በመስመር ላይ የመሆን እድልን መወሰን። በውርርድ ውስጥ የአንድ ክስተት ዕድል እንዴት እንደሚሰላ
ምን እንደሆነ ማወቅ ትፈልጋለህ የሂሳብ ዕድሎችበእርስዎ ውርርድ ስኬት ላይ? ከዚያ ለእርስዎ ሁለት ናቸው መልካም ዜና. በመጀመሪያ: አገር አቋራጭ ችሎታን ለማስላት, ውስብስብ ስሌቶችን ማካሄድ እና ወጪ ማድረግ አያስፈልግዎትም ትልቅ ቁጥርጊዜ. ለመጠቀም በቂ ነው። ቀላል ቀመሮች, ይህም አብሮ ለመስራት ሁለት ደቂቃዎችን ይወስዳል. ሁለተኛ: ይህን ጽሑፍ ካነበቡ በኋላ, የትኛውም ንግድዎ የማለፍ እድልን በቀላሉ ማስላት ይችላሉ.
የሀገር አቋራጭ ችሎታን በትክክል ለመወሰን ሶስት እርምጃዎችን መውሰድ ያስፈልግዎታል
- በመፅሃፍ ሰሪው ቢሮ መሰረት የአንድ ክስተት ውጤት የመሆን እድል መቶኛ አስላ;
- እራስዎ እስታቲስቲካዊ መረጃን በመጠቀም እድሉን ያሰሉ;
- ሁለቱንም ዕድሎች ግምት ውስጥ በማስገባት የውርርዱን ዋጋ ይወቁ።
ቀመሮችን ብቻ ሳይሆን ምሳሌዎችንም በመጠቀም እያንዳንዱን ደረጃ በዝርዝር እንመልከታቸው።
ፈጣን ዝላይ
በመጽሐፍ ሰሪ ዕድሎች ውስጥ የተካተተውን ዕድል በማስላት ላይ
የመጀመሪያው እርምጃ መጽሐፍ ሰሪው ራሱ የአንድ የተወሰነ ውጤት እድሎችን በምን ዕድል እንደሚገምተው ማወቅ ነው። መጽሐፍ ሰሪዎች ልክ እንደዚያ ዕድሎችን እንደማያዘጋጁ ግልጽ ነው። ይህንን ለማድረግ የሚከተለውን ቀመር እንጠቀማለን.
ፒለ= (1/ኪ)*100%፣
በመፅሃፍ ሰሪው ቢሮ መሰረት P B የውጤቱ ዕድል ሲሆን;
K - ለውጤቱ ቡክ ሰሪ ዕድሎች።
ከባየር ሙኒክ ጋር በተደረገው ጨዋታ የለንደን አርሰናል የማሸነፍ እድሉ 4 ነው እንበል።ይህ ማለት የማሸነፍ እድላቸው በመፅሃፍ ሰሪው (1/4)*100%=25% ይገመገማል። ወይም ጆኮቪች ከዩዥኒ ጋር ይጫወታል። ለኖቫክ ድል ማባዣው 1.2 ነው, የእሱ ዕድል (1/1.2) * 100% = 83%.
መጽሐፍ ሰሪው ራሱ የእያንዳንዱን ተጫዋች እና ቡድን የስኬት እድሎች የሚገመግመው በዚህ መንገድ ነው። የመጀመሪያውን ደረጃ ከጨረስን, ወደ ሁለተኛው እንቀጥላለን.
በተጫዋቹ የአንድ ክስተት ዕድል ስሌት
ሁለተኛው የእቅዳችን ነጥብ ነው። የራሱ ግምገማየአንድ ክስተት ዕድል. እንደ ተነሳሽነት እና የጨዋታ ቃና ያሉ መለኪያዎችን በሂሳብ ግምት ውስጥ ማስገባት ስለማንችል ቀለል ያለ ሞዴል እንጠቀማለን እና ከቀደምት ስብሰባዎች ስታቲስቲክስን ብቻ እንጠቀማለን። ለማስላት የስታቲስቲክስ ዕድልውጤቱን ቀመር እንተገብራለን-
ፒእና=(UM/M)*100%፣
የትፒእና- በተጫዋቹ መሠረት የአንድ ክስተት ዕድል;
UM - ብዛት ስኬታማ ግጥሚያዎች, እንዲህ ያለ ክስተት የተከሰተበት;
መ - ጠቅላላ መጠንግጥሚያዎች
የበለጠ ግልጽ ለማድረግ, ምሳሌዎችን እንስጥ. አንዲ መሬይ እና ራፋኤል ናዳል በመካከላቸው 14 ጨዋታዎችን አድርገዋል። በ 6 ውስጥ በአጠቃላይ በጨዋታዎች ከ 21 ያነሰ, በ 8 ውስጥ በአጠቃላይ የበለጠ ነበር. የሚቀጥለው ግጥሚያ በከፍተኛ ድምር የመጫወት እድሉን ማወቅ አለብህ፡ (8/14)*100=57%. ቫሌንሺያ አትሌቲኮ በሜስታላ 74 ጨዋታዎችን አድርጎ 29 ድሎችን አሸንፏል። ቫለንሲያ የማሸነፍ እድሉ፡ (29/74)*100%=39%
እና ይህን ሁሉ የምንማረው ለቀደሙት ጨዋታዎች ስታቲስቲክስ ብቻ ነው! በተፈጥሮ, ለአንዳንዶች አዲስ ቡድንወይም ተጫዋች, እንዲህ ዓይነቱን ዕድል ማስላት አይቻልም, ስለዚህ ይህ የውርርድ ስልት ተቃዋሚዎች ከአንድ ጊዜ በላይ ለሚገናኙባቸው ግጥሚያዎች ብቻ ተስማሚ ነው. አሁን የመፅሃፍ ሰሪውን እና የራሳችንን የውጤት እድሎች እንዴት እንደምንወስን እናውቃለን፣ እና ወደ መጨረሻው ደረጃ ለመሸጋገር ሁሉንም እውቀት አለን።
የአንድ ውርርድ ዋጋ መወሰን
የውርርድ ዋጋ (ዋጋ) እና መተላለፊያው ቀጥተኛ ግንኙነት አላቸው፡ እሴቱ ከፍ ባለ መጠን የማለፍ እድሉ ከፍ ይላል። እሴቱ እንደሚከተለው ይሰላል:
ቪ=ፒእና* K-100%
ቪ እሴት የት ነው;
P I - በተከራካሪው መሠረት የውጤት ዕድል;
K - ለውጤቱ ቡክ ሰሪ ዕድሎች።
ከሮማ ጋር በተደረገው ጨዋታ በሚላን ድል ላይ ለውርርድ እንፈልጋለን እንበል እና "ቀይ-ጥቁሮች" የማሸነፍ እድሉ 45% መሆኑን እናሰላለን። መጽሐፍ ሰሪው ለዚህ ውጤት 2.5 ዕድሎችን ይሰጠናል። እንዲህ ዓይነቱ ውርርድ ጠቃሚ ሊሆን ይችላል? ስሌቶችን እናካሂዳለን-V=45%*2.5-100%=12.5%. በጣም ጥሩ፣ ከፊት ለፊታችን ጠቃሚ ውርርድ አለን። መልካም እድልማለፍ.
ሌላ ጉዳይ እንውሰድ። ማሪያ ሻራፖቫ ከፔትራ ክቪቶቫ ጋር ትጫወታለች። ማሪያን እንድታሸንፍ ስምምነት ማድረግ እንፈልጋለን, እንደ ስሌታችን, የመቻል እድሉ 60% ነው. ቡክ ሰሪዎች ለዚህ ውጤት 1.5 ማባዣ ይሰጣሉ። ዋጋውን እንወስናለን: V = 60% * 1.5-100 = -10%. እንደሚመለከቱት, ይህ ውርርድ ምንም ዋጋ የለውም እና መወገድ አለበት.
በፕሮባቢሊቲዎች ላይ እርምጃ የመውሰድ አስፈላጊነት የሚከሰተው የአንዳንድ ክስተቶች እድሎች በሚታወቁበት ጊዜ ነው, እና ከእነዚህ ክስተቶች ጋር የተያያዙ ሌሎች ክስተቶችን እድሎች ማስላት አስፈላጊ ነው.
