ተከታታይ የጂኦሜትሪክ እድገት. የጂኦሜትሪክ እድገት

ሒሳብ ምንድን ነውሰዎች ተፈጥሮን እና እራሳቸውን ይቆጣጠራሉ.

የሶቪየት የሂሳብ ሊቅ, አካዳሚክ A.N. ኮልሞጎሮቭ

የጂኦሜትሪክ እድገት.

ከአርቲሜቲክ ግስጋሴ ስራዎች ጋር፣ ከጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ጽንሰ-ሀሳብ ጋር የተያያዙ ስራዎች በሂሳብ የመግቢያ ፈተናዎችም የተለመዱ ናቸው። እንደነዚህ ያሉትን ችግሮች በተሳካ ሁኔታ ለመፍታት የጂኦሜትሪክ እድገትን ባህሪያት ማወቅ እና እነሱን ለመጠቀም ጥሩ ችሎታዎች ሊኖሩዎት ይገባል.

ይህ ጽሑፍ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ዋና ዋና ባህሪያትን ለማቅረብ ነው. እንዲሁም የተለመዱ ችግሮችን ለመፍታት ምሳሌዎችን ይሰጣል, በሂሳብ የመግቢያ ፈተናዎች ተግባራት ተበድሯል.

የጂኦሜትሪክ እድገትን ዋና ዋና ባህሪያት አስቀድመን እናስታውስ እና በጣም አስፈላጊ የሆኑትን ቀመሮች እና መግለጫዎች እናስታውስ., ከዚህ ጽንሰ-ሐሳብ ጋር የተያያዘ.

ፍቺከሁለተኛው ጀምሮ እያንዳንዱ ቁጥሮች ከቀዳሚው ጋር እኩል ከሆኑ ፣ በተመሳሳይ ቁጥር ከተባዙ የቁጥር ቅደም ተከተል የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ይባላል። ቁጥሩ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መለያ ይባላል።

ለጂኦሜትሪክ እድገትቀመሮቹ ትክክለኛ ናቸው

, (1)

የት . ቀመር (1) የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ አጠቃላይ ቃል ቀመር ይባላል እና ቀመር (2) የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ዋና ንብረት ነው፡ እያንዳንዱ የእድገት አባል ከአጎራባች አባላቱ ጂኦሜትሪክ አማካኝ ጋር እና .

ማስታወሻ, በጥያቄ ውስጥ ያለው እድገት "ጂኦሜትሪክ" ተብሎ የሚጠራው በዚህ ንብረት ምክንያት በትክክል ነው.

ከላይ ያሉት ቀመሮች (1) እና (2) በአጭሩ እንደሚከተለው ቀርበዋል።

, (3)

ድምርን ለማስላትአንደኛ የጂኦሜትሪክ እድገት አባላትቀመሩ ተግባራዊ ይሆናል

ከወሰንን

የት . ጀምሮ፣ ቀመር (6) የቀመር አጠቃላይ (5) ነው።

በጉዳዩ ውስጥ መቼ እና የጂኦሜትሪክ እድገትያለማቋረጥ እየቀነሰ ነው። ድምርን ለማስላትላልተወሰነ ደረጃ እየቀነሰ ያለው የጂኦሜትሪክ እድገት አባላት ፣ ቀመሩ ጥቅም ላይ ይውላል

. (7)

ለምሳሌ , ቀመር (7) በመጠቀም አንድ ማሳየት ይችላል, ምንድን

የት . እነዚህ እኩልነቶች ከቀመር (7) የተገኙት , (የመጀመሪያው እኩልነት) እና , (ሁለተኛው እኩልነት).

ቲዎረም.ከሆነ፣ እንግዲህ

ማረጋገጫ። ከሆነ ታዲያ .

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

በ "ጂኦሜትሪክ ግስጋሴ" ርዕስ ላይ ችግሮችን የመፍታት ምሳሌዎችን ወደ ማገናዘብ እንሂድ.

ምሳሌ 1የተሰጠው፡, እና. ማግኘት .

ውሳኔ.ቀመር (5) ከተተገበረ, ከዚያ

መልስ፡.

ምሳሌ 2ፍቀድ እና. ማግኘት .

ውሳኔ.ጀምሮ እና፣ ቀመሮችን (5)፣ (6) እንጠቀማለን እና የእኩልታዎችን ስርዓት እናገኛለን

ሁለተኛው የስርዓት እኩልታ (9) በመጀመሪያው ከተከፋፈለ, ከዚያ ወይም. ከዚህ በመነሳት ነው። . እስቲ ሁለት ጉዳዮችን እንመልከት።

1. ከሆነ. ከዚያም ከመጀመሪያው የስርዓት እኩልታ (9) አለን።.

2. ከሆነ .

ምሳሌ 3ፍቀድ እና. ማግኘት .

ውሳኔ.ከቀመር (2) ያንን ወይም . ከዚያን ጊዜ ጀምሮ ወይም .

በሁኔታ። ይሁን እንጂ ስለዚህ. ምክንያቱም እና, ከዚያ እዚህ የእኩልታዎች ስርዓት አለን።

የስርዓቱ ሁለተኛ እኩልታ በመጀመሪያው ከተከፋፈለ, ከዚያም ወይም.

ጀምሮ፣ እኩልታው አንድ ተስማሚ ሥር አለው። በዚህ ሁኔታ, የስርዓቱ የመጀመሪያ እኩልታ የሚያመለክተው .

ቀመር (7) ግምት ውስጥ በማስገባት እናገኛለን.

መልስ፡.

ምሳሌ 4የተሰጠው: እና. ማግኘት .

ውሳኔ.ከዛን ጊዜ ጀምሮ .

ምክንያቱም ፣ ከዚያ ወይም

በቀመር (2) መሠረት አለን። በዚህ ረገድ, ከእኩልነት (10) እናገኛለን ወይም .

ሆኖም ግን, በሁኔታ, ስለዚህ.

ምሳሌ 5መሆኑ ይታወቃል። ማግኘት .

ውሳኔ. በንድፈ ሀሳቡ መሰረት ሁለት እኩልነቶች አሉን

ከዚያን ጊዜ ጀምሮ ወይም . ምክንያቱም እንግዲህ።

መልስ፡.

ምሳሌ 6የተሰጠው: እና. ማግኘት .

ውሳኔ.ቀመር (5) ግምት ውስጥ በማስገባት እናገኛለን

ከዛን ጊዜ ጀምሮ . ጀምሮ፣ እና፣ ከዚያም።

ምሳሌ 7ፍቀድ እና. ማግኘት .

ውሳኔ.በቀመር (1) መሠረት, መጻፍ እንችላለን

ስለዚህ, አለን ወይም. እንደሆነ ይታወቃል፣ ስለዚህም እና።

መልስ፡.

ምሳሌ 8ከሆነ ማለቂያ የሌለው እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መለያን ያግኙ

እና .

ውሳኔ. ከቀመር (7) ይከተላልእና . ከዚህ እና ከችግሩ ሁኔታ, የእኩልታዎችን ስርዓት እናገኛለን

የስርዓቱ የመጀመሪያ እኩልታ ስኩዌር ከሆነ, እና ከዚያ የተገኘውን ስሌት በሁለተኛው እኩልታ ይከፋፍሉት, ከዚያም እናገኛለን

ወይም.

መልስ፡.

ምሳሌ 9ቅደም ተከተል ፣ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ የሆነባቸውን ሁሉንም እሴቶች ይፈልጉ።

ውሳኔ.ፍቀድ እና. የጂኦሜትሪክ ግስጋሴን ዋና ንብረት በሚገልጸው ቀመር (2) መሰረት, መጻፍ ወይም .

ከዚህ ኳድራቲክ እኩልታ እናገኛለን, የማን ሥሮቻቸው ናቸውእና .

እንፈትሽ፡ ከሆነከዚያም እና; ከሆነ እና ከዚያ እና.

በመጀመሪያው ሁኔታ እኛ አለንእና, እና በሁለተኛው - እና.

መልስ፡,.

ምሳሌ 10እኩልታውን መፍታት

, (11)

የት እና .

ውሳኔ. የግራ በኩል እኩልታ (11) ማለቂያ የሌለው እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ድምር ነው፣ በውስጡ እና፣ የቀረበው፡ እና .

ከቀመር (7) ይከተላል, ምንድን . በዚህ ረገድ, ቀመር (11) ቅጹን ይወስዳልወይም . ተስማሚ ሥር ኳድራቲክ እኩልታ ነው።

መልስ፡.

ምሳሌ 11.ፒ የአዎንታዊ ቁጥሮች ቅደም ተከተልየሂሳብ እድገትን ይፈጥራል፣ ሀ - የጂኦሜትሪክ እድገትምን አገናኘው . ማግኘት .

ውሳኔ.እንደ የሂሳብ ቅደም ተከተል, ከዚያም (የሂሳብ እድገት ዋና ንብረት)። እስከ, ከዚያ ወይም. ይህ የሚያመለክተው፣ የጂኦሜትሪክ እድገት መሆኑን. በቀመር (2) መሠረት, ከዚያም እንጽፋለን.

ጀምሮ እና ከዚያ . በዚያ ሁኔታ, አገላለጽቅጹን ይወስዳል ወይም . በሁኔታዎች, ስለዚህ ከሒሳብከግምት ውስጥ በማስገባት የችግሩን ልዩ መፍትሄ እናገኛለን፣ ማለትም እ.ኤ.አ. .

መልስ፡.

ምሳሌ 12.ድምርን አስላ

. (12)

ውሳኔ. ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች (12) በ 5 በማባዛት ያግኙ

ከተፈጠረው አገላለጽ (12) ብንቀንስ, ከዚያም

ወይም.

ለማስላት እሴቶቹን ወደ ቀመር (7) እንተካቸዋለን እና እናገኛለን። ከዛን ጊዜ ጀምሮ .

መልስ፡.

