የሂሳብ ጥበቃ ቀመር.
የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሂሳብ ጥበቃ የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶቹ እና እድላቸው አጠቃላይ ምርቶች ድምር ነው።
ለምሳሌ.
X -4 6 10
ገጽ 0.2 0.3 0.5
መፍትሔው፡ የሒሳብ ጥበቃው የ X ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች እና እድላቸው ከጠቅላላ ምርቶች ድምር ጋር እኩል ነው።
ኤም (ኤክስ) \u003d 4 * 0.2 + 6 * 0.3 + 10 * 0.5 \u003d 6.
የሒሳብ ጥበቃን ለማስላት በ Excel ውስጥ (በተለይ ብዙ ውሂብ በሚኖርበት ጊዜ) ስሌቶችን ለማካሄድ ምቹ ነው, ዝግጁ የሆነ አብነት () እንዲጠቀሙ እንመክራለን.
ለገለልተኛ መፍትሄ ምሳሌ (ካልኩሌተር መጠቀም ይችላሉ).
በስርጭት ህጉ የተሰጠውን የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X የሂሳብ መጠበቅን ይፈልጉ፡
X 0.21 0.54 0.61
ገጽ 0.1 0.5 0.4
የሂሳብ ጥበቃ የሚከተሉትን ባህሪያት አሉት.
ንብረት 1. ቋሚ እሴት ያለው የሂሳብ መጠበቅ ከቋሚው ጋር እኩል ነው: М (С) = С.
ንብረት 2. ቋሚ ምክንያት ከሚጠበቀው ምልክት ሊወጣ ይችላል: М (СХ) = СМ (Х).
ንብረት 3. እርስ በርስ የሚደጋገፉ የነሲብ ተለዋዋጮች ምርት የሒሳብ ጥበቃ ከሁኔታዎች የሂሳብ ጥበቃዎች ውጤት ጋር እኩል ነው M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) *. ..*M(Xn)
ንብረት 4. የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር የሒሳብ ጥበቃ ከቃላቶቹ የሒሳብ ግምቶች ድምር ጋር እኩል ነው፡ М(Хг + Х2+...+ኤን) = М(Хг)+M(Х2)+…+M (ኤን)
ችግር 189. የሂሳብ የሚጠበቁ X እና Y የሚታወቁ ከሆነ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Z የሂሳብ ጥበቃን ይፈልጉ: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
መፍትሔው፡ የሒሳብ ጥበቃ ባህሪያትን በመጠቀም (የድምሩ ሒሳባዊ ጥበቃ ከቃላቶቹ የሒሳብ ግምቶች ድምር ጋር እኩል ነው፣ ቋሚው ምክንያት ከሒሳብ ጥበቃ ምልክት ሊወጣ ይችላል) M(Z) = እናገኛለን። M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11።
190. የሒሳብ ጥበቃ ባህሪያትን በመጠቀም, አረጋግጡ: a) M (X - Y) = M (X)-M (Y); ለ) የ X-M (X) መዛባት የሒሳብ ጥበቃው ዜሮ ነው።
191. የተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X ሶስት ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶችን ይወስዳል፡ x1= 4 ከፕሮባቢሊቲ p1 = 0.5; x3 = 6 ከፕሮባቢሊቲ P2 = 0.3 እና x3 ከፕሮባቢሊቲ p3 ጋር። ኤም(X)=8 መሆኑን በማወቅ x3 እና p3 ያግኙ።
192. የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች ዝርዝር ተሰጥቷል-x1 \u003d -1 ፣ x2 \u003d 0 ፣ x3 \u003d 1 ፣ የዚህ መጠን እና የካሬው የሂሳብ ተስፋዎች እንዲሁ ይታወቃሉ-M (X) ) \u003d 0.1, M (X ^ 2) \u003d 0,9. ሊሆኑ ከሚችሉ እሴቶች p1 ፣ p2 ፣ p3 ጋር የሚዛመዱ ፕሮባቢሊቲዎችን ይፈልጉ xi
194. የ 10 ክፍሎች ስብስብ ሶስት መደበኛ ያልሆኑ ክፍሎችን ይይዛል. ሁለት እቃዎች በዘፈቀደ ተመርጠዋል። በሁለት በተመረጡት መካከል መደበኛ ያልሆኑ ክፍሎች ብዛት - አንድ discrete የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X ያለውን የሂሳብ መጠበቅ ያግኙ.
196. እንደዚህ ያሉ አምስት ዳይስ የሚጥሉ ልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X-ቁጥርን የሂሳብ መጠበቅን ይፈልጉ ፣ በእያንዳንዱ ውስጥ አንድ ነጥብ በሁለት ዳይስ ላይ ይታያል ፣ የወረወረው አጠቃላይ ቁጥር ሃያ ከሆነ።
የሁለትዮሽ ስርጭቱ ሒሳባዊ ጥበቃ ከሙከራዎች ብዛት እና በአንድ ሙከራ ውስጥ የመከሰቱ አጋጣሚ ውጤት ጋር እኩል ነው።
ተግባር 1.የስንዴ ዘሮች የመብቀል እድሉ 0.9 ነው. ከተዘሩት አራት ዘሮች ውስጥ ቢያንስ ሦስቱ ሊበቅሉ የሚችሉበት ዕድል ምን ያህል ነው?
መፍትሄ። ክስተቱ ይሁን ግን- ከ 4 ዘሮች ቢያንስ 3 ዘሮች ይበቅላሉ; ክስተት አት- ከ 4 ዘሮች 3 ዘሮች ይበቅላሉ; ክስተት ከከ 4 ዘሮች 4 ዘሮች ይበቅላሉ. እንደ የመደመር ንድፈ ሃሳብ
ሊሆኑ የሚችሉ ነገሮች 
እና 
በሚከተለው ጉዳይ ላይ ጥቅም ላይ የዋለውን በበርኑሊ ቀመር እንወስናለን. ተከታታይ ይሂድ ፒገለልተኛ ሙከራዎች ፣ በእያንዳንዳቸው ውስጥ የአንድ ክስተት የመከሰት እድሉ ቋሚ እና እኩል ነው። አር, እና የዚህ ክስተት ያለመከሰቱ እድል እኩል ነው 
. ከዚያ የዝግጅቱ ዕድል ግንውስጥ ፒፈተናዎች በትክክል ይታያሉ 
ጊዜ፣ በበርኑሊ ቀመር ይሰላል
,
የት 
- የጥምረቶች ብዛት ፒንጥረ ነገሮች በ 
. ከዚያም
የሚፈለግ ዕድል
ተግባር 2.የስንዴ ዘሮች የመብቀል እድሉ 0.9 ነው. ከተዘሩት 400 ዘሮች ውስጥ 350 ዘሮች የመብቀል እድል ይፈልጉ።
መፍትሄ። የሚፈለገውን ዕድል አስላ 
በበርኑሊ ቀመር መሠረት በስሌቶቹ ውስብስብነት ምክንያት አስቸጋሪ ነው። ስለዚህ፣ የአካባቢውን የላፕላስ ቲዎረም የሚገልጽ ግምታዊ ቀመር እንተገብራለን፡-
,
የት 
እና 
.