የአጋጣሚዎች መጨመር ጥቅም ላይ የሚውለው የዘፈቀደ ክስተቶች ጥምር ወይም ምክንያታዊ ድምር የመሆኑን እድል ማስላት ሲያስፈልግ ነው።
የክስተቶች ድምር ሀእና ለአመልክት ሀ + ለወይም ሀ ∪ ለ. የሁለት ክስተቶች ድምር ክስተት ቢያንስ አንዱ ከተከሰተ እና ከተከሰተ ብቻ ነው. ይህ ማለት ነው። ሀ + ለ- ክስተቱ በክትትል ጊዜ ከተከሰተ እና ከተከሰተ ብቻ የሚከሰት ክስተት ሀወይም ክስተት ለ, ወይም በተመሳሳይ ጊዜ ሀእና ለ.
ክስተቶች ከሆነ ሀእና ለእርስ በእርሳቸው የማይጣጣሙ እና እድላቸው ተሰጥቷል, ከዚያም ከእነዚህ ክስተቶች ውስጥ አንዱ በአንድ ሙከራ ምክንያት የመከሰቱ ዕድል ተጨማሪ ነገሮችን በመጠቀም ይሰላል.
ፕሮባቢሊቲ የመደመር ቲዎሬም.ከሁለት አንዱ የማይጣጣሙ ክስተቶች አንዱ የመከሰቱ እድል የእነዚህ ክስተቶች እድሎች ድምር እኩል ነው።
ለምሳሌ, በማደን ላይ, ሁለት ጥይቶች ይተኩሳሉ. ክስተት ሀ- ዳክዬ ከመጀመሪያው ሾት ፣ ክስተት ጋር መምታት ውስጥ- ከሁለተኛው ምት መምታት ፣ ክስተት ( ሀ+ ውስጥ) - ከመጀመሪያው ወይም ከሁለተኛው ሾት ወይም ከሁለት ጥይቶች መምታት። ስለዚህ, ሁለት ክስተቶች ከሆነ ሀእና ውስጥ- ተኳኋኝ ያልሆኑ ክስተቶች ፣ ከዚያ ሀ+ ውስጥ- ከእነዚህ ክስተቶች ውስጥ ቢያንስ አንዱ ወይም ሁለት ክስተቶች መከሰት።
ምሳሌ 1.በሳጥን ውስጥ ተመሳሳይ መጠን ያላቸው 30 ኳሶች አሉ፡ 10 ቀይ፣ 5 ሰማያዊ እና 15 ነጭ። ባለቀለም (ነጭ ያልሆነ) ኳስ ሳያይ የመነሳት እድሉን አስላ።
መፍትሄ። ክስተቱን እናስብ ሀ- "ቀይ ኳሱ ተወስዷል", እና ክስተቱ ውስጥ- "ሰማያዊው ኳስ ተወስዷል." ከዚያ ክስተቱ "ባለቀለም (ነጭ ያልሆነ) ኳስ ይወሰዳል." የዝግጅቱን እድል እንፈልግ ሀ:
እና ክስተቶች ውስጥ:
ክስተቶች ሀእና ውስጥ- እርስ በርስ የማይጣጣሙ, ምክንያቱም አንድ ኳስ ከተወሰደ, ኳሶቹ ሊወሰዱ አይችሉም የተለያዩ ቀለሞች. ስለዚህ, የፕሮባቢሊቲዎችን መጨመር እንጠቀማለን-
ለብዙ ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች እድሎችን የማከል ቲዎሪ።ክስተቶች የተሟሉ የክስተቶች ስብስብ ከሆኑ፣ የእድላቸው ድምር ከ 1 ጋር እኩል ነው።
የተቃራኒ ክስተቶች እድሎች ድምር እንዲሁ ከ1 ጋር እኩል ነው።
ተቃራኒ ክስተቶች የተሟላ የክስተቶች ስብስብ ይመሰርታሉ፣ እና የተሟላ የክስተቶች ስብስብ እድል 1 ነው።
የተቃራኒ ክስተቶች እድሎች ብዙውን ጊዜ በትናንሽ ፊደላት ይገለጻሉ። ገጽእና ቅ. በተለይ እ.ኤ.አ.
የተቃራኒ ክስተቶች ዕድል የሚከተሉት ቀመሮች ይከተላሉ
ምሳሌ 2.በተኩስ ክልል ውስጥ ያለው ዒላማ በ 3 ዞኖች የተከፈለ ነው. አንድ የተወሰነ ተኳሽ በመጀመሪያው ዞን ዒላማው ላይ የመተኮስ እድሉ 0.15፣ በሁለተኛው ዞን - 0.23፣ በሦስተኛው ዞን - 0.17 ነው። ተኳሹ ኢላማውን የሚመታበትን እድል እና ተኳሹ ዒላማውን የሚያመልጠውን እድል ይፈልጉ።
መፍትሄ፡ ተኳሹ ኢላማውን የሚመታበትን እድል ይፈልጉ፡-
ተኳሹ ዒላማውን የማጣት እድሉን እንፈልግ፡-
ለተጨማሪ ውስብስብ ችግሮች፣ ሁለቱንም የመደመር እና የይሆናል ማባዛትን መጠቀም የሚያስፈልግዎትን ገጽ ይመልከቱ "የተለያዩ የመደመር እና የይሆናል ማባዛት" የሚለውን ገጽ ይመልከቱ።
እርስ በርስ የሚደጋገፉ ክስተቶች እድሎች መጨመር
የአንድ ክስተት መከሰት በተመሳሳይ ምልከታ ውስጥ ሁለተኛውን ክስተት ካላስቀረ ሁለት የዘፈቀደ ክስተቶች የጋራ ይባላሉ። ለምሳሌ, ክስተቱን ዳይ ሲጥሉ ሀቁጥር 4 እንደ ተለጠፈ ይቆጠራል, እና ክስተቱ ውስጥ- የተመጣጠነ ቁጥር ማሽከርከር። 4 እኩል ቁጥር ስለሆነ ሁለቱ ክስተቶች ተኳሃኝ ናቸው። በተግባራዊ ሁኔታ, እርስ በርስ የሚደጋገፉ ክስተቶች አንዱ የመከሰቱ እድልን የማስላት ችግሮች አሉ.
ለጋራ ክስተቶች የመደመር ንድፈ ሃሳብ።ከጋራ ክንውኖች አንዱ የመከሰቱ ዕድል የእነዚህ ክስተቶች እድሎች ድምር እኩል ነው፣ ከሁለቱም ክስተቶች የጋራ መከሰት እድላቸው የሚቀነስበት፣ ማለትም የፕሮባቢሊቲዎች ውጤት። የጋራ ክስተቶች እድሎች ቀመር አለው ቀጣይ እይታ:
ክስተቶች ጀምሮ ሀእና ውስጥተስማሚ, ክስተት ሀ+ ውስጥየሚከሰተው ከሦስቱ ሊሆኑ ከሚችሉ ክስተቶች አንዱ ከተከሰተ ነው፡ ወይም AB. ተኳኋኝ ያልሆኑ ክስተቶች የመደመር ንድፈ ሃሳብ መሰረት፣ እንደሚከተለው እናሰላለን።
ክስተት ሀከሁለቱ የማይጣጣሙ ክስተቶች አንዱ ከተከሰተ ይከሰታል፡ ወይም AB. ሆኖም፣ የአንድ ክስተት ክስተት ከብዙ ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች የመከሰት እድሉ የእነዚህ ሁሉ ክስተቶች እድሎች ድምር እኩል ነው።
እንደዚሁም፡-
አገላለጾችን (6) እና (7)ን ወደ አገላለጽ (5) በመተካት ለጋራ ክስተቶች የይሆናልነት ቀመር እናገኛለን፡-
ቀመር (8) ሲጠቀሙ, ያንን ክስተቶች ግምት ውስጥ ማስገባት ያስፈልጋል ሀእና ውስጥሊሆን ይችላል፡-
- እርስ በርሱ የሚስማማ;
- እርስ በርስ የሚደጋገፉ.