እዚህ የተሰጡት የችግር አፈታት ምሳሌዎች ለአመልካቾች ለመግቢያ ፈተናዎች ሲዘጋጁ ጠቃሚ ይሆናሉ። የችግር አፈታት ዘዴዎችን በጥልቀት ለማጥናት, ከጂኦሜትሪክ እድገት ጋር የተያያዘ, መማሪያዎቹን ከተመከሩት ጽሑፎች ዝርዝር ውስጥ መጠቀም ትችላለህ።

1. ለቴክኒክ ዩኒቨርሲቲዎች አመልካቾች በሂሳብ ውስጥ የተግባር ስብስብ / Ed. ኤም.አይ. ስካናቪ. - M.: Mir i Obrazovanie, 2013. - 608 p.

2. ሱፑሩን ቪ.ፒ. ለሁለተኛ ደረጃ ተማሪዎች የሂሳብ ትምህርት፡ ተጨማሪ የትምህርት ቤቱ ሥርዓተ ትምህርት ክፍሎች። - ኤም: ሌናንድ / ዩአርኤስ, 2014. - 216 p.

3. ሜዲንስኪ ኤም.ኤም. በተግባሮች እና ልምምዶች ውስጥ የተሟላ የአንደኛ ደረጃ የሂሳብ ትምህርት። መጽሐፍ 2፡ የቁጥር ቅደም ተከተሎች እና ግስጋሴዎች። - M.: Editus, 2015. - 208 p.

ማንኛውም ጥያቄ አለህ?

የአስተማሪን እርዳታ ለማግኘት - ይመዝገቡ.

ጣቢያ፣ የቁሳቁስን ሙሉ ወይም ከፊል ቅጂ፣ ወደ ምንጩ ማገናኛ ያስፈልጋል።

የጂኦሜትሪክ እድገትበሂሳብ ውስጥ ከሂሳብ ያነሰ አስፈላጊ አይደለም. የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ እንደዚህ አይነት የቁጥሮች ቅደም ተከተል ነው b1, b2,..., b[n] እያንዳንዱ ቀጣይ አባል የሚገኘው ቀዳሚውን በቋሚ ቁጥር በማባዛት ነው. የእድገቱን እድገት ወይም የመቀነሱን ፍጥነት የሚያመለክት ይህ ቁጥር ይባላል የጂኦሜትሪክ እድገት አመላካችእና አመልክት

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴን ሙሉ በሙሉ ለመመደብ, ከመለያው በተጨማሪ, የመጀመሪያውን ቃል ማወቅ ወይም መወሰን ያስፈልጋል. ለተከፋፈለው አወንታዊ እሴት፣ ግስጋሴው የአንድ ነጠላ ቶን ቅደም ተከተል ነው፣ እና ይህ የቁጥሮች ቅደም ተከተል በብቸኝነት እየቀነሰ እና በአንድ ጊዜ እየጨመረ ከሆነ። መለያው ከአንድ ጋር እኩል በሚሆንበት ጊዜ ጉዳዩ በተግባር አይቆጠርም ፣ ምክንያቱም ተመሳሳይ ቁጥሮች ቅደም ተከተል ስላለን እና የእነሱ ማጠቃለያ ተግባራዊ ጠቀሜታ የለውም።

የጂኦሜትሪክ እድገት አጠቃላይ ቃልበቀመርው መሰረት ይሰላል

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ የመጀመሪያ n ቃላት ድምርበቀመርው ይወሰናል

የጥንታዊ የጂኦሜትሪክ እድገት ችግሮች መፍትሄዎችን እንመልከት ። ለመረዳት ቀላሉን እንጀምር።

ምሳሌ 1. የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ የመጀመሪያ ቃል 27 ነው፣ እና መለያው 1/3 ነው። የጂኦሜትሪክ እድገት የመጀመሪያዎቹን ስድስት ቃላት ያግኙ።

መፍትሄ: የችግሩን ሁኔታ በቅጹ ላይ እንጽፋለን

ለስሌቶች፣ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴውን የ nth አባል ቀመር እንጠቀማለን።

በእሱ ላይ በመመስረት, ያልታወቁ የእድገት አባላትን እናገኛለን

እንደሚመለከቱት, የጂኦሜትሪክ እድገትን ውሎች ማስላት አስቸጋሪ አይደለም. እድገቱ እራሱ እንደዚህ ይመስላል

ምሳሌ 2. የመጀመሪያዎቹ ሶስት የጂኦሜትሪክ እድገት አባላት ተሰጥተዋል፡ 6; -12; 24. መለያውን እና ሰባተኛውን ቃል ይፈልጉ።

መፍትሄ፡ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴውን በትርጉሙ መሰረት እናሰላለን።

መለያው -2 የሆነ ተለዋጭ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ አግኝተናል። ሰባተኛው ቃል በቀመር ይሰላል

በዚህ ተግባር ላይ ተፈትቷል.

ምሳሌ 3. የጂኦሜትሪክ እድገት በሁለት አባላቶቹ ይሰጣል . የሂደቱን አሥረኛ ቃል ይፈልጉ።

ውሳኔ፡-

የተሰጡትን እሴቶች በቀመርዎቹ በኩል እንፃፍ

እንደ ደንቦቹ, መለያውን መፈለግ አስፈላጊ ነው, ከዚያም የሚፈለገውን ዋጋ ይፈልጉ, ነገር ግን ለአሥረኛው ጊዜ እኛ አለን.

ተመሳሳይ ፎርሙላ ከመግቢያው መረጃ ጋር ቀላል ማጭበርበሮችን መሰረት በማድረግ ማግኘት ይቻላል. የተከታታዩን ስድስተኛውን ቃል በሌላ እንካፈላለን, በውጤቱም እናገኛለን

የተገኘው ዋጋ በስድስተኛው ቃል ከተባዛ, አሥረኛውን እናገኛለን

ስለዚህ, ለእንደዚህ አይነት ችግሮች, ቀላል ለውጦችን በፍጥነት በማገዝ, ትክክለኛውን መፍትሄ ማግኘት ይችላሉ.

ምሳሌ 4. የጂኦሜትሪክ እድገት በተደጋጋሚ ቀመሮች ይሰጣል

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴውን እና የመጀመሪያዎቹን ስድስት ቃላት ድምርን ያግኙ።

ውሳኔ፡-

የተሰጠውን መረጃ በእኩልታዎች ስርዓት መልክ እንጽፋለን

ሁለተኛውን እኩልታ በአንደኛው በማካፈል መለያውን ይግለጹ

የሂደቱን የመጀመሪያ ቃል ከመጀመሪያው እኩል ይፈልጉ

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴውን ድምር ለማግኘት የሚከተሉትን አምስት ቃላት አስላ

የመጀመሪያ ደረጃ

የጂኦሜትሪክ እድገት. አጠቃላይ መመሪያ ከምሳሌዎች ጋር (2019)

የቁጥር ቅደም ተከተል

ስለዚህ ቁጭ ብለን አንዳንድ ቁጥሮችን መፃፍ እንጀምር። ለምሳሌ:

ማንኛውንም ቁጥሮች መጻፍ ይችላሉ, እና የፈለጉትን ያህል ሊኖሩ ይችላሉ (በእኛ ሁኔታ, እነሱ). ምንም ያህል ቁጥሮች ብንጽፍ ሁልጊዜ ከመካከላቸው የትኛው የመጀመሪያው ነው, የትኛው ሁለተኛው ነው, እና እስከ መጨረሻው ድረስ, ማለትም, ልንቆጥራቸው እንችላለን. ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል ምሳሌ ነው።

የቁጥር ቅደም ተከተልየቁጥሮች ስብስብ ነው, እያንዳንዱም ልዩ ቁጥር ሊመደብ ይችላል.

ለምሳሌ ለኛ ቅደም ተከተል፡-

የተመደበው ቁጥር ለአንድ ተከታታይ ቁጥር ብቻ የተወሰነ ነው። በሌላ አነጋገር, በቅደም ተከተል ውስጥ ምንም ሶስት ሰከንድ ቁጥሮች የሉም. ሁለተኛው ቁጥር (እንደ -th ቁጥር) ሁልጊዜ ተመሳሳይ ነው.

ቁጥሩ ያለው ቁጥር በቅደም ተከተል -th አባል ይባላል.

እኛ አብዛኛውን ጊዜ መላውን ቅደም ተከተል አንዳንድ ፊደል እንጠራዋለን (ለምሳሌ ያህል,), እና እያንዳንዱ የዚህ ተከታታይ አባል - የዚህ አባል ቁጥር ጋር እኩል የሆነ ኢንዴክስ ጋር ተመሳሳይ ፊደል:.

በእኛ ሁኔታ፡-

በጣም የተለመዱት የእድገት ዓይነቶች አርቲሜቲክ እና ጂኦሜትሪክ ናቸው. በዚህ ርዕስ ውስጥ ስለ ሁለተኛው ዓይነት እንነጋገራለን - የጂኦሜትሪክ እድገት.

ለምን የጂኦሜትሪክ እድገት እና ታሪክ ያስፈልገናል?

በጥንት ጊዜ እንኳን ጣሊያናዊው የሂሳብ ሊቅ፣ የፒሳው ሊዮናርዶ መነኩሴ (በይበልጡኑ ፊቦናቺ) የንግድን ተግባራዊ ፍላጎቶች ያሟላ ነበር። መነኩሴው ሸቀጦቹን ለመመዘን የሚያገለግል ትንሹ የክብደት መጠን ምን እንደሆነ የመወሰን ሥራ ገጥሞት ነበር? ፊቦናቺ በጽሑፎቹ ውስጥ እንዲህ ዓይነቱ የክብደት ስርዓት በጣም ጥሩ መሆኑን ያረጋግጣል-ይህ ሰዎች ምናልባት ስለ ሰምተው እና ቢያንስ አጠቃላይ ሀሳብ ስላላቸው የጂኦሜትሪክ እድገትን ለመቋቋም ከመጀመሪያዎቹ ሁኔታዎች ውስጥ አንዱ ነው። ርዕሱን ሙሉ በሙሉ ከተረዳህ በኋላ እንዲህ ዓይነቱ ሥርዓት ለምን ጥሩ እንደሆነ አስብ?