ከችግር መግለጫው. ከዚያም
.
ከመተግበሪያዎች ሠንጠረዥ 1 እናገኛለን. የሚፈለገው ዕድል እኩል ነው።
ተግባር 3.ከስንዴ ዘሮች መካከል 0.02% አረም. በዘፈቀደ የ10,000 ዘሮች ምርጫ 6 የአረም ዘሮችን የመግለጥ እድሉ ምን ያህል ነው?
መፍትሄ። በዝቅተኛ ዕድል ምክንያት የአካባቢያዊ የላፕላስ ቲዎሬም አተገባበር 
ከትክክለኛው እሴት ወደ ከፍተኛ ልዩነት ያመራል 
. ስለዚህ, ለአነስተኛ እሴቶች አርለማስላት 
አሲምፕቶቲክ የፖይሰን ቀመር ይተግብሩ
፣ የት።
ይህ ቀመር ጥቅም ላይ የሚውለው መቼ ነው 
, እና ያነሰ አርየበለጠ ፒ, ውጤቱ የበለጠ ትክክለኛ ነው.
በተግባሩ መሰረት 
;
. ከዚያም
ተግባር 4.የስንዴ ዘሮች የመብቀል መቶኛ 90% ነው. ከ 500 ዘሮች ከተዘራ ከ 400 እስከ 440 ዘሮች የመብቀል እድል ይፈልጉ.
መፍትሄ። አንድ ክስተት የመከሰቱ ዕድል ከሆነ ግንበእያንዳንዱ ውስጥ ፒፈተናዎች ቋሚ እና እኩል ናቸው አር, ከዚያም ዕድሉ 
ክስተት መሆኑን ግንበእንደዚህ ዓይነት ፈተናዎች ውስጥ ቢያንስ ቢያንስ ይሆናል 
አንዴ እና ከዚያ በላይ 
ጊዜዎች የሚወሰኑት በላፕላስ አጠቃላይ ንድፈ ሐሳብ በሚከተለው ቀመር ነው።
፣ የት
, 
.
ተግባር 
የላፕላስ ተግባር ይባላል። ተጨማሪዎች (ሠንጠረዥ 2) የዚህን ተግባር እሴቶች ይሰጣሉ 
. በ 
ተግባር 
. ለአሉታዊ እሴቶች Xበላፕላስ አሠራር እንግዳነት ምክንያት 
. የላፕላስ ተግባርን በመጠቀም፡-
በተግባሩ መሰረት. ከላይ ያሉትን ቀመሮች በመጠቀም, እናገኛለን 
እና 
:
ተግባር 5.የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት ህግ ተሰጥቷል። X:
አግኝ: 1) የሂሳብ መጠበቅ; 2) መበታተን; 3) መደበኛ መዛባት.
መፍትሄ። 1) የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት ህግ በሠንጠረዥ ከተሰጠ
|
| ||||||
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ x ዋጋዎች በመጀመሪያው መስመር ላይ ከተሰጡ እና የእነዚህ እሴቶች እድሎች በሁለተኛው መስመር ላይ ከተሰጡ ፣ ከዚያ የሂሳብ ጥበቃው በቀመሩ ይሰላል።
2) መበታተን 
discrete የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xየዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከሂሳባዊ ጥበቃው መዛባት፣ ማለትም የካሬው የሂሳብ ጥበቃ ተብሎ ይጠራል።
ይህ ዋጋ የካሬው ልዩነት የሚጠበቀውን አማካይ እሴት ያሳያል Xከ 
. ከመጨረሻው ቀመር እኛ አለን
መበታተን 
በሚከተለው ንብረቱ ላይ በመመስረት በሌላ መንገድ ሊገኝ ይችላል-ልዩነት 
በዘፈቀደ ተለዋዋጭ ካሬው የሂሳብ ጥበቃ መካከል ካለው ልዩነት ጋር እኩል ነው። Xእና የሒሳብ ጥበቃው ካሬ 
, ያውና
ለማስላት 
የሚከተለውን የብዛቱን ስርጭት ህግ አዘጋጅተናል 
:
3) በአማካኝ እሴቱ ዙሪያ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች መበታተንን ለመለየት ፣ መደበኛው መዛባት አስተዋውቋል። 
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X, ከቫሪሪያው ካሬ ሥር ጋር እኩል ነው 
, ያውና
.
ከዚህ ቀመር እኛ አለን: 
ተግባር 6.ቀጣይነት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xበተዋሃደ የስርጭት ተግባር የተሰጠው
አግኝ: 1) ልዩነት ስርጭት ተግባር 
; 2) የሂሳብ መጠበቅ 
; 3) መበታተን 
.
መፍትሄ። 1) ልዩነት ስርጭት ተግባር 
ቀጣይነት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xየአጠቃላዩ ስርጭት ተግባር ተወላጅ ይባላል 
, ያውና
.
የሚፈለገው ልዩነት ተግባር የሚከተለው ቅጽ አለው:
2) ቀጣይነት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከሆነ Xበተግባሩ የተሰጠው 
, ከዚያም የሂሳብ ጥበቃው በቀመር ይወሰናል
ተግባር ጀምሮ 
በ 
እና በ 
ከዜሮ ጋር እኩል ነው, ከዚያም ከመጨረሻው ቀመር እኛ አለን
.
3) መበታተን 
በቀመር ይግለጹ
ተግባር 7.የክፍሉ ርዝመት በመደበኛነት የተከፋፈለ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሲሆን በሒሳብ የሚጠበቀው 40 ሚሜ እና መደበኛ የ3 ሚሜ ልዩነት ነው። አግኝ: 1) የዘፈቀደ ክፍል ርዝመት ከ 34 ሚሜ በላይ እና ከ 43 ሚሜ ያነሰ የመሆን እድሉ; 2) የክፍሉ ርዝማኔ ከ 1.5 ሚሊ ሜትር ያልበለጠ የሂሳብ ጥበቃው የመቀየር እድሉ.
መፍትሄ። 1) ፍቀድ X- የክፍሉ ርዝመት. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከሆነ Xበልዩነት ተግባር የተሰጠው 
፣ ከዚያ የመሆኑ እድሉ Xየክፍሉ ንብረት የሆኑትን እሴቶች ይወስዳል 
, በቀመር ይወሰናል
.