እርስ በርስ የሚደጋገፉ ክስተቶች ፕሮባቢሊቲ ቀመር፡
እርስ በርስ የሚደጋገፉ ክስተቶች ፕሮባቢሊቲ ቀመር፡
ክስተቶች ከሆነ ሀእና ውስጥየማይጣጣሙ ናቸው, ከዚያም የእነሱ አጋጣሚ የማይቻል ጉዳይ ነው እና, ስለዚህም, ፒ(AB) = 0. አራተኛው ተኳሃኝ ላልሆኑ ክስተቶች የይሁንታ ቀመር፡-
ምሳሌ 3.በአውቶ እሽቅድምድም የመጀመሪያውን መኪና ሲነዱ የተሻለ የማሸነፍ እድል ይኖርዎታል እና ሁለተኛውን መኪና ሲነዱ። አግኝ፡
- ሁለቱም መኪኖች የማሸነፍ እድል;
- ቢያንስ አንድ መኪና የማሸነፍ እድሉ;
1) የመጀመሪያው መኪና የማሸነፍ እድሉ በሁለተኛው መኪና ውጤት ላይ የተመሰረተ አይደለም, ስለዚህ ክስተቶቹ ሀ(የመጀመሪያው መኪና ያሸንፋል) እና ውስጥ(ሁለተኛው መኪና ያሸንፋል) - ገለልተኛ ክስተቶች. ሁለቱም መኪኖች ያሸነፉበትን ዕድል እንፈልግ፡-
2) ከሁለቱ መኪኖች አንዱ የማሸነፍ እድል ይፈልጉ፡-
ለተጨማሪ ውስብስብ ችግሮች፣ ሁለቱንም የመደመር እና የይሆናል ማባዛትን መጠቀም የሚያስፈልግዎትን ገጽ ይመልከቱ "የተለያዩ የመደመር እና የይሆናል ማባዛት" የሚለውን ገጽ ይመልከቱ።
የፕሮባቢሊቲዎችን ችግር እራስዎ ይፍቱ እና መፍትሄውን ይመልከቱ
ምሳሌ 4.ሁለት ሳንቲሞች ይጣላሉ. ክስተት ሀ- በመጀመሪያው ሳንቲም ላይ የጦር ቀሚስ ማጣት. ክስተት ለ- በሁለተኛው ሳንቲም ላይ የጦር ቀሚስ ማጣት. የአንድ ክስተት ዕድል ይፈልጉ ሲ = ሀ + ለ .
ፕሮባቢሊቲዎችን ማባዛት
የይሆናል ማባዛት ጥቅም ላይ የሚውለው የክስተቶች አመክንዮአዊ ምርት እድላቸው ሊሰላ ሲገባ ነው።
በዚህ ሁኔታ, የዘፈቀደ ክስተቶች ገለልተኛ መሆን አለባቸው. የአንድ ክስተት መከሰት የሁለተኛው ክስተት የመከሰት እድል ላይ ተጽእኖ ካላሳደረ ሁለት ክስተቶች እርስ በርስ የሚደጋገፉ ናቸው ተብሏል።
ለገለልተኛ ክስተቶች የፕሮባቢሊቲ ማባዛት ቲዎሪ።ሁለት ገለልተኛ ክስተቶች በአንድ ጊዜ የመከሰት እድል ሀእና ውስጥየእነዚህ ክስተቶች እድሎች ውጤት ጋር እኩል ነው እና በቀመርው ይሰላል፡-
ምሳሌ 5.ሳንቲሙ በተከታታይ ሦስት ጊዜ ይጣላል. የክንድ ቀሚስ ሶስት ጊዜ የመታየት እድልን ይፈልጉ.
መፍትሄ። የክንድ ቀሚስ በመጀመሪያው የሳንቲም ውርወራ ላይ፣ ለሁለተኛ ጊዜ እና ለሦስተኛ ጊዜ የመታየቱ ዕድል። የጦር ቀሚስ ሦስቱም ጊዜ የመታየት እድልን እንፈልግ፡-
የአቅም ማባዛት ችግሮችን በራስዎ ይፍቱ እና መፍትሄውን ይመልከቱ
ምሳሌ 6.ዘጠኝ አዳዲስ የቴኒስ ኳሶች ሳጥን አለ። ለመጫወት, ሶስት ኳሶች ይወሰዳሉ, እና ከጨዋታው በኋላ ወደ ኋላ ይመለሳሉ. ኳሶችን በሚመርጡበት ጊዜ የተጫወቱ ኳሶች ከማይጫወቱ ኳሶች አይለዩም። ከዚያ በኋላ ያለው ዕድል ምንድነው? ሶስት ጨዋታዎችበሳጥኑ ውስጥ ያልተጫወቱ ኳሶች አሉ?
ምሳሌ 7. 32 የሩስያ ፊደላት ፊደላት በተቆረጡ ፊደላት ካርዶች ላይ ተጽፈዋል. አምስት ካርዶች በዘፈቀደ አንድ በአንድ ይሳሉ እና በመልክ በጠረጴዛው ላይ ይቀመጣሉ። ፊደሎቹ "መጨረሻ" የሚለውን ቃል የመመስረት እድል ይፈልጉ.
ምሳሌ 8.ከሙሉ ካርዶች (52 ሉሆች) አራት ካርዶች በአንድ ጊዜ ይወጣሉ. እነዚህ ካርዶች አራቱም የተለያዩ ተስማሚ የመሆን እድላቸውን ይፈልጉ።
ምሳሌ 9.ልክ እንደ ምሳሌ 8 ተመሳሳይ ተግባር, ነገር ግን እያንዳንዱ ካርድ ከተወገደ በኋላ ወደ መከለያው ይመለሳል.
ተጨማሪ ውስብስብ ችግሮች, ሁለቱንም የመደመር እና የይሆናል ማባዛትን መጠቀም, እንዲሁም የበርካታ ክስተቶችን ምርት ማስላት, "የተለያዩ የመደመር እና የእድል ማባዛትን የሚያካትቱ የተለያዩ ችግሮች" በሚለው ገጽ ላይ ይገኛሉ.
እርስ በርስ ከሚደጋገፉ ክስተቶች ውስጥ ቢያንስ አንዱ የመከሰቱ እድል ከ 1 ተቃራኒ ክስተቶች የመሆን እድልን ውጤት በመቀነስ ፣ ማለትም ቀመርን በመጠቀም ማስላት ይቻላል-
ምሳሌ 10.ጭነት በሦስት የትራንስፖርት መንገዶች ማለትም በወንዝ፣ በባቡር እና በመንገድ ትራንስፖርት ይቀርባል። ጭነቱን በወንዝ ትራንስፖርት የማጓጓዝ እድሉ 0.82፣ በባቡር 0.87፣ በመንገድ ትራንስፖርት 0.90 ነው። ጭነቱን ከሶስቱ የመጓጓዣ ዘዴዎች ቢያንስ በአንዱ የማድረስ እድሉን ይፈልጉ።
የክስተቶች እድልን ለማስላት ቀመሮች
1.3.1. የነፃ ሙከራዎች ቅደም ተከተል (የበርኑሊ ወረዳ)
አንዳንድ ሙከራዎች በተመሳሳይ ሁኔታዎች ውስጥ በተደጋጋሚ ሊደረጉ ይችላሉ እንበል. ይህ ተሞክሮ ይደረግ nጊዜያት, ማለትም, ተከታታይ nፈተናዎች.
ፍቺ ተከታይ n ፈተናዎች ተጠርተዋል እርስ በርስ ነጻ የሆነ , ከተሰጠ ፈተና ጋር የተያያዘ ማንኛውም ክስተት ከሌሎች ፈተናዎች ጋር ከተያያዙ ክስተቶች ነጻ ከሆነ.
አንድ ክስተት እንደሆነ እናስብ ሀሊከሰት ይችላል ገጽበአንድ ፈተና ምክንያት ወይም ሊከሰት አይችልም ቅ= 1- ገጽ.
ፍቺ . ቅደም ተከተል nየሚከተሉት ሁኔታዎች ከተሟሉ ፈተናዎች የቤርኑሊ እቅድ ይመሰርታሉ፡
ተከታይ nፈተናዎች እርስ በርስ የሚደጋገፉ ናቸው,
2) የአንድ ክስተት ዕድል ሀከሙከራ ወደ ሙከራ አይለወጥም እና በሌሎች ሙከራዎች ውጤቱ ላይ የተመካ አይደለም.
ክስተት ሀየፈተናው “ስኬት” ይባላል፣ ተቃራኒው ክስተት ደግሞ “ሽንፈት” ይባላል። ክስተቱን አስቡበት
= (በ nሙከራዎች በትክክል ተከስተዋል ኤም"ስኬት").
የዚህን ክስተት እድል ለማስላት የበርኑሊ ቀመር ትክክለኛ ነው።
ገጽ(
)
=
, ኤም
= 1, 2, …, n
, (1.6)
የት 
- የጥምረቶች ብዛት nንጥረ ነገሮች በ ኤም
:
=
=
.
ምሳሌ 1.16. ዳይቱ ሦስት ጊዜ ይጣላል. አግኝ፡
ሀ) 6 ነጥብ ሁለት ጊዜ የመታየት እድል;
ለ) የስድስቱ ቁጥር ከሁለት ጊዜ በላይ የማይታይበት ዕድል።
መፍትሄ . የ 6 ነጥብ ምስል ያለው ጎን በዳይ ላይ ሲታይ የፈተናውን "ስኬት" እንመለከታለን.