በአሁኑ ጊዜ, በህይወት ልምምድ ውስጥ, የጂኦሜትሪክ እድገት በባንክ ውስጥ ገንዘብ ሲያፈስ, የወለድ መጠን በሂሳቡ ውስጥ የተጠራቀመው ለቀደመው ጊዜ በሚከፈልበት ጊዜ እራሱን ያሳያል. በሌላ አገላለጽ በቁጠባ ባንክ ውስጥ በተቀማጭ ገንዘብ ላይ ገንዘብ ካደረጉ ታዲያ በዓመት ውስጥ ተቀማጭ ገንዘቡ ከመጀመሪያው መጠን ይጨምራል ፣ ማለትም። አዲሱ መጠን ከተጨመረው መዋጮ ጋር እኩል ይሆናል. በሌላ አመት, ይህ መጠን ይጨምራል, i.е. በዚያን ጊዜ የተገኘው መጠን እንደገና ተባዝቷል እና ወዘተ. ተመሳሳይ ሁኔታ የሚባሉትን በማስላት ችግሮች ውስጥ ይገለጻል ተደራራቢ ወለድ- ቀደም ሲል የነበረውን ወለድ ግምት ውስጥ በማስገባት መቶኛ በእያንዳንዱ ጊዜ በሂሳብ ላይ ካለው መጠን ይወሰዳል. ስለ እነዚህ ስራዎች ትንሽ ቆይተው እንነጋገራለን.

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ የሚተገበርባቸው ብዙ ተጨማሪ ቀላል ጉዳዮች አሉ። ለምሳሌ የኢንፍሉዌንዛ መስፋፋት: አንድ ሰው አንድን ሰው ያዘው, እነሱ, በተራው, ሌላ ሰው ያዙ, እና በዚህም ሁለተኛው የኢንፌክሽን ሞገድ - አንድ ሰው, እና እነሱ, በተራው, ሌላውን ... እና የመሳሰሉትን .. .

በነገራችን ላይ, የፋይናንሺያል ፒራሚድ, ተመሳሳይ ኤምኤምኤም, በጂኦሜትሪክ እድገት ባህሪያት መሰረት ቀላል እና ደረቅ ስሌት ነው. የሚስብ? ነገሩን እንወቅበት።

የጂኦሜትሪክ እድገት.

የቁጥር ቅደም ተከተል አለን እንበል፡-

ወዲያውኑ ቀላል እንደሆነ መልስ ይሰጣሉ እና የእንደዚህ አይነት ቅደም ተከተል ስም ከአባላቱ ልዩነት ጋር የሂሳብ እድገት ነው. እንደዚህ ያለ ነገር እንዴት ነው?

የቀደመውን ቁጥር ከሚቀጥለው ቁጥር ካነሱት በእያንዳንዱ ጊዜ አዲስ ልዩነት (እና የመሳሰሉት) ሲያገኙ ያያሉ, ነገር ግን ቅደም ተከተል በእርግጠኝነት አለ እና በቀላሉ ሊታወቅ ይችላል - እያንዳንዱ ቀጣይ ቁጥር ከቀዳሚው በእጥፍ ይበልጣል. !

የዚህ አይነት ቅደም ተከተል ይባላል የጂኦሜትሪክ እድገትእና ምልክት ተደርጎበታል.

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ () የቁጥር ቅደም ተከተል ነው, የመጀመሪያው ቃል ከዜሮ የተለየ ነው, እና እያንዳንዱ ቃል, ከሁለተኛው ጀምሮ, ከቀዳሚው ጋር እኩል ነው, በተመሳሳይ ቁጥር ተባዝቷል. ይህ ቁጥር የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መለያ ይባላል።

የመጀመሪያው ቃል () እኩል እንዳልሆነ እና በዘፈቀደ የማይሆኑ ገደቦች. አንዳቸውም የሉም እንበል፣ እና የመጀመሪያው ቃል አሁንም እኩል ነው፣ እና q፣ hmm .. እናድርግ፣ ከዚያ እንዲህ ይሆናል፡-

ይህ ምንም እድገት እንዳልሆነ ይስማሙ.

እርስዎ እንደተረዱት, ከዜሮ ሌላ ቁጥር ከሆነ, ነገር ግን ተመሳሳይ ውጤቶችን እናገኛለን. በእነዚህ አጋጣሚዎች አጠቃላይ የቁጥር ተከታታይ ሁሉም ዜሮዎች ወይም አንድ ቁጥር እና የተቀሩት ዜሮዎች ስለሚሆኑ በቀላሉ ምንም እድገት አይኖርም።

አሁን ስለ ጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መለያ ፣ ማለትም ፣ ስለ የበለጠ በዝርዝር እንነጋገር ።

እንድገመው: - ይህ ቁጥር ነው, እያንዳንዱ ቀጣይ ቃል ስንት ጊዜ ይለወጣልየጂኦሜትሪክ እድገት.

ምን ሊሆን ይችላል ብለው ያስባሉ? ያ ልክ ነው፣ አወንታዊ እና አሉታዊ፣ ግን ዜሮ አይደለም (ስለዚህ ትንሽ ከፍ ያለ ተነጋገርን)።

አዎንታዊ ነገር አለን እንበል። በእኛ ሁኔታ፣ ሀ. ሁለተኛው ቃል ምንድን ነው እና? በቀላሉ መልስ መስጠት ይችላሉ-

ደህና. በዚህ መሠረት, ከሆነ, ከዚያም ሁሉም ተከታይ እድገት አባላት ተመሳሳይ ምልክት - እነሱ አዎንታዊ.

አሉታዊ ከሆነስ? ለምሳሌ ሀ. ሁለተኛው ቃል ምንድን ነው እና?

ፍጹም የተለየ ታሪክ ነው።

የዚህን እድገት ቃል ለመቁጠር ይሞክሩ. ምን ያህል አገኘህ? አለኝ. ስለዚህ ፣ ከሆነ ፣ የጂኦሜትሪክ እድገት ውሎች ምልክቶች ተለዋጭ ናቸው። ማለትም፣ በአባላቱ ውስጥ ተለዋጭ ምልክቶች ያሉት እድገት ካዩ፣ መለያው አሉታዊ ነው። ይህ እውቀት በዚህ ርዕስ ላይ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ እራስዎን ለመፈተሽ ይረዳዎታል.

አሁን ትንሽ እንለማመድ፡ የትኛዎቹ የቁጥር ቅደም ተከተሎች የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ እንደሆኑ እና የትኞቹ ደግሞ ሒሳብ እንደሆኑ ለመወሰን ይሞክሩ።

ገባኝ? የእኛን መልሶች አወዳድር፡-

• የጂኦሜትሪክ እድገት - 3, 6.
• የሂሳብ እድገት - 2, 4.
• እሱ የሂሳብ ወይም የጂኦሜትሪክ እድገት አይደለም - 1 ፣ 5 ፣ 7።

ወደ መጨረሻው እድገታችን እንመለስ እና ቃሉን በሂሳብ ስሌት በተመሳሳይ መንገድ ለማግኘት እንሞክር። እንደገመቱት, እሱን ለማግኘት ሁለት መንገዶች አሉ.

እያንዳንዱን ቃል በተከታታይ እናባዛለን።

ስለዚህ, የተገለፀው የጂኦሜትሪክ እድገት -th አባል እኩል ነው.

አስቀድመህ እንደገመትከው፣ አሁን አንተ ራስህ የትኛውንም የጂኦሜትሪክ እድገት አባል እንድታገኝ የሚረዳህ ቀመር ታገኛለህ። ወይም ደግሞ ኛውን አባል በደረጃ እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ እየገለጽክ ለራስህ አውጥተህ ታውቃለህ? ከሆነ፣ የአስተሳሰብዎን ትክክለኛነት ያረጋግጡ።

የዚህን ግስጋሴ አባል በማግኘት በምሳሌ እንየው፡-

በሌላ ቃል:

የአንድ የተወሰነ የጂኦሜትሪክ እድገት አባል እሴት እራስዎን ይፈልጉ።

ተከስቷል? የእኛን መልሶች አወዳድር፡-

በእያንዳንዱ የቀድሞ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ አባል በተከታታይ ስንባዛ በቀደመው ዘዴ ልክ ተመሳሳይ ቁጥር እንዳገኙ ትኩረት ይስጡ።
ይህንን ቀመር "ከግል ለማላቀቅ" እንሞክር - ወደ አጠቃላይ ቅፅ እናመጣለን እና እናገኛለን:

የተገኘው ቀመር ለሁሉም እሴቶች እውነት ነው - አዎንታዊ እና አሉታዊ። የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ውሎችን ከሚከተሉት ሁኔታዎች ጋር በማስላት እራስዎን ያረጋግጡ፡- ሀ.

ቆጥረዋል? ውጤቱን እናወዳድር፡-

የሂደቱን አባል እንደ አንድ አባል በተመሳሳይ መንገድ ማግኘት እንደሚቻል ይስማሙ ፣ ሆኖም ፣ የተሳሳተ ስሌት የማድረግ ዕድል አለ። እና የጂኦሜትሪክ እድገትን ኛ ቃል አስቀድመን ካገኘን, ሀ, የቀመርውን "የተቆራረጠ" ክፍል ከመጠቀም የበለጠ ምን ቀላል ሊሆን ይችላል.

ወሰን በሌለው መልኩ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ እድገት።

ከቅርብ ጊዜ ወዲህ ፣ ከዜሮ የበለጠ ወይም ያነሰ ምን ሊሆን እንደሚችል ተነጋገርን ፣ ሆኖም ፣ የጂኦሜትሪክ እድገት ተብሎ የሚጠራባቸው ልዩ እሴቶች አሉ ። ያለማቋረጥ እየቀነሰ.