ጥብቅ እኩልነትን የማሟላት እድል 
በተመሳሳይ ቀመር ይወሰናል. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከሆነ Xበተለመደው ህግ መሰረት ተከፋፍሏል, ከዚያ
, (1)
የት 
የላፕላስ ተግባር ነው 
.
በተግባር. ከዚያም
2) በችግሩ ሁኔታ, የት 
. ወደ (1) በመተካት አለን።
. (2)
ከቀመር (2) አለን።
የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ከስርጭት ህጎች በተጨማሪ ሊገለጹ ይችላሉ። የቁጥር ባህሪያት .
የሂሳብ መጠበቅየአንድ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ M (x) አማካኝ እሴቱ ይባላል።
የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሒሳብ ጥበቃ በቀመር ይሰላል
የት – የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶች ፣ ገጽ እኔ -ዕድላቸው.
የሒሳብ ጥበቃ ባህሪያትን አስቡባቸው፡-
1. የቋሚው የሂሳብ መጠበቅ ከቋሚው ጋር እኩል ነው
2. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በተወሰነ ቁጥር k ቢባዛ፣ የሒሳብ ጥበቃው በተመሳሳይ ቁጥር ይባዛል።
M (kx) = ኪሜ (x)
3. የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር ሒሳባዊ ጥበቃ ከሒሳባቸው ከሚጠበቁት ድምር ጋር እኩል ነው።
M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)
4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)
5. ለገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች x 1፣ x 2፣ … x n የምርቱ የሂሳብ ግምት ከሂሳብ ከሚጠበቁት ውጤት ጋር እኩል ነው።
M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)
6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - ኤም (ኤም (x)) \u003d መ (x) - መ (x) \u003d 0
በዘፈቀደ ተለዋዋጭ ያለውን የሂሳብ ግምት ከምሳሌ 11 እናሰላ።
መ(x)== 
.
ምሳሌ 12.የዘፈቀደ ተለዋዋጮች x 1፣ x 2 እንደየቅደም ተከተላቸው በስርጭት ህጎች ይሰጡ፡
x 1 ሠንጠረዥ 2
x 2 ሠንጠረዥ 3
M (x 1) እና M (x 2) አስላ
M (x 1) \u003d (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 \u003d 0
M (x 2) \u003d (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 \u003d 0
የሁለቱም የዘፈቀደ ተለዋዋጮች የሂሳብ ግምቶች አንድ ናቸው - ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው። ሆኖም ስርጭታቸው የተለየ ነው። የ x 1 እሴቶች ከሂሳብ ከሚጠበቁት ትንሽ የሚለያዩ ከሆነ የ x 2 እሴቶች ከሂሳብ ከሚጠበቁት ነገር በእጅጉ ይለያያሉ እና የእንደዚህ ዓይነቶቹ ልዩነቶች እድሎች ትንሽ አይደሉም። እነዚህ ምሳሌዎች እንደሚያሳዩት ከእሱ ምን ልዩነት ወደላይ እና ወደ ታች እንደሚከሰት ከአማካይ እሴቱ ለመወሰን የማይቻል ነው. በመሆኑም በሁለት አከባቢዎች ተመሳሳይ አማካይ ዓመታዊ የዝናብ መጠን ሲኖር፣ እነዚህ አካባቢዎች ለግብርና ሥራ ምቹ ናቸው ማለት አይቻልም። በተመሳሳይም በአማካኝ የደመወዝ አመልካች ከፍተኛ እና ዝቅተኛ ደመወዝ የሚከፈላቸው ሰራተኞችን መጠን መወሰን አይቻልም. ስለዚህ, የቁጥር ባህሪ አስተዋውቋል - መበታተንዲ(x) , የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከአማካኝ እሴቱ መዛባት ያለውን ደረጃ የሚለይ፡-
D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)
መበተን የአንድ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከሒሳብ ጥበቃ በካሬ መዛባት የሚጠበቀው የሂሳብ መጠበቅ ነው። ለተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ፣ ልዩነቱ በቀመር ይሰላል፡-
D(x)= 
= 
(3)
ከልዩነት ትርጉም D (x) 0 ይከተላል።
የመበታተን ባህሪያት;
1. የቋሚው መበታተን ዜሮ ነው
2. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በተወሰነ ቁጥር k ቢባዛ፣ ልዩነቱ በዚህ ቁጥር ካሬ ተባዝቷል።
D (kx) = k 2 ዲ (x)
3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)
4. ለጥንድ አቅጣጫ ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች x 1፣ x 2፣ … x n የድምሩ ልዩነት ከልዩነቶች ድምር ጋር እኩል ነው።
መ (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)
ለነሲብ ተለዋዋጭ ልዩነቱን ከምሳሌ 11 እናሰላው።
የሒሳብ ጥበቃ M (x) = 1. ስለዚህ በቀመር (3) መሠረት አለን።
D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2
ንብረት 3 ን ከተጠቀምን ልዩነቱን ለማስላት ቀላል እንደሆነ ልብ ይበሉ፡
D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).
ይህንን ቀመር በመጠቀም የነሲብ ተለዋዋጮችን ልዩነቶች x 1፣ x 2 ከምሳሌ 12 እናሰላ። የሁለቱም የዘፈቀደ ተለዋዋጮች የሂሳብ ግምቶች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው።
መ (x 1) \u003d 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 \u003d 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001
መ (x 2) \u003d (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 \u003d 240 +20 \u003d 260
የተበታተነ እሴቱ ወደ ዜሮ በተጠጋ ቁጥር የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት ከአማካይ እሴቱ አንጻር አነስተኛ ነው።
እሴቱ ይባላል ስታንዳርድ ደቪአትዖን. የዘፈቀደ ፋሽን x የተለየ ዓይነት ኤም.ዲከከፍተኛው ዕድል ጋር የሚዛመደው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴት ነው።
የዘፈቀደ ፋሽን x ቀጣይነት ያለው ዓይነት ኤም.ዲ፣ የፍ(x) ፕሮባቢሊቲ ማከፋፈያ ጥግግት ከፍተኛው ነጥብ ተብሎ የተገለጸ እውነተኛ ቁጥር ነው።
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ መካከለኛ x ቀጣይነት ያለው ዓይነት Mnቀመርን የሚያረካ ትክክለኛ ቁጥር ነው።
የልዩ እና ቀጣይነት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጮች መሰረታዊ አሃዛዊ ባህሪያት፡የሒሳብ ጥበቃ፣ ልዩነት እና መደበኛ መዛባት። የእነሱ ባህሪያት እና ምሳሌዎች.