ሀ) አጠቃላይ የፈተናዎች ብዛት- n= 3, የ "ስኬቶች" ብዛት - ኤም
= 2. "የስኬት" ዕድል - ገጽ=
,
እና "የመውደቅ" ዕድል ነው ቅ= 1 - =.
.
ከዚያም በበርኑሊ ቀመር መሰረት, ሞትን ሶስት ጊዜ በመወርወር ምክንያት, ስድስት ነጥብ ያለው ጎን ሁለት ጊዜ የመታየት እድሉ እኩል ይሆናል. ሀለ) እንጥቀስ 6 ነጥብ ያለው ወገን ከሁለት ጊዜ በላይ አይታይም ማለት ነው። ከዚያም ክስተቱ እንደ ሊወከል ይችላልየሶስት የማይጣጣሙ ድምር ክስተቶች
,
የት ውስጥሀ=
ውስጥ 3 0 - የፍላጎት ጠርዝ በጭራሽ የማይታይበት ክስተት ፣
ውስጥ 3 1 - የፍላጎት ጠርዝ አንድ ጊዜ የሚታይበት ክስተት;
3 2 - የፍላጎት ጠርዝ ሁለት ጊዜ የሚታይበት ክስተት.
ገጽ(ሀ)
የበርኑሊ ቀመር (1.6) በመጠቀም እናገኛለን
)
=
ገጽ(
)=
+
+
=
=
.
1.3.2. የአንድ ክስተት ሁኔታዊ ዕድል
= ገጽ
ሁኔታዊ ዕድል የአንዱ ክስተት በሌላው ዕድል ላይ ያለውን ተጽእኖ ያንፀባርቃል። ሙከራው የሚካሄድበትን ሁኔታ መቀየርም ይነካል
ፍቺ የፍላጎት ክስተት የመከሰት እድል ላይ. ሀ ፍቀድ ለእና ገጽ(ለ)> 0.
- አንዳንድ ክስተቶች, እና ዕድልሁኔታዊ ዕድል ሀክስተቶች ለ“ዝግጅቱ” ከሆነአስቀድሞ ገጽ(ሀ ለ). ተከስቷል” ማለት የእነዚህ ክስተቶች የመከሰቱ እድል እና የመገኘት እድሉ ከሚያስፈልገው ክስተት ቀደም ብሎ የተከሰተ ክስተት ዕድል ጥምርታ ነው። ሁኔታዊ የመሆን እድል እንደ ተጠቁሟል
ገጽ
(ሀ
ለ)
=
.
(1.7)
ከዚያም በትርጉም ምሳሌ 1.17.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).
ሁለት ዳይስ ይጣላሉ. የአንደኛ ደረጃ ክስተቶች ቦታ የታዘዙ ጥንድ ቁጥሮችን ያካትታል ሀበምሳሌ 1.16 ክስተቱ ተወስኗል ሲ=(በመጀመሪያው ሞት ላይ ያሉ የነጥቦች ብዛት> 4) እና ክስተት
.
=(የነጥብ ድምር 8) ጥገኛ ነው። ዝምድና እንፍጠር ሀ:
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .
ይህ ግንኙነት እንደሚከተለው ሊተረጎም ይችላል. የመጀመርያው ውርወራ ውጤት በመጀመሪያ ሞት ላይ ያለው የነጥብ ብዛት > 4 እንደሆነ ይታወቃል ብለን እናስብ። ሲበዚህ ክስተት ሲ
ከመካከላቸው ሁለቱ ብቻ (5፣3) (6፣2) ሊመሳሰሉ ይችላሉ። በዚህ ሁኔታ, የዝግጅቱ ዕድል 
እኩል ይሆናል ሀ. ስለዚህ, ስለ አንድ ክስተት ክስተት መረጃ ሲ.
የአንድ ክስተት ዕድል ላይ ተጽዕኖ አሳድሯል
የተከሰቱ ክስተቶች ዕድል
የማባዛት ቲዎሪሀ 1 ሀ 2 ሀ n የተከሰቱ ክስተቶች ዕድል
ገጽ(ሀ 1 በቀመርው ይወሰናል 2 ሀ n)ሀ(ሀ 1)= ገጽ(ሀ 2 በቀመርው ይወሰናል 1)) ገጽ(ሀ n በቀመርው ይወሰናል 1 ሀ 2 ሀ ገጽ 1). (1.8)
n -
ገጽ(AB)ሀ(ሀ ለሁለት ክስተቶች ውጤት የሚከተለው ነው{ለ)ሀ(ለ ሀ)= ገጽ{ሀ). (1.9)
ለ) ገጽ ምሳሌ 1.18.
በ 25 ምርቶች ስብስብ ውስጥ, 5 ምርቶች ጉድለት አለባቸው. 3 ንጥሎች በተከታታይ በዘፈቀደ ተመርጠዋል። ሁሉም የተመረጡ ምርቶች ጉድለት ያለባቸውበትን ዕድል ይወስኑ። መፍትሄ።
ሀ 1 ክስተቶችን እንጥቀስ፡-
ሀ 2 = (የመጀመሪያው ምርት ጉድለት አለበት)
ሀ 3 = (ሁለተኛው ምርት ጉድለት አለበት)
ሀ = (ሦስተኛው ምርት ጉድለት አለበት)
ክስተት ሀ = (ሁሉም ምርቶች ጉድለት አለባቸው). ሀ = ሀ 1 ሀ 2 ሀ 3 .
የሶስት ክስተቶች ውጤት ነው። ከማባዛት ቲዎሪ (1.6)
ገጽ(ሀ)እናገኛለን ሀ 1 ሀ 2 ሀ 3 ) = ገጽ(ሀ 1) ገጽ(ሀ 2 ሀ 1))ገጽ(ሀ 3 ሀ 1 ሀ 2).
= ፒ( ገጽ(ሀየክላሲካል ፕሮባቢሊቲ ፍቺ እንድናገኝ ያስችለናል።
ገጽ(ሀ 1)=
;
ገጽ(ሀ 2) – 1) የተበላሹ ምርቶች ብዛት እና አጠቃላይ የምርት ብዛት ጥምርታ ነው። አንድ ከተወገደ በኋላ የቀሩት የተበላሹ ምርቶች ጥምርታ, ወደ ጠቅላላ ቁጥርየተቀሩት ምርቶች;
ገጽ(ሀ 2
ሀ 1))=
;
ገጽ(ሀ 3) - ይህ ነው ሁለት ጉድለቶች ከተወገዱ በኋላ የቀሩት የተበላሹ ምርቶች ጥምርታ እና የተቀሩት ምርቶች ብዛት
ገጽ(ሀ 3
በቀመርው ይወሰናል 1 ሀ 2)=
.
ከዚያ የዝግጅቱ ዕድል ሀ እኩል ይሆናል
ገጽ(ሀ)
=
=
.
በተለያዩ ደንቦች, የድል ሁኔታዎች, ሽልማቶች, ሆኖም ግን, አሉ አጠቃላይ መርሆዎችከአንድ የተወሰነ የሎተሪ ሁኔታ ጋር ሊጣጣም የሚችል የማሸነፍ እድልን በማስላት። በመጀመሪያ ግን የቃላቶቹን ፍቺ መግለፅ ተገቢ ነው.
ስለዚህ, ፕሮባቢሊቲ አንድ የተወሰነ ክስተት ሊከሰት የሚችልበት የተሰላ ግምት ነው, ብዙውን ጊዜ የሚፈለጉት ክስተቶች ብዛት እና አጠቃላይ የውጤቶች ብዛት ጥምርታ መልክ ይገለጻል. ለምሳሌ ሳንቲም በሚወረውርበት ጊዜ ጭንቅላት የማግኘት እድሉ ለሁለት አንድ ነው።
ከዚህ በመነሳት የማሸነፍ እድሉ የቁጥር ጥምርታ መሆኑ ግልጽ ነው። አሸናፊ ጥምረትበተቻለ መጠን ሁሉ. ሆኖም ግን, "ማሸነፍ" የሚለው ጽንሰ-ሐሳብ መመዘኛዎች እና ፍቺዎችም ሊለያዩ እንደሚችሉ መዘንጋት የለብንም. ለምሳሌ, አብዛኛዎቹ ሎተሪዎች "ማሸነፍ" የሚለውን ፍቺ ይጠቀማሉ. ሶስተኛውን ክፍል ለማሸነፍ የሚያስፈልጉት መስፈርቶች ከመጀመሪያው ከማሸነፍ ያነሱ ናቸው, ስለዚህ የመጀመሪያውን ክፍል የማሸነፍ እድሉ ዝቅተኛው ነው. እንደ ደንቡ, ይህ አሸናፊነት በቁማር ነው.