ለምን ይመስላችኋል እንደዚህ ያለ ስም ያለው?
ለመጀመር፣ አባላትን ያቀፈ የጂኦሜትሪክ እድገትን እንፃፍ።
እንግዲያውስ፡-

እያንዳንዱ ቀጣይ ቃል በጊዜዎች ከቀዳሚው ያነሰ መሆኑን እናያለን, ግን ምንም ቁጥር ይኖረዋል? ወዲያውኑ መልስ ትሰጣለህ - "አይ". ለዚያም ነው ወሰን በሌለው ሁኔታ እየቀነሰ - ይቀንሳል, ይቀንሳል, ግን በጭራሽ ዜሮ አይሆንም.

ይህ በእይታ ምን እንደሚመስል በግልፅ ለመረዳት ፣የእድገታችንን ግራፍ ለመሳል እንሞክር። ስለዚህ ፣ በእኛ ሁኔታ ፣ ቀመሩ የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል።

በገበታዎቹ ላይ፣ በሚከተሉት ላይ ጥገኝነትን መገንባት ለምደናል፣ ስለዚህ፡-

የመግለጫው ይዘት አልተቀየረም: በመጀመሪያው ግቤት ውስጥ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ አባል እሴት ጥገኝነት በተለመደው ቁጥር ላይ አሳይተናል, እና በሁለተኛው ግቤት ውስጥ, በቀላሉ የጂኦሜትሪክ እድገት አባል ዋጋን ወስደናል, እና ተራ ቁጥሩ እንደ ሳይሆን እንደ ተሾመ። የሚቀረው ግራፉን ማቀድ ብቻ ነው።
ምን እንዳገኘህ እንይ። ያገኘሁት ገበታ ይኸውና፡-

ተመልከት? ተግባሩ እየቀነሰ ይሄዳል፣ ወደ ዜሮ ይቀየራል፣ ግን በጭራሽ አያልፈውም ፣ ስለዚህ ያለገደብ እየቀነሰ ነው። ነጥቦቻችንን በግራፉ ላይ ምልክት እናድርግ ፣ እና በተመሳሳይ ጊዜ አስተባባሪው እና ምን ማለት ነው-

የመጀመሪያ ቃሉ እኩል ከሆነ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴውን ግራፍ በንድፍ ለማሳየት ይሞክሩ። ከቀደመው ገበታችን ጋር ያለው ልዩነት ምን እንደሆነ ይተንትኑ?

አስተዳድረዋል? ያገኘሁት ገበታ ይኸውና፡-

አሁን የጂኦሜትሪክ ግስጋሴውን ርዕሰ ጉዳይ ሙሉ በሙሉ ተረድተዋል-ምን እንደሆነ ያውቃሉ ፣ ቃሉን እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ ያውቃሉ ፣ እና እንዲሁም እጅግ በጣም እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ እድገት ምን እንደሆነ ያውቃሉ ፣ ወደ ዋናው ንብረቱ እንሂድ ።

የጂኦሜትሪክ እድገት ንብረት.

የአርቲሜቲክ እድገት አባላትን ንብረት ታስታውሳለህ? አዎ፣ አዎ፣ የዚህ እድገት አባላት ቀዳሚ እና ተከታይ እሴቶች ሲኖሩ የአንድ የተወሰነ የእድገት ቁጥር ዋጋ እንዴት ማግኘት እንደሚቻል። አስታውሰዋል? ይህ፡-

አሁን ለጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ውሎች በትክክል ተመሳሳይ ጥያቄ ገጥሞናል። እንደዚህ አይነት ቀመር ለማውጣት, መሳል እና ማመዛዘን እንጀምር. ታያለህ፣ በጣም ቀላል ነው፣ እና ከረሳህ ራስህ ማውጣት ትችላለህ።

ሌላ ቀላል የጂኦሜትሪክ ግስጋሴን እንውሰድ፣ የምናውቀው እና። እንዴት ማግኘት ይቻላል? በሂሳብ እድገት ፣ ይህ ቀላል እና ቀላል ነው ፣ ግን እዚህ እንዴት ነው? እንደ እውነቱ ከሆነ, በጂኦሜትሪ ውስጥም ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም - በቀመርው መሰረት የተሰጠንን እያንዳንዱን እሴት መቀባት ብቻ ያስፈልግዎታል.

ትጠይቃለህ እና አሁን ምን እናደርጋለን? አዎ በጣም ቀላል። ለመጀመር፣ እነዚህን ቀመሮች በሥዕሉ ላይ እናሳይ፣ እና ወደ አንድ እሴት ለመምጣት ከእነሱ ጋር የተለያዩ ማጭበርበሮችን ለማድረግ እንሞክር።

ከተሰጠን ቁጥሮች ውስጥ አናጠቃለን, በቀመር አገላለጻቸው ላይ ብቻ እናተኩራለን. ከጎኑ ያሉትን ቃላቶች በማወቅ በብርቱካን የደመቀውን እሴት ማግኘት አለብን። ከእነሱ ጋር የተለያዩ ድርጊቶችን ለማከናወን እንሞክር, በዚህም ምክንያት ማግኘት እንችላለን.

መደመር።
ሁለት መግለጫዎችን ለመጨመር እንሞክር እና እናገኛለን:

ከዚህ አገላለጽ, እንደምታየው, በምንም መልኩ መግለፅ አንችልም, ስለዚህ, ሌላ አማራጭ እንሞክራለን - መቀነስ.

መቀነስ።

እንደሚመለከቱት, እኛም ከዚህ መግለጽ አንችልም, ስለዚህ, እነዚህን አባባሎች እርስ በርስ ለማባዛት እንሞክራለን.

ማባዛት።

አሁን ካለን ነገር ጋር በማነፃፀር የተሠጠንን የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ውሎችን በማባዛት ያለንን ይመልከቱ።

የምናገረውን ገምት? በትክክል፣ እሱን ለማግኘት፣ እርስ በርስ ሲባዙ ከሚፈለገው ቁጥር አጠገብ ያለውን የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ቁጥሮች ካሬ ስር መውሰድ አለብን።

እንግዲህ። እርስዎ እራስዎ የጂኦሜትሪክ እድገትን ንብረት ወስነዋል። ይህንን ቀመር በአጠቃላይ ቅፅ ለመጻፍ ይሞክሩ. ተከስቷል?

ሁኔታን የረሳው መቼ ነው? ለምን አስፈላጊ እንደሆነ አስቡ, ለምሳሌ, እራስዎ ለማስላት ይሞክሩ, በ. በዚህ ጉዳይ ላይ ምን ይሆናል? ልክ ነው፣ ሙሉ ከንቱነት፣ ቀመሩ ይህን ስለሚመስል፡-

በዚህ መሠረት, ይህንን ገደብ አይርሱ.

አሁን ምን እንደሆነ እናሰላለን

ትክክለኛ መልስ - ! በሚሰላበት ጊዜ ሁለተኛውን ሊሆን የሚችለውን እሴት ካልረሱ ፣ ከዚያ እርስዎ ጥሩ ጓደኛ ነዎት እና ወዲያውኑ ወደ ስልጠና መቀጠል ይችላሉ ፣ እና ከረሱት ፣ ከዚህ በታች የተተነተነውን ያንብቡ እና ለምን ሁለቱም ሥሮች በመልሱ ውስጥ መፃፍ እንዳለባቸው ልብ ይበሉ። .

ሁለቱንም የጂኦሜትሪክ እድገቶቻችንን - አንዱን በዋጋ እና ሌላውን በእሴት እንሳል እና ሁለቱም የመኖር መብት እንዳላቸው እንፈትሽ።

እንደዚህ አይነት የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መኖሩን ወይም አለመኖሩን ለማረጋገጥ, በሁሉም በተሰጡት አባላቶች መካከል አንድ አይነት መሆኑን ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው? ለመጀመሪያ እና ሁለተኛ ጉዳዮች q አስላ።

ለምን ሁለት መልሶችን መጻፍ እንዳለብን ተመልከት? ምክንያቱም የሚፈለገው ቃል ምልክት በአዎንታዊ ወይም በአሉታዊነት ላይ የተመሰረተ ነው! እና ምን እንደሆነ ስለማናውቅ ሁለቱንም መልሶች በመደመር እና በመቀነስ መፃፍ አለብን።

አሁን ዋና ዋና ነጥቦቹን ተረድተሃል እና የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ንብረቱን ቀመር አውጥተሃል፣ ፈልግ፣ ማወቅ እና

መልሶችዎን ከትክክለኛዎቹ ጋር ያወዳድሩ፡-

ምን ይመስላችኋል ፣ ከተፈለገው ቁጥር ጋር የጂኦሜትሪክ እድገት አባላትን እሴቶች ካልተሰጠን ፣ ግን ከእሱ እኩል ከሆነ። ለምሳሌ፣ ማግኘት፣ እና መስጠት እና ያስፈልገናል። በዚህ ጉዳይ ላይ ያገኘነውን ቀመር መጠቀም እንችላለን? ቀመሩን መጀመሪያ ላይ ሲያወጡት እንዳደረጉት እያንዳንዱ እሴት ምን እንደሚይዝ በመግለጽ ይህንን ዕድል በተመሳሳይ መንገድ ለማረጋገጥ ወይም ውድቅ ለማድረግ ይሞክሩ።
ምን አገኘህ?

አሁን እንደገና በጥንቃቄ ይመልከቱ።
እና በተመሳሳይ፡-

ከዚህ በመነሳት ቀመሩ ይሠራል ብለን መደምደም እንችላለን ከጎረቤት ጋር ብቻ አይደለምየጂኦሜትሪክ እድገትን ከሚፈለገው ቃላቶች ጋር, ግን በተጨማሪ ተመጣጣኝአባላቱ ከሚፈልጉት.

ስለዚህም የእኛ የመጀመሪያ ቀመር የሚከተለው ይሆናል፡-

ያም ማለት በመጀመሪያው ሁኔታ እንደዚያ ከተናገርን, አሁን ከየትኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ያነሰ ሊሆን ይችላል እንላለን. ዋናው ነገር ለሁለቱም የተሰጡ ቁጥሮች አንድ አይነት መሆን ነው.

በተወሰኑ ምሳሌዎች ላይ ይለማመዱ, በጣም ይጠንቀቁ!