የስርጭት ህግ (የስርጭት ተግባር እና የስርጭት ተከታታዮች ወይም ፕሮባቢሊቲ ጥግግት) የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ባህሪን ሙሉ ለሙሉ ይገልፃል። ነገር ግን በበርካታ ችግሮች ውስጥ ለተነሳው ጥያቄ መልስ ለመስጠት በጥናት ላይ ያለውን መጠን አንዳንድ የቁጥር ባህሪያትን ማወቅ በቂ ነው (ለምሳሌ ፣ አማካኝ እሴቱ እና ከእሱ ሊፈፀሙ የሚችሉ ልዩነቶች)። የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ዋና ዋና የቁጥር ባህሪያትን አስቡባቸው።
ፍቺ 7.1.የሂሳብ መጠበቅየተለየ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የእሴቶቹ ምርቶች ድምር እና የእነሱ ተዛማጅ እድሎች ድምር ነው-
ኤም(X) = X 1 አር 1 + X 2 አር 2 + … + x p r p(7.1)
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች ብዛት ማለቂያ የሌለው ከሆነ ፣ ከዚያ የተገኘው ተከታታይ ሙሉ በሙሉ ከተጣመረ።
አስተያየት 1.የሒሳብ ጥበቃው አንዳንዴ ይባላል ክብደት ያለው አማካይለብዙ ሙከራዎች የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከተመለከቱት እሴቶች የሂሳብ አማካኝ ጋር በግምት እኩል ስለሆነ።
አስተያየት 2.ከሒሳብ መጠበቅ ፍቺ፣ እሴቱ ከትንሹ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴት ያነሰ እና ከትልቁ የማይበልጥ መሆኑን ይከተላል።
አስተያየት 3.የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ሒሳባዊ ጥበቃ ነው። በዘፈቀደ ያልሆነ(ቋሚ. በኋላ ላይ ለተከታታይ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ተመሳሳይ መሆኑን እናያለን።
ምሳሌ 1. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሂሳብ ጥበቃን ይፈልጉ X- ከ 10 ክፍሎች ከተመረጡት ሶስት መካከል የመደበኛ ክፍሎች ብዛት ፣ 2 ጉድለቶችን ጨምሮ ። የስርጭት ተከታታዮችን እናዘጋጅ X. ከችግሩ ሁኔታ ቀጥሎ ነው Xእሴቶቹን መውሰድ ይችላል 1, 2, 3. ከዚያ
ምሳሌ 2. የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሂሳብ ጥበቃን ይግለጹ X- የክንድ ቀሚስ መጀመሪያ እስኪታይ ድረስ የሳንቲሞች ብዛት። ይህ መጠን ማለቂያ የሌለው የእሴቶች ብዛት ሊወስድ ይችላል (የእሴቶቹ ስብስብ የተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስብ ነው)። የስርጭቱ ተከታታይ ቅፅ አለው፡-
| X | … | ፒ | … | ||
| አር | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)ፒ | … |
+ (በሚሰላበት ጊዜ፣ ማለቂያ በሌለው መልኩ እየቀነሰ ላለው የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ድምር ቀመር ሁለት ጊዜ ጥቅም ላይ ውሏል፡ ከየት )።
የሒሳብ ጥበቃ ባህሪያት.
1) የቋሚ የሂሳብ ግምት ከቋሚው ጋር እኩል ነው፡-
ኤም(ከ) = ከ.(7.2)
ማረጋገጫ። ብናስብበት ከአንድ እሴት ብቻ የሚወስድ እንደ ተለዋዋጭ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከከአቅም ጋር አር= 1, ከዚያም ኤም(ከ) = ከ?1 = ከ.
2) የማያቋርጥ ምክንያት ከሚጠበቀው ምልክት ውስጥ ሊወጣ ይችላል-
ኤም(SH) = ሲ.ኤም(X). (7.3)
ማረጋገጫ። የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከሆነ Xበስርጭት ተከታታይ የተሰጠ
ከዚያም ኤም(SH) = Cx 1 አር 1 + Cx 2 አር 2 + … + ሲክስ ፒ አር ፒ = ከ(X 1 አር 1 + X 2 አር 2 + … + x p r p) = ሲ.ኤም(X).
ፍቺ 7.2.ሁለት የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ይባላሉ ገለልተኛየአንደኛው የስርጭት ህግ ሌላው በወሰደው እሴት ላይ የማይመሰረት ከሆነ። አለበለዚያ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ጥገኛ.
ፍቺ 7.3.እንጥራ ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ምርት Xእና ዋይ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ XYሊሆኑ የሚችሉ እሴቶቹ ከሁሉም ሊሆኑ ከሚችሉ እሴቶች ምርቶች ጋር እኩል ናቸው። Xለሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች ዋይ, እና ከነሱ ጋር የሚዛመዱ እድሎች ከምክንያቶቹ እድሎች ምርቶች ጋር እኩል ናቸው.
3) የሁለት ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ምርት የሂሳብ ጥበቃ ከሂሳብ ከሚጠበቁት ውጤት ጋር እኩል ነው።
ኤም(XY) = ኤም(X)ኤም(ዋይ). (7.4)
ማረጋገጫ። ስሌቶቹን ለማቃለል, መቼ እራሳችንን ለጉዳዩ እንገድባለን Xእና ዋይሁለት ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶችን ብቻ ይውሰዱ
በዚህም ምክንያት እ.ኤ.አ. ኤም(XY) = x 1 y 1 ?ገጽ 1 ሰ 1 + x 2 y 1 ?ገጽ 2 ሰ 1 + x 1 y 2 ?ገጽ 1 ሰ 2 + x 2 y 2 ?ገጽ 2 ሰ 2 = y 1 ሰ 1 (x 1 ገጽ 1 + x 2 ገጽ 2) + + y 2 ሰ 2 (x 1 ገጽ 1 + x 2 ገጽ 2) = (y 1 ሰ 1 + y 2 ሰ 2) (x 1 ገጽ 1 + x 2 ገጽ 2) = ኤም(X)?ኤም(ዋይ).
