቭ ኪ.አይ., ሱቮሮቫ ኤስ.ቢ. አልጀብራ፡ ለ 8 ህዋሶች የመማሪያ መጽሀፍ። የትምህርት ተቋማት.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. እና ሌሎችም አልጀብራ እና የትንታኔ መጀመሪያ፡ የአጠቃላይ የትምህርት ተቋማት ከ10-11ኛ ክፍል የመማሪያ መጽሀፍ።
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. ሂሳብ (ለቴክኒክ ትምህርት ቤቶች አመልካቾች መመሪያ).