1. , . ማግኘት.
2. , . ማግኘት.
3. , . ማግኘት.

እኔ ወስኛለሁ? በጣም በትኩረት እንደተከታተሉ እና ትንሽ መያዙን እንዳስተዋሉ ተስፋ አደርጋለሁ።

ውጤቱን እናነፃፅራለን.

በመጀመሪያዎቹ ሁለት ሁኔታዎች, ከላይ ያለውን ቀመር በእርጋታ እንተገብራለን እና የሚከተሉትን እሴቶች እናገኛለን:

በሦስተኛው ጉዳይ ላይ የተሰጡን የቁጥሮች ተከታታይ ቁጥሮችን በጥንቃቄ ስንመረምር ከምንፈልገው ቁጥር ጋር እኩል እንዳልሆኑ እንረዳለን-የቀድሞው ቁጥር ነው, ነገር ግን በቦታ ውስጥ ተወግዷል, ስለዚህ የማይቻል ነው. ቀመሩን ተግባራዊ ለማድረግ.

እንዴት መፍታት ይቻላል? በእውነቱ የሚመስለውን ያህል ከባድ አይደለም! እያንዳንዱ ቁጥር የተሰጠን እና የሚፈለገው ቁጥር የያዘውን እንጽፍልህ።

ስለዚህ አለን እና. ከእነሱ ጋር ምን ማድረግ እንደምንችል እንይ. መከፋፈልን ሀሳብ አቀርባለሁ። እናገኛለን፡-

ውሂባችንን ወደ ቀመር እንተካለን፡-

እኛ ማግኘት የምንችለው ቀጣዩ ደረጃ - ለዚህ ምክንያት ቁጥር ያለውን ኩብ ሥር መውሰድ ይኖርብናል.

አሁን ያለንን እንደገና እንይ። አለን ፣ ግን መፈለግ አለብን ፣ እና እሱ ፣ በተራው ፣ ከሚከተሉት ጋር እኩል ነው-

ለስሌቱ ሁሉንም አስፈላጊ መረጃዎች አግኝተናል. በቀመር ውስጥ ምትክ፡-

የኛ መልስ፡- .

ሌላ ተመሳሳይ ችግር እራስዎ ለመፍታት ይሞክሩ:
የተሰጠው:,
ማግኘት:

ምን ያህል አገኘህ? አለኝ - .

እንደምታየው, በእውነቱ, ያስፈልግዎታል አንድ ቀመር ብቻ አስታውስ- . የተቀሩትን ሁሉ ያለምንም ችግር እራስዎ በማንኛውም ጊዜ ማውጣት ይችላሉ። ይህንን ለማድረግ በቀላሉ በጣም ቀላል የሆነውን የጂኦሜትሪክ እድገትን በወረቀት ላይ ይፃፉ እና ከላይ በተጠቀሰው ቀመር መሰረት እያንዳንዱ ቁጥሮች እኩል ናቸው.

የጂኦሜትሪክ እድገት ውሎች ድምር።

አሁን በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ውስጥ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ውሎች ድምርን በፍጥነት ለማስላት የሚያስችለንን ቀመሮችን አስቡባቸው፡-

የውሱን የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ቃላቶች ድምር ቀመርን ለማግኘት፣ ሁሉንም ከላይ ያለውን የእኩልታ ክፍሎችን እናባዛለን። እናገኛለን፡-

በቅርበት ተመልከት: የመጨረሻዎቹ ሁለት ቀመሮች ምን የሚያመሳስላቸው ነገር አለ? ልክ ነው፣ የጋራ አባላት፣ ለምሳሌ እና የመሳሰሉት፣ ከመጀመሪያው እና የመጨረሻው አባል በስተቀር። 1ኛውን እኩልታ ከ 2 ኛ እኩልታ ለመቀነስ እንሞክር። ምን አገኘህ?

አሁን በጂኦሜትሪክ እድገት አባል ቀመር ይግለጹ እና ውጤቱን በመጨረሻው ቀመራችን ውስጥ ይተኩ፡

አገላለጹን ሰብስብ። ማግኘት አለብህ፡-

መግለፅ ብቻ ነው የቀረው፡-

በዚህ መሠረት, በዚህ ጉዳይ ላይ.

ቢሆንስ? ከዚያ ምን ቀመር ይሠራል? በ ላይ የጂኦሜትሪክ እድገትን አስብ። ምን አይነት ሰው ነች? በትክክል ተከታታይ ተመሳሳይ ቁጥሮች፣ በቅደም ተከተል፣ ቀመሩ ይህን ይመስላል።

እንደ አርቲሜቲክ እና ጂኦሜትሪክ ግስጋሴ፣ ብዙ አፈ ታሪኮች አሉ። ከመካከላቸው አንዱ የሴቴ አፈ ታሪክ ነው, የቼዝ ፈጣሪ.

ብዙ ሰዎች የቼዝ ጨዋታ ሕንድ ውስጥ እንደተፈለሰፈ ያውቃሉ። የሂንዱ ንጉስ ባገኛት ጊዜ በእሷ ጥበብ እና በእሷ ውስጥ ሊኖሩ ስለሚችሉት የተለያዩ ቦታዎች ተደስቶ ነበር። ንጉሱ ከአገዛዙ በአንዱ እንደፈለሰፈ ሲያውቅ በግል ሊሸልመው ወሰነ። ፈጣሪውን ወደ እርሱ ጠርቶ የፈለገውን እንዲጠይቀው አዘዘ, በጣም የተዋጣለት ምኞት እንኳን እንደሚፈጽም ቃል ገባ.

ሴታ ለማሰብ ጊዜ እንዲሰጠው ጠየቀ እና በማግስቱ ሴታ በንጉሱ ፊት በቀረበ ጊዜ ንጉሱን በመጠየቅ ወደር የለሽ ልከኝነት አስገረመው። ለመጀመሪያው የቼዝቦርድ ካሬ፣ ስንዴ ለሁለተኛው፣ ለሦስተኛው፣ ለአራተኛው፣ ወዘተ የስንዴ እህል ጠየቀ።

ንጉሱ ተቆጥቶ ሴትን አስወገደ, የአገልጋዩ ጥያቄ ለንጉሣዊ ልግስና የማይገባ ነው, ነገር ግን አገልጋዩ የእህል እህሉን ለሁሉም የቦርዱ ክፍሎች እንደሚቀበል ቃል ገባ.

እና አሁን ጥያቄው የጂኦሜትሪክ እድገት አባላት ድምር ቀመር በመጠቀም ሴቲ ምን ያህል እህል መቀበል እንዳለበት ያሰሉ?

መወያየት እንጀምር። እንደ ሁኔታው, ሴት ለቼዝቦርዱ የመጀመሪያ ሕዋስ, ለሁለተኛው, ለሦስተኛው, ለአራተኛው, ወዘተ የስንዴ እህል ጠይቋል, ችግሩ ስለ ጂኦሜትሪክ እድገት እንደሆነ እናያለን. በዚህ ጉዳይ ላይ ምን እኩል ነው?
በትክክል።

የቼዝቦርዱ አጠቃላይ ሕዋሳት። በቅደም ተከተል,. ሁሉም መረጃዎች አሉን, በቀመሩ ውስጥ ለመተካት እና ለማስላት ብቻ ይቀራል.

የአንድ የተወሰነ ቁጥር "ሚዛኖች" በግምት ለመወከል፣ የዲግሪውን ባህሪያት በመጠቀም እንለውጣለን፡-

እርግጥ ነው, ከፈለጉ, ካልኩሌተር ወስደህ ምን ዓይነት ቁጥር እንደጨረስክ ማስላት ትችላለህ, እና ካልሆነ, ቃሌን ለእሱ መውሰድ አለብህ: የገለጻው የመጨረሻ ዋጋ ይሆናል.
እኔ:

ኩንቲሊየን ኳድሪሊየን ትሪሊየን ሚሊዮን ሺህ።

ፉህ) የዚህን ቁጥር ግዙፍነት መገመት ከፈለጋችሁ ሙሉውን የእህል መጠን ለማስተናገድ ምን ያህል ጎተራ እንደሚያስፈልግ ገምት።
በጋጣ ቁመት m እና በ m ወርድ, ርዝመቱ እስከ ኪ.ሜ ማራዘም አለበት, ማለትም. ከምድር እስከ ፀሐይ ሁለት ጊዜ.

ንጉሱ በሂሳብ ትምህርት ጠንካራ ከሆኑ ሳይንቲስቱን እህሉን ለመቁጠር እራሱን ሊያቀርብ ይችላል, ምክንያቱም አንድ ሚሊዮን እህል ለመቁጠር ቢያንስ አንድ ቀን ሳይታክት ቆጠራ ያስፈልገዋል, እና ኩንታል መቁጠር አስፈላጊ ሆኖ ሲገኝ. እህሉ በሕይወት ዘመኑ ሁሉ መቆጠር አለበት።

እና አሁን በጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ድምር ላይ አንድ ቀላል ችግርን እንፈታዋለን.
የ5ኛ ክፍል ተማሪ የሆነችው ቫስያ በጉንፋን ታመመች፣ ግን ትምህርት ቤት መሄዱን ቀጥላለች። በየቀኑ ቫሳያ ሁለት ሰዎችን ያጠቃል, በተራው ደግሞ ሁለት ተጨማሪ ሰዎችን ይጎዳል, ወዘተ. በክፍሉ ውስጥ አንድ ሰው ብቻ። በስንት ቀናት ውስጥ መላው ክፍል ጉንፋን ይይዛል?