አስተያየት 1.በተመሳሳይ ፣ አንድ ሰው ይህንን ንብረት ለበለጠ የምክንያቶች እሴቶች ማረጋገጥ ይችላል።
አስተያየት 2.ንብረት 3 ለማንኛውም ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ምርት የሚሰራ ነው፣ ይህም በሒሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ የተረጋገጠ ነው።
ፍቺ 7.4.እንግለጽ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር Xእና ዋይ እንደ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ X + Yሊሆኑ የሚችሉ እሴቶቹ ከእያንዳንዱ እሴት ድምር ጋር እኩል ናቸው። Xበእያንዳንዱ በተቻለ ዋጋ ዋይ; የእንደዚህ ዓይነቶቹ ድምር እድሎች ከቃላቶቹ እድሎች ምርቶች ጋር እኩል ናቸው (ለጥገኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች - የአንድ ቃል ዕድል እና የሁለተኛው ሁኔታዊ ዕድል ምርቶች)።
4) የሁለት የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር (ጥገኛ ወይም ገለልተኛ) ሒሳባዊ ጥበቃ ከቃላቶቹ ሒሳባዊ የሚጠበቁ ድምር ጋር እኩል ነው።
ኤም (X+Y) = ኤም (X) + ኤም (ዋይ). (7.5)
ማረጋገጫ።
በንብረት ማረጋገጫው ውስጥ በተሰጠው የስርጭት ተከታታይ የተሰጡትን የዘፈቀደ ተለዋዋጮች እንደገና አስቡበት 3. ከዚያም ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች X+Yናቸው። X 1 + በ 1 , X 1 + በ 2 , X 2 + በ 1 , X 2 + በ 2. እንደ ቅደም ተከተላቸው ያላቸውን ፕሮባቢሊቲዎች ያመልክቱ አር 11 , አር 12 , አር 21 እና አር 22. እንፈልግ ኤም(X+ዋይ) = (x 1 + y 1)ገጽ 11 + (x 1 + y 2)ገጽ 12 + (x 2 + y 1)ገጽ 21 + (x 2 + y 2)ገጽ 22 =
= x 1 (ገጽ 11 + ገጽ 12) + x 2 (ገጽ 21 + ገጽ 22) + y 1 (ገጽ 11 + ገጽ 21) + y 2 (ገጽ 12 + ገጽ 22).
ይህን እናረጋግጥ አር 11 + አር 22 = አርአንድ . በእርግጥ ፣ ያ ክስተት X+Yእሴቶቹን ይወስዳል X 1 + በ 1 ወይም X 1 + በ 2 እና የማን ሊሆን ይችላል አር 11 + አር 22 ከዝግጅቱ ጋር ይጣጣማል X = X 1 (የእሱ ዕድል ነው። አርአንድ). በተመሳሳይ ሁኔታም ተረጋግጧል ገጽ 21 + ገጽ 22 = አር 2 , ገጽ 11 + ገጽ 21 = ሰ 1 , ገጽ 12 + ገጽ 22 = ሰ 2. ማለት፣
ኤም(X+Y) = x 1 ገጽ 1 + x 2 ገጽ 2 + y 1 ሰ 1 + y 2 ሰ 2 = ኤም (X) + ኤም (ዋይ).
አስተያየት. ንብረት 4 የሚያመለክተው የማንኛውም የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር ከውሎቹ ከሚጠበቀው እሴት ድምር ጋር እኩል ነው።
ለምሳሌ. አምስት ዳይስ በሚጥሉበት ጊዜ የተጠቀለሉትን የነጥቦች ብዛት ድምር ሒሳባዊ ጥበቃ ያግኙ።
አንዱን ሙት ሲወረውሩ የወደቁትን የነጥቦች ብዛት የሂሳብ ግምትን እንፈልግ፡-
ኤም(X 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ተመሳሳይ ቁጥር በማንኛውም ሞት ላይ ከወደቀው የነጥቦች ብዛት ከሂሳባዊ ጥበቃ ጋር እኩል ነው። ስለዚህ በንብረት 4 ኤም(X)=
መበታተን.
ስለ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ባህሪ ሀሳብ እንዲኖረን ፣የሂሳቡን መጠበቅ ብቻ በቂ አይደለም። ሁለት የዘፈቀደ ተለዋዋጮችን ተመልከት፡- Xእና ዋይ, በቅጹ ተከታታይ ስርጭት የተሰጠ
| X | |||
| አር | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| ዋይ | ||
| ገጽ | 0,5 | 0,5 |
እንፈልግ ኤም(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, ኤም(ዋይ) \u003d 0? 0.5 + 100? 0.5 \u003d 50. እንደምታዩት, የሁለቱም መጠኖች የሂሳብ ፍላጎቶች እኩል ናቸው, ግን ለ ኤች.ኤም(X) የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ባህሪን በደንብ ይገልፃል ፣ እሱ በጣም ሊሆን የሚችል እሴቱ ነው (በተጨማሪ ፣ የተቀሩት እሴቶች ከ 50 ትንሽ ይለያያሉ) ፣ ከዚያ እሴቶቹ ዋይጉልህ ያፈነግጡ ኤም(ዋይ). ስለዚህ ፣ ከሂሳብ ጥበቃው ጋር ፣ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እሴቶች ምን ያህል ከእሱ እንደሚለያዩ ማወቅ ጥሩ ነው። ይህንን አመላካች ለመለየት መበታተን ጥቅም ላይ ይውላል.
ፍቺ 7.5.መበታተን (መበታተን)የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከሒሳብ ጥበቃው ያፈነገጠ የካሬው የሂሳብ ጥበቃ ተብሎ ይጠራል።
ዲ(X) = ኤም (ኤክስ-ኤም(X))² (7.6)
የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ልዩነት ያግኙ X(ከተመረጡት መካከል የመደበኛ ክፍሎች ብዛት) በዚህ ትምህርት ምሳሌ 1 ውስጥ. የእያንዲንደ በተቻለ መጠን የካሬ ሌዩነት እሴቶችን ከሂሳብ ጥበቃ እንቆጥር፡-
(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. በዚህም ምክንያት እ.ኤ.አ.
አስተያየት 1.በተለዋዋጭነት ፍቺ ውስጥ, ከራሱ አማካኝ ልዩነት አይደለም የሚገመገመው, ግን ካሬው ነው. ይህ የሚደረገው የተለያዩ ምልክቶች ልዩነት እርስ በርስ እንዳይካካስ ነው.
አስተያየት 2.ይህ መጠን አሉታዊ ያልሆኑ እሴቶችን ብቻ እንደሚወስድ ከተበታተነው ትርጓሜ ይከተላል።
አስተያየት 3.ልዩነቱን ለማስላት የበለጠ ምቹ ቀመር አለ ፣ የእሱ ትክክለኛነት በሚከተለው ንድፈ ሀሳብ ውስጥ የተረጋገጠ ነው ።
ቲዎረም 7.1.ዲ(X) = ኤም(X²) - ኤም²( X). (7.7)
ማረጋገጫ።
ምንን በመጠቀም ኤም(Xቋሚ እሴት ነው ፣ እና የሂሳብ ጥበቃ ባህሪዎች ፣ ቀመሩን (7.6) ወደ ቅጹ እንለውጣለን
ዲ(X) = ኤም(ኤክስ-ኤም(X))² = ኤም(X² - 2 X?M(X) + ኤም²( X)) = ኤም(X²) - 2 ኤም(X)?ኤም(X) + ኤም²( X) =
= ኤም(X²) - 2 ኤም²( X) + ኤም²( X) = ኤም(X²) - ኤም²( X) መረጋገጥ የነበረበት።
ለምሳሌ. የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ልዩነቶችን እናሰላለን። Xእና ዋይበዚህ ክፍል መጀመሪያ ላይ ተብራርቷል. ኤም(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
ኤም(ዋይ) \u003d (0 2? 0.5 + 100²? 0.5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. ስለዚህ የሁለተኛው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት ከመጀመሪያው መበታተን በብዙ ሺህ እጥፍ ይበልጣል። ስለዚህ ፣ የእነዚህን መጠኖች ስርጭት ህጎች ሳያውቅ ፣ እንደ መበታተን በሚታወቁ እሴቶች መሠረት ፣ እኛ መግለጽ እንችላለን ። Xከሒሳብ ጥበቃው ትንሽ ያፈነግጣል፣ ለ ዋይይህ መዛባት በጣም ጉልህ ነው።
የተበታተነ ባህሪያት.