በስሌቶቹ ውስጥ ሌላው ጉልህ ነጥብ የሁለት ተዛማጅ ክስተቶች ዕድል የእያንዳንዳቸውን ዕድል በማባዛት ይሰላል። በቀላል አነጋገር አንድ ሳንቲም ሁለት ጊዜ ከወረወርክ በእያንዳንዱ ጊዜ ጭንቅላት የማግኘት ዕድሉ ከሁለት አንድ ነው ነገር ግን ሁለቱም ጊዜ ጭንቅላት የማግኘት ዕድሉ ከአራት አንድ ብቻ ነው። በሶስት መወርወሪያዎች ላይ ዕድሉ በአጠቃላይ ከስምንት ወደ አንድ ይቀንሳል.
የዕድል ስሌት
ስለዚህ ፣ ብዙ የወደቁ እሴቶችን በትክክል መገመት በሚያስፈልግበት ረቂቅ ሎተሪ ውስጥ በቁማር የማሸነፍ እድልን ለማስላት። የተወሰነ ቁጥርኳሶች (ለምሳሌ ፣ 6 ከ 36) ፣ እያንዳንዳቸው ስድስት ኳሶች የመውደቅ እድላቸውን ማስላት እና አንድ ላይ ማባዛት ያስፈልግዎታል። እባክዎን ከበሮው ውስጥ የሚቀሩ ኳሶች ቁጥር እየቀነሰ ሲሄድ የተፈለገውን ኳስ የማግኘት እድሉ ይለወጣል። ለመጀመሪያው ኳስ ትክክለኛው የመውጣት እድሉ 6 በ 36 ፣ ማለትም ፣ 1 በ 6 ከሆነ ፣ ከዚያ ለሁለተኛው እድሉ 5 በ 35 እና ሌሎችም። በዚህ ምሳሌ ትኬቱ አሸናፊ የመሆን እድሉ 6x5x4x3x2x1 ወደ 36x35x34x33x32x31 ማለትም ከ720 እስከ 1402410240 ሲሆን ይህም ከ1 እስከ 1947792 እኩል ነው።
እነዚህ አስፈሪ ቁጥሮች ቢኖሩም, ሰዎች በመላው ዓለም በመደበኛነት ያሸንፋሉ. ባትወስድም አትርሳ ዋና ሽልማት, ሁለተኛ እና ሶስተኛ ክፍሎችም አሉ, የመሆን እድሉ በጣም ከፍተኛ ነው. ከዚህም በላይ ግልጽ ነው ምርጥ ስልትእያንዳንዱ ጀምሮ ተመሳሳይ ዝውውር በርካታ ትኬቶች ግዢ ነው ተጨማሪ ቲኬትእድሎችዎን ያበዛል. ለምሳሌ ፣ አንድ ትኬት ካልገዙ ፣ ግን ሁለት ፣ ከዚያ የማሸነፍ እድሉ በእጥፍ ከፍ ያለ ይሆናል - ከ 1.95 ሚሊዮን ውስጥ ሁለቱ ፣ ማለትም ፣ በግምት 1 በ 950 ሺህ።
“አደጋዎች በአጋጣሚ አይደሉም”... ፈላስፋ የተናገረው ነገር ይመስላል፣ ግን እንደ እውነቱ ከሆነ፣ በዘፈቀደ ማጥናት የታላቁ የሂሳብ ሳይንስ እጣ ፈንታ ነው። በሂሳብ ትምህርት ዕድል የሚስተናገደው በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ነው። ቀመሮች እና የተግባሮች ምሳሌዎች, እንዲሁም የዚህ ሳይንስ መሰረታዊ ትርጓሜዎች በአንቀጹ ውስጥ ይቀርባሉ.
ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ምንድን ነው?
የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ የዘፈቀደ ሁነቶችን ከሚያጠኑ የሂሳብ ትምህርቶች አንዱ ነው።
ትንሽ ግልጽ ለማድረግ አንድ ትንሽ ምሳሌ እንስጥ፡ ሳንቲም ወደ ላይ ከወረወርከው በጭንቅላቱ ወይም በጅራት ላይ ሊያርፍ ይችላል። ሳንቲሙ በአየር ላይ እያለ, እነዚህ ሁለቱም እድሎች ሊኖሩ ይችላሉ. ማለትም የመሆን እድሉ ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶችጥምርታ 1፡1 ነው። ከ 36 ካርዶች አንድ ካርድ ከሳሉ ፣ እድሉ 1፡36 ሆኖ ይገለጻል። በተለይም በእርዳታ እዚህ ለመዳሰስ እና ለመተንበይ ምንም ነገር ያለ አይመስልም የሂሳብ ቀመሮች. ነገር ግን, አንድን ድርጊት ብዙ ጊዜ ከደጋገሙ, አንድ የተወሰነ ንድፍ መለየት እና በእሱ ላይ በመመስረት, በሌሎች ሁኔታዎች ውስጥ ያሉትን ክስተቶች ውጤት መተንበይ ይችላሉ.
ከላይ የተጠቀሱትን ሁሉ ለማጠቃለል ያህል፣ የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ በጥንታዊ ትርጉሙ ከአሃዛዊ እሴት ውስጥ ሊሆኑ ከሚችሉ ክስተቶች ውስጥ አንዱ የመከሰት እድልን ያጠናል።
ከታሪክ ገጾች
የካርድ ጨዋታዎችን ውጤት ለመተንበይ ሙከራዎች ሲደረጉ የይሆናልነት ፅንሰ-ሀሳብ ፣ ቀመሮች እና የመጀመሪያዎቹ ተግባራት ምሳሌዎች በሩቅ መካከለኛው ዘመን ታየ።
መጀመሪያ ላይ የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ከሂሳብ ጋር ምንም ግንኙነት አልነበረውም. በተግባር ሊባዛ በሚችል ክስተት በተጨባጭ እውነታዎች ወይም ባህሪያት ጸድቋል። በ 17 ኛው ክፍለ ዘመን የሂሳብ ትምህርት እንደታየ የመጀመሪያው በዚህ አካባቢ ይሠራል. መስራቾቹ ብሌዝ ፓስካል እና ፒየር ፌርማት ነበሩ። ረጅም ጊዜአጥንተዋል። ቁማር መጫወትእና አንዳንድ ንድፎችን አይተዋል, ለህዝቡ ለመናገር የወሰኑት.
የፓስካል እና የፌርማት ምርምር ውጤቶችን ባያውቅም በክርስቲያን ሁይገንስ ተመሳሳይ ዘዴ ተፈጠረ። በዲሲፕሊን ታሪክ ውስጥ እንደ መጀመሪያው የሚቆጠሩት "የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ" ጽንሰ-ሐሳብ, ቀመሮች እና ምሳሌዎች በእሱ አስተዋውቀዋል.
የያዕቆብ በርኑሊ፣ የላፕላስ እና የፖይሰን ቲዎሬስ ስራዎች እንዲሁ ትንሽ ጠቀሜታ የላቸውም። የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብን እንደ የሂሳብ ዲሲፕሊን አድርገው ነበር። ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ, ቀመሮች እና የመሠረታዊ ተግባራት ምሳሌዎች ለኮልሞጎሮቭ አክሶም ምስጋና ይግባው. በሁሉም ለውጦች ምክንያት የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ከሒሳብ ቅርንጫፎች አንዱ ሆነ።
የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች። ክስተቶች
የዚህ ትምህርት ዋና ጽንሰ-ሐሳብ "ክስተት" ነው. ሶስት አይነት ክስተቶች አሉ፡-
- አስተማማኝ።ለማንኛውም የሚሆነው (ሳንቲሙ ይወድቃል)።
- የማይቻል።በማንኛውም ሁኔታ ውስጥ የማይከሰቱ ክስተቶች (ሳንቲሙ በአየር ላይ እንደተንጠለጠለ ይቆያል).
- በዘፈቀደ.የሚፈጸሙት ወይም የማይሆኑት። ለመተንበይ በጣም አስቸጋሪ በሆኑ የተለያዩ ምክንያቶች ተጽዕኖ ሊያሳድሩ ይችላሉ. ስለ ሳንቲም ብንነጋገር እንግዲህ የዘፈቀደ ምክንያቶች, በውጤቱ ላይ ተጽእኖ ሊያሳድር ይችላል: የሳንቲሙ አካላዊ ባህሪያት, ቅርፅ, የመነሻ ቦታ, የመወርወር ኃይል, ወዘተ.