ስለዚህ, የጂኦሜትሪክ እድገት የመጀመሪያ አባል ቫስያ, ማለትም ሰው ነው. የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ አባል የሆኑት እነዚህ ሁለት ሰዎች በመጡበት የመጀመሪያ ቀን ያበከላቸው ናቸው። የሂደቱ አባላት ጠቅላላ ድምር ከተማሪዎች ቁጥር 5A ጋር እኩል ነው። በዚህ መሠረት ስለ አንድ እድገት እየተነጋገርን ነው-

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ውሎች ድምር የእኛን ውሂብ በቀመር እንተካው፡-

መላው ክፍል በቀናት ውስጥ ይታመማል። በቀመር እና በቁጥር አያምኑም? የተማሪዎቹን "ኢንፌክሽን" እራስዎ ለማሳየት ይሞክሩ. ተከስቷል? ለእኔ ምን እንደሚመስል ይመልከቱ፡-

ሁሉም ሰው አንድን ሰው ቢበክል ተማሪዎቹ ስንት ቀናት ጉንፋን እንደሚያዙ ለራስዎ አስሉ፣ እና በክፍሉ ውስጥ አንድ ሰው ነበረ።

ምን ዋጋ አገኘህ? ከአንድ ቀን በኋላ ሁሉም መታመም ጀመሩ።

እንደምታየው, እንዲህ ዓይነቱ ተግባር እና ስዕሉ ከፒራሚድ ጋር ይመሳሰላል, ይህም እያንዳንዱ ተከታይ አዳዲስ ሰዎችን "ያመጣል". ሆኖም፣ ይዋል ይደር እንጂ የኋለኛው ማንንም መሳብ የማይችልበት ጊዜ ይመጣል። በእኛ ሁኔታ, ክፍሉ የተገለለ ነው ብለን ካሰብን, ሰውዬው ሰንሰለቱን ይዘጋል (). ስለሆነም አንድ ሰው ሌሎች ሁለት ተሳታፊዎችን ካመጣህ ገንዘብ በተሰጠበት የፋይናንስ ፒራሚድ ውስጥ ከተሳተፈ ግለሰቡ (ወይም በአጠቃላይ ሁኔታ) ማንንም አያመጣም ነበር, በቅደም, በዚህ የገንዘብ ማጭበርበር ውስጥ ኢንቨስት ያደረጉትን ሁሉ ያጣ ነበር. .

ከላይ የተነገረው ሁሉ የሚያመለክተው እየቀነሰ ወይም እየጨመረ የመጣውን የጂኦሜትሪክ እድገት ነው, ነገር ግን እንደምታስታውሱት, ልዩ ዓይነት አለን - ማለቂያ በሌለው መልኩ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ እድገት. የአባላቱን ድምር እንዴት ማስላት ይቻላል? እና ለምን የዚህ አይነት እድገት አንዳንድ ገፅታዎች አሉት? አብረን እንወቅ።

ስለዚህ፣ ለጀማሪዎች፣ ይህን ወሰን በሌለው መልኩ እየቀነሰ ያለውን የጂኦሜትሪክ ግስጋሴን ከምሳሌአችን እንደገና እንመልከተው፡-

እና አሁን ትንሽ ቀደም ብሎ የተገኘውን የጂኦሜትሪክ እድገት ድምር ቀመር እንመልከት፡-
ወይም

ምን እየጣርን ነው? ልክ ነው፣ ግራፉ እንደሚያሳየው ወደ ዜሮ እንደሚሄድ ያሳያል። ማለትም ፣ መቼ ፣ እሱ ከሞላ ጎደል እኩል ይሆናል ፣ በቅደም ተከተል ፣ አገላለጹን ስናሰላ ፣ እኛ ማለት ይቻላል እናገኛለን። በዚህ ረገድ ፣ ያለገደብ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ድምርን ሲያሰላ ይህ ቅንፍ እኩል ስለሚሆን ችላ ሊባል ይችላል ብለን እናምናለን።

- ቀመሩ ወሰን በሌለው ሁኔታ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ውሎች ድምር ነው።

አስፈላጊ!ቀመሩን ያለገደብ እየቀነሰ ላለው የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ቃላቶች ድምር እንጠቀማለን የሚለው ሁኔታ ድምርውን መፈለግ እንዳለብን በግልጽ ከገለጸ ብቻ ነው። ማለቂያ የሌለውየአባላት ብዛት.

አንድ የተወሰነ ቁጥር n ከተጠቆመ, ምንም እንኳን ቢሆን ወይም ቢሆንም, ለ n ቃላት ድምር ቀመሩን እንጠቀማለን.

እና አሁን እንለማመድ።

1. የጂኦሜትሪክ እድገት የመጀመሪያ ቃላት ድምርን በ እና ያግኙ።
2. ወሰን በሌለው ሁኔታ እየቀነሰ ያለውን የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ውሎች ድምርን በ እና ያግኙ።

በጣም ጠንቃቃ እንደሆናችሁ ተስፋ አደርጋለሁ። የእኛን መልሶች አወዳድር፡-

አሁን ስለ ጂኦሜትሪክ እድገት ሁሉንም ነገር ያውቃሉ፣ እና ከቲዎሪ ወደ ልምምድ የምንሸጋገርበት ጊዜ አሁን ነው። በፈተና ላይ የሚገኙት በጣም የተለመዱ ገላጭ ችግሮች ድብልቅ የወለድ ችግሮች ናቸው። ስለ እነርሱ ነው የምንነጋገረው.

ድብልቅ ወለድን ለማስላት ችግሮች.

ውሁድ ወለድ ቀመር ተብሎ ስለሚጠራው ሰምተው መሆን አለበት። ምን ማለቷ እንደሆነ ይገባሃል? ካልሆነ, እንወቅሰው, ምክንያቱም ሂደቱን እራሱ ከተገነዘበ, የጂኦሜትሪክ ግስጋሴው ከእሱ ጋር ምን ግንኙነት እንዳለው ወዲያውኑ ይረዱዎታል.

ሁላችንም ወደ ባንክ እንሄዳለን እና ለተቀማጭ ገንዘብ የተለያዩ ሁኔታዎች እንዳሉ እናውቃለን: ይህ ቃል ነው, እና ተጨማሪ ጥገና, እና ወለድ በሁለት የተለያዩ የማስላት ዘዴዎች - ቀላል እና ውስብስብ.

ጋር ቀላል ፍላጎትሁሉም ነገር ብዙ ወይም ያነሰ ግልጽ ነው፡ የተቀማጭ ጊዜ ማብቂያ ላይ አንድ ጊዜ ወለድ ይከፈላል. ማለትም ፣ በዓመት 100 ሩብልስ ስለማስቀመጥ እየተነጋገርን ከሆነ ፣እነሱ የሚከፈሉት በዓመቱ መጨረሻ ላይ ብቻ ነው። በዚህ መሠረት, በተቀማጭ ገንዘቡ መጨረሻ, ሩብልስ እንቀበላለን.

ተደራራቢ ወለድውስጥ ያለው አማራጭ ነው። የወለድ ካፒታላይዜሽን፣ ማለትም እ.ኤ.አ. መጨመራቸው ከተቀማጭ ገንዘቡ መጠን እና ተከታዩ የገቢ ስሌት ከመጀመሪያው ሳይሆን ከተጠራቀመው የተጠራቀመ መጠን. ካፒታላይዜሽን ያለማቋረጥ አይከሰትም ፣ ግን በተወሰነ ወቅታዊነት። እንደ አንድ ደንብ, እንደዚህ ያሉ ጊዜያት እኩል ናቸው እና ብዙ ጊዜ ባንኮች አንድ ወር, ሩብ ወይም አንድ አመት ይጠቀማሉ.

በዓመት ሁሉንም ተመሳሳይ ሩብሎች እናስቀምጣለን እንበል, ነገር ግን ከተቀማጭ ወርሃዊ ካፒታላይዜሽን ጋር. ምን እናገኛለን?

እዚህ ሁሉንም ነገር ተረድተዋል? ካልሆነ ደረጃ በደረጃ እንውሰድ።

ሩብልን ወደ ባንክ አመጣን. በወሩ መገባደጃ ላይ የኛን ሩብል እና በእነሱ ላይ ወለድ ያካተተ መጠን በሂሳባችን ውስጥ ሊኖረን ይገባል፡

እሳማማ አለህው?

ከቅንፉ ውስጥ ልናወጣው እንችላለን እና ከዚያ እናገኛለን፡-

እስማማለሁ፣ ይህ ቀመር መጀመሪያ ላይ ከጻፍነው ጋር ተመሳሳይ ነው። መቶኛን ለመቋቋም ይቀራል

በችግሩ ሁኔታ ውስጥ ስለ አመታዊው ይነገረናል. እንደምታውቁት፣ አንጨምርም - መቶኛን ወደ አስርዮሽ እንለውጣለን ማለትም፡-

ቀኝ? አሁን ትጠይቃለህ ቁጥሩ ከየት መጣ? በጣም ቀላል!
እደግመዋለሁ: የችግሩ ሁኔታ ስለ ይላል አመታዊወለድ ተከማችቷል በየወሩ. እንደሚታወቀው፣ በወራት አመት ውስጥ፣ በቅደም ተከተል፣ ባንኩ በወር ከዓመታዊ ወለድ ከፊሉን ያስከፍለናል።

ተገነዘበ? አሁን ወለድ በየቀኑ ይሰላል ካልኩ ይህ የቀመርው ክፍል ምን እንደሚመስል ለመፃፍ ይሞክሩ።
አስተዳድረዋል? ውጤቱን እናወዳድር፡-

ጥሩ ስራ! ወደ ተግባራችን እንመለስ፡ በተጠራቀመው የተቀማጭ ገንዘብ ላይ ወለድ እንደሚከፈል ግምት ውስጥ በማስገባት ለሁለተኛው ወር ምን ያህል ወደ ሒሳባችን እንደሚገባ ጻፍ።
ያጋጠመኝ ነገር ይኸውና፡-

ወይም፣ በሌላ አነጋገር፡-

አስቀድመህ ንድፍ አስተውለሃል እና በዚህ ሁሉ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴን አይተሃል ብዬ አስባለሁ። የእሱ አባል ምን እኩል እንደሚሆን ይፃፉ ወይም፣ በሌላ አነጋገር፣ በወሩ መጨረሻ ምን ያህል ገንዘብ እንደምንቀበል።
የተሰራ? በማጣራት ላይ!