1) የማያቋርጥ ስርጭት ከከዜሮ ጋር እኩል ነው፡
ዲ (ሲ) = 0. (7.8)
ማረጋገጫ። ዲ(ሲ) = ኤም((ሲ-ኤም(ሲ))²) = ኤም((ሲ-ሲ)²) = ኤም(0) = 0.
2) ቋሚው ምክንያት ከተበታተነ ምልክት ውስጥ በማንጠፍለቅ ሊወጣ ይችላል-
ዲ(ሲኤክስ) = ሲ² ዲ(X). (7.9)
ማረጋገጫ። ዲ(ሲኤክስ) = ኤም((ሲኤክስ-ኤም(ሲኤክስ))²) = ኤም((CX-CM(X))²) = ኤም(ሲ²( ኤክስ-ኤም(X))²) =
= ሲ² ዲ(X).
3) የሁለት ነጻ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር ልዩነት ከልዩነታቸው ድምር ጋር እኩል ነው።
ዲ(X+Y) = ዲ(X) + ዲ(ዋይ). (7.10)
ማረጋገጫ። ዲ(X+Y) = ኤም(X² + 2 XY + ዋይ²) - ( ኤም(X) + ኤም(ዋይ))² = ኤም(X²) + 2 ኤም(X)ኤም(ዋይ) +
+ ኤም(ዋይ²) - ኤም²( X) - 2ኤም(X)ኤም(ዋይ) - ኤም²( ዋይ) = (ኤም(X²) - ኤም²( X)) + (ኤም(ዋይ²) - ኤም²( ዋይ)) = ዲ(X) + ዲ(ዋይ).
ውጤት 1.የበርካታ እርስ በርስ ነጻ የሆኑ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ድምር ልዩነት ከልዩነታቸው ድምር ጋር እኩል ነው።
ውጤት 2.የቋሚ እና የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ድምር ልዩነት ከዘፈቀደ ተለዋዋጭ ልዩነት ጋር እኩል ነው።
4) የሁለት ገለልተኛ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ልዩነት ከልዩነታቸው ድምር ጋር እኩል ነው።
ዲ(X-Y) = ዲ(X) + ዲ(ዋይ). (7.11)
ማረጋገጫ። ዲ(X-Y) = ዲ(X) + ዲ(-ዋይ) = ዲ(X) + (-1)² ዲ(ዋይ) = ዲ(X) + ዲ(X).
ልዩነቱ ከአማካይ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ የካሬ ልዩነት አማካኝ እሴት ይሰጣል። ልዩነትን በራሱ ለመገምገም መደበኛ ልዩነት ተብሎ የሚጠራ ዋጋ ነው.
ፍቺ 7.6.ስታንዳርድ ደቪአትዖንσ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ Xየልዩነቱ ካሬ ሥር ይባላል፡-
ለምሳሌ. በቀድሞው ምሳሌ, መደበኛ ልዩነቶች Xእና ዋይእኩል በቅደም ተከተል
ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ በከፍተኛ ትምህርት ተቋማት ተማሪዎች ብቻ የሚጠና ልዩ የሂሳብ ክፍል ነው። ስሌቶችን እና ቀመሮችን ይወዳሉ? ከመደበኛው ስርጭት ፣የስብስብ ኢንትሮፒ ፣የሒሳብ ጥበቃ እና የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ልዩነት ጋር የመተዋወቅ ተስፋን አትፈሩም? ከዚያ ይህ ርዕሰ ጉዳይ ለእርስዎ በጣም አስደሳች ይሆናል. የዚህን የሳይንስ ክፍል በጣም አስፈላጊ ከሆኑ አንዳንድ መሰረታዊ ፅንሰ ሀሳቦች ጋር እንተዋወቅ።
መሰረቱን እናስታውስ
በጣም ቀላል የሆኑትን የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ፅንሰ-ሀሳቦችን ቢያስታውሱም, የአንቀጹን የመጀመሪያ አንቀጾች ችላ አትበሉ. እውነታው ግን ስለ መሰረታዊ ነገሮች ግልጽ ግንዛቤ ከሌለ, ከዚህ በታች ከተገለጹት ቀመሮች ጋር መስራት አይችሉም.
ስለዚህ፣ አንዳንድ የዘፈቀደ ክስተት፣ አንዳንድ ሙከራ አለ። በተደረጉት ድርጊቶች ምክንያት, ብዙ ውጤቶችን ልናገኝ እንችላለን - አንዳንዶቹ በጣም የተለመዱ ናቸው, ሌሎች ደግሞ ብዙም ያልተለመዱ ናቸው. የክስተቱ ዕድል የአንድ አይነት በትክክል የተገኙ ውጤቶች ቁጥር እና ከሚቻሉት ጠቅላላ ብዛት ጋር ያለው ጥምርታ ነው። የዚህን ጽንሰ-ሃሳብ ክላሲካል ፍቺ ብቻ ማወቅ ፣የቀጣይ የዘፈቀደ ተለዋዋጮችን የሂሳብ መጠበቅ እና መበታተን ማጥናት መጀመር ይችላሉ።
አማካኝ
ወደ ትምህርት ቤት፣ በሂሳብ ትምህርቶች፣ ከሂሳብ አማካኝ ጋር መስራት ጀመርክ። ይህ ጽንሰ-ሐሳብ በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላል, እና ስለዚህ ችላ ሊባል አይችልም. በአሁኑ ጊዜ ለእኛ ዋናው ነገር በዘፈቀደ ተለዋዋጭ የሂሳብ ጥበቃ እና ልዩነት ቀመሮች ውስጥ እንገናኛለን።
የቁጥሮች ቅደም ተከተል አለን እና የሂሳብ አማካኙን መፈለግ እንፈልጋለን። ከእኛ የሚጠበቀው ሁሉንም ነገር ማጠቃለል እና በቅደም ተከተል ውስጥ ባሉት ንጥረ ነገሮች ብዛት መከፋፈል ነው። ከ 1 እስከ 9 ቁጥሮች ይኑረን. የንጥረ ነገሮች ድምር 45 ይሆናል, እና ይህንን እሴት በ 9 እንካፈላለን. መልስ: - 5.