በምሳሌዎቹ ውስጥ ያሉት ሁሉም ክስተቶች በካፒታል በላቲን ፊደላት ተጠቁመዋል, ከ P በስተቀር, የተለየ ሚና አለው. ለምሳሌ፡-
- A = "ተማሪዎች ወደ ንግግር መጡ።"
- Ā = "ተማሪዎች ወደ ትምህርቱ አልመጡም."
ውስጥ ተግባራዊ ተግባራትክስተቶች ብዙውን ጊዜ በቃላት ይመዘገባሉ.
አንዱ በጣም አስፈላጊዎቹ ባህሪያትክስተቶች - እኩል እድላቸው. ያም ማለት አንድ ሳንቲም ከጣሉ, ሁሉም አማራጮች ለመጀመሪያው ውድቀት እስከሚወድቅ ድረስ ይቻላል. ግን ክስተቶችም እንዲሁ እኩል ሊሆኑ አይችሉም። ይህ የሚሆነው አንድ ሰው ሆን ብሎ በውጤቱ ላይ ተጽዕኖ ሲያሳድር ነው። ለምሳሌ "የተሰየመ" ካርዶችን መጫወትወይም የስበት ማእከል የሚቀያየርበት ዳይስ።
ክስተቶች እንዲሁ ተኳሃኝ እና የማይጣጣሙ ሊሆኑ ይችላሉ። ተኳኋኝ ክስተቶች አንዳቸው የሌላውን ክስተት አያካትትም. ለምሳሌ፡-
- ሀ = "ተማሪው ወደ ትምህርቱ መጣ።"
- B = "ተማሪው ወደ ትምህርቱ መጣ።"
እነዚህ ክስተቶች አንዳቸው ከሌላው ነጻ ናቸው, እና የአንደኛው መከሰት የሌላውን ክስተት አይጎዳውም. የማይጣጣሙ ሁነቶች የሚገለጹት የአንዱ መከሰት የሌላውን ክስተት በማግለሉ ነው። ስለ አንድ ሳንቲም ከተነጋገርን, የ "ጭራዎች" መጥፋት በተመሳሳይ ሙከራ ውስጥ "ጭንቅላቶች" እንዳይታዩ ያደርጋል.
በክስተቶች ላይ እርምጃዎች
በዚህ መሠረት ክስተቶች ሊባዙ እና ሊጨመሩ ይችላሉ, በዲሲፕሊን ውስጥ "AND" እና "OR" አመክንዮአዊ ግንኙነቶች ቀርበዋል.
መጠኑ የሚወሰነው ክስተት A ወይም B, ወይም ሁለት, በአንድ ጊዜ ሊከሰት ስለሚችል ነው. የማይጣጣሙ ከሆኑ የመጨረሻው አማራጭ A ወይም B ይንከባለሉ.
የክስተቶች ማባዛት በአንድ ጊዜ A እና B መልክን ያካትታል.
አሁን መሰረቱን ፣የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ እና ቀመሮችን በተሻለ ለማስታወስ ብዙ ምሳሌዎችን ልንሰጥ እንችላለን። የችግር አፈታት ምሳሌዎች ከዚህ በታች።
ተግባር 1: ኩባንያው ለሦስት የሥራ ዓይነቶች ኮንትራቶችን ለመቀበል ውድድር ላይ ይሳተፋል. ሊከሰቱ የሚችሉ ክስተቶች:
- A = "ኩባንያው የመጀመሪያውን ውል ይቀበላል."
- እና 1 = "ኩባንያው የመጀመሪያውን ውል አይቀበልም."
- B = "ኩባንያው ሁለተኛ ውል ይቀበላል."
- B 1 = "ድርጅቱ ሁለተኛ ውል አይቀበልም"
- C = "ኩባንያው ሶስተኛ ውል ይቀበላል."
- C 1 = "ኩባንያው ሶስተኛ ውል አይቀበልም."
በክስተቶች ላይ ድርጊቶችን በመጠቀም, የሚከተሉትን ሁኔታዎች ለመግለጽ እንሞክራለን.
- K = "ኩባንያው ሁሉንም ውሎች ይቀበላል."
በሒሳብ መልክ፣ እኩልታው የሚከተለው ቅጽ ይኖረዋል፡ K = ABC።
- M = "ኩባንያው አንድ ውል አይቀበልም."
M = A 1 B 1C 1.
ስራውን እናወሳስበው፡ H = "ኩባንያው አንድ ውል ይቀበላል።" ኩባንያው የትኛውን ውል እንደሚቀበል (የመጀመሪያ ፣ ሁለተኛ ወይም ሦስተኛ) የማይታወቅ በመሆኑ ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶችን መመዝገብ አስፈላጊ ነው-
H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1C.
እና 1 BC 1 ድርጅቱ የመጀመሪያውን እና ሶስተኛውን ውል የማይቀበልበት, ሁለተኛውን ግን የሚቀበልበት ተከታታይ ክስተቶች ነው. ሌሎች ደግሞ ተጓዳኝ ዘዴን በመጠቀም ተመዝግበዋል. ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች. በዲሲፕሊን ውስጥ ያለው ምልክት υ ተያያዥ "OR" ያመለክታል. ከላይ ያለውን ምሳሌ ወደ ሰው ቋንቋ ከተረጎም ኩባንያው ሶስተኛውን ውል ወይም ሁለተኛውን ወይም የመጀመሪያውን ይቀበላል. በተመሳሳይ ሁኔታ, በዲሲፕሊን ውስጥ ሌሎች ሁኔታዎችን "የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ" መፃፍ ይችላሉ. ከላይ የቀረቡት የችግር አፈታት ቀመሮች እና ምሳሌዎች ይህንን እራስዎ እንዲያደርጉ ይረዱዎታል።
በእውነቱ ፣ እድሉ
ምናልባት፣ በዚህ የሒሳብ ትምህርት ውስጥ፣ የአንድ ክስተት ዕድል ማዕከላዊ ጽንሰ-ሐሳብ ነው። 3 የአቅም ፍቺዎች አሉ፡-
- ክላሲክ;
- ስታቲስቲካዊ;
- ጂኦሜትሪክ.
እያንዳንዱ በፕሮባቢሊቲ ጥናት ውስጥ የራሱ ቦታ አለው. ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ፣ ቀመሮች እና ምሳሌዎች (9ኛ ክፍል) በዋናነት ይጠቀማሉ ክላሲክ ትርጉምይህን ይመስላል፡-
- የሁኔታ ሀ ዕድል መከሰቱን ከሚደግፉ የውጤቶች ብዛት ጥምርታ ጋር እኩል ነው።
ቀመሩ ይህን ይመስላል፡- P(A)=m/n.
ሀ በእውነቱ ክስተት ነው። ከ A ተቃራኒ የሆነ ጉዳይ ከታየ, እንደ Ā ወይም A 1 ሊጻፍ ይችላል.
m ሊሆኑ የሚችሉ ምቹ ጉዳዮች ብዛት ነው.
n - ሊከሰቱ የሚችሉ ሁሉም ክስተቶች.
ለምሳሌ፣ A = "የልብ ልብስ ካርድ ይሳሉ።" በመደበኛ የመርከብ ወለል ውስጥ 36 ካርዶች አሉ, 9 ቱ የልብ ናቸው. በዚህ መሠረት ለችግሩ መፍትሄ የሚሆን ቀመር እንደሚከተለው ይሆናል-
P(A)=9/36=0.25.
በውጤቱም, የልብ ልብሶች ካርድ ከመርከቡ ላይ የመሳብ እድሉ 0.25 ይሆናል.