እንደሚመለከቱት, ለአንድ አመት በባንክ ውስጥ ገንዘብን በቀላል ወለድ ውስጥ ካስገቡ, ከዚያም ሩብል ይቀበላሉ, እና በተመጣጣኝ መጠን ካስቀመጡት, ሩብልስ ይቀበላሉ. ጥቅሙ ትንሽ ነው፣ ነገር ግን ይህ የሚሆነው በዓመቱ ውስጥ ብቻ ነው፣ ግን ረዘም ላለ ጊዜ ካፒታላይዜሽን የበለጠ ትርፋማ ነው።

ሌላ ዓይነት ድብልቅ የወለድ ችግርን ተመልከት። ካሰብከው በኋላ፣ ለአንተ የመጀመሪያ ደረጃ ይሆናል። ስለዚህ ተግባሩ፡-

ዝቬዝዳ በዶላር ካፒታል በ2000 በኢንዱስትሪው ውስጥ ኢንቨስት ማድረግ ጀመረ። ከ2001 ጀምሮ በየዓመቱ ከባለፈው ዓመት ካፒታል ጋር እኩል የሆነ ትርፍ አስመዝግቧል። በ 2003 መጨረሻ ላይ የዝቬዝዳ ኩባንያ ትርፉ ከስርጭት ካልተወጣ ምን ያህል ትርፍ ያገኛል?

በ 2000 የዝቬዝዳ ኩባንያ ዋና ከተማ.
- በ 2001 የዝቬዝዳ ኩባንያ ዋና ከተማ.
- በ 2002 የዝቬዝዳ ኩባንያ ዋና ከተማ.
- በ 2003 የዝቬዝዳ ኩባንያ ዋና ከተማ.

ወይም በአጭሩ መጻፍ እንችላለን-

ለኛ ጉዳይ፡-

2000፣ 2001፣ 2002 እና 2003 ዓ.ም.

በቅደም ተከተል፡-
ሩብልስ
በዚህ ችግር ውስጥ እኛ በ ወይም በ ክፍፍል የለንም ፣ ምክንያቱም መቶኛ በዓመት ይሰጣል እና በየዓመቱ ይሰላል። ያም ማለት ችግሩን ለተደባለቀ ወለድ ሲያነቡ, ምን ያህል መቶኛ እንደሚሰጥ እና በየትኛው ጊዜ ውስጥ እንደሚከፈል ትኩረት ይስጡ እና ከዚያ በኋላ ወደ ስሌቶች ብቻ ይቀጥሉ.
አሁን ስለ ጂኦሜትሪክ እድገት ሁሉንም ነገር ያውቃሉ.

ይሠራል.

1. የሚታወቅ ከሆነ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ቃልን ያግኙ፣ እና
2. የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ የመጀመሪያ ቃላት ድምርን ያግኙ፣ የሚታወቅ ከሆነ፣ እና
3. ኤምዲኤም ካፒታል በዶላር ካፒታል በ2003 በኢንዱስትሪው ውስጥ ኢንቨስት ማድረግ ጀመረ። ከ2004 ዓ.ም ጀምሮ በየአመቱ ከባለፈው አመት ካፒታል ጋር እኩል የሆነ ትርፍ አግኝታለች። ኩባንያው "MSK ጥሬ ገንዘብ ፍሰት" መጠን ውስጥ 2006 ውስጥ ትርፍ ማድረግ ጀምሮ, 10,000 ዶላር መጠን ውስጥ 2005 ውስጥ ኢንዱስትሪ ውስጥ ኢንቨስት ጀመረ. በ 2007 መጨረሻ ላይ የአንድ ኩባንያ ካፒታል ከሌላው ምን ያህል ዶላር ይበልጣል, ትርፍ ከስርጭት ካልተወጣ?

መልሶች፡-

1. የችግሩ ሁኔታ ግስጋሴው ማለቂያ የለውም ስለማይል እና የአባላቱን የተወሰነ ቁጥር ድምር ማግኘት ስለሚያስፈልገው ስሌቱ የሚከናወነው በቀመርው መሠረት ነው-
2. 
   ኩባንያ "ኤምዲኤም ካፒታል":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - በ 100% ይጨምራል ፣ ማለትም ፣ 2 ጊዜ።
   በቅደም ተከተል፡-
   ሩብልስ
   MSK የገንዘብ ፍሰቶች፡-

   2005, 2006, 2007.
   - በዘመን ይጨምራል።
   በቅደም ተከተል፡-
   ሩብልስ
   ሩብልስ

እናጠቃልለው።

1) የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ () የቁጥር ቅደም ተከተል ነው, የመጀመሪያው ቃል ከዜሮ የተለየ ነው, እና እያንዳንዱ ቃል, ከሁለተኛው ጀምሮ, ከቀዳሚው ጋር እኩል ነው, በተመሳሳይ ቁጥር ተባዝቷል. ይህ ቁጥር የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መለያ ይባላል።

2) የጂኦሜትሪክ እድገት አባላት እኩልነት -.

3) ከ እና በስተቀር ማንኛውንም ዋጋ ሊወስድ ይችላል.

• ከሆነ ፣ ከዚያ ሁሉም የሂደቱ አባላት ተመሳሳይ ምልክት ካላቸው - እነሱ አዎንታዊ;
• ከሆነ, ከዚያ ሁሉም ቀጣይ የሂደቱ አባላት ተለዋጭ ምልክቶች;
• መቼ - እድገቱ ያለገደብ እየቀነሰ ይባላል.

4) ፣ በ - የጂኦሜትሪክ እድገት ንብረት (የጎረቤት ቃላት)

ወይም
፣ በ (ተመጣጣኝ ውል)

ሲያገኙት ያንን አይርሱ ሁለት መልሶች ሊኖሩ ይገባል..

ለምሳሌ,

5) የጂኦሜትሪክ እድገት አባላት ድምር በቀመር ይሰላል፡-
ወይም

እድገቱ ያለማቋረጥ እየቀነሰ ከሆነ፡-
ወይም

አስፈላጊ!ቀመሩን ያለገደብ እየቀነሰ ላለው የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ቃላቶች ድምር እንጠቀማለን የሚለው ሁኔታ ገደብ የለሽ የቃላቶች ድምርን ማግኘት አስፈላጊ መሆኑን በግልጽ ከገለጸ ብቻ ነው።

6) ገንዘቦቹ ከስርጭት እስካልተወሰዱ ድረስ በጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ኛ አባል ቀመር መሰረት የተሰባሰቡ ወለድ ተግባራት ይሰላሉ፡-

የጂኦሜትሪክ እድገት. ስለ ዋናው ነገር በአጭሩ

የጂኦሜትሪክ እድገት() የቁጥር ቅደም ተከተል ነው, የመጀመሪያው ቃል ከዜሮ የተለየ ነው, እና እያንዳንዱ ቃል, ከሁለተኛው ጀምሮ, ከቀዳሚው ጋር እኩል ነው, በተመሳሳይ ቁጥር ተባዝቷል. ይህ ቁጥር ይባላል የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መለያ.

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መለያእና በስተቀር ማንኛውንም ዋጋ ሊወስድ ይችላል.

• ከሆነ, ከዚያም ሁሉም ተከታይ እድገት አባላት ተመሳሳይ ምልክት - እነሱ አዎንታዊ ናቸው;
• ከሆነ, ከዚያ ሁሉም ተከታይ የሂደቱ ተለዋጭ ምልክቶች;
• መቼ - እድገቱ ያለገደብ እየቀነሰ ይባላል.

የጂኦሜትሪክ እድገት አባላት እኩልነት - .

የጂኦሜትሪክ እድገት ውሎች ድምርበቀመርው ይሰላል፡-
ወይም

>> ሂሳብ፡ ጂኦሜትሪክ እድገት

ለአንባቢው ምቾት, ይህ ክፍል ባለፈው ክፍል ውስጥ የተከተልነውን ተመሳሳይ እቅድ ይከተላል.

1. መሰረታዊ ጽንሰ-ሐሳቦች.

ፍቺየቁጥር ቅደም ተከተል ፣ ሁሉም አባላት ከ 0 የሚለያዩ እና እያንዳንዱ አባል ከሁለተኛው ጀምሮ ፣ ከቀዳሚው አባል የተገኘው በተመሳሳይ ቁጥር በማባዛት የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ይባላል። በዚህ ሁኔታ, ቁጥር 5 የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መለያ ይባላል.

ስለዚህ፣ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ በግንኙነቶች ተደጋጋሚነት የሚሰጥ የቁጥር ቅደም ተከተል (b n) ነው።

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መሆኑን ለማወቅ የቁጥር ቅደም ተከተል በመመልከት ይቻላል? ይችላል. የማንኛውም ተከታታይ አባል ከቀዳሚው አባል ጋር ያለው ጥምርታ ቋሚ እንደሆነ እርግጠኛ ከሆኑ የጂኦሜትሪክ እድገት አለዎት።
ምሳሌ 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

ምሳሌ 2

ይህ የጂኦሜትሪክ እድገት ነው
ምሳሌ 3

ይህ የጂኦሜትሪክ እድገት ነው
ምሳሌ 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

ይህ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ሲሆን b 1 - 8, q = 1.

ይህ ቅደም ተከተል የሂሳብ ግስጋሴም መሆኑን ልብ ይበሉ (ምሳሌ 3 ከ § 15 ይመልከቱ)።

ምሳሌ 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

ይህ የጂኦሜትሪክ እድገት ነው, በዚህ ውስጥ b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

በግልጽ እንደሚታየው፣ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ b 1> 0፣ q> 1 (ምሳሌ 1ን ይመልከቱ) እና b 1> 0፣ 0 ከሆነ እየቀነሰ የሚሄድ ቅደም ተከተል ነው።< q < 1 (см. пример 2).