መበታተን
በሳይንሳዊ አገላለጽ፣ ልዩነት ከሂሳብ አማካኝ የተገኙ የባህሪ እሴቶች ልዩነቶች አማካኝ ካሬ ነው። አንደኛው በካፒታል በላቲን ፊደል መ ይገለጻል። እሱን ለማስላት ምን ያስፈልጋል? ለእያንዳንዱ ተከታታይ አካል፣ ባለው ቁጥር እና በሂሳብ አማካኝ መካከል ያለውን ልዩነት እናሰላለን። እኛ ለምናስበው ክስተት ውጤቶች ሊኖሩ ስለሚችሉ በትክክል ብዙ እሴቶች ይኖራሉ። በመቀጠል, የተቀበለውን ሁሉንም ነገር ጠቅለል አድርገን በቅደም ተከተል ውስጥ ባሉት ንጥረ ነገሮች ብዛት እንካፈላለን. አምስት ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች ካሉን በአምስት ተከፋፍሉ።
ልዩነቱ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ እሱን ለመተግበር ማስታወስ ያለብዎት ባህሪዎችም አሉት። ለምሳሌ, የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በ X ጊዜ ከተጨመረ, ልዩነቱ በካሬው X እጥፍ ይጨምራል (ማለትም, X * X). በጭራሽ ከዜሮ ያነሰ አይደለም እና እሴቶችን በእኩል ዋጋ ወደላይ ወይም ወደ ታች በመቀየር ላይ የተመካ አይደለም። እንዲሁም, ለገለልተኛ ሙከራዎች, የድምሩ ልዩነት ከተለዋዋጭ ድምር ጋር እኩል ነው.
አሁን በእርግጠኝነት የልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ልዩነት እና የሒሳብ ጥበቃ ምሳሌዎችን ማጤን አለብን።
21 ሙከራዎችን አድርገን 7 የተለያዩ ውጤቶችን አግኝተናል እንበል። እያንዳንዳቸውን በቅደም ተከተል 1፣2፣2፣3፣4፣4 እና 5 ጊዜ ተመልክተናል። ልዩነቱ ምን ይሆን?
በመጀመሪያ ፣ የሂሳብ አማካኙን እናሰላለን የንጥሎች ድምር በእርግጥ 21 ነው ። በ 7 እንከፍላለን ፣ 3 እናገኛለን ። አሁን በእያንዳንዱ ቁጥር 3 እንቀንሳለን ፣ እያንዳንዱን እሴት እንጨምራለን እና ውጤቱን አንድ ላይ እንጨምራለን ። . ተለወጠ 12. አሁን ቁጥሩን በንጥረ ነገሮች ብዛት መከፋፈል ለእኛ ይቀራል, እና, ያ ብቻ ነው የሚመስለው. ግን መያዝ አለ! እንወያይበት።
በሙከራዎች ብዛት ላይ ጥገኛ
ልዩነቱን ሲያሰሉ መለያው ከሁለት ቁጥሮች አንዱ ሊሆን ይችላል-N ወይም N-1። እዚህ N የተከናወኑ ሙከራዎች ብዛት ወይም በቅደም ተከተል ውስጥ ያሉ ንጥረ ነገሮች ብዛት (ይህም በመሠረቱ አንድ አይነት ነው). በምን ላይ የተመካ ነው?
የፈተናዎች ብዛት በመቶዎች የሚለካ ከሆነ N ን በዲኖሚነተር ውስጥ ማስገባት አለብን በክፍል ውስጥ ከሆነ, ከዚያም N-1. ሳይንቲስቶች ድንበሩን በምሳሌያዊ ሁኔታ ለመሳል ወሰኑ-ዛሬ በቁጥር 30 ላይ ይሰራል ። ከ 30 ያነሱ ሙከራዎችን ካደረግን ፣ መጠኑን በ N-1 እና የበለጠ ከሆነ ፣ ከዚያ በ N.
ተግባር
የልዩነት እና የመጠበቅ ችግርን ወደ መፍታት ምሳሌያችን እንመለስ። መካከለኛ ቁጥር 12 አግኝተናል, እሱም በ N ወይም N-1 መከፋፈል ነበረበት. ከ 30 ያነሰ 21 ሙከራዎችን ስላደረግን, ሁለተኛውን አማራጭ እንመርጣለን. ስለዚህ መልሱ ነው፡ ልዩነቱ 12/2 = 2 ነው።
የሚጠበቀው ዋጋ
ወደ ሁለተኛው ጽንሰ-ሐሳብ እንሂድ, በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ልንመለከተው ይገባል. የሒሳብ ጥበቃው ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶችን በተመጣጣኝ እድሎች ተባዝቶ የመደመር ውጤት ነው። የተገኘው እሴት, እንዲሁም ልዩነቱን ለማስላት ውጤቱ ምንም ያህል ውጤት ቢኖረውም, ለጠቅላላው ሥራ አንድ ጊዜ ብቻ የተገኘ መሆኑን መረዳት አስፈላጊ ነው.