ወደ ከፍተኛ ሂሳብ
አሁን የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ምን እንደሆነ፣ ቀመሮች እና በ ውስጥ የሚመጡ ችግሮችን የመፍታት ምሳሌዎች ትንሽ ታውቋል የትምህርት ቤት ሥርዓተ-ትምህርት. ይሁን እንጂ የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ በዩኒቨርሲቲዎች ውስጥ በሚሰጠው ከፍተኛ የሂሳብ ትምህርት ውስጥም ይገኛል. ብዙውን ጊዜ በጂኦሜትሪክ እና በስታቲስቲክስ የንድፈ ሀሳቡ እና ውስብስብ ቀመሮች ውስጥ ይሰራሉ።
የይሆናልነት ጽንሰ-ሐሳብ በጣም አስደሳች ነው. ቀመሮችን እና ምሳሌዎችን (ከፍተኛ ሒሳብ) ትንሽ ማጥናት መጀመር ይሻላል - በስታቲስቲክስ (ወይም ድግግሞሽ) የመቻል ፍቺ።
የስታቲስቲክስ አቀራረብ ከጥንታዊው ጋር አይቃረንም, ነገር ግን በትንሹ ያሰፋዋል. በመጀመሪያው ሁኔታ አንድ ክስተት ምን ያህል ሊሆን እንደሚችል መወሰን አስፈላጊ ከሆነ በዚህ ዘዴ ምን ያህል ጊዜ እንደሚከሰት ማመልከት አስፈላጊ ነው. እዚህ አዲስ የ "አንጻራዊ ድግግሞሽ" ጽንሰ-ሐሳብ ቀርቧል, እሱም በ W n (A) ሊገለጽ ይችላል. ቀመሩ ከጥንታዊው የተለየ አይደለም፡-
ከሆነ ክላሲክ ቀመርለግምት የተሰላ, ከዚያም በስታቲስቲክስ - በሙከራው ውጤት መሰረት. ለምሳሌ አንድ ትንሽ ተግባር እንውሰድ።
የቴክኖሎጂ ቁጥጥር ዲፓርትመንት ምርቶችን ለጥራት ይመረምራል. ከ100 ምርቶች መካከል 3ቱ ጥራት የሌላቸው ሆነው ተገኝተዋል። ጥራት ያለው ምርት ድግግሞሽ እንዴት ማግኘት ይቻላል?
A = "ጥራት ያለው ምርት መልክ"
W n (A)=97/100=0.97
ስለዚህ, ጥራት ያለው ምርት ድግግሞሽ 0.97 ነው. 97 ከየት አመጣህ? ምርመራ ከተደረገባቸው 100 ምርቶች ውስጥ 3ቱ ጥራት የሌላቸው ሆነው ተገኝተዋል። ከ 100 3 ን እንቀንሳለን እና 97 እናገኛለን, ይህ የጥራት እቃዎች መጠን ነው.
ስለ ጥንብሮች ትንሽ
ሌላው የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ዘዴ combinatorics ይባላል. የእሱ መሠረታዊ መርህ ከሆነ የተወሰነ ምርጫኤም መተግበር ይቻላል? በተለያዩ መንገዶች, እና የ B ምርጫ n በተለያየ መንገድ ነው, ከዚያም የ A እና B ምርጫ በማባዛት ሊከናወን ይችላል.
ለምሳሌ ከከተማ ሀ ወደ ከተማ ቢ የሚወስዱ 5 መንገዶች አሉ። ከከተማ B ወደ ከተማ C 4 መንገዶች አሉ። ከከተማ A ወደ ከተማ ስንት መንገድ መሄድ ይችላሉ?
ቀላል ነው፡ 5x4=20 ማለትም በሃያ የተለያዩ መንገዶች ከ ነጥብ ሀ እስከ ነጥብ ሐ ድረስ መድረስ ትችላለህ።
ስራውን እናወሳስበው። በ solitaire ውስጥ ካርዶችን ለመዘርጋት ስንት መንገዶች አሉ? በመርከቧ ውስጥ 36 ካርዶች አሉ - ይህ የመነሻ ነጥብ ነው. የመንገዶቹን ብዛት ለማወቅ ከመነሻው አንድ ካርድ በአንድ ጊዜ "መቀነስ" እና ማባዛት ያስፈልግዎታል.
ማለትም 36x35x34x33x32...x2x1= ውጤቱ በካልኩሌተር ስክሪኑ ላይ ስለማይገባ በቀላሉ 36 ተብሎ ሊሰየም ይችላል። ይፈርሙ "!" ከቁጥሩ ቀጥሎ የጠቅላላው ተከታታይ ቁጥሮች በአንድ ላይ መጨመሩን ያመለክታል.
በኮምቢኔቶሪክስ ውስጥ እንደ ፐርሙቴሽን ፣ አቀማመጥ እና ጥምረት ያሉ ጽንሰ-ሀሳቦች አሉ። እያንዳንዳቸው የራሳቸው ቀመር አላቸው.
የታዘዘ የስብስብ አካላት ስብስብ ዝግጅት ይባላል። ምደባዎች ሊደገሙ ይችላሉ, ማለትም አንድ አካል ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል. እና ያለ ድግግሞሽ, ንጥረ ነገሮች የማይደጋገሙ ሲሆኑ. n ሁሉም ንጥረ ነገሮች ናቸው, m በአቀማመጥ ውስጥ የሚሳተፉ ንጥረ ነገሮች ናቸው. ያለ መደጋገም የማስቀመጫ ቀመር የሚከተለውን ይመስላል፡-
A n m =n!/(n-m)!
በአቀማመጥ ቅደም ተከተል ብቻ የሚለያዩ የ n ኤለመንቶች ግንኙነቶች ፐርሙቴሽን ይባላሉ። በሂሳብ የሚከተለውን ይመስላል: P n = n!
የኤም ኤለመንቶች ውህዶች የትኞቹ ንጥረ ነገሮች እንደነበሩ እና አጠቃላይ ቁጥራቸው ምን እንደሆነ አስፈላጊ የሆነባቸው ውህዶች ናቸው። ቀመር የሚከተለውን ይመስላል።
A n m = n!/m!(n-m)!
የቤርኑሊ ቀመር
በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ፣ እንደ እያንዳንዱ የትምህርት ዘርፍ፣ በመስካቸው ውስጥ ወደ አዲስ ደረጃ ያደረሱ ድንቅ ተመራማሪዎች ስራዎች አሉ። ከእነዚህ ስራዎች ውስጥ አንዱ የመከሰት እድልን ለመወሰን የሚያስችል የቤርኖሊ ቀመር ነው የተወሰነ ክስተትገለልተኛ ሁኔታዎች ውስጥ. ይህ የሚያሳየው በሙከራ ውስጥ A መከሰት ቀደም ባሉት ወይም ከዚያ በኋላ በተደረጉ ሙከራዎች ተመሳሳይ ክስተት መከሰት ወይም አለመከሰቱ ላይ የተመካ አለመሆኑን ነው።
የቤርኑሊ እኩልታ፡-
P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.
ለእያንዳንዱ ሙከራ የክስተት (A) የመከሰት እድል (p) ቋሚ ነው። በሙከራዎች ብዛት ሁኔታው በትክክል m ጊዜ የመከሰቱ ዕድል ከላይ በቀረበው ቀመር ይሰላል። በዚህ መሠረት ቁጥሩን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ጥያቄው ይነሳል q.
ክስተት A የ p ቁጥር ጊዜ ከተከሰተ, በዚህ መሠረት, ላይሆን ይችላል. ዩኒት በዲሲፕሊን ውስጥ የአንድን ሁኔታ ሁሉንም ውጤቶች ለመሰየም የሚያገለግል ቁጥር ነው። ስለዚህ q የአንድ ክስተት ያለመከሰት እድልን የሚያመለክት ቁጥር ነው።
አሁን የቤርኑሊ ቀመር (የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ) ያውቃሉ። የችግር አፈታት (የመጀመሪያ ደረጃ) ምሳሌዎችን ከዚህ በታች እንመለከታለን።
ተግባር 2፡የሱቅ ጎብኚ በግዢ 0.2 ሊሆን ይችላል። 6 ጎብኝዎች ራሳቸውን ችለው ወደ መደብሩ ገቡ። አንድ ጎብኚ ግዢ የመፈጸም ዕድሉ ምን ያህል ነው?
መፍትሔው፡ አንድ ወይም ሁሉም ስድስቱ ምን ያህል ጎብኚዎች ግዢ መፈጸም እንዳለባቸው ስለማይታወቅ የቤርኑሊ ቀመርን በመጠቀም ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ዕድሎችን ማስላት ያስፈልጋል።
A = "ጎብኚው ግዢ ያደርጋል."
በዚህ ሁኔታ: p = 0.2 (በተግባሩ ላይ እንደተመለከተው). በዚህ መሠረት, q = 1-0.2 = 0.8.
n = 6 (በመደብሩ ውስጥ 6 ደንበኞች ስላሉ)። ቁጥሩ m ከ 0 (አንድ ደንበኛ አይገዛም) ወደ 6 ይለያያል (ሁሉም የመደብሩ ጎብኚዎች አንድ ነገር ይገዛሉ). በውጤቱም, መፍትሄውን እናገኛለን-
P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.