ቅደም ተከተል (b n) የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መሆኑን ለማመልከት፣ የሚከተለው ምልክት አንዳንድ ጊዜ ምቹ ነው።

አዶው "ጂኦሜትሪክ ግስጋሴ" የሚለውን ሐረግ ይተካዋል.
አንድ የማወቅ ጉጉት እና በተመሳሳይ ጊዜ የጂኦሜትሪክ እድገት ባህሪን እናስተውላለን-
ቅደም ተከተል ከሆነ የጂኦሜትሪክ እድገት ነው, ከዚያም የካሬዎች ቅደም ተከተል, ማለትም. የጂኦሜትሪክ እድገት ነው.
በሁለተኛው የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ፣ የመጀመሪያው ቃል ከq 2 ጋር እኩል ነው።
በ b n የሚከተሏቸውን ውሎች በሙሉ ከጣልናቸው፣ ያኔ ውሱን የሆነ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ እናገኛለን
በዚህ ክፍል በሚቀጥሉት አንቀጾች ውስጥ የጂኦሜትሪክ እድገትን በጣም አስፈላጊ ባህሪያትን እንመለከታለን.

2. የጂኦሜትሪክ እድገት የ n-ኛ ቃል ቀመር.

የጂኦሜትሪክ እድገትን አስቡበት መለያ q. እና አለነ:

ለማንኛውም ቁጥር n እኩልነት ለመገመት አስቸጋሪ አይደለም

ይህ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ የ Nኛው ቃል ቀመር ነው።

አስተያየት.

ካለፈው አንቀፅ የተወሰደውን ጠቃሚ አስተያየት አንብበው ከተረዱት፣ ፎርሙላውን (1) በሂሳብ ኢንዳክሽን ለማረጋገጥ ሞክሩ፣ ልክ ለሂሳብ እድገት n ኛ ቃል ቀመር እንደተደረገው።

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴውን የ nth ቃል ቀመር እንደገና እንፃፍ

እና ማስታወሻውን ያስተዋውቁ: y \u003d mq 2, ወይም, በበለጠ ዝርዝር, እናገኛለን.
ነጋሪው x በአርቢው ውስጥ ይዟል፣ ስለዚህ እንዲህ ያለው ተግባር አርቢ ተግባር ይባላል። ይህ ማለት የጂኦሜትሪክ እድገት በተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስብ N ላይ እንደ ገላጭ ተግባር ሊቆጠር ይችላል. በለስ ላይ. 96a የበለስ ተግባር ግራፍ ያሳያል. 966 - የተግባር ግራፍ በሁለቱም ሁኔታዎች ፣ እኛ ገለልተኛ ነጥቦች አሉን (ከ abcissas x = 1 ፣ x = 2 ፣ x = 3 ፣ ወዘተ.) በአንዳንድ ኩርባ ላይ ተኝተናል (ሁለቱም አሃዞች አንድ አይነት ኩርባ ያሳያሉ ፣ በተለየ ሁኔታ የሚገኝ እና በተለያዩ ልኬቶች ብቻ ይገለጻል)። ይህ ኩርባ ገላጭ ይባላል። ስለ ገላጭ ተግባር እና ግራፉ የበለጠ በ11ኛ ክፍል አልጀብራ ኮርስ ላይ ይብራራል።

ካለፈው አንቀጽ ወደ ምሳሌ 1-5 እንመለስ።

1) 1፣ 3፣ 9፣ 27፣ 81፣... ይህ የጂኦሜትሪክ እድገት ነው, በዚህ ውስጥ b 1 \u003d 1, q \u003d 3. ለ n ኛ ቃል ቀመር እንሥራ.
2) ይህ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ነው፣ በዚህ ውስጥ n-th የሚለውን ቃል እንፍጠር

ይህ የጂኦሜትሪክ እድገት ነው ለ n ኛው ቃል ቀመር ያዘጋጁ
4) 8, 8, 8, ..., 8, .... ይህ የጂኦሜትሪክ እድገት ነው, በዚህ ውስጥ b 1 \u003d 8, q \u003d 1. ለ n ኛ ቃል ቀመር እንሥራ.
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... ይህ የጂኦሜትሪክ እድገት ነው, በዚህ ውስጥ b 1 = 2, q = -1. ለ n ኛው ቃል ቀመር ያዘጋጁ

ምሳሌ 6

የጂኦሜትሪክ እድገት ተሰጥቷል

በሁሉም ሁኔታዎች, መፍትሄው በጂኦሜትሪክ እድገት የ nth አባል ቀመር ላይ የተመሰረተ ነው

ሀ) በጂኦሜትሪክ ግስጋሴው n ኛ ቃል ቀመር ውስጥ n = 6 ን በማስቀመጥ እናገኛለን

ለ) አለን።

ከ 512 \u003d 2 9 ጀምሮ, n - 1 \u003d 9, n \u003d 10 እናገኛለን.

መ) አለን።

ምሳሌ 7

በጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ሰባተኛው እና አምስተኛው አባላት መካከል ያለው ልዩነት 48 ነው ፣ የአምስተኛው እና የስድስተኛው የዕድገት አባላት ድምር እንዲሁ 48 ነው ። የዚህን እድገት አሥራ ሁለተኛውን ያግኙ።

የመጀመሪያ ደረጃ.የሂሳብ ሞዴልን በመሳል ላይ።

የሥራው ሁኔታ በአጭሩ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል-

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴን የ n-th አባል ቀመር በመጠቀም፣ የሚከተሉትን እናገኛለን፡-
ከዚያም የችግሩ ሁለተኛ ሁኔታ (b 7 - b 5 = 48) እንደ ሊጻፍ ይችላል

ሦስተኛው የችግሩ ሁኔታ (b 5 +b 6 = 48) ተብሎ ሊጻፍ ይችላል

በውጤቱም፣ ሁለት ተለዋዋጮች ያሉት የሁለት እኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን b 1 እና q፡

ከሁኔታ 1) ጋር በማጣመር ከላይ የተጻፈው የችግሩ የሂሳብ ሞዴል ነው።

ሁለተኛ ደረጃ.

ከተሰበሰበው ሞዴል ጋር በመስራት ላይ. የሁለቱም የስርዓቱ እኩልታዎች የግራ ክፍሎችን በማመሳሰል እናገኛለን፡-

(የቀመርውን ሁለቱንም ጎኖች ወደ አገላለጽ b 1q 4 ከፋፍለናል, ይህም ከዜሮ የተለየ ነው).

ከእኩል q 2 - q - 2 = 0 q 1 = 2, q 2 = -1 እናገኛለን. እሴቱን q = 2 ወደ ስርዓቱ ሁለተኛ እኩልነት በመተካት እናገኛለን
እሴቱን q = -1 ወደ ስርዓቱ ሁለተኛ እኩልነት በመተካት b 1 1 0 = 48 እናገኛለን; ይህ እኩልነት ምንም መፍትሄዎች የሉትም.

ስለዚህ, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - ይህ ጥንድ ለተቀናጀው የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ነው.

አሁን በጥያቄ ውስጥ ያለውን የጂኦሜትሪክ እድገት መፃፍ እንችላለን: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

ሦስተኛው ደረጃ.

ለችግሩ ጥያቄ መልስ. b 12 ለማስላት ያስፈልጋል. እና አለነ

መልስ፡- b 12 = 2048

3. የተወሰነ የጂኦሜትሪክ እድገት አባላት ድምር ቀመር።

ውሱን የሆነ የጂኦሜትሪክ እድገት ይኑር

በS አመልክት የውሎቹ ድምር፣ ማለትም

ይህን ድምር ለማግኘት ቀመር እናውጣ።

በጣም ቀላል በሆነው ጉዳይ እንጀምር, መቼ q = 1. ከዚያም የጂኦሜትሪክ እድገት b 1,b 2, b 3,..., bn ከ b 1 ጋር እኩል የሆኑ n ቁጥሮችን ያካትታል, ማለትም. እድገቱ b 1, b 2, b 3, ..., b 4 ነው. የእነዚህ ቁጥሮች ድምር nb 1 ነው.

አሁን q = 1 S nን ለማግኘት ሰው ሰራሽ ዘዴን እንጠቀማለን፡ S n q የሚለውን አገላለጽ አንዳንድ ለውጦችን እናድርግ። እና አለነ:

ለውጦችን በማከናወን ላይ, እኛ, በመጀመሪያ, የጂኦሜትሪክ ግስጋሴን ፍቺ እንጠቀማለን, በዚህ መሠረት (የሦስተኛውን የአስተሳሰብ መስመር ይመልከቱ); በሁለተኛ ደረጃ የገለጻው ትርጉም ለምን እንዳልተለወጠ ጨምረው እና ቀንስ (አራተኛውን የምክንያት መስመር ተመልከት)። በሶስተኛ ደረጃ፣ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴውን n-th አባል ቀመር ተጠቀምን፡-

ከቀመር (1) እናገኛለን፡-

ይህ የጂኦሜትሪክ እድገት አባላት ድምር ቀመር ነው (ለጉዳዩ q = 1)።

ምሳሌ 8

ውሱን የሆነ የጂኦሜትሪክ እድገት ተሰጥቷል።

ሀ) የሂደቱ አባላት ድምር; ለ) የውሎቹ ካሬዎች ድምር።

ለ) ከላይ (ገጽ 132 ይመልከቱ) ሁሉም የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ አባላት ስኩዌር ከሆኑ፣ የመጀመሪያው አባል ለ 2 እና መለያው q 2 ያለው የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ እንደሚገኝ አስቀድመን ተመልክተናል። ከዚያ የአዲሱ እድገት ስድስት ውሎች ድምር በ ይሰላል

ምሳሌ 9

ለየትኛው የጂኦሜትሪክ እድገት 8 ኛውን ቃል ይፈልጉ

በእውነቱ, የሚከተለውን ጽንሰ-ሐሳብ አረጋግጠናል.

የቁጥር ቅደም ተከተል የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ነው, እና የእያንዳንዳቸው ቃላቶች ካሬ ከመጀመሪያው ካልሆነ በስተቀር (እና የመጨረሻው, በተጠናቀቀ ቅደም ተከተል) ከቀዳሚው እና ከተከታዮቹ ቃላቶች ምርት ጋር እኩል ከሆነ ብቻ ነው. (የጂኦሜትሪክ እድገት ባህሪ ባህሪ)።