የሒሳብ ጥበቃ ቀመር በጣም ቀላል ነው: ውጤቱን እንወስዳለን, በችሎታው ማባዛት, ለሁለተኛው, ለሦስተኛው ውጤት, ወዘተ አንድ አይነት እንጨምራለን, ከዚህ ጽንሰ-ሃሳብ ጋር የተያያዙ ሁሉም ነገሮች ለማስላት ቀላል ናቸው. ለምሳሌ፣ የሒሳብ ግምቶች ድምር ከድምሩ የሒሳብ ጥበቃ ጋር እኩል ነው። ለሥራው ተመሳሳይ ነው. በፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ውስጥ ያለው እያንዳንዱ መጠን እንዲህ ያሉ ቀላል ሥራዎችን እንዲሠራ አይፈቅድም። አንድ ተግባር ወስደን በአንድ ጊዜ ያጠናናቸውን ሁለት ፅንሰ ሀሳቦች ዋጋ እናሰላ። በተጨማሪም ፣ በንድፈ ሀሳብ ተበሳጨን - ለመለማመድ ጊዜው አሁን ነው።
አንድ ተጨማሪ ምሳሌ
50 ሙከራዎችን ሮጠን 10 አይነት ውጤቶችን አግኝተናል - ከቁጥር 0 እስከ 9 - በተለያየ መቶኛ ይታያል። እነዚህም በቅደም ተከተል፡- 2%፣ 10%፣ 4%፣ 14%፣ 2%፣ 18%፣ 6%፣ 16%፣ 10%፣ 18% ናቸው። ዕድሎችን ለማግኘት የመቶኛ እሴቶቹን በ 100 መከፋፈል እንደሚያስፈልግ አስታውስ. ስለዚህ, 0.02 እናገኛለን; 0.1 ወዘተ. በዘፈቀደ ተለዋዋጭ እና በሒሳብ የሚጠበቀው ልዩነት ችግሩን የመፍታት ምሳሌ እናቅርብ።
ከአንደኛ ደረጃ ትምህርት ቤት የምናስታውሰውን ቀመር በመጠቀም የሒሳብ ስሌትን እናሰላለን፡ 50/10 = 5።
አሁን ለመቁጠር የበለጠ አመቺ እንዲሆን ዕድሎችን ወደ የውጤቶች ብዛት "በክፍል" እንተርጉማቸው። 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 እና 9 እናገኛለን. ከእያንዳንዱ እሴት የተገኘውን የሂሳብ አማካኝ ቀንስ, ከዚያ በኋላ የተገኘውን እያንዳንዱን ውጤት እናሳያለን. ይህንን ከመጀመሪያው አካል ጋር እንዴት እንደሚያደርጉት እንደ ምሳሌ ይመልከቱ፡ 1 - 5 = (-4)። ተጨማሪ: (-4) * (-4) = 16. ለሌሎች እሴቶች, እነዚህን ስራዎች እራስዎ ያድርጉ. ሁሉንም ነገር በትክክል ካደረጉ ፣ ከዚያ ሁሉንም ነገር ካከሉ በኋላ 90 ያገኛሉ።
ልዩነቱን እያሰላን እንቀጥል እና 90ን በ N በማካፈል N-1ን ሳይሆን Nን ለምን እንመርጣለን? ልክ ነው, ምክንያቱም የተከናወኑት ሙከራዎች ብዛት ከ 30 በላይ ነው. ስለዚህ: 90/10 = 9. መበታተን አግኝተናል. የተለየ ቁጥር ካገኘህ ተስፋ አትቁረጥ። ምናልባትም፣ በስሌቶቹ ውስጥ የባናል ስህተት ሠርተሃል። የጻፍከውን ደግመህ አረጋግጥ፣ እና ሁሉም ነገር ወደ ቦታው እንደሚሄድ እርግጠኛ ነው።
በመጨረሻም፣ የሂሳብ መጠበቂያ ቀመሩን እናስታውስ። ሁሉንም ስሌቶች አንሰጥም, ሁሉንም አስፈላጊ ሂደቶች ካጠናቀቁ በኋላ ማረጋገጥ የሚችሉትን መልስ ብቻ እንጽፋለን. የሚጠበቀው ዋጋ 5.48 ይሆናል. የመጀመሪያዎቹን ንጥረ ነገሮች ምሳሌ በመጠቀም እንዴት ስራዎችን ማከናወን እንዳለብን እናስታውሳለን: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... እና የመሳሰሉት. እንደሚመለከቱት ፣ የውጤቱን ዋጋ በቀላሉ በችሎታው እናባዛለን።
ማፈንገጥ
ከተበታተነ እና ከሒሳብ ጥበቃ ጋር በቅርበት የሚዛመደው ሌላው ጽንሰ-ሐሳብ መደበኛ መዛባት ነው። እሱ በላቲን ፊደላት sd ወይም በግሪክ ንዑስ ሆሄ “ሲግማ” ይገለጻል። ይህ ጽንሰ-ሐሳብ በአማካይ, እሴቶች ከማዕከላዊ ባህሪ እንዴት እንደሚለያዩ ያሳያል. ዋጋውን ለማግኘት የቫሪሪያውን ካሬ ሥር ማስላት ያስፈልግዎታል.
መደበኛ ስርጭትን ካቀዱ እና የካሬውን ልዩነት በቀጥታ በእሱ ላይ ማየት ከፈለጉ, ይህ በበርካታ ደረጃዎች ሊከናወን ይችላል. የምስሉን ግማሹን ወደ ሞዱ ግራ ወይም ቀኝ ይውሰዱ (ማዕከላዊ እሴት) ፣ የውጤቶቹ አሃዞች አከባቢዎች እኩል እንዲሆኑ ወደ አግድም ዘንግ ቀጥ ያለ ይሳሉ። በስርጭቱ መካከል ያለው ክፍል እና በአግድም ዘንግ ላይ ባለው የውጤት ትንበያ መካከል ያለው ዋጋ መደበኛ ልዩነት ይሆናል.
ሶፍትዌር
ከቀመርዎቹ ገለጻዎች እና ከቀረቡት ምሳሌዎች እንደሚታየው፣ ልዩነቶችን እና ሒሳባዊ ጥበቃን ማስላት ከሒሳብ እይታ አንጻር ቀላሉ አሰራር አይደለም። ጊዜን ላለማባከን, በከፍተኛ ትምህርት ውስጥ ጥቅም ላይ የዋለውን ፕሮግራም መጠቀም ምክንያታዊ ነው - "R" ይባላል. ለብዙ ፅንሰ-ሀሳቦች ከስታቲስቲክስ እና ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሀሳብ እሴቶችን ለማስላት የሚያስችልዎ ተግባራት አሉት።
ለምሳሌ፣ የእሴቶች ቬክተር ይገልፃሉ። ይህ እንደሚከተለው ይከናወናል-ቬክተር<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
በመጨረሻ
መበታተን እና ሒሳብ መጠበቅ ያለ እነሱ ወደፊት ማንኛውንም ነገር ለማስላት አስቸጋሪ ነው። በዩኒቨርሲቲዎች ውስጥ በዋና ዋና ትምህርቶች ውስጥ, ትምህርቱን በማጥናት በመጀመሪያዎቹ ወራት ውስጥ ይቆጠራሉ. ብዙ ተማሪዎች ወዲያውኑ በፕሮግራሙ ውስጥ ወደ ኋላ መውደቅ የሚጀምሩት እና በኋላም በክፍለ-ጊዜው ውስጥ ደካማ ነጥቦችን የሚያገኙበት የእነዚህ ቀላል ጽንሰ-ሀሳቦች ግንዛቤ እጥረት እና እነሱን ማስላት ባለመቻሉ በትክክል ነው ፣ ይህም የነፃ ትምህርት ዕድልን የሚነፍጋቸው።
በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ከቀረቡት ጋር ተመሳሳይ ስራዎችን በመፍታት ቢያንስ ለአንድ ሳምንት ለግማሽ ሰዓት ያህል ይለማመዱ. ከዚያ በማንኛውም የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ሙከራ ላይ ያለ ተጨማሪ ምክሮች እና የማጭበርበሪያ ወረቀቶች ምሳሌዎችን ይቋቋማሉ።