ከገዢዎች መካከል አንዳቸውም በግዢ 0.2621 አይገዙም።
የቤርኑሊ ቀመር (የይቻላል ቲዎሪ) ሌላ እንዴት ጥቅም ላይ ይውላል? የችግር አፈታት ምሳሌዎች (ሁለተኛ ደረጃ) ከዚህ በታች።
ከላይ ካለው ምሳሌ በኋላ, C እና r የት እንደሄዱ ጥያቄዎች ይነሳሉ. ከፒ ጋር በተዛመደ፣ ከ 0 ኃይል ጋር ያለው ቁጥር ከአንድ ጋር እኩል ይሆናል። ስለ ሲ፣ በቀመርው ሊገኝ ይችላል፡-
C n m = n! /m!(n-m)!
ከመጀመሪያው ምሳሌ m = 0, በቅደም, C = 1, በመርህ ደረጃ ውጤቱን አይጎዳውም. በመጠቀም አዲስ ቀመር, ሁለት ጎብኚዎች እቃዎችን የመግዛት እድሉ ምን እንደሆነ ለማወቅ እንሞክር.
P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.
የይሆናልነት ጽንሰ-ሐሳብ ያን ያህል የተወሳሰበ አይደለም. ከላይ የቀረቡት የቤርኑሊ ቀመር ለዚህ ቀጥተኛ ማረጋገጫ ነው።
የ Poisson ቀመር
የPoisson እኩልታ ዝቅተኛ የመሆን እድል በዘፈቀደ ሁኔታዎችን ለማስላት ጥቅም ላይ ይውላል።
መሰረታዊ ቀመር፡
P n (m)=λ ሜ/ሜ! × ሠ (-λ) .
በዚህ ሁኔታ λ = n x p. ቀላል የ Poisson ፎርሙላ (የይቻላል ንድፈ ሐሳብ) እዚህ አለ። ከዚህ በታች የችግር አፈታት ምሳሌዎችን እንመለከታለን.
ተግባር 3: ፋብሪካው 100,000 ክፍሎችን አመረተ። ጉድለት ያለበት ክፍል መከሰት = 0.0001. በቡድን ውስጥ 5 ጉድለት ያለባቸው ክፍሎች ሊኖሩ የሚችሉበት ዕድል ምን ያህል ነው?
እንደሚመለከቱት, ጋብቻ የማይታሰብ ክስተት ነው, እና ስለዚህ የ Poisson ቀመር (የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ) ለማስላት ጥቅም ላይ ይውላል. የእንደዚህ አይነት ችግሮችን የመፍታት ምሳሌዎች በዲሲፕሊን ውስጥ ካሉ ሌሎች ተግባራት አይለያዩም ፣ አስፈላጊውን መረጃ በተሰጠው ቀመር እንተካለን
A = "በዘፈቀደ የተመረጠ ክፍል ጉድለት ይኖረዋል።"
p = 0.0001 (በተግባር ሁኔታዎች መሰረት).
n = 100000 (የክፍሎች ብዛት).
m = 5 (የተበላሹ ክፍሎች). ውሂቡን ወደ ቀመር እንተካውና የሚከተለውን እናገኛለን፡-
R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0.0375.
ልክ እንደ በርኑሊ ፎርሙላ (የይቻላል ንድፈ ሃሳብ)፣ የመፍትሄ ምሳሌዎች ከዚህ በላይ የተፃፉ፣ የፖይሰን እኩልታ የማይታወቅ ሠ አለው፣ በእውነቱ፣ በቀመርው ሊገኝ ይችላል።
e -λ = ሊም n ->∞ (1-λ/n) n .
ሆኖም ፣ ሁሉንም ማለት ይቻላል የ e እሴቶችን የያዙ ልዩ ሰንጠረዦች አሉ።
ደ ሞኢቭር-ላፕላስ ቲዎረም
በበርኑሊ እቅድ ውስጥ የሙከራዎች ብዛት በበቂ ሁኔታ ትልቅ ከሆነ እና በሁሉም መርሃግብሮች ውስጥ የክስተት ሀ የመከሰት እድሉ ተመሳሳይ ከሆነ በተከታታይ ሙከራዎች ውስጥ የተወሰኑ ጊዜያት የክስተት ዕድል ሊገኝ ይችላል ። የላፕላስ ቀመር:
Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m)።
X m = m-np/√npq.
የላፕላስ ፎርሙላ (የይቻላል ንድፈ ሃሳብ) በተሻለ ሁኔታ ለማስታወስ የችግሮች ምሳሌዎች ከዚህ በታች ቀርበዋል።
በመጀመሪያ, X m ን እንፈልግ, መረጃውን (ከላይ የተዘረዘሩትን) ወደ ቀመር በመተካት 0.025 አግኝ. ሰንጠረዦችን በመጠቀም, ϕ (0.025) ቁጥር እናገኛለን, ዋጋው 0.3988 ነው. አሁን ሁሉንም ውሂብ ወደ ቀመር መተካት ይችላሉ-
P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.
ስለዚህ በራሪ ወረቀቱ በትክክል 267 ጊዜ የሚሰራበት ዕድል 0.03 ነው።
ቤይስ ቀመር
የቤይስ ፎርሙላ (የይሆናልነት ንድፈ ሐሳብ)፣ በዚህ እርዳታ ችግሮችን የመፍታት ምሳሌዎች ከዚህ ጋር ሊዛመዱ በሚችሉ ሁኔታዎች ላይ በመመስረት የአንድን ክስተት ዕድል የሚገልጽ ቀመር ነው። መሠረታዊው ቀመር እንደሚከተለው ነው.
P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).
A እና B የተወሰኑ ክስተቶች ናቸው።
P(A|B) ሁኔታዊ ዕድል ነው፣ ማለትም፣ ክስተት A ሊከሰት የሚችለው ክስተት B እውነት ከሆነ ነው።
P (B|A) - ሁኔታዊ ክስተት ለ.
ስለዚህ, የአጭር ኮርስ የመጨረሻው ክፍል "የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ" የቤይስ ቀመር ነው, ከዚህ በታች ላሉት ችግሮች መፍትሄዎች ምሳሌዎች.
ተግባር 5: የሶስት ኩባንያዎች ስልኮች ወደ መጋዘኑ መጡ። በተመሳሳይ ጊዜ, በመጀመሪያው ፋብሪካ ውስጥ የሚመረቱ ስልኮች ድርሻ 25%, በሁለተኛው - 60%, በሦስተኛው - 15% ነው. በተጨማሪም በመጀመሪያው ፋብሪካ ውስጥ የተበላሹ ምርቶች አማካይ መቶኛ 2%, በሁለተኛው - 4%, እና በሦስተኛው - 1% እንደሆነ ይታወቃል. በዘፈቀደ የተመረጠ ስልክ ጉድለት ያለበት ሊሆን የሚችልበትን እድል መፈለግ አለቦት።
A = "በዘፈቀደ የተመረጠ ስልክ።"
B 1 - የመጀመሪያው ፋብሪካ ያመረተው ስልክ. በዚህ መሠረት, መግቢያ B 2 እና B 3 ይታያሉ (ለሁለተኛው እና ለሦስተኛው ፋብሪካዎች).
በውጤቱም እኛ እናገኛለን:
P (B 1) = 25%/100% = 0.25; P (B 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - ስለዚህ የእያንዳንዱን አማራጭ ዕድል አግኝተናል.
አሁን መፈለግ አለብን ሁኔታዊ እድሎችየሚፈለገው ክስተት ፣ ማለትም ፣ በኩባንያዎች ውስጥ የተበላሹ ምርቶች ዕድል
P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;
P (A / B 2) = 0.04;
P (A/B 3) = 0.01.
አሁን ውሂቡን ወደ ቤይስ ቀመር እንተካውና የሚከተለውን አግኝ፡-
P (A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305.
ጽሑፉ የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብን፣ ቀመሮችን እና የችግር አፈታት ምሳሌዎችን ያቀርባል፣ ነገር ግን ይህ የሰፋፊ ዲሲፕሊን የበረዶ ግግር ጫፍ ብቻ ነው። እና ከተፃፈው ሁሉ በኋላ, በህይወት ውስጥ የመሆን ፅንሰ-ሀሳብ አስፈላጊ ስለመሆኑ ጥያቄን መጠየቅ ምክንያታዊ ይሆናል. ለተራው ሰውለመመለስ አስቸጋሪ ነው, ጃክታውን ለማሸነፍ የተጠቀመውን ሰው ከአንድ ጊዜ በላይ መጠየቅ የተሻለ ነው